Содержание к диссертации
Введение
1 Программа LCODE 16
1.1 Геометрия задачи и модель пучка 16
1.2 Гидродинамическая модель плазмы 18
1.3 Кинетическая модель плазмы 22
1.4 Тестирование программы 25
2 Потоки энергии в плазме 28
3 Длинные пучки 33
3.1 Неустойчивость длинных сгустков 33
3.2 Самоорганизация длинных сгустков 38
4 Последовательность коротких сгустков 42
4.1 Построение оптимальной послодовательности 42
4.2 Динамика драйвера 46
4.3 Динамика ускоряемого пучка 59
4.4 Об ионизационных потерях ускоряемого сгустка 64
4.5 Резюме 69
5 Нелинейный blowout-режим 71
5.1 Суб-режимы взаимодействия пучка и плазмы 71
5.2 Аналитика для сильного пучка 75
5.3 Геометрические параметры каверны 86
5.4 Энергетика сильно нелинейного режима 91
5.5 Структура поля в конце каверны 93
6 Модель бесконечно длинного пучка 100
6.1 Реакция плазмы на пучок в отсутствие внешнего магнитного поля 100
6.1.1 Исходные уравнения 102
6.1.2 Реакция плазмы на гауссовские пучки 105
6.1.3 Резюме 114
6.2 Ионные каналы в замагниченной плазме 115
6.2.1 Постановка задачи и основные уравнения 115
6.2.2 Плоские ионные каналы 118
6.2.3 Осесимметричпые ионные каналы 124
6.3 Плазменная компенсация эффектов встречи 130
6.3.1 Идея метода 130
6.3.2 Учет нелинейности отклика плазмы 132
6.3.3 Ограничения на параметры пучков 139
6.3.4 Область применимости плазменной компенсации . 144
7 Эффективный режим 147
7.1 Результаты моделирования 147
7.2 Возможность экспериментальной реализации 155
8 Заключение 159
- Гидродинамическая модель плазмы
- Самоорганизация длинных сгустков
- Об ионизационных потерях ускоряемого сгустка
- Геометрические параметры каверны
Введение к работе
Допустимые электрические поля в металлических ускоряющих структурах ограничены величиной порядка 100 МВ/м [1]. Дальнейшее повышение темпа набора энергии сталкивается с проблемой пробоя внутри ВЧ-структуры. В связи с приближением к пределу возможностей традиционных схем в последнее время растет интерес к коллективным методам ускорения, и, в частности, к плазменному кильватерному ускорению (см. оригинальные работы [2, 3] и обзоры [4-13]). Технологии, о которых пойдет речь в данной работе, способны обеспечить ускорение значительного числа заряженных частиц электрическим полем масштаба нескольких ГВ/м на протяжении многих метров и, таким образом, могут рассматриваться в качестве альтернативы традиционным ВЧ-системам в физике высоких энергий.
Электрическое поле, пригодное для ускорения заряженных частиц, возникает в плазме после прохождения драйвера -- заряженного релятивист- '.'.. ' ' ."-...- -.', '>-.'', ."'-' ,''.;, ' : "',;.; '.':';.''.;
Рис. 1: Схема кильватерного ускорения с электронными сгустками. Точками показаны электроны плазмы. ского сгустка или короткого лазерного импульса. Драйвер расталкивает электроны плазмы на своем пути (Рис. 1) и передает им некоторое количество своей энергии. Неподвижные ионы создают возвращающую силу, вследствие чего смещенные электроны начинают колебаться и возбуждается ленгмюровская волна большой амплитуды. Распределение электронной плотности позади релятивистского сгустка таково, что кроме продольного поля создается еще и фокусирующее электромагнитное поле, способное удерживать частицы в удобной для ускорения фазе волны. С точки зрения пучка кильватерная волна неподвижна, поэтому ультрарелятивистские частицы, помещенные позади драйвера, находятся все время в одной фазе волны и, следовательно, могут длительное время ускоряться.
В плазме плотности щ можно создать электрическое поле с амплитудой порядка
Е0 = =^, (1) где т — масса электрона, е — элементарный заряд (е > 0), с — скорость света и Up = yj^-кще2/т — плазменная частота. Например, плотности щ — 1015 см~3 соответствует поле щ и 3 ГВ/м. При этом кильватерные поля экранируются на поперечном размере масштаба плазменной длины волны Ар = 27гс/шр и электрическое поле на стенках камеры остается не выше, чем это нужно для генерации плазмы. Оценка (1) получается из уравнения Пуассона div Е = —47ге5п, если положить в нём возмущение электронной плотности 5п ~ щ и учесть, что фазовая скорость волны должна равняться скорости света (div Е ~ \E\ujp/c). В нелинейной плазменной волне поле может достигать и больших значений.
Кильватерное ускорение с лазерным драйвером реализуется при помощи компактных тераваттных лазеров, что обусловило стремительное развитие этой схемы ускорения [10-13] вслед за столь же стремительным развитием технологии получения сверхмощных лазерных импульсов [14]. Экспериментально уже продемонстрированы темп ускорения порядка 200 ГэВ/м и максимальная энергия ускоренных частиц до 200 МэВ [15], а также возможность генерации и ускорения плотного электронного сгустка (с зарядом порядка ианокулона) с малым энергетическим разбросом (< 10%) [16-18].
Эксперименты по кильватерному ускорению с электронными драйверами не столь многочисленны. Это объясняется относительной сложностью приготовления драйвера, поскольку для эффективного возбуждения волны электронный пучок должен, во-первых, иметь сравнимую с плазмой плотность и, во-вторых, быть достаточно коротким по сравнению с плазменной длиной волны.
В первых экспериментах по кильватерному ускорению были подробно измерены колебания электрического поля в линейной и слабо нелинейной ленгмюровской волне [19, 20], продемонстрирован эффект "плазменной линзы" [21], изучены фокусировка и ускорение короткой последовательности сгустков [22,23], а также исследовано взаимодействие с плазмой длинной последовательности электронных сгустков [24]. В последнее время опубликованы новые результаты экспериментов в Стенфор-де [25-32], в Аргоннской [33-35], Брукхевенской [36] и Лос-Аламосской [37] лабораториях, которые убедительно продемонстрировали правильность теоретических представлений о возбуждении пучком плазменной волны и о динамике пучка в этой волне.
Диссертационная работа целиком посвящена теоретическому исследованию кильватерного ускорения с раскачкой волны электронными сгустками.
Есть ряд физических проблем, которые необходимо решить для создания конкурентоспособного ускорителя на основе плазмы. Это, во-первых, проблема нахождения устойчивых долгоживущих конфигураций пучков. Она обусловлена наличием трех характерных временных масштабов в задаче
7 о динамике ультрарелятивистского пучка в плазме. Наименьший масштаб — это период плазменных колебаний 2^0^1. Далее по длительности следует характерное время поперечного движения частиц драйвера ту ~ VTb^p1' (2) где 7ь — релятивистский фактор драйвера. Формула (2) получается, если положить поперечную силу Fr, действующую на электронный пучок, равной еЕо и оценить время, за которое эта сила отклонит релятивистскую частицу на расстояние с/шр. Наибольший временной масштаб соответствует торможению драйвера: Td~lbu~l (3) (в оценке (3) сделано предположение \EZ\ ~ Eq). Таким образом, для ультрарелятивистского пучка есть чёткая иерархия временных масштабов: w"1 < rf < rd. (4)
Если амплитуда поля в плазме меньше предельного значения (1), то неравенства (4) только усиливаются.
Из (4) видно, что если какие-либо частицы драйвера или витнесса оказываются в дефокусирующей фазе волны, то они теряются прежде, чем успеют обменяться с плазмой значительной долей своей энергии. Таким образом, как ускоряющие, так и ускоряемые частицы должны фокусироваться кильватерной волной, причем структура волны не должна сильно меняться на временах порядка 7. Расположение областей благоприятной фокусировки определяется формой драйвера. Форма же последнего (особенно его радиус) зависит от величины фокусирующей силы и может меняться по мере истощения драйвера. Такая взаимосвязь означает, что эффективный обмен энергией между пучками и плазмой может произойти, только если пучки и кильватерная волна придут к некоторому самосогласованному равновесному квазистационарному состоянию.
(z — ct)wp/c
Рис. 2: Иллюстрация уменьшения кильватерной волны витнессом в случае согласованных пучков: продольное электрическое поле Ег на оси (сверху) и плотность пучков щ на оси (снизу) как функции продольной координаты.
Другая проблема связана с так называемым коэффициентом трансформации R, определяемым как отношение максимального ускоряющего электрического поля, действующего на витнесс (Ew на Рис. 2) к максимальному замедляющему полю, действующему на драйвер {Ed) [38,39]. Чем больше R, тем до более высокой энергии может быть ускорена частица при заданном числе циклов ускорения с заданной энергией драйверов. Следовательно, желательно иметь коэффициент трансформации как можно большим.
Чтобы конкурировать с традиционными ускорителями, плазменный ускоритель должен иметь высокий КПД передачи энергии от пучка к пучку г} и малый энергетический разброс ускоряемых частиц при высоком темпе ускорения и реалистичных (экспериментально реализуемых) параметрах пучков и плазмы. Энергетический разброс можно минимизировать согласованием формы ускоряемого сгустка и кильватерной волны [40, 99] при условии высокой стабильности последней. Однако между эффективностью и темпом ускорения приходится выбирать. Действительно (Рис.2), в классическом кильватерном ускорителе (когда плотность пучков щ намного меньше плотности плазмы щ) амплитуда поля за витнессом () всегда больше или равна полю (Ew), ускоряющему согласованный витнесс. При
9 линейном отклике плазмы, равных радиусах пучков и симметричной форме драйвера энергозапас плазмы пропорционален квадрату амплитуды ускоряющего поля [98], а коэффициент трансформации R < 2 [41], откуда 1 V - Е\ - Е\ - Щ~ 4 * [Ь)
Для асимметричных драйверов второе неравенство в (5) нарушается, но первое остается в силе и показывает, что при Ew ~ Е\ эффективность энергообмена между пучками низка. Таким образом, появляется третья проблема — нахождение таких схем кильватерного ускорения, которые позволили бы достичь высокой эффективности при малом энергоразбросе витнесса.
Взятые вместе, вышеуказанные проблемы образуют четко сформулированную задачу для теоретического исследования, решению которой посвящена диссертационная работа. А именно, нужно найти такие варианты (или схемы) кильватерного ускорения, которые бы одновременно обладали высоким коэффициентом трансформации, малым энергетическим разбросом ускоряемых частиц и высокой эффективностью энергообмена между пучками. При этом решение нужно искать только на классе устойчивых конфигураций пучков, избегая нереалистичных предельных случаев (нельзя делать пучки бесконечно короткими, бесконечно узкими, бесконечно плотными или бесконечно широкими).
Динамика ультрарелятивистских сгустков в плазме представляется весьма сложным вопросом для аналитического исследования. При щ ^ щ даже определить реакцию плазмы па неизменный пучок заданной формы аналитически не удается. Поэтому поиск оптимальных вариантов кильватерного ускорения с неизбежностью требует численного моделирования.
Компьютерное моделирование долговременной двумерной динамики электронного пучка в самосогласованной нелинейной кильватерной волне стало доступным с начала 1990-х годов. Компьютерных кодов, способных решить такую задачу, и сейчас в мире не много [42-48], причем эти коды
10 пока применялись для исследования либо отдельных аспектов пучково-плазменного взаимодействия [42,44], либо конкретных экспериментов [45-48]. Таким образом, проделанная работа по оптимизации кильватерного ускорения является уникальной.
Для моделирования двумерной динамики релятивистских пучков в плазме была создана программа LCODE [96,97], описанию которой посвящена Глава 1. Все основные результаты диссертационной работы получены с использованием этой программы.
Для сравнительного анализа эффективности различных схем ускорения необходимо ввести некую количественную меру энергообмена между пучками и плазмой. Удобной характеристикой такого энергообмена оказался поток энергии в движущемся окне [98], который вводится в Главе 2. Здесь же приведен анализ энергетических потоков в плазме для случаев линейного, слабо нелинейного и сильно нелинейного ее отклика.
Далее следует анализ различных конфигураций пучка-драйвера на предмет их пригодности для кильватерного ускорения. Анализ длинных профилированных электронных сгустков проведен в Главе 3. С такими сгустками одно время связывались большие надежды достичь высокого коэффициента трансформации [38,49,50]. Однако длинные сгустки в плазме подвержены поперечной двухпотоковой неустойчивости [42,51,52]. Как показало моделирование [99,100], развитие этой неустойчивости на нелинейной стадии приводит к быстрому и почти полному разрушению пучка, вследствие чего пучок не успевает передать плазме значительную долю своей энергии. Изучение механизма разрушения показало, что гибель пучка происходит вследствие развития одной за другой нескольких неустойчивых мод. При задании доминирующей моды, например, коротким пучком-предвестником, длинный сгусток быстро трансформируется в последовательность коротких сгустков, которая далее движется в плазме почти без изменений [100]. Использовать такую самоорганизовавшуюся последовательность для кильватерного ускорения проблематично, поскольку в процессе превращения одного длинного сгустка в серию коротких сгустков все частицы, бывшие в ускоряющей фазе волны, выбрасываются по радиусу из области коллективного взаимодействия, и витнесс выбрасывается вместе с ними. Однако этот результат указывает на потенциальную привлекательность последовательности коротких сгустков как долгоживущего самосогласованного состояния драйвера.
Гидродинамическая модель плазмы
В этом режиме кильватерная волна создается одним плотным электронным сгустком, причем плотность сгустка превосходит плотность плазмы, вследствие чего все плазменные электроны полностью вытесняются из некоторой области пространства, называемой далее каверной (Рис.1). Реакции плазмы на пучок в сильно нелинейном режиме посвящена Глава 5. Здесь в широкой области параметров исследуется зависимость свойств каверны от длины и пикового тока драйвера и идентифицируются основные суб-режимы взаимодействия [98]. Здесь же приводится аналитическая модель [98], приближенно описывающая свойства каверны при больших пиковых токах и умеренных длинах пучка.
При плавном изменении тока пучка свойства каверны и процесс ее образования хорошо описываются аналитической моделью бесконечно длинного пучка [54,104,105]. Эта модель изложена в Главе 6. Здесь же описаны основные особенности реакции бесстолкновителыгай плазмы на длинный осесимметричный пучок в продольном магнитном поле и без него. Из-за неустойчивости шлангового типа [55-58] модель длинного пучка вряд ли найдет применение к собственно кильватерному ускорению с большими длинами пучково-плазменпого взаимодействия. Но к родственным задачам, таким как плазменная фокусировка [59-61] или плазменная компенсация эффектов встречи в коллайдерах [62-64,107], эта модель вполне применима. В качестве примера в Главе 6 приведено исследование плазменной компенсации эффектов встречи в мюонном коллайдере [106-108].
Если в blowout-режиме сделать пиковые токи драйвера и витнесса большими, длину драйвера выбрать порядка Хр, а также правильным образом подобрать форму обоих пучков, то можно одновременно достичь высокой эффективности обмена энергии между пучками, большого числа ускоренных частиц, малого энергетического разброса и высокого темпа набора энергии [109], необходимого для минимизации эмиттанса ускоряемого сгустка [65]. Описанию этого режима посвящена Глава 7. Эффективный режим характеризуется отсутствием жестких физических ограничений на КПД, энергоразброс и коэффициент трансформации. КПД передачи энергии от драйвера к витнессу растет с пиковым током драйвера и, при значениях последнего в десятки килоампер, превышает 80%. Энергетический разброс определяется только точностью контроля формы витнесса и, в принципе, может обратиться в ноль. В численном эксперименте легко получается энергоразброс в несколько десятых долей процента. Коэффициент трансформации определяется пиковым током витнесса и, ценой незначительного уменьшения КПД, может быть сделан намного большим единицы. Таким образом, найденный эффективный режим решает поставленную задачу о нахождении оптимальной схемы кильватерного ускорения с электронными сгустками.
Эффективный режим может быть продемонстрирован на экспериментальных установках по кильватерному ускорению следующего поколения, которые проектируются в Стенфорде [66] и в ИЯФ СО РАН (Новосибирск) [110, 111]. Моделированию и оптимизации Новосибирского эксперимента посвящена вторая часть Главы 7. Показано, что электронный пучок инжекционного комплекса ВЭПП-5 после продольного сжатия и формирования "двугорбого" профиля тока может создать плазменную волну с амплитудой электрического поля масштаба 1 ГВ/м на длине около 1 метра. При этом передняя часть пучка служит драйвером, а задняя ускоряется кильватерной волной с 510 МэВ до 1.1 ГэВ с энергетическим разбросом менее 10% и КПД передачи энергии более 30%.
Автор пользуется случаем выразить глубокую благодарность Д. Д. Рю-тову и А. Н. Скринскому за постановку ряда задач, а также А. В. Аржан-никову, Б. Н. Брейзману, А. В. Бурдакову, И. А. Котельникову, А. М. Кудрявцеву, П. В. Логачеву, А. В. Петренко, Г. В. Ступакову, И. В. Тимофееву, П. 3. Чеботасву, В. Н. Худику и А. В. Яшину за полезные обсуждения.
Работы, положенные в основу диссертации, докладывались на научных семинарах в ряде ведущих отечественных и зарубежных центров, таких как ИЯФ СО РАН (Новосибирск), Курчатовский институт (Москва), Ядерный научный центр (Росссндорф, Германия), университет г. Остина (США), университет USC (Лос Апжелес, США), Стенфордский университет (США), Национальная лаборатория КЕК (Цукуба, Япония), университет г. Утсуномия (Япония). Кроме того, результаты работы докладывались на восьми Звенигородских конференциях по физике плазмы и УТС (1995-2000, 2002, 2004, Звенигород), серии конференций молодых ученых СО РАН (2000, 2001, 2003, 2004, Новосибирск), VI Межгосударственном семинаре "Плазменная электроника и новые методы ускорения" (1998, Харьков, Украина), международном семинаре по физике плазмы IWWPP-94 (1994, Австрия), симпозиуме "New modes of particle acceleration techniques and sources" (1996, Санта Барбара, США), семинаре "Studies on Colliders and Collider Physics at the Highest Energies: Muon Colliders at 10 TeV to 100 TeV" (1999, Монток, США), объединенном семинаре "ICFA/JAERI-Kansai International Workshop" (1997, Киото, Япония), симпозиуме "Forty Years of Lepton Colliders" (2004, Новосибирск), международных конференциях по вычислительной физике ускорителей (ЮАР, 1998, 2004), конференции Европейского физического общества по физике плазмы {EPS, 2004, Лондон) и Европейских конференциях по ускорителям частиц (ЕРАС, 1998, 2002, 2004).
Самоорганизация длинных сгустков
Несмотря на различие периодов поперечных колебаний частиц в разных сечениях пучка (бетатронных периодов), неустойчивость быстро нарастает, и после 2 -г- 3 колебаний поперечная сила в некоторых сечениях меняет знак (Рис. 3.2Ь, знак фокусирующей силы противоположен знаку Ф). Когда это случается, дефокусируемые частицы быстро уходят по радиусу из области коллективного взаимодействия (теряются). Получившийся модулированный пучок создает большее кильватерное поле (Рис. 3.3а), нежели исходный сгусток, однако это поле непригодно для ускорения, поскольку оно имеет случайную фазу волны.
Как правило, в исходной кильватерной волне есть много затравочных возмущений, с которых может начаться развитие неустойчивости. Причем моды, затравочные возмущения которых расположены раньше по ходу пучка, растут медленнее, поскольку период поперечных колебаний частиц здесь больше из-за меньшей фокусирующей силы. Однако именно эти "медленные" моды разрушают пучок. По мере нарастания, "медленная" мода перестраивает структуру кильватерной волны "под себя", так что частицы, выжившие в фокусирующей фазе поля во время развития "быстрой" моды, оказываются в дефокусирующей фазе и теряются. Моменты смены доминирующей моды хорошо видны на Рисунке З.ЗЬ, где показано движение точек нулевого поля вдоль пучка по мере развития неустойчивости.
Вследствие нарастания конкурирующих мод большая амплитуда кильватерной волны держится недолго и быстро убывает (Рис. 3.3а). После нескольких смен доминирующей моды от пучка остается только передняя часть длиной в несколько Ар, которая создает слабую кильватерную волну со случайной фазой. (Рис. 3.2с).
Длинный сгусток также подвержен неосесимметричным модам поперечной двухпотоковой неустойчивости (Рис. 3.4), наличие которых только ускоряет разрушение.
Как следует из предыдущего раздела, разрушение длинного сгустка в плазме происходит из-за параллельного развития нескольких неустойчивых мод. Следовательно, можно попробовать улучшить ситуацию, задав доминирующую моду неустойчивости небольшим затравочным возмущением [100]. Для проверки этого предположения рассмотрим сначала длинный осе-симметричный сгусток с постоянным распределением плотности по длине (Рис.3.5а,Ь).
Осциллирующая составляющая фокусирующей силы, созданная резким передним фронтом пучка, за время порядка одного бетатронного периода разбивает пучок на серию коротких сгустков длины & -кс/шр (Рис. 3.5с,d), после чего образовавшаяся последовательность сгустков устойчиво движется в плазме до тех пор, пока некоторые ее частицы не потеряют большую часть своей энергии (Рис. 3.5е). Хотя отдельные части этой последовательности и попадают в ускоряющую фазу волны, в целом модулированный пучок создает намного более сильное поле, нежели исходный смодулированный. Это поле, однако, проблематично использовать для ускорения электронного сгустка-витнесса, поскольку из областей сильного ускоряющего поля частицы были выброшены по радиусу в процессе самомодуляции. Чтобы "выжить" в области сильного ускоряющего поля, электронный сгусток-витнесс должен изначально иметь намного большую энергию или намного меньший радиус, нежели драйвер. Последний случай проиллюстрирован па Рисунке 3.5, где начальный радиус витнесса в 10 раз меньше радиуса драйвера.
Для создания затравочного возмущения также можно использовать предвестник — короткий электронный или лазерный сгусток. Рассмотрим, для примера, последовательность из короткого электронного предвестника, длинного профилированного электронного пучка-драйвера и узкого пучка витнесса (Рис. 3.6а). Чтобы исследовать процесс самомодуляции в наиболее чистом виде, подберем начальный угловой разброс драйвера в соответствии с величиной фокусирующей компоненты его собственного кильватерного поля.
Предвестник создает слабую кильватерную волну, которая не способна изменить знак фокусирующей силы в области драйвера, но достаточна для задания доминирующей моды неустойчивости (Рис. 3.6а). Поэтому, когда неустойчивость разобьет драйвер на отдельные сгустки (Рис. 3.6b), витнесс оказывается в строго определенной фазе относительно предвестника. Однако, опять же, чтобы выжить во время самомодуляции драйвера, витнесс должен быть очень узким или иметь очень большую энергию, чтобы время его дефокусировки было намного больше, чем время самомодуляции драйвера. На Рисунке 3.6 витнесс изначально имеет Yt — Ю4 (в 10 раз больше, чем у драйвера).
Затравочное возмущение разбивает пучок на короткие сгустки при любом количестве частиц в предвестнике. Но если предвестник мал, то его поле оказывается недостаточным для подавления других неустойчивых мод. Пример такой ситуации показан на Рисунке 3.6c,d, где предвестник содержит всего на 30% меньше частиц, чем на Рисунке 3.6а,Ь, а драйвер и витнесс такие же. Видно, что по прошествии некоторого времени все частицы выбросились из дефокусирующей фазы поля предвестника, В фокусирующей фазе, однако, частиц тоже осталось мало (Рис. 3.6d), поскольку эти частицы были утеряны, пока доминировала другая мода неустойчивости, инициированная головой драйвера (Рис. 3.6с).
Об ионизационных потерях ускоряемого сгустка
Электрическое поле в месте оптимального расположения ускоряемых частиц для различных драйверов: (а) оптимизированный драйвер (4.6) с малым угловым разбросом, (Ь) драйвер (4.6) с угловым разбросом Аа = л/2 , (с) строго периодический драйвер (4.19) с малым угловым разбросом. подвержены все сгустки, попадающие в область слабой фокусировки, а не только первый.
Если амплитуда кильватерной волны велика, то равновесный угловой разброс сгустков в местах наиболее сильной фокусировки определяется формулой (6) и намного превосходит критический угловой разброс (4.18). Следовательно, потеря эмиттанса и увеличение углового разброса является необходимым этапом установления дол гожи вущего равновесного состояние пучка. Пучок с изначально большим угловым разбросом, пусть даже соответствующим средней величине фокусирующей силы, обречен на быструю эрозию и гибель.
Интересно также проанализировать, насколько важно расставлять сгустки с учётом описанных в разделе 4.1 нелинейных эффектов. Для этого сравним ускоряющее поле позади драйвера с индивидуальной расстановкой сгустков (4.6) и иоле позади строго периодического драйвера с таким же угловым разбросом: 1 0, 2/ + 1 /тг 2(/ + 1), Ясно, что драйвер (4.19) будет создавать меньшее поле, нежели (4.6), поскольку некоторая доля его частиц окажется в дефокусируемой фазе (они быстро потеряются) или в фазе ускорения (они будут забирать энергию у волны). Количественно это утверждение характеризует Рисунок 4.10 (кривая "с"). В процессе установления радиального равновесия строго периодический драйвер теряет часть своих частиц, и его поле после короткого пика (обусловленного сжатием большей части сгустков) резко падает из-за ухода дефокусируемых частиц (до уровня 60 % от максимума). Фаза кильватерной волны при этом меняется незначительно, так что ускоряемые частицы, исходно помещённые в фокусирующее поле позади драйвера (4.19), фокусируются и после установления радиального равновесия.
Изложенные выше результаты моделирования осесим метричного пучка не позволяют проанализировать потенциально опасную неустойчивость по отношению к поперечным смещениям сгустков. Для прояснения этого вопроса рассмотрим динамику коротких несоосных сгустков в плоской геометрии [100]. Выберем начальную плотность драйвера в виде где і = 1..6 — номер сгустка (Рис. 4.11). Несмотря на значительное поперечное смещение последнего сгустка относительно первого, пучок (4.20) приходит к равновесному состоянию за время нескольких бетатронных колебаний и далее устойчиво движется в плазме (Рис. 4.11). При этом сгустки смещаются как целое и выстраиваются строго за первым сгустком.
В моделировании легко "отключить" ускорение частиц и таким образом исследовать его влияние на устойчивость пучка. Такой численный эксперимент был проделан и показал, что даже моноэнергетическая последовательность коротких сгустков устойчива. Отсюда можно заключить, что устойчивость пучка и отсутствие резонансной раскачки его хвостовой части объясняется большим различием бетатронных частот колебаний частиц в разных сечениях пучка, а не быстрым изменением энергии частиц.
Для контроля траектории драйвера и предотвращения эрозии первого сгустка, возможно, придется использовать внешнюю фокусирующую систему [102]. Периодические поперечные толчки, даваемые пучку квадруполь-ными линзами, могут, в принципе, оказаться в резонансе с радиальными колебаниями частиц в некоторых сечениях. Чтобы проанализировать опасность таких резонансов, в программу был добавлен осесимметричный аналог внешней квадрупольной фокусировки: с некой периодичностью (1000 ир) частицы пучка мгновенно получали импульс попеременно к оси или от оси системы, причем величина этого импульса линейно возрастала с радиусом и для г = с/шр равнялась 2.5 тс.
Моделирование внешней фокусировки проводилось для пучка с энергией 10 ГэВ и не выявило существенных отличий от вариантов без фокусировки [102]. В частности, увеличения потери частиц обнаружено не было. Единственным проявлением фокусировки стали небольшие пульсации радиуса сгустков и, соответственно, величины кильватерного поля.
Нагрузим кильватерную волну драйвера (4.6) коротким и плотным электронным пучком-витнессом [99], причем подберем его форму и местоположение так, чтобы действующее на него ускоряющее поле было примерно постоянным в течении второй стадии эволюции драйвера и составляло около 70% от максимального (Рис. 4.12).
Геометрические параметры каверны
Результаты предыдущей главы подтвердили правильность утверждения (5) о малой эффективности схем кильватерного ускорения, в которых возбуждается гармоническая или слабо нелинейная волна. Следовательно, если мы хотим найти схему с высоким КПД энергообмена между пучками, то нужно исследовать сильно нелинейный (blowout) режим взаимодействия. Начнем это исследование с анализа реакции плазмы на плотные осесим-метричные пучки различной длины, радиуса и пикового тока [98], оставив пока в стороне вопросы долговременной динамики таких пучков и влияния конечной температуры и возможной неоднородности плазмы на процесс ускорения. Также пока ограничимся пучками простейшей формы (1.4), причем будем в качестве основных параметров брать пиковый ток Итак, в нашей модели есть только три величины, определяющие реакцию плазмы: 1ь,тах, oz и У- Если радиус пучка мал (оу -С с/шр), то параметры каверны от него зависят слабо и можно различные суб-режимы взаимодействия наглядно изобразить на плоскости (0z,h,max) (Рис. 5.1а). Случай же о cjujp менее интересен, поскольку в сильно нелинейном режиме широкий пучок всегда создает кильватерную волну меньшей амплитуды, нежели узкий пучок с таким же током.
Все рисунки, представленные в данной Главе, получены при ат = 0.1 с/шр. Карта режимов специально продолжена до больших значений тока пучка. Такие токи могут быть получены продольным сжатием сгустков высокой энергии, и потому их также полезно проанализировать.
В случае длинных пучков реализуется режим, при котором пучок плавно раздвигает-сдвигает электроны плазмы и не оставляет позади себя большого возмущения (Рис. 5.1с, соответствующий точке (с) на Рис. 5.1а). В этом режиме продольное электрическое поле мало. Оно замедляет переднюю половину пучка и ускоряет заднюю его половину, так что почти вся энергия, отданная плазме передним фронтом, забирается задним фронтом. Каверна в этом режиме длинная и потому ее обычно называют ионным каналом. Максимальная ширина канала достигается в точке максимального тока, то есть, в середине пучка. Форма канала, электромагнитное поле в системе, ток и плотность плазмы хорошо описываются аналитической моделью длинного пучка (Глава 6). Радиус канала, предсказываемый этой моделью, показан на Рисунке 5.1 линией "теория". Пучок в режиме ионного канала подвержен шланговой неустойчивости, возникающей из-за взаимного влияния поперечных смещений пучка и границы канала [55,57,58].
По мере укорочения пучка или увеличения его тока возникают сильные колебания границы ионного канала (Рис. 5.1е), которые не исчезают после прохода пучка. Значительная доля энергии, отданной плазме передним фронтом пучка, остается в плазме. Колебания продольного поля принимают сингулярный вид. Самос широкое место каверны смещается назад относительно центра пучка, а сама каверна становится шире, нежели предсказывается аналитической моделью длинного пучка. На Рисунке 5.1а показаны несколько линий, которые количественно характеризуют сделанные утверждения (справа налево): 95% энергии возвращается из плазмы в пучок, самое широкое место каверны отстает на 0.5 az от центра пучка, каверна на 20% шире, чем предсказывается аналитической моделью, 5% энергии возвращается из плазмы в пучок, максимально широкая каверна при заданном пиковом токе.
При больших токах и умеренных длинах пучка наблюдается другой основной режим взаимодействия. Назовем его режимом сильного пучка (Рис. 5.1g). В этом режиме почти весь пучок находится в сильном замедляющем поле и потому эффективно отдает свою энергию плазме. Каверна имеет асимметричную форму, самое широкое ее место находится в конце пучка, а длина и ширина намного превосходят предсказания модели длинного пучка. На границе каверны формируется четко выраженный слой повышенной электронной плотности (экранирующий слой), препятствующий глубокому проникновению возмущения в объем плазмы.
В режиме сильного пучка некоторые электроны плазмы захватываются сильным электрическим полем в конце каверны, ускоряются до больших энергий (сотни МэВ) и вызывают сбой программы, так как это явление нельзя корректно смоделировать в рамках квазистатического приближения. Поэтому при больших токах пучка LCODE может правильно вычислять реакцию плазмы только на первом периоде кильватерной волны, до сингулярности поля. Область параметров, в которой вычисления могут продолжаться на несколько периодов волны, расположена на Рисунке 5.1а ниже серой линии.
В области коротких пучков мы наблюдаем третий основной режим взаимодействия (Рис. 5.Id). В этом режиме пучок действует на плазму, как точечный заряд. Приосевые электроны получают от пучка мгновенный толчок и разлетаются в стороны, образуя четко различимые струи повышенной электронной плотности. Дальние электроны образуют экранирующий слой на границе каверны, но не такой плотный, как в случае сильного пучка. Каверна имеет каплеобразную форму, более широкую в начале. Сингулярность поля в конце каверны асимметрична. Около сингулярности формируется вторая расходящаяся струя электронов.
Переходы между основными режимами взаимодействия являются плавными, поэтому границы режимов нельзя строго определить. Заштрихованные области на Рисунке 5.1а выделены при помощи полного потока энергии (2.4). В области короткого пучка приближенная формула (5.56) верна с точностью 20%. В области сильного пучка велик безразмерный полный поток энергии (5.2) за пучком: Ф 20.
Эксперименту Е-157 в Стенфорде [46-48, 76] соответствует точка (f) на Рисунке 5.1а и Рисунок 5.If. Эта точка расположена в переходной области между основными режимами и содержит смесь вышеописанных особенностей. Как и в случае ионного канала, здесь размеры каверны близки к предсказаниям аналитической модели. Как и в случае сильного пучка, большая часть пучка находится в тормозящем поле. Как и в случае короткого пучка, наблюдаются расходящиеся электронные струи и асимметричная сингулярность поля в конце каверны.
