Содержание к диссертации
Введение
1 МГД течение в кольцевом канале: стадия разгона 19
1.1 Постановка задачи. Исходные уравнения 19
1.2 Граничные и начальные условия 23
1.3 Аналитические примеры 27
1.3.1 Стационар (полностью развившееся течение) . 28
1.3.2 Разгон в случае На 1 29
1.3.3 Разгон в случае На -С 1 32
1.4 Численный метод 33
1.5 Результаты и их обсуждение 39
2 Устойчивость стационарного МГД течения в кольцевом канале: спектральный анализ 52
2.1 Постановка задачи. Исходные уравнения 52
2.2 Осесимметричные возмущения 57
2.3 Неосесимметричные возмущения, т ф О 59
2.4 Граничная устойчивость. Обсуждение 63
3 Формальная устойчивость МГД течений идеальной жидкости 72
3.1 Устойчивость: определения, иерархия, методы исследования 72
3.2 Линеаризованное уравнение движения в идеальной МГД. Энергетический принцип 79
3.3 Формальная устойчивость МГД течений 83
3.4 Аналитический пример. Обсуждение 88
Заключение 91
- Постановка задачи. Исходные уравнения
- Стационар (полностью развившееся течение)
- Осесимметричные возмущения
- Линеаризованное уравнение движения в идеальной МГД. Энергетический принцип
Введение к работе
Исследование магнитогидродинамических (МГД) течений - течений проводящих сред (в том числе различных жидкостей и плазмы) в присутствии магнитного поля - является важной составной частью магнитной гидродинамики. Начало подобных исследований связано с пионерскими работами Гартмана 1937 года [1,2], в которых теоретически и экспериментально была изучена структура ламинарного течения ртути в канале, помещенном в однородное магнитное поле. Дальнейшее развитие это направление получило в работах Альфвена, суммированных в монографиях [3,4]. В них, собственно, и были заложены основы магнитной гидродинамики (МГД) - новой научной дисциплины, объединяющей классическую гидродинамику и электромагнетизм. Принципы МГД и круг рассматриваемых ею задач достаточно полно отражены в многочисленных монографиях общего содержания, таких как [5-7].
МГД течения играют существенную роль в современных прикладных и фундаментальных исследованиях. В первую очередь это обусловлено тем, что МГД течения жидких металлов и плазмы лежат в основе различных промышленных технологий. Примерами здесь могут служить расходомеры электропроводящих жидкостей [8,9], электромагнитные насосы, активно применяемые в металлургии и системах охлаждения ядерных реакторов [10,11], МГД генераторы - установки по прямому преобразованию тепловой энергии в электричество [12,13].
Интерес к изучению МГД течений плазмы возрос после их обнаружения в экспериментальных установках по магнитному удержанию термоядерной плазмы - токамаках [14,15]. Течения плазмы в токамаках могут развиваться в результате несбалансированной инжекции нейтралов, осуществляемой в режимах с дополнительным нагревом, а также самосогласованной турбулентной динамики плазмы в этих установках. В настоящее время течения плазмы являются неотъемлемой частью экспериментов на всех крупных токамаках, считается также, что течения оказывают стабилизирующее влияние на термоядерную плазму, и являются причиной улучшенного режима удержания (так называемой, Н-моды) [16,17].
С МГД течениями связывают ряд явлений в гео- и астрофизике. В частности происхождение магнитных полей у планет, звезд и даже галактик можно объяснить эффектом магнитного динамо, который состоит в преобразовании механической энергии движения проводящей среды в энергию электромагнитного поля [18-20]. Несмотря на продвижения, в теории магнитного динамо остается масса нерешенных вопросов, касающихся природы "затравочного" магнитного поля и исходного течения, механизмов, регулирующих амплитуду установившегося поля, и так далее (см., например, обзор [21]).
К числу астрофизических объектов, природа которых считается связанной с МГД течениями, относится аккреционный диск - дифференциально вращающийся газопылевой объект, формирующийся вокруг притягивающего центра в результате постепенного падения (аккреции) вещества на этот центр. Аккреционные диски - довольно распространенное явление во вселенной, проявляющееся в разных масштабах; они могут формироваться вокруг зарождающихся звезд (протозвездные диски), в системах двойных звезд, одна из которых обычно - массивная черная дыра, а также в активных галактических ядрах [22].
Механизм аккреции дисков остается одним из самых интригующих вопросов в астрофизике. Дело в том, что одновременно с падением вещества на центральное тело должен осуществляться перенос орбитального углового момента на периферию диска так, чтобы суммарный момент сохранялся. Учет только классической (столкновительной) вязкости не может обеспечить наблюдаемых темпов аккреции, поэтому для объяснения этого эффекта необходимо принимать во внимание турбулентную вязкость. Наиболее популярной в настоящее время является так называемая а-модель аккреционного диска, разработанная Шакурой и Сюняе-вым в 1973 году [23]. В предположении сильной турбулентности тонкого диска они предложили следующую оценку для турбулентной вязкости: vt = acsH, где cs - скорость звука, Н - толщина диска, аа- безразмерный параметр порядка единицы.
Хотя а-модель и дает наблюдаемые скорости аккреции, сама возможность развития турбулентности в аккреционном диске до недавних пор казалась весьма спорной. Согласно гидродинамическому критерию Рэлея [24] вращение с радиальным профилем угловой скорости Q(R) линейно устойчиво, если
Это означает, что диск с кеплеровским профилем вращения, Q(R) ос І/і?3/2, линейно устойчив по отношению к чисто гидродинамическим возмущениям, а развитие необходимой для а-модели турбулентности может быть обусловлено либо нелинейными гидродинамическими процессами, либо механизмом негидродинамической природы.
Эффективный механизм, ведущий к развитию турбулентности в аккреционном диске, был предложен только в 1991 году Балбусом и Хо-ули [25]. Они показали, что наличие магнитного поля способно привести к быстрой линейной МГД неустойчивости аккреционного диска, которая, в свою очередь, возбуждает и поддерживает турбулентность. Интересно отметить, что эта неустойчивость, известная как магниторотационная неустойчивость (МРН)1, была впервые теоретически предсказана Велиховым в 1959 году [26], рассмотревшим вращение проводящей жидко- 1 Иногда употребляют название магнитовращателъная неустойчивость (МВН) сти между коаксиальными цилиндрами в магнитном поле, а затем подтверждена Чандрасекаром [27]. МРН возникает в системах с магнитным полем, в которых угловая скорость вращения убывает с увеличением радиуса, что выполняется для кеплеровского течения в диске. Условие возбуждения МРН (2) не зависит явно от величины магнитного поля, хотя сам механизм неустойчивости требует его присутствия.
Благодаря важности МРН в объяснении природы аккреционных дисков эта неустойчивость привлекает все большее внимание физиков. Несмотря на значительную активность в теоретическом исследовании проблемы МРН (см., например, обзоры [28,29] и ссылки в них), до последнего времени не было прямых наблюдений этой неустойчивости в лабораторных экспериментах. Первый эксперимент по наблюдению МРН был осуществлен в 2004 году в университете Мэриленда [30]. В нем использовалось вращение жидкого натрия в системе вложенных сфер, помещенных в аксиальное магнитное поле. Однако сферическая геометрия данного эксперимента не соответствует форме аккреционного диска, а моделирует скорее условия звездного магнитного динамо.
Более адекватной моделью аккреционного диска в эксперименте является неоднородное вращение хорошо проводящей жидкости (жидкого металла) между двумя коаксиальными цилиндрами, помещенными в вертикальное магнитное поле. Наиболее просто подобное течение вязкой жидкости можно обеспечить за счет вращения самих цилиндров с разными угловыми скоростями - это так называемое течение Куэтта2 [31], которое в идеале (при бесконечной высоте цилиндров) имеет следующий радиальный профиль угловой скорости
ОД = а + ~ (3) 2 В некоторых работах - течение Тэйлора-Куэтта. где константы а и Ъ выражаются через угловые скорости вращения цилиндров и их радиусы. Детальный анализ устойчивости профиля (3) осуществлен в работах [32-34], на основе полученных в них данных предложены параметры для экспериментов.
Подготовка таких экспериментов, которые бы явно продемонстрировали возникновение МРН в цилиндрической геометрии, ведется в настоящее время в нескольких научных центрах. Наиболее известные из них - это эксперименты с течением Куэтта жидких металлов в Прин-стонской лаборатории физики плазмы [35] и национальной лаборатории Лос-Аламоса [36]. Несмотря на техническую простоту, реализовать эти проекты до конца не удается. Отчасти это связано с трудностями работы с жидкими металлами (натрием или галлием), а отчасти с тем, что граничные вязкостные слои [слои Экмана), возникающие из-за наличия неподвижных верхней и нижней крышек в канале, контролируют течение во всем объеме жидкости; это приводит к профилю вращения существенно отличному от (3) и делает невозможным генерацию МРН [37].
Еще один тип эксперимента был предложен в Лос-Аламосе; в нем предполагается использовать вращение низкотемпературной плазмы в скрещенных электрическом и магнитном полях [38]. Подобная идея, однако применительно к жидким металлам, была высказана в Курчатовском институте [39], там же ведется подготовка соответствующего эксперимента [40-43]. В этом эксперименте радиальный электрический ток, протекающий через жидкость в кольцевом канале, в присутствии аксиального магнитного поля приводит к возникновению силы Ампера и, как следствие, вращению жидкости. В качестве рабочей жидкости в эксперименте будет использоваться жидкий натрий, так как он обладает более высокой проводимостью по сравнению с другими доступными жидкостями. Стоит отметить, что при таком способе вращения толщина граничных слоев вблизи крышек обратно пропорциональна величине приложенного магнитного поля (точнее безразмерного числа Гартпмана, На), поэтому при достаточно сильном поле (когда На^> 1) эти слои не оказывают влияния на основное течение в центральной области. Как показано в [41], невозмущенный (стационарный) профиль угловой скорости в этом случае практически во всем сечении канала имеет вид
ВД = |й (4) где константа С определяется пропускаемым током и свойствами рабочей жидкости. Невозможность использования профиля вращения, отличающегося от (4), следует отнести к недостаткам данного эксперимента. Это делает необходимым детальное теоретическое исследование структуры течения в кольцевом канале под действием электрического тока и анализ его устойчивости, в частности, по отношению к МРН. Материал данной диссертации в значительной степени служит физическим обоснованием указанного эксперимента.
Теоретическому анализу структуры МГД течений в каналах посвящен целый ряд работ (например, обзоры [7,44,45]). Самым изученным на данный момент является случай прямого канала прямоугольного сечения, как наиболее важный с точки зрения практического применения. Тем не менее, методы, разработанные для расчета течений в прямых каналах, могут применяться и для кольцевых каналов. Так, Брагинский [46] предложил для описания течений гальваническое приближение, которое справедливо при малых магнитных числах Рейнольдса (Rem -С 1). Хант и Стюартсон [47] разработали асимптотический метод для анализа течений в прямых каналах при больших числах Гартмана (Не$> 1), который впоследствии был уточнен [48] и обобщен на случай кольцевых каналов [49]. Несмотря на эти исследования/в настоящее время не найдено удовлетворительного аналитического приближения, описывающего течения при любых числах Гартмана в кольцевых каналах прямоугольного сечения со стенками произвольной проводимости. Поэтому главную роль здесь играют численные методы.
Для расчета структуры МГД течений в каналах были разработаны многочисленные коды, основу которых составляют прямые спектральные методы, заключающиеся в разложении неизвестных величин по некоторому базису и вычислении коэффициентов разложения. К таковым можно отнести метод конечных элементов (например, статья [50] и ссылки в ней), метод конечных объемов [51,52], метод дифференциальных квадратур [53]. Эти методы в принципе не накладывают ограничений на значения чисел Гартмана и допускают обобщение на нестационарный случай. Однако у подобных методов есть общий недостаток, связанный с. необходимостью решения больших систем линейных алгебраических уравнений, что всегда сопряжено с определенными трудностями.
Альтернативой данным методам могут служить итерационные методы расчета МГД течений в каналах [41], в которых первоначально заданное решение уточняется в последующих итерациях. Итерационные методы имеют массу преимуществ по сравнению со спектральными, такие как относительная простота схемы, гладкость получаемого решения, необходимость хранения в памяти на каждом шаге только O(N) чисел, где N - число узлов сетки. В то же время быстродействие данных методов в оптимальном случае составляет 0(N3/2), что сравнимо с самыми быстрыми прямыми спектральными методами, для которых быстродействие определяется как O(NlnN). Особо следует подчеркнуть простоту учета граничных условий в итерационных методах, где значения сеточной функции в граничных точках определяются на каждой итерации значениями этой функции в соседних внутренних точках. Как показано в [42], граничные условия, связанные с проводимостью стенок, могут существенно повлиять на структуру МГД течения в кольцевом канале. Помимо этого, итерационные методы легко обобщаются на случай нестационарных (развивающихся) течений, если рассматривать каждую итерацию как решение в соответствующий момент времени.
Изучение устойчивости дифференциального вращения проводящей жидкости в магнитном поле является в настоящее время задачей, весьма далекой от завершения. Большое количество работ в этой области возникло после переоткрытия МРН в астрофизическом контексте (см., например, [21,25,32,43,54-63]). Основное внимание в них уделялось анализу устойчивости вращений, имеющих профиль угловой скорости либо Q,(R) ос Rq (где q = —3/2 соответствует кеплеровскому вращению), либо Q(R) = а + b/R2 (течение Куэтта, используемое в экспериментах по МРН).
Среди работ, посвященных МРН, выделим [25-27], в которых МРН была предсказана как сильная локальная осесимметричная (соответствующая мода имеет азимутальное волновое число тп = 0) неустойчивость. Рассмотрение неосесимметричных мод (тп ф 0) в локальном приближении [54-57] показывает, что эти моды становятся устойчивыми с увеличением тп. Важность анализа глобальных мод и граничных условий в задаче МРН впервые отмечена в работах [58-60], там же приведены расчеты мод, отвечающих свободным граничным условиям. Большая работа по исследованию устойчивости глобальных мод в рамках неидеальной МГД была осуществлена Рюдигером и соавторами [21,32,61-63]. Они рассчитали границы устойчивости основных мод для различных параметров течения, но при этом не затронули вопрос о величинах инкремента неустойчивости и его зависимости от волновых чисел. Детальный анализ спектральной устойчивости вращения с профилем (4) представлен в [43].
В целом проблема исследования устойчивости стационарных МГД течений представляет общефизический интерес в связи с отсутствием универсальных подходов к решению подобных задач. Подавляющее число работ в этой области оперирует понятием спектральной устойчивости линеаризованной системы, гарантирующей отсутствие экспоненциально нарастающих со временем возмущений (см. монографии [64]- [67]; подробный обзор основных подходов к описанию МГД неустойчивостей приведен в [68]). Методическая трудность исследования спектральной устойчивости состоит в том, что оператор, задающий динамику линеа- ризованной системы, не является эрмитовым, поэтому его собственные значения в общем случае комплексны. Кроме того, наряду с собственными значениями в континуальных средах необходимо отыскание также и собственных векторов, которые должны удовлетворять определенным граничным условиям.
Вместе с тем для суждения об устойчивости исследуемого состояния равновесия знания реальной динамики системы не требуется; ответ зачастую можно получить при помощи вариационных методов, в частности, теории Ляпунова [69]. Суть теории заключается в теореме Ляпунова: состояние равновесия объявляется устойчивым, если существует инвариант динамики системы U - функционал Ляпунова, первая вариация которого равна нулю в точке равновесия, а вторая знакоопределена в окрестности этой точки3.
Вариационный подход для исследования устойчивости статического (не обладающего стационарным течением) равновесия консервативной МГД системы - так называемый энергетический принцип - был впервые реализован в работе Бернштейна, Фримана, Крускала и Калсруда (БФКК) [70], где было показано, что положительная определенность потенциальной энергии вблизи положения равновесия, гарантирует спектральную устойчивость, W>0. (5)
Это условие вытекает из теоремы Ляпунова, если в качестве функционала Ляпунова выбрать полную энергию системы (гамильтониан) и произвести минимизацию по импульсам. Благодаря своей физической наглядности энергетический принцип получил весьма широкое распространение в анализе устойчивости простых МГД систем (см., например, [71]). Для практических целей крайне важно, что он позволяет получить необходимый и достаточный критерий спектральной устойчивости статических МГД равновесий [72], другими словами, если существует возмуще- 3Математически более строгая формулировка теоремы Ляпунова приведена в главе 3. ниє для которого W < 0, то исходное равновесие спектрально неустойчиво.
Попытка применить этот подход для исследования устойчивости систем со стационарными МГД течениями была предпринята Фриманом и Ротенбергом [73]. Полученное ими условие устойчивости, формально совпадающее с энергетическим принципом (5), оказывается всего лишь достаточным, то есть, если оно не выполняется для какого-либо возмущения, то судить об устойчивости равновесия нельзя. Нетрудно показать, что это условие заведомо не выполняется, за исключением равновесий сравнительно узкого класса. Подобная "жесткость" вариационного условия связана с допущением в вариационной процедуре излишней свободы в варьируемых функциях, нежели это предопределено динамикой системы.
Улучшенное условие устойчивости можно получить, если учесть, что импульсы и координаты в гамильтониане не являются полностью независимыми. К примеру, если динамика системы демонстрирует и другие инварианты движения, не сводящиеся к энергии, знакоопределенность гамильтониана надо рассматривать лишь на классе возмущений, не меняющих значения этих инвариантов. Идеи такого рода высказывались еще Ляпуновым; применительно к гидродинамике они были формализованы Арнольдом [74-76], показавшим, в частности, что учет сохранения интеграла завихренности при двумерном движении идеальной несжимаемой жидкости позволяет получить довольно общее условие устойчивости.
Работы Арнольда положили начало целому направлению, именуемому в англоязычной литературе Energy-Casimir (ЕС) stability method (см., например, [77-80]), суть которого заключается в построении функционала Ляпунова по схеме и = н+52с{, (б) где Н - гамильтониан системы, а Сі - известный набор казимиров - кинематических инвариантов, обладающих определенными свойствами; далее исследуется поведение U вблизи положения равновесия. Однако следует отметить, что в весьма обширной литературе, посвященной использованию ЕС-метода, предложенный Арнольдом подход реализован лишь отчасти. А именно, при рассмотрении второй вариации функционала (6) вблизи состояния равновесия не учитываются связи, накладываемые сохранением казимиров. Без этого ЕС-метод сводится просто к варьированию смещенного гамильтониана (6), что по прежнему дает слишком жесткое условие устойчивости Фримана-Ротенберга.
Вместе с тем, как показано в [81], переход к лагранжевому представлению позволяет автоматически учесть в вариационной процедуре весь набор казимиров, присущих системе. Поэтому тяжесть проблемы в этом представлении переносится на отыскание других, некинематических законов сохранения, которые также следует учитывать для получения адекватного критерия устойчивости. Среди других возможных инвариантов гидродинамических уравнений наиболее естественно рассмотреть, прежде всего, сохранение импульса/момента импульса или их компонент, имеющее место при определенной симметрии системы, геометрической или топологической. Именно благодаря такой симметрии и становится возможным существование стационарных течений.
Корректный учет указанных законов сохранения действительно позволяет улучшить условие Фримана-Ротенберга - соответствующее достаточное условие устойчивости для системы вложенных магнитных поверхностей было получено Ильгисонисом и Пастуховым [82] и Хамеири [83]. Однако и это (улучшенное) условие устойчивости оказывается далеким от необходимого, что предопределяет необходимость привлечения в анализ дополнительных инвариантов.
Недавно было предложено использовать при анализе устойчивости МГД течений новый набор нетривиальных интегралов движения, присущих линеаризованной системе [84-87]. Учет сохранения одного или нескольких таких интегралов при варьировании гамильтониана позволяет получить достаточное условие устойчивости, которое ближе к необходимому по сравнению с ранее известными. В данной диссертации представлена схема получения указанных инвариантов и разработан метод их учета при анализе спектральной устойчивости МГД течений.
Перейдем теперь к более подробному изложению структуры и содержания диссертации. Материал диссертации разбит на 3 главы, 13 параграфов. Первая глава диссертации включает теоретическое изучение и результаты численных расчетов осесимметричного МГД-течения жидкого металла в кольцевом канале в стационарном случае и на стадии разгона. Рассмотрение ведется в рамках диссипативной несжимаемой МГД. В первом параграфе сформулирована задача об изучении МГД течения в кольцевом канале. Течение обусловлено силой Ампера J х В, которая возникает при пропускании электрического тока через жидкий металл, находящийся в вертикальном магнитном поле. Приведены уравнения диссипативной МГД модели, осуществлено их обезразмеривание. В предположении осевой симметрии получены уравнения динамики компонент скорости и магнитного поля.
Во втором параграфе первой главы обсуждаются граничные и начальные условия, необходимые для однозначного определения скорости и магнитного поля. Детальный вывод граничных условий на магнитное поле в предположении тонких стенок канала приведен в Приложении А.
В третьем параграфе получены приближенные аналитические решения, описывающие характер течения вдали от боковых стенок канала. Рассмотрены три случая: стационарное (полностью развившееся) течение и установление течения (разгон) при больших и малых числах Гарт-мана (На > 1 и На С 1, соответственно); найдено характерное время установления течения.
В четвертом параграфе описан численный метод, разработанный автором для расчета структуры МГД течения в кольцевом канале. В основе метода лежит итерационный алгоритм Гаусса-Зейделя для решения уравнений эллиптического типа, обобщенный на случай систем нелинейных уравнений. Устойчивость используемой численной схемы исследована в Приложении В.
Результаты численных расчетов МГД течения для параметров проектируемой установки приведены в пятом параграфе первой главы. Там же приведено сравнение полученных результатов с приближенным аналитическим описанием. Показано, что проводимость стенок канала играет важную роль в структуре изучаемого течения. Также отмечено, что течение практически во всем объеме канала имеет профиль угловой скорости (4).
Вторая глава диссертации содержит детальный анализ спектральной устойчивости стационарного МГД течения, найденного в первой главе. Анализ основан на численном решении задачи на собственные значения и включает определение спектра собственных частот наряду с собственными возмущениями. В первом параграфе в рамках линеаризованной идеальной несжимаемой МГД модели получено уравнение на собственные значения для радиальной компоненты вектора смещения, сформулированы граничные условия. Данное уравнение было решено с использованием стандартного метода стрельбы для различных волновых чисел.
Во втором параграфе второй главы приведены результаты расчетов осесимметричных возмущений (моды с т = 0). Демонстрируется спектр собственных частот и примеры собственных функций, показано наличие МРН в системе. Там же вводится определение радиального волнового числа.
В третьем параграфе рассмотрены неосесимметричные возмущения, приведен спектр собственных частот для мод с т = 1. Отмечены характерные особенности спектра, возникающие как результат альфвеновских резонансов. Прослежена зависимость инкремента МРН от волновых чисел.
В четвертом параграфе исследована граничная устойчивость рассмат- риваемого течения. На основании численных расчетов получена простая аналитическая оценка для гранично-устойчивых значений волновых чисел. Там же обсуждаются результаты проведенного анализа устойчивости. Обоснована возможность наблюдения МРН в эксперименте с жидким натрием, приводимом во вращение электрическим током.
Третья глава посвящена проблеме построения общего вариационного метода исследования формальной устойчивости идеальных МГД течений и получения достаточного условия устойчивости, близкого или совпадающего с необходимым. Метод основан на учете дополнительных законов сохранения, присущих линейной динамике рассматриваемой среды. В первом параграфе третьей главы даются определения основных типов устойчивости, используемых в литературе, приводится их иерархия. Сформулирована теорема Ляпунова [69], гарантирующая достаточное условие устойчивости; рассмотрен вариационный подход Арнольда [74-76].
Во втором параграфе представлен вывод уравнения линеаризованной динамики идеальной МГД системы.. Продемонстрировано использование теоремы Ляпунова для получения энергетического принципа.
В третьем параграфе приводится схема получения новых нетривиальных интегралов движения для линеаризованной МГД системы. Разработана вариационная процедура минимизации функционала Ляпунова с учетом сохранения указанных интегралов.
В четвертом параграфе третьей главы применение разработанного метода иллюстрируется на простом аналитическом примере. Показано, что учет даже одного нового интеграла в вариационной процедуре позволяет получить условие устойчивости, совпадающее с необходимым.
В Заключении кратко суммируются основные результаты диссертации, обсуждается вопрос о возможности их практического применения.
Следующие положения автор выносит на защиту.
Результаты численных расчетов динамики двумерного диссипатив-ного МГД течения в кольцевом канале прямоугольного сечения с учетом конечной проводимости стенок канала.
Приближенные аналитические выражения, описывающие динамику и стационарную структуру осесимметричного МГД течения в кольцевом канале при различных значениях числа Гартмана.
Детальный численный анализ спектральной устойчивости глобальных мод (в том числе с ненулевым азимутальным волновым числом, га ф 0) жидкости, вращающейся с угловой частотой Q(R) ос 1/R2 в кольцевом канале.
Вариационный метод исследования формальной устойчивости стационарных МГД течений, основанный на учете новых интегралов движения, присущих линеаризованной динамике.
По теме диссертации опубликовано 7 научных работ [40-43,85-87], в том числе 3 статьи в реферируемых журналах [41,42,87].
Постановка задачи. Исходные уравнения
Перейдем теперь к более подробному изложению структуры и содержания диссертации. Материал диссертации разбит на 3 главы, 13 параграфов. Первая глава диссертации включает теоретическое изучение и результаты численных расчетов осесимметричного МГД-течения жидкого металла в кольцевом канале в стационарном случае и на стадии разгона. Рассмотрение ведется в рамках диссипативной несжимаемой МГД. В первом параграфе сформулирована задача об изучении МГД течения в кольцевом канале. Течение обусловлено силой Ампера J х В, которая возникает при пропускании электрического тока через жидкий металл, находящийся в вертикальном магнитном поле. Приведены уравнения диссипативной МГД модели, осуществлено их обезразмеривание. В предположении осевой симметрии получены уравнения динамики компонент скорости и магнитного поля.
Во втором параграфе первой главы обсуждаются граничные и начальные условия, необходимые для однозначного определения скорости и магнитного поля. Детальный вывод граничных условий на магнитное поле в предположении тонких стенок канала приведен в Приложении А.
В третьем параграфе получены приближенные аналитические решения, описывающие характер течения вдали от боковых стенок канала. Рассмотрены три случая: стационарное (полностью развившееся) течение и установление течения (разгон) при больших и малых числах Гарт-мана (На 1 и На С 1, соответственно); найдено характерное время установления течения.
В четвертом параграфе описан численный метод, разработанный автором для расчета структуры МГД течения в кольцевом канале. В основе метода лежит итерационный алгоритм Гаусса-Зейделя для решения уравнений эллиптического типа, обобщенный на случай систем нелинейных уравнений. Устойчивость используемой численной схемы исследована в Приложении В.
Результаты численных расчетов МГД течения для параметров проектируемой установки приведены в пятом параграфе первой главы. Там же приведено сравнение полученных результатов с приближенным аналитическим описанием. Показано, что проводимость стенок канала играет важную роль в структуре изучаемого течения. Также отмечено, что течение практически во всем объеме канала имеет профиль угловой скорости (4).
Вторая глава диссертации содержит детальный анализ спектральной устойчивости стационарного МГД течения, найденного в первой главе. Анализ основан на численном решении задачи на собственные значения и включает определение спектра собственных частот наряду с собственными возмущениями. В первом параграфе в рамках линеаризованной идеальной несжимаемой МГД модели получено уравнение на собственные значения для радиальной компоненты вектора смещения, сформулированы граничные условия. Данное уравнение было решено с использованием стандартного метода стрельбы для различных волновых чисел.
Во втором параграфе второй главы приведены результаты расчетов осесимметричных возмущений (моды с т = 0). Демонстрируется спектр собственных частот и примеры собственных функций, показано наличие МРН в системе. Там же вводится определение радиального волнового числа. В третьем параграфе рассмотрены неосесимметричные возмущения, приведен спектр собственных частот для мод с т = 1. Отмечены характерные особенности спектра, возникающие как результат альфвеновских резонансов. Прослежена зависимость инкремента МРН от волновых чисел. В четвертом параграфе исследована граничная устойчивость рассмат риваемого течения. На основании численных расчетов получена простая аналитическая оценка для гранично-устойчивых значений волновых чисел. Там же обсуждаются результаты проведенного анализа устойчивости. Обоснована возможность наблюдения МРН в эксперименте с жидким натрием, приводимом во вращение электрическим током. Третья глава посвящена проблеме построения общего вариационного метода исследования формальной устойчивости идеальных МГД течений и получения достаточного условия устойчивости, близкого или совпадающего с необходимым. Метод основан на учете дополнительных законов сохранения, присущих линейной динамике рассматриваемой среды. В первом параграфе третьей главы даются определения основных типов устойчивости, используемых в литературе, приводится их иерархия. Сформулирована теорема Ляпунова [69], гарантирующая достаточное условие устойчивости; рассмотрен вариационный подход Арнольда [74-76]. Во втором параграфе представлен вывод уравнения линеаризованной динамики идеальной МГД системы.. Продемонстрировано использование теоремы Ляпунова для получения энергетического принципа. В третьем параграфе приводится схема получения новых нетривиальных интегралов движения для линеаризованной МГД системы. Разработана вариационная процедура минимизации функционала Ляпунова с учетом сохранения указанных интегралов. В четвертом параграфе третьей главы применение разработанного метода иллюстрируется на простом аналитическом примере. Показано, что учет даже одного нового интеграла в вариационной процедуре позволяет получить условие устойчивости, совпадающее с необходимым. В Заключении кратко суммируются основные результаты диссертации, обсуждается вопрос о возможности их практического применения. Следующие положения автор выносит на защиту. 1. Результаты численных расчетов динамики двумерного диссипатив-ного МГД течения в кольцевом канале прямоугольного сечения с учетом конечной проводимости стенок канала. 2. Приближенные аналитические выражения, описывающие динамику и стационарную структуру осесимметричного МГД течения в кольцевом канале при различных значениях числа Гартмана. 3. Детальный численный анализ спектральной устойчивости глобальных мод (в том числе с ненулевым азимутальным волновым числом, га ф 0) жидкости, вращающейся с угловой частотой Q(R) ос 1/R2 в кольцевом канале. 4. Вариационный метод исследования формальной устойчивости стационарных МГД течений, основанный на учете новых интегралов движения, присущих линеаризованной динамике. По теме диссертации опубликовано 7 научных работ [40-43,85-87], в том числе 3 статьи в реферируемых журналах [41,42,87].
Стационар (полностью развившееся течение)
В данном параграфе описан численный метод, разработанный автором для решения систем нелинейных уравнений параболического типа, каковой является система (1.17)-(1.20). Данный метод обобщает известный итерационный алгоритм Гаусса-Зейделя, предназначенный для решения эллиптических уравнений, и содержит все его характерные особенности. Проиллюстрируем их на простом примере - решении уравнения Пуассона (более подробное изложение смотрите, например, в [89]).
Уравнение Пуассона для двумерной функции ф(х, у) записывается как где f(x,y) - известная функция. Будем решать это уравнение в квадратной области, считая, что на искомую функцию ф заданы граничные условия, определяющие ее однозначным образом (здесь мы не конкретизируем выбор граничных условий). Для этого введем квадратную сетку с равным шагом по х и по у: 5х = 5у = s. Точки этой сетки можно пронумеровать парой индексов (г, j), где і и j пробегают значения от О до N. Если (хо, у о) - координаты левого нижнего угла квадрата, то координатами точки (г, j) будут
Для введенной таким образом сетки дискретизация уравнения (1.64) имеет вид: где фі,і = ф(хі,уз), fij = f(xi,yj). Данное уравнение можно представить в матричном виде и свести задачу к стандартной проблеме линейной алгебры - решению системы линейных алгебраических уравнений. Однако на практике часто приходиться сталкиваться с уравнениями, нелинейными по искомой функции (например, правая часть уравнения Пуассона (1.64) может иметь нелинейную зависимость от ф: /(х, у) = Р(ф(х,у),х,у)). В этом случае применение методов линейной алгебры ограничено, что обуславливает удобство использования итерационных алгоритмов. Точное решение сеточной задачи (1.65) удовлетворяет уравнению:
Это уравнение нельзя решить явно для фиксированных г и j, так как оно включает пять неизвестных. Однако, если известно некоторое начальное приближение сеточной функции (flj, то уравнение (1.66) можно использовать для улучшения этого приближения. Это приводит к итерационному алгоритму Якоби: где п обозначает номер итерации. Заметим, что, если функция / в уравнении (1.64) зависит от ф, то значения fij в узлах сетки должны вычисляться на каждом шаге. Алгоритм (1.67) устойчив и сходится: число итераций, необходимых для уменьшения ошибки в решении в 10Р раз составляет pN2/2, где N - число точек сетки в каждом направлении. Так как на каждой итерации происходит обновление N2 точек, то время счета такого алгоритма составляет 0(N4), что довольно медленно при больших N.
Данную итерационную процедуру можно ускорить почти в два раза, используя алгоритм Гаусса-Зейделя: Здесь предполагается, что значения сеточной функции в узлах обновляются с ростом г и j, поэтому для расчета новой ф используются уже обновленные фі-lj и фі -Ь
Чтобы избежать пространственную несимметрию, возникающую в простом алгоритме Гаусса-Зейделя (1.68), в численном счете используется метод Гаусса-Зейделя с "шахматным" обновлением сеточной функции. Формально такой метод соответствует алгоритму Якоби (1.67) с двумя проходами, причем в первом проходе обновляются значения только в тех узлах, для которых і + j четно ("черные" узлы), а во втором - для которых і + j нечетно ("белые" узлы). Как нетрудно заметить, в этом случае в обновлении каждого "черного" узла участвуют только четыре соседних "белых" узла, которые были найдены в предыдущей итерации, и наоборот.
Для ускорения сходимости перечисленных выше итерационных алгоритмов используется так называемая последовательная сверхрелаксация (в англоязычной литературе - Succesive Overrelaxation). Она заключается в том, что новое значение сеточной функции в узле (г, j) определяется линейной комбинацией старого и улучшенного значений функции в данном узле: где \i - параметр сверхрелаксации. Относительно этого параметра можно показать следующее [89]: 1. Итерации сходятся, если 0 ц 2. 2. При 1 fi 2 итерации сходятся быстрее, чем при (j, = 1 в прямых методах Якоби и Гаусса-Зейделя. 3. Существует оптимальное значение , для которого сходимость наиболее быстрая; например, для квадратной сетки в 2-D 4. Если fi = Hopt, время сходимости итерационного алгоритма состав ляет 0{NZ). Следует отметить, что формулы (1.67)-(1.69) дают значения сеточной функции только во внутренних узлах сетки, то есть при 1 i,j N — 1. Значения сеточной функции в граничных узлах на каждой итерации определяются из граничных условий.
Осесимметричные возмущения
Сравнение результата расчета динамики углового момента импульса u(r,z,r) и соответствующего аналитического решения для случая На 1 (1.55) представлено на рис. 1.7. Отметим, что расхождение в динамике связано лишь с тем, что в аналитическом решении мы положили Рг = 0. Это подтверждают дополнительные расчеты, проведенные для гартмановского течения (прямого канала): при Рг = 0 они полностью совпадают со штриховой линией (аналитическим решением), а при Рг ф 0 - со сплошной линией (расчетом для кольцевого канала).
Угловой момент импульса и (г, z) и функция полоидального тока h(r, z) в полностью развившемся режиме показаны на рис. 1.8 и 1.9, соответственно. Более детальные графики на рис. 1.10 и 1.11 дают представление о поведении этих функций в гартмановском слое около
Одной из важнейших характеристик для магниторотационной неустойчивости является радиальная зависимость скорости вращения. Как видно из рис. 1.8, практически во всем сечении канала угловой момент импульса u(r, z) является константой, причем величину этой константы довольно точно можно определить из аналитического приближения (1.45):
Следовательно радиальная зависимость угловой скорости имеет в этом случае вид (в размерных величинах):
Отличие от такого профиля наблюдается в очень узких гартмановских слоях и слоях у боковых стенок (рис. 1.12).
Существенная особенность течения в кольцевом канале состоит в том, что течение всегда обладает поперечными (полоидальными) компонентами скорости и индуцированного магнитного поля. На рис. 1.13 и 1.14 приведены установившиеся структуры нормированных полоидальных потоков скорости w(r, z) и магнитного поля p(r, z). Интересно отметить, что полоидальная скорость образует две вихревые структуры вблизи внутренней стенки канала, причем в нижней половине канала вращение натрия в вихре происходит по часовой стрелке, а в верхней против.
Конечная проводимость стенок канала оказывает существенное влияние на стационарное распределение тока в канале и скорости натрия. Как показано в приложении А, значение функции h(r, z) дает долю полного радиального тока, протекающего через сечение r=const между уровнями z и —z. Из рис. 1.11 видно, что при г = 3 и z = 1 получается h « 0.1, то есть по натрию в центральной области канала протекает всего 10% от полного тока, а остальная часть течет по стенке. Этот факт объясняется соотношением (1.47), согласно которому доля тока, текущего по натрию,
На Именно этот ток идет на поддержание течения натрия, поэтому значение углового момента в центральной части канала также составляет « 10% от максимального, определяемого выражением (1.9). Для сравнения на рис. 1.15 и 1.16 показаны функции u(r, z) и h(r,z) в идеальном случае, когда толщина стенок канала пренебрежимо мала, S — 0. Таким образом, конечная проводимость верхней и нижней стенок приводит к значительному снижению тока, текущего по натрию, и максимально достижимой скорости вращения (почти на порядок!). Для реализации условий эксперимента необходимо стремиться уменьшить проводимость этих стенок, сделав их в идеале изолирующими. Дополнительные расчеты показывают, что в граничном условии для функции h (1.32) при z = ±1 поправка первого порядка по 5 очень существенна, т. к. именно она определяет долю тока, текущего по стенкам канала. В остальных граничных условиях этими поправками можно пренебречь, что значительно упрощает задачу и сокращает расчетное время.
Линеаризованное уравнение движения в идеальной МГД. Энергетический принцип
Для неустойчивой неосесимметричной моды определение ее радиального волнового числа пг не вполне очевидно, так как отвечающая ей собственная функция всегда комплексна. Предлагается следующая процедура: меняя т непрерывно от его исходного значения до т = 0, находим соответствующую осесимметричную моду с известным радиальным волновым числом пг; это пг и берется в качестве радиального волнового числа рассматриваемой неосесимметричной моды. Хотя такое определение математически корректно и однозначно, иногда оно приводит к парадоксально выглядящим результатам. Например, сравнивая рисунки 2.4Ь и 2.4с, можно увидеть, что и действительная, и мнимая части собственной функции с nr = 2 имеют меньшее число нулей, чем соответствующие части собственной функции с nr = 1.
Основные результаты наших расчетов связаны с изучением инкремента МРН у = 1тш как функции волновых чисел т, к, пг. Рис. 2.5 демонстрирует рассчитанную зависимость у от азимутального волнового числа т для собственных мод с различными радиальными волновыми числами пг (т используется здесь как непрерывный параметр). Видно, что. начиная с nr = 1, рассматриваемая система имеет порог неустойчивости по т. Это пороговое значение т = та- больше для ббльших пг. Если m ma-, собственные моды с соответствующим радиальным волновым числом всегда неустойчивы, однако инкремент неустойчивости уменьшается с ростом т. Этот факт противоречит локальному приближению, в котором неустойчивые моды становятся устойчивыми при увеличении т (см., например, [55]). Также следует подчеркнуть, что максимально возможное значение инкремента уменьшается с ростом радиального волнового числа пг. В этом смысле наиболее неустойчивой является мода с наименьшим радиальным числом, nr = 0.
На рис. 2.6 показана зависимость инкремента МРН у от азимутального, т, и аксиального, к, волновых чисел для мод с nr = 0. Как видно из рисунка, для каждого значения т существует пороговое значение аксиального волнового числа ксг(т), начиная с которого собственная мода с пг = 0 всегда устойчива. Это пороговое значение возрастает с ростом т и, как мы полагаем, приближается к асимптоте ка- ос т (исследование порога устойчивости приведено в параграфе 2.4).
Зависимости инкремента МРН от аксиального волнового числа к для некоторых значений т показаны более подробно на рис. 2.7. Фактически, на этом рисунке представлены сечения рис. 2.6 плоскостями т =const.
Так как минимальное аксиальное волновое число к определяется высотой канала (2.20), правильный выбор этого параметра важен при постановке эксперимента. Выбирая высоту такой, что минимальное к в системе больше, чем ка- для некоторого т, можно полностью подавить неустойчивости для мод с этим и более низкими т. В частности, возможна ситуация, когда есть неустойчивость для мод с т = 1 и выше, но отсутствует неустойчивость для осесимметричной моды с т = 0. Как было отмечено выше, если зоны алъфвеновских резонансов на комплексной ш-плоскости перекрываются, то все собственные частоты, соответствующие внутренним модам (модам, находящимся внутри резонансных зон), имеют ненулевые сопряженные мнимые части. Это утверждение было проверено путем расчетов для небольшого диапазона азимутальных волновых чисел т (от 0 до 3), однако автор полагает, что оно справедливо также и для больших значений т. По сути ограничения в значениях т связаны с компьютерной точностью: мнимые части собственных частот для мод с большим т настолько малы, что их нельзя разрешить численно.
Наличие положительных мнимых частей у собственных частот означает, что соответствующие им моды неустойчивы. Согласно нашей гипотезе, внутренние моды, независимо от их радиального волнового числа пг, становятся неустойчивыми, если границы зон (2.23) и (2.24) соприкасаются, то есть Это означает, что все внутренние моды с аксиальными волновыми числами к, имеющими значение меньшее, чем критическое ка-, являются неустойчивыми. В действительности мода может стать неустойчивой и для большего значения к, настоящая граница устойчивости зависит от радиального волнового числа nr. На рис. 2.8 приведены границы устойчивости на плоскости т — к, вычисленные для мод с пг = 0 и пг — 1. Для сравнения показана критическая линия (т), определяемая выражением (2.25). Довольно очевидно, что критическая линия является асимптотой для обеих границ устойчивости в пределе т - со. Кроме того, критическая линия практически совпадает с границей устойчивости для мод с большим радиальным волновым числом пТ 1.
Подчеркнем, что при рассматриваемых параметрах система обладает единственной неустойчивой осесимметричной модой с радиальным волновым числом пг = 0; именно она имеет наибольший инкремент. Все осесимметричные моды с пг 1 являются устойчивыми независимо от значения к. Из рис. 2.8 и выражения (2.25) также следует, что в данной системе всегда есть неустойчивые неосесимметричные моды, но их инкременты незначительны.
Таким образом, профиль угловой скорости, устанавливающийся в эксперименте с вращением жидкого натрия электрическим током, всегда неустойчив по отношению к магниторотационной неустойчивости. Наибольшим инкрементом обладает осесимметричная мода с nr = 0, именно ее развитие и следует ожидать в эксперименте.
