Содержание к диссертации
Введение
I Свойства скрученных подмножеств 16
1.1 Введение 16
1.2 Известные результаты 17
1.3 Общие свойства скрученных подмножеств 18
1.4 Скрученные подмножества и ипволютивпые автоморфизмы группы 19
1.5 Скрученные подмножества и Z*-rreopeMa Глаубермапа 24
1.6 Ипволютипнан декомпозиция группы 26
1.7 Теорема Лаграижа для скрученных подмножеств 30
II Перекрученные группы 32
П.1 Введение 32
II.2 Известные результаты 34
П.З Вспомогательные результаты 38
II.4 Общие свойства перекрученных групп 41
П.5 Абелевы перекрученные группы 46
П.6 Перекрученные группы Миллера-Морено 49
11.7 Конечные нилыютентные перекрученные группы нечетного порядка 54
11.8 Разрешимость конечных перекрученных групп 57
П.8.1 Редукционная теорема 58
II.8.2 Нильпотентность коммутанта конечной перекрученной группы 58
II.8.3 Двухстуиенная разрешимость конечной перекрученной группы 68
П.9 Минимальные иеиерекручениыс группы 80
П.9.1 MNS-груипы четного порядка 80
П.9.2 Нилыютептные MNS-групны нечетного порядка 81
II.9.3 Ненильпотентпые MNS-групны нечетного порядка . 82
III Конечные минимальные негрупповые скрученные подмножества 88
III. 1 Введение 88
111.2 Известные результаты 90
111.3 Свойства MNG-подмножеств 93
Ш.4 MNG-подмножества с инволюциями 100
111.4.1 MNG-подмножества, содержащие более одной инволюции 100
111.4.2 MNG-подмножества, содержащие одну инволюцию, по, более, чем одну, максимальную циклическую
111.4.3 Редуцированные MNG-подмножества, содержащие ровно одну максимальную циклическую 2-нодгруппу 107
111.4.4 Нередуцированные MNG-подмножества, содержащие ровно одну максимальную циклическую 2-иодгруппу 112
III.5 MNG-подмножества без инволюций 117
Литература
- Общие свойства скрученных подмножеств
- Ипволютипнан декомпозиция группы
- Перекрученные группы Миллера-Морено
- MNG-подмножества, содержащие одну инволюцию, по, более, чем одну, максимальную циклическую
Введение к работе
Актуальность работы. В структуре профессиональной патологии доля заболеваний, обусловленных вредным воздействием пыли, занимает одно из первых мест. Наиболее часто заболевания регистрируются у ГРОЗ и проходчиков.
Запыленность в горных выработках шахт с применением имеющихся средств обеспыливания в течение последних 20 лет остается практически на одном уровне в пределах 80-НОО мг/м3, а на рабочих местах в комбайновых забоях достигает 300-400 мг/м и более.
В дальнейшем, учитывая предполагаемое увеличение добычи угля,
I произойдет резкий рост интенсивности пылевыделения. Это в значительной
степени усугубит и без того сложное положение по пылевому фактору в
шахтах. Даже весьма эффективные комплексы инженерных средств борьбы с
пылью не могут обеспечить снижения концентраций пыли на рабочих местах
шахтеров до допустимых величин, в связи с чем применение средств
индивидуальной защиты органов дыхания (СИЗОД) является неотъемлемой
частью комплекса противопылевых мероприятий по предупреждению
заболеьаний пылевой этиологии.
Таким образом, становится очевидной важность выбора критериев
контроля уровней воздействия пылевого фактора, которые должны включать
не только определение концентраций пыли в воздухе рабочих зон, но и
оценку пылевых нагрузок, имеющих решающее значение в развитии пылевой
патологии легких, прогнозировании профессиональной заболеваемости и
разработке управленческих мероприятий.
В связи с изложенным можно говорить, что исследования,
направленные на прогноз динамики риска заболеваемости шахтеров
пневмокониозом в зависимости от темпов проходки горных выработок для
снижения вероятности возникновения заболевания, являются актуальными.
Цель работы состоит в установлении зависимости среднесменной концентрации пыли от темпов проходки горных выработок для прогноза динамики риска заболеваемости проходчиков пневмокониозом,
позволяющего снизить вероятность заболевания.
Идея работы заключается в том, что прогнозируемая величина пылевой нагрузки на органы дыхания работающих определяется с учетом горно-геологических условий, интенсивности проходческих работ, эффективности средств пылеподавления и применения средств индивидуальной защиты органов дыхания.
Научные положения, разработанные соискателем, и их новизна:
-динамика риска заболеваемости проходчиков пневмокониозом
определяется расчетной среднесменной концентрацией пыли на рабочих
і местах, которая зависит от темпов проходческих работ на прогнозируемый
период времени;
- пылевая нагрузка и допустимый стаж работы определяются
прогнозируемой среднесменной концентрацией пыли с учетом применения
средств индивидуальной защиты органов дыхания;
-эффективность пылеотсоса может быть повышена за счет расположения всасывающих патрубков пылеулавливающей установки с обеих сторон комбайна и дискретного регулирования расхода воздуха в них
в зависимости от местоположения разрушающей коронки.
Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций подтверждаются:
удовлетворительной сходимостью результатов расчетов и натурных иссле-дований концентраций пыли в атмосфере горных выработок (погрешность не превышает 15%);
значительным объемом экспериментальных исследований (более 300 замеров);
- положительными результатами промышленных испытаний.
Научное значение работы состоит в установлении зависимости динамики риска заболевания проходчиков пневмокониозом от темпов проходческих работ и времени применения средств индивидуальной защиты органов дыхания.
Практическое значение работы заключается в разработке рекомендаций по прогнозному расчету среднесменной концентрации и методики выбора противопылевых респираторов, позволяющей повысить эффективность их применения и снизить пылевую нагрузку на органы дыхания шахтеров.
Реализация работы. Разработанная методика выбора противопылевых респираторов используется в практической деятельности филиала «Шахта «Осинниковская» ОАО ОУК «Южкузбассуголь». Результаты исследований используются в учебном процессе Московского государственного горного университета в курсах «Безопасность ведения горных работ и горноспасательное дело» и «Аттестация рабочих мест».
Апробация работы. Основные положения и результаты работы
докладывались на VIII Международной экологической конференции
студентов и молодых ученых, научном симпозиуме «Неделя горняка» в 2005
г. и научных семинарах кафедры «Аэрология и охрана труда» в 2003, 2004,
2005 гг. і
Публикации: по теме диссертации опубликованы 6 научных работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 4 глав, содержит 26 таблиц, 12 рисунков, список использованных источников из 106 наименований.
Общие свойства скрученных подмножеств
В этом разделе приводятся известные результаты, необходимые для доказательства утверждений данной главы.
Лемма 2.1124, стр. 33G. Если конечная группа G допускает регулярный ииволютивиый автоморфизм, то G — абелева.
Лемма 2.2 [3, стр. 1G, следствие ().4. Пусть Р — конечная -к-группа и А некоторая -к -группа ее автоморфизмов. Тогда Р = [Р, А]Ср(А).
Лемма 2.3 [24, стр. 18, теорема 2.1(ш)[. Пусть G группа и ср авто-морфшзм группы G, такой, что р2 = 1. Тогда подгруппа х 1р(х)\ х Є G нормальная подгруппа в G. Лемма 3.1 Пусть G — группа, К — скрученное подмножество из G. Тогда для любого элемента х из К (х) содержится в К.
Доказательство. Пусть х — элемент из К. Для любого элемента у из К имеем у 1 Є /С, так как т/-1 = 1(т/)_11. Таким образом, нам достаточно показать, что для любого натурального п хп Є К. Доказательство этого факта разбивается на два случая, 15 зависимости от четности п. Оба случая доказываются индукцией по п.
Проведем доказательство в случае, когда п четно. Случаи, когда п нечетно, рассматривается аналогично. База индукции: при п — 2 х2 — хіх Є К.
Шаг индукции: Предположим, что для любого четного натурального числа к, меньшего п, хк Є К. Так как п — 2 — четно и, п — 2 п, то но индуктивному предположению хп 2 Є К. Значит, ж (71-2) Є К. Тогда хп = х(х-{п-У)-1х Є К. Итак, для любого натурального п хп Є К и лемма 3.1 доказана.
Определение 7. Подгруппоид, поро ждеииый некоторым подмножеством М U 1 из группы G, с помощью бинарной операции х о у := ху 1х, будем обозначать Tw(M)
Лемма 3.2 Пусть G — группа и u,v две различные инволюции из G. Тогда скрученное подмножество Tw(u,v) не является подгруппой.
Доказательство. Введем обозначение К := Tw(u, v). Допустим противное, что К - подгруппа.
Заметим, что если а,Ь инволюции, то элемент aba также является инволюцией. В силу этого, нетрудно видеть, что для любого элемента X из К х2 = 1.
Так как, по предположению, К подгруппа, то, значит, для любых элементов х,у из К ху Є К и, следовательно, {ху)2 = 1, откуда, ввиду соотиоіиспшї х2 = 1, у2 = 1, получаем, что ху = ух. Таким образом, К абелева подгруппа из G и, значит, uv = vu. Легко видеть, что тогда подмножество N :— {1,и, v] является скрученным подмножеством. Следовательно, К = {l,u,v}. Очевидно, К не является подгруппой, что противоречит исходному предположению. Полученное противоречие доказывает лемму 3.2.
Лемма 3.3 Пусть II произвольная иеабелева группа, G := Н X II и S :— {(я, а_1) а Є Н] С G. Тогда S — скрученное подмножество, причем S S .
Доказательство. Очевидно, 1 G. Пусть х = (а,а 1),у — (6, б-1) — элементы из S. Тогда ху 1х — (аЬ 1а,а 1Ь(Г1) Є S, значит, S скрученное подмножество. Далее, S ф S , так как в противном случае для любых элементов a, b из Я имеем (a,a l)(b,b l) = (ab,а_16_1) Є S и, значит, (ab,а-1 -1) = {ab, b la l), откуда a 1b 1 — b la l, т.е. H — абелева, что противоречит условию. Лемма 3.3 доказана.
В данном разделе излагается связь между скрученными подмножествами и инволютивпыми автоморфизмами группы.
Лемма 4.1 Пусть G — группа, (р из AutG, такой, что (р2 = 1. Тогда S :— {х(р(х 1)\ х Є G] скрученное подмпо жество. Доказательство. Очевидно, 1 Є 5. Покажем, что для любых х, у из Sxy lxES. Пусть х,у Є S. х — atp(a l), у = b p(b l) для некоторых а,Ь из G. Тогда xy lx = a(p(a 1)ip(b)b lap(a l) — aip(a lb)b lap{a l) — z p{z l), где z = (ир(сГ1Ь). Лемма 4.1 доказана.
Теорема 4.2 Пусть G группа и К - скрученное подмножество из G такое, что G = К . Для любого элемента х из группы G пололсим Sx := {у Є К : хК = Ку] и КегК := {х Є К : хК = К}. Пусть ІЇ := {Sx\ х Є G} up— отображение из группы G в множество Q, определенное следующим образом: для любого элемента х из группы G р(х) = Sx. Тогда справедливо следующее:
Ипволютипнан декомпозиция группы
В работе [ 10] было введено понятие инволютивпои декомпозиции группы. Определение 8. Говорят, что группа G допускает ииволютианую декомпозицию, если существует такой ииволютивиый автоморфизм группы G, что G = I(ip)Cc{ip), где /( /?) = {д Є G : ір(д) — д 1}.
В 19] было показано (теоремы 5.1, 5.2), что любая группа G нечетного порядка, обладающая инволютивиым автоморфизмом /?, всегда допускает шпюлютивную декомпозицию, причем 1{ф) — {д 1ф{д)\д Є G}.
В настоящем разделе; с помощью понятия скрученного подмножества вводится понятие Тги-декомпозиции группы, которое обобщает понятие инволютивпои декомпозиции группы. Отметим, что основной результат данного раздела (теорема G.1, см. ниже) о Тиьдеком позиції и группы, порожденной скрученным подмножеством с одной инволюцией, будет использован в главе III при классификации минимальных пегруиповых скрученных подмножеств.
Определение 9. Говорят, что группа G допускает Гw-декомпозицию, сели существует такое скрученное подмнооїсество К из G, что G = KCQ(W) для некоторой инволюции w из G.
Заметим, что, если группа G допускает шпюлютивную декомпозицию при помощи некоторого инволютивиого автоморфизма с/?, то G :— G if также допускает шпюлютивную декомпозицию при помощи автоморфизма (р. Таким образом, вместо группы G всегда можно рассматривать группу G . Легко видеть, что {д Є G : ip(g) = д 1} — скрученное подмножество. Тогда, очевидно, инволютивная декомпозиция группы G при помощи р является ТЧи-дскомиозициеи, где в качестве w выступает (р. Таким образом, попятно Т«;-деком позиции дойстиитолыю обобщает понятие инволютивпой декомпозиции.
Основным результатом данного раздела является следующее утверждение о Тю-декомпозиции группы, порожденной скрученным подмножеством с ровно одной инволюцией.
Теорема 6.1 Пусть G — периодическая группа и К скрученішс, подмножество из G, содержащее ровно одну инволюцию и), причем выполняется G = К и G ф К. Допустим, что КсгК = {х Є К : хК = К} = 1. Тогда справедливо следующее: (l)G = KCG(w). (2) Если G — конечная простая группа, то подмио жество К содержишь такой элемент х нечетного порядка, что wx ф w, wxw = wwx, wx"w = wwx и X ]CG(W) Отметим, что данный результат излагается в работе 3()
Доказательство. Покажем справедливость (1). Анализ разбивается на ряд этапов. (l.i) Группа G обладает инволютивиим автоморфизмом р, таким, что для любого элемента х из К р{х)=хГ1.
Поскольку КегК — 1, из теореме 4.2(7а,7Ь) получаем, что группа G обладает автоморфизмом /?, причем р2 = 1 и для любого элемента х из К (р(х) = х"1.
Заметим, что в К существует элемент z с \z\ 2.
Действительно, в противном случае, поскольку в К содержится ровно одна инволюция г/;, имеем К = w противоречие с том, что К ф К . Таким образом, ip — ипволютивиый автоморфизм. (1.ІІ) CG( p) CG(w). В силу определения автоморфизма р, имеем Сс{ф) = {д Є G : gK — Kg] = {д Є G : д 1Кд — К]. Так как инволюция в К единственна, то получаем, что для любого элемента д из Сс,( р) g lwg = w, значит, CG(v) CG(w). (l.iii) G = KCG{w).
Пусть G — G (p и g — произвольный элемент из группы С Тогда возможен одни из следующих случаев: (a) /?у?г/ = 2п для некоторого целого числа щ (b) \ р р! \ = 2гс + 1 для некоторого целого числа п; Рассмотрим каждый из этих случаев но отдельности. (а) Пусть \(р р"\ — 2п. В силу теоремы 4.2(7с), (f(p! Є if. Тогда по лемме; 3.1 (рср9 С К. Ввиду единственности инволюции w в К, получаем, что
w е p p J .
Понятно, что \ р! (р\ = 2п. Тогда для элемента p-(J р, аналогично эле-м(!нту (pip J, показывается, что tpg ip С К, откуда еле/гует, что w Є if" if . Таким образом, поскольку (pep" = p!l p , получаем, что w!l = w, следовательно, g Є CQ(W). (б) Пусть \ р ря\ — 2rc+l. В этом случае существует элемент h из ipip! , такой, что (рУ = (pv . Следовательно, g ph Є Сс ( р), то есть д — c ph для некоторого элемента с из Сс (ф) Понятно, что Сс { р) = Сс{(р)х ср . Так как д Є G, то с = с\ р, где сі некоторый элемент из С(7( ). Следовательно, g = c\((piph). В силу т(;оремы 4.2(7с), /?л Є X, а, ввиду (І.іі), сі Є C 7(w).
Таким образом, из (а) и (6) получаем, что G = KCQ(W). Таким образом, пункт (l.iii), а вместе с ним пункт (1), доказан. Докажем справедливость (2). Анализ разбивается на ряд этапов. (2.i) D подмножестве К существует элемент х, имеющий нечетный 2 2 порядок, такой, что wx ф w и wx w = wwx .
Пусть Т := {g 1gw\ g Є G}. По теореме 4.2(7с) Т является скрученным подмножеством. Поскольку G простая группа, то, согласно лемме 2.3, име --29 ем G = Т . Тогда, и силу теоремы 5.1 и теоремы Фейта-Томпсона 18, получаем, что подмножество Т соде])жит элемент четного порядка,. Следовательно, и:? леммы 3.1 вытекает, что существует элемент д из группы (7, t —1 7/1 t» такой, что элемент д д является инволюцией, то есть для д справедливо ги" ф w и w! w — ww J. Так как по пункту (1) дашюіі теоремы G = KCa{w)i то, значит, существует элемент у из К, такой, что wv ф w и wyw — wwy. Заметим, что элемент у имеет нечетный порядок.
Действительно, в противном случае, ввиду леммы 3.1, у С К, откуда, в силу единственности инволюции w, имеем w Є у . Следовательно, у Є Cc{w), что противоречит выбору у. Далее, в силу нечетности \у\, элемент х := однозначно определен и удовлетворяет (2Л). (2.ii) wxw = wwx. Заметим, что x 2wx2w Є х 2К.
Так как, ввиду леммы 3.1, ж-1 Є К, то имеем х 2К = x l(x lKx 1)x = Кх. Поскол1 ку в К содержится только одна инволюция w, то в Кх содер-жится только одна инволюция wx. Таким образом, получаем, что x 2wx2w = wx, откуда вытекает, что элемент wxw является инволюцией, а, значит, wxw = wwx.
Далее, легко видеть, что из пункта (2.г) вытекает соотношение wx wx = wxwx . Таким образом, элемент wx wx является инволюцией. В силу того, что wx wx — xwx lx lwx, нетрудно видеть, wx uf Є К, значил1, в силу единственности инволюции в К, имеем w = wx гих, откуда wuf = wx . Таким образом, ввиду пункта (2.U) нетрудно видеть, что справедливо равенство w,x = ( w х wx )Х х , причем х3 CQ(W). Итак, пункт (2), а вместе с ним и сама теорема 6.1, доказаны.
Перекрученные группы Миллера-Морено
В данном разделе доказывается следующая теорема, необходимая для доказательства теорем 5, G.
Теорема 6.1 Пусть G = А\ Ь - группа Миллера,-Морспо нечетного порядка, где А элементарная абелева р-группа порядка рп, \b\ = q,p ф q,p,q — простые. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) G перекрученная группа; 2) нечетно.
Доказательство. Прежде чем доказывать теорему G.1, введем несколько понятий, используемых в доказательстве, и рассмотрим некоторые их свойства.
Везде, далее, в доказательстве леммы 6.1 В иодкольцо EndA, порожденное щ таким, что для любого а из А фь(а) — b 1ab. Для обозначения групповой операции в А используется аддитивная форма записи. Нейтральный элемент 15 А обозначается символом "О". (1) В поле и для любого элемента а из Л\{0} А = {ф(а)\ф Є В}. Следует из леммы 3.1 (2) Пусть с Є 4\{0} и отобраоїсеиие г : В —А определено следующим образом: для любого ф из В т(ф) := ф(е). Тогда т биекция. Из (1) получаем, что г — сюрьекция. Отображение т — инъекция, так как если существуют ір,ф из В такие, что ір(е) = ф(е), то ( /? — ф)(с) = 0 и, значит, ввиду (1), ip — ф = 0, т.е. р = ф. Таким образом, т биекция. (3) \B\ = \A\=f. Следует из (2). (4) Пусть с Є А\{0}. Введем па А бинарную операцию " " следующим образом: для любых х = р(е),у — ф(е) из А, где ір,ф Є В, х у := {(рф)(е). Нетрудно видеть, что для отображения т, удовлетворяющего условию (2), справедливо следующее: для любых ср,ф из В т((р + ф) = т( р) + т(ф) и т(ірф) — т( р) т(ф). Так как согласно (2) т — биекция, то получаем, что г изоморфизм между В и F. Теперь приступим к непосредственному доказательству теоремы G.I. Покажем, что из 1) следует 2).
Допустим противное, что п — 2т для некоторого натурального т. Далее анализ ситуации разбивается на ряд этапов. (і) Поле F имеет такой ипволютивпый автоморфизм т, что г((рь(е)) — Г ( 0 В силу пунктов (1), (3) и (4) F является полем порядка рп. По лемме 2.3 AutF -- циклическая группа порядка п = 2т. Значит в AutF существует ипволютивпый автоморфизм т. Покажем, что т( рь(е)) = (е).
По лемме 2.3 AutF = ФЩІ) = tp Vt Є F и, значит, т = Фт. Тогда т2Мс)) = Ф2тЫе)) = Ые))р2т = 4 ъ(е), откуда (щ{е)У?т-х = е. Так как = \Ь\ = q, то р2т - 1 = 0(mod q) или {рт - \){рт + 1) = 0(mod q).
Так как т ф 1, то рт — 1ф Q(modq). Тогда (рт +1) = 0(mod q) и, значит, Ыс)) = Ф «Ые)) = Ые)У п = rf "(e) = rfm+1(e) (е) = tf(c). (ii) G ш является перекрученной. В силу пункта (1), для любого g из G существует ip из Л и целое О к q такие, что g = (p(e)bk.
Рассмотрим отображение, определенное следующим образом: т{у) — ( (е))& к- Покажем, что г ипволютивпый автоморфизм G. Пусть ж :=(p(e)bk,tj :=ф(е)Ь , где (р,ф Є В и 0 к q. Тогда фг/) = т{(р(е) ф(е)іґ) = т(( р(е) + ц 1кф(е))ЪГ+к) = т(ір(е) + V6 (e))b-(e+t) = №(е)) + т( (е) V (e)))r + = (т( р(с)) + (е) т(ф(с)))Ь-( +к\ т(х) = т{ір{е))Ь к, т(у) = т(ф(е))Ъ-". Тогда т{х)т(у) = т{ір{с))Ь-кт(ф(е))Ь-» = (т(ч (е)) + {(е) т(ф{е)))Ь- +к\
Таким обра:юм, т(ху) = т(х)т(у) для любых х, у из G. т2(х) = т{т{ р(е))Ь-к) = т{т( р(е))1А-к) = т%(е))И ) = ip(c)bk = х Итак, г ИІІІЮЛІОТИШІЬІІІ автоморфизм группы G. Далее, рассмотрим К := {жг(х_1) х Є G}. По лемме 2.4 К скрученное подмножество. Так как q = 2t + l для некоторого натуралі ного t, то Ь Є if, поскольку
Рассмотрим элемент a := b ebbeb-1 — ірь(е)+ір 1(е). Очевидно, а Є АПК. Заметим, а ф 0, так как в противном случае получаем, что ipl(e) = е или ірІ(с) — е. Ввиду того, что \Ь\ нечетно, имеем рь{с) — е, откуда є Є Cc{b). Но так как G — группа Миллера-Морено, то Са(е) Г) А — 1 и, значит, с = 0, что противоречит выбору е.
Итак, а фО и, значит, АПК ф 1. Так как (7 — группа Миллера-Морено, то G = а, 6 и, следовательно, (7 = К .
Далее, ввиду того, что К = [G,T] — пеабелева, то по лемме 2.5 получаем, что К ф К и, значит, G не является перекрученном.
Итак, в силу (ii) получаем противоречие с условием, которое доказывает то, что в теореме G.1 из 1) следует 2). Покажем, что из 2) следует 1). Допустим противное, что G не является перекрученной.
Существует такое скрученное подмиоэ/сество К из группы G, что К ф К и b К. Так как G не является перекрученной, то в G существует скрученное подмножество S такое, что S ф S . Ввиду теоремы 1, получаем, что S 2 А. Значит, существует х Є S такой, что \х\ = q. Так как G группа Фробениусас инвариантной подгруппой А и дополнением b , то существует элемент а Є А такой, что х а= b .
Рассмотрим К := Sa. Очевидно, К — скрученное подмножество. Так как по лемме 2.1 х С 5, то получаем, что b С К. Поскольку S ф S , то Кф К . (іі) АТІЛ І.
Допустим противное, что К П А = 1. Тогда для любого элемента ж из /Г .т = q. Так как К ф К и 6 Є К, то, іяшду леммы 2.1, существует элемент х Є if\ b , имеющий по])ядок g. Так как (7 группа Фробопиуса с инвариантной подгруппой А и дополненном b , то существует а Є Л такой, что b а= х . В силу леммы 2.1 х С К и, значит, можно считать, что х = Ьа.
Рассмотрим z := b (t+v ]а 1ЬаЬ +1\ где t такое, что q — 2t + 1. z Є К, так как z = b (t+lkb t+1l Но z = b- + a-lbt+xbMab t+ и, значит, z Є А. Таким образом, z Є К П А, следовательно, z = 1, откуда a lba = 6, и получаем противоречие с тем, что х b . (iii) G= K . Нетрудно видеть, что Cc(b) = b . Так как по (i) b Є К, а по (іі) существует элемент а Є А Г) К такой, что а ф 1, то, ввиду того, что G ---группа Миллера-Мореио, получаем, что G = a, b , т.о G = /Г . (iv) Группа G имеет такой ипволютивиый автоморфизм т, что т(Ь) = Ь 1. Пусть КегК := {х Є К : хК = К}. По лемме 2.0(1) КегК нормальная подгруппа в G. Покажем, что КегК — 1. Допустим противное, что КегК ф 1. Так как А - единственная минимальная нормальная подгруппа в G, то А КегК С К.
MNG-подмножества, содержащие одну инволюцию, по, более, чем одну, максимальную циклическую 2-иодгруппу102
Так как Ф(Р) Рь то но (16) имеем (Р,) = Пі(Ф(Р)). По (17.2) Р, абелева. Тогда ранги Д и Ф(Р) совпадают между собоіі, і = 1,2. Різ (17.4) и леммы 2.25 получаем, что подгруппы Pj, Ф(Р) являются гомопиклическими группами.
Пусть р1 — экспонента Р. Экспонента Р равна экспоненте Р і = 1,2. Таким образом, получаем, что верны равенства Р\ = х\ X х Xk , Р2 = у1 X X Ук ДЛЯ некоторых ЭЛемеПТОВ Xj,1Jj, где \Xj\ — \Vj\ = Vіі 3 — її ) k. Нетрудно видеть, что Ф(Р) = хр X х xvh = у\ X X уі , откуда и получаем требуемое. (17.6) Пусть х,у — элементы из Р, удовлетворяющие пункту (17.5). Тогда группа Т := х, у - иеабелева. Допустим противное, что Т абелева. Ясно, что \Т\ =р2, где Т — образ подгруппы Т и G = (7/Ф(Р). Так как Т — абелева, то ж?/-1 = р и Т = ж х ху х . По (16) ж?/-1 Є Ф(Р) и, значит, \Т\ — р. Получаем протиіюі)ечие с тем, что \Т\ = р2.
Далее, так как хр = у1 , то \Т : х \ = р. Значит, \Т\ = р\х\. Из (16), (17.3) fii(T) Z(P). Так как по (17.6) подгруппа Т пенбелена, то по лемме 2.17 m(Q\(T)) 2. Значит, существует элемент z Є Qj(T) такой, что х П z = 1. Тогда для подгруппы N := х, z имеем N = х х z . Ясно, \N\ = р\х\. Поскольку \N\ = Г, то N — Т и, значит, подгруппа Т — абелева. Получаем противоречие с (17.6), которое доказывает (17). (18) Пусть хеР\ Ф(Р). Тогда Р = хс\с Ь». Пусті, N := хс\ сЄ Ь» и Г := Ф(Р), N . Рассмотрим Т — образ подгруппы Т в G — Р/Ф(Р). Ясно, что Т ф 1 и Т — -инвариантная подгруппа. Следовательно, но (17) имеем Т = Р. Тогда Т = Р и, значит, Р = N. (19) Р = ж у , где х Р.
Из лемм 4.1, 2.2 и теоремы 3 следует, что существует элемент у Є Р и абелева подгруппа N ] Р такие, что Р = N у , Qi(N) Z(P) и для любой подгруппы а из JV справедливо a v— а . Ясно, что N Ф(Р). Пусть .т Є JV \ Ф(Р). Покажем, что х П жь 1. Допустим противное, что х П хь — 1. Тогда, как нетрудно видеть, для любого натурального числа s имеем х П xh" = 1.
Пусті, Ts. := ar,xbs . Так как х Р и х П ж " = 1, то Тй = х X жь" . Значит, 6- -1 -1) = xb"{" [) \ х , откуда, і! силу нормальности подгруппы ж в Р, получаем, что Ь 8((1 1)Т8Ь (1 1 = хь" х х и, следовательно, Ts = х х х?/ . Таким образом, для любого s подгруппа Ts — абелева, откуда вытекает, что для любых п, тп элементы хь", хь являются перестановочными. В силу пункта (18), Р = хс\с Є Ь . Значит, получаем, что Р абелева группа противоречие с выбором контрпримера G. Итак, х П хь ф 1. Для X := я П жь П---П ж "- вытекае 1 , что X ф 1.
Нетрудно видеть, что Г і(Х) fii(iV) Z(P) и Qi(X) -6-инвариаптпая подгруппа. Таким образом, 0 i(X) — нормальная подгруппа из G. В силу теоремы Машке и пункта (1), элемент Ь действует поприводимо па fii(Z(P)), откуда следует, что й\{Х) — fii(iV) = Q\(Z(P)). Таким образом, fii(Ar) циклическая группа. Тогда но лемме 2.17 получаем, что iV циклическая группа и (19) доказано.
Далее, рассмотрим Р,Ь образы, соответственно, Р и b в G — (7/Ф(Р). Из (19) следует, что Р — элементарная абелева группа порядка р 2. По (17) элемент b действует неприводимо на Р. Тогда по теоремы 6.1 получаем, что G не является перекрученной. Значит, по следствию 4.3 G ие является перекрученной. Получаем противоречие с выбором контрпримера G, которое доказывает теорему 5.Данный подраздел посвящен доказательству следующего утверждения.
Теорема 9.1 Для конечной группы G четного порядка следующие условия эквивалентны: (1) G - MNS-груіта; (2) G = D-2P группа диэдра порядка 2р, где р простое. Доказательство. Покажем, что из (2) следует (1).
Так как G содержит более одной инволюции, то, по лемме 4.5, G не является перекрученной группой. Любая собственная секция группы G является циклической и, значит, по теореме 1, — перекрученая группа. Таким образом, G MNS-группа. Покажем, что из (1) следует (2). Если существует подгруппа Т G : Т = Ді, т.е. Т = а х Ь , где \а\ — \Ь\ = 2, то G = Т, так как подмножество К := {1,а, 6} из группы G является скрученным подмножеством И К ф К = Т. Таким образом, далее можно считать, что группа G ие содержит подгрупп, изоморфных D.\. Тогда секционный 2-раиг G не больше 1, так как любая собственная секция группы G перекрученая группа, значит, согласно лемме? 4.5, имеет не более одной инволюции.
