Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы восстановления изображения по картине дифракционного поля
1.1. Восстановление фазовой информации об объектной волне 14
1.2. Общая постановка задачи формирования и восстановления изображения 18
1.3. Линейные методы восстановления изображения 22
1.4. Нелинейные методы восстановления изображения 25
1.5. Итерационные методы восстановления изображения 31
1.6. Голографический способ записи и восстановления световой волны ., 35
1.7. Когерентно оптические методы восстановления изображения в астрономии 37
1.8. Формирование изображений с помощью дифракционных оптических элементов 50
1.9. Выводы 53
Глава 2. Исследования статистических свойств пространственного распределения фазы развитого спекл-модулированного дифракционного поля
2.1. Постановка задачи 55
2.2. Обзор исследования статистических параметров развитых спекл- полей 56
2.3. Исследование условий формирования действительных спекл-полей ., 73
2.4. Экспериментальное исследование случайных фазовых соотношений в дифракционном спекл-модулированном поле 81
2.5. Выводы 85
Глава 3. Восстановление изображения объекта по записи интенсивности дифракционного спекл-модулированного поля
3.1. Постановка задачи 87
3.2. Представления о механизмах формирования изображения, восстанавливающегося с голограммы 88
3.3. Когерентно-оптические системы, выполняющие Фурье-преобразование
3.4. Особенности записи и восстановления световой волны с помощью Фурье-голограмм
3.5. Экспериментальные схемы цифровой регистрации пространственного распределения интенсивности дифракционного поля объекта 101
3.6. Алгоритмы моделирования голограммной структуры с использованием распределения интенсивности дифракционного поля объекта и восстановления его изображения
3.6.1. Алгоритм восстановления изображения с помощью голографически подобного дифракционного оптического элемента 107
3.6.2. Алгоритм восстановления изображения с помощью с помощью цифровых Фурье-спеклограмм 117
3.7. Особенности восстановления изображений рассеивающих объектов с различной степенью симметрии с помощью цифровых Фурье-спеклограмм 123
3.8. Выводы 126
Заключение 128
Литература 130
- Общая постановка задачи формирования и восстановления изображения
- Когерентно оптические методы восстановления изображения в астрономии
- Обзор исследования статистических параметров развитых спекл- полей
- Представления о механизмах формирования изображения, восстанавливающегося с голограммы
Введение к работе
В связи с тем, что период электромагнитных колебаний, относящихся к оптической области спектра, очень мал, приемники излучения способны регистрировать только величину световой энергии, интенсивность, среднюю за период. В результате усреднения можно судить только об амплитуде колебаний, информация о фазе теряется [1]. Но, именно, фаза содержит в себе информацию о пространственном расположении объекта, и, таким образом, измерения, в которых не содержится информация о фазе, не позволяют составить полное представление о свойствах объекта, являющегося источником волн.
Применение лазеров привело к созданию новых методов записи и восстановления изображений, была изобретена голография, именно для записи и амплитуды, и фазы световой волны, совокупность которых содержит полную информацию об объекте. При всех своих достоинствах: точное воспроизведение деталей объекта и его пространственного расположения, возможность практического применения в области точных измерений, порядка длины волны света [2-7], в голографии имеется ряд трудностей, а именно трудоемкость записи голограмм и сложность технического оборудования, необходима хорошая виброзащищенность. Поскольку при регистрации голограммы используют несколько лазерных пучков, необходимо, чтобы выполнялось условие их взаимной когерентности [8-9].
Естественно, возникает такой вопрос, возможно ли обойтись в процессе регистрации одним лазерным пучком, без использования опорного когерентного, и как в таком случае восстановить полную информацию об объекте? Это является актуальным, поскольку в ряде случаев невозможно реализовать голографический принцип; кроме того, часто требуется раздельный анализ амплитудной и фазовой информации. Как показано в работе [10], одно измерение интенсивности в плоскости наблюдения не позволяет восстановить исходное поле, для этого необходимо провести дополнительные измерения
5 интенсивности либо использовать априорно известную информацию о поле, как, например, информацию о статистическом распределении фазы в плоскости регистрации.
В случае записи информации о рассеянном объектом когерентном световом поле, при отсутствии когерентной опорной волны регистрируется спеклограмма [11], в которой отсутствует информация о фазовом распределении. При когерентном освещении шероховатой поверхности, вследствие интерференции рассеиваемых волн, исходящих из разных точек объекта, образуются спекл-структуры.
После создания лазеров появилось новое направление в оптике - оптика спеклов [3,11]. Спекл-эффект наблюдается только в том случае, когда изменения высоты рельефа поверхности имеют порядок длины волны падающего излучения. При освещении такой поверхности лазерным пучком интенсивность рассеянного света меняется случайным образом от точки к точке. Поскольку рассеивающие неоднородности были случайными, то образующиеся области корреляции интенсивности имеют случайную форму и размеры и расположены случайным образом в плоскости наблюдения.
Когерентное лазерное излучение претерпевает диффузное рассеяние, отражаясь от шероховатых объектов или проходя через неоднородную среду, и поскольку, природные среды являются всегда в той или иной степени случайными, спеклы появляются практически всегда, когда применяется лазерное излучение. Спекл-структуры обладают ярко выраженными статистическими, случайными свойствами. Исследованию статистических свойств таких полей посвящены работы [12-111]
Спекл-поля несут информацию о свойствах объекта, на котором рассеялся свет лазера. Это свойство используется для высокоточного измерения смещений и деформаций шероховатых поверхностей, также для наблюдения астрономических объектов через турбулентную атмосферу Земли [3,11,16,112]. Использование свойств и особенностей спекл-полей нашло широкое
практическое применение во многих методах измерения, контроля и диагностики. Для решения многих научно-технических задач в различных областях науки и техники - в машиностроении, технической диагностике, в лазерной медицине, в астрономии методами оптической интерферометрии, в которых формируется и наблюдается интерференция спекл-модулированных волн, необходимы знания о статистических свойствах диффузно рассеянных когерентных полей. Эти знания лежат в основе методов голографической интерферометрии [3,4,7,113-120], спекл-фотографии и спекл-интерферометрии [3,27,51,118-121], методов измерения, основанных на интерференции некоррелированных спекл-полей [54,58,63,65-67,122-126], которые служат для решения задач измерения малых перемещений, деформаций, вибраций объектов с шероховатыми поверхностями.
Восстановление информации о распределении комплексной амплитуды в спекл-поле и, следовательно, возможность восстановления изображения объекта по зарегистрированному распределению интенсивности рассеянного им когерентного поля в дифракционной зоне представляет интерес в голографии и дифракционной оптике, в оптических измерениях и диагностике, в методах оптической обработки информации, в микроскопии и т.п. Имея способ восстановления пространственных фазовых распределений поля наравне с амплитудными в плоскости спеклограммы, можно, так или иначе, восстановить изображение объекта по его дифракционному полю.
Поскольку в отсутствии опорного пучка на стадии регистрации требования взаимной когерентности более низкие, то это является главным достоинством методов восстановления изображения по картине дифракционного поля без опорного пучка на стадии регистрации. При этом возникает ряд трудностей: сложность алгоритмов обработки зарегистрированной информации об объекте, сложность программирования, большие затраты времени на вычисление и отсутствие гарантии сходимости алгоритмов, чувствительность многих методов к шуму, необходимость
7 получения какой-либо дополнительной информации о световой волне. Задаче восстановления изображения по картине дифракционного поля без опорного пучка на стадии регистрации посвящены работы [10,127-196].
Задача восстановления волнового фронта по зарегистрированному распределению интенсивности не удовлетворяет условию корректности [172]. Задача считается корректно поставленной в том случае, когда решение существует, является единственным и устойчивым [127]. Чтобы перевести задачу восстановления в разряд корректных, необходимо иметь какую-либо дополнительную информацию о световой волне.
Примером таких методов восстановления могут служить итерационные [10,138,147,148,157,165,166,172,175-179], неитерационные [182-193] методы. Для итерационного приближения требуется начальное предположение о фазовом распределении, которое постепенно итерационно уточняется. Подход на основе итерационной процедуры не является вполне самостоятельным, поскольку для его реализации необходимо иметь достаточно близкое к реальному первое приближение пространственного распределения фазы. Во многих неитерационных методах восстановления кроме распределения интенсивности в плоскости регистрации используется какая-либо дополнительная информация о световой волне, например, информация о распределении фазы или дополнительное распределение интенсивности в соседней плоскости. Каждый из существующих методов имеет свои достоинства и недостатки, свою область применения.
Для разработки алгоритма, упрощающего существующие алгоритмы обработки зарегистрированного без опорного пучка дифракционного поля с целью восстановления изображения объекта, в работе теоретически и экспериментально исследованы статистические свойства распределения разности фаз дифракционного поля в двух его точках.
На основе исследования статистических свойств спекл-полей в дальней области дифракции решается задача восстановления изображения объекта по
8 записи интенсивности его дифракционного поля. Фактически, найден способ реконструкции фазового пространственного распределения рассеянного поля для определенных классов объектов. А именно, для рассеивающих объектов, у которых распределение интенсивности когерентного поля по поверхности объекта описывается четной функцией координат, или, другими словами, для объектов, обладающих вращательной симметрией четного порядка, было получено математическое соотношение для распределения плотности вероятности разности фаз в двух точках.
Развитие методов восстановления изображений по картине дифракционного поля является актуальной и практически важной задачей в области оптической обработки информации. В рамках настоящей диссертационной работы проведены теоретические и экспериментальные исследования фазовых статистических свойств в диффузно-рассеянных когерентных световых полях с использованием аналоговых и цифровых средств регистрации и обработки информации. Результаты исследования использованы в алгоритмах обработки спеклов для синтеза голограммоподобных структур с целью аналогового или численного восстановления изображения.
Цель диссертационной работы - исследования статистических свойств пространственных фазовых распределений в спекл-полях и разработка нового метода восстановления изображения по пространственному распределению интенсивности дифракционного спекл-модулированного поля.
В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи:
Теоретическое и экспериментальное исследование статистических свойств и закономерностей пространственных фазовых распределений в диффузно-рассеянных когерентных световых полях, формируемых в дальней зоне дифракции.
Исследование процессов и механизмов восстановления изображения с учетом
статистических свойств спекл-поля в дальней области дифракции.
Разработка алгоритмов и программ компьютерной графической обработки цифровых спеклограмм с целью синтеза голограммных структур и получения искусственных голографически подобных дифракционных оптических элементов, позволяющих формировать изображения для некоторых классов объектов.
Разработка методов записи цифровых безопорных голограмм (спеклограмм) и
алгоритмов восстановления изображений с таких голограмм как цифровыми, так и аналоговыми средствами.
Научная новизна исследований
Впервые показано, что комплексная амплитуда спекл-поля, формируемого 5-коррелированным источником когерентного диффузно-рассеянного излучения, распределение интенсивности по которому описывается детерминированной четной функцией координат, принимает действительные значения в дальней области дифракции.
Впервые проведен статистический эксперимент по прямому измерению разности фаз в двух точках поля, формируемого источником когерентного диффузно-рассеянного излучения, в результате которого обнаружено, что наибольшая плотность вероятности разности фаз в соседних спеклах принимает значение ж радиан.
Для рассеивающих объектов, обладающих вращательной симметрией четного порядка, впервые реализован алгоритм компьютерной обработки дифракционных спекл-структур, позволивший восстановить изображение исходного объекта по записи интенсивности дифракционного поля.
С помощью средств компьютерной графики впервые разработана методика обработки спеклограмм с целью восстановления информации о фазе рассеянного поля, утраченной на стадии регистрации.
Впервые реализован вариант цифровой безопорной Фурье-голограммы на основе разработанной методики восстановления изображения объекта по зарегистрированной интенсивности дифракционного поля.
10 Разработан новый метод и технология создания специального дифракционного оптического элемента, позволяющего формировать оптические структуры заданной формы и размеров.
Научно-практическая ценность работы
Результаты работы позволяют расширить представления о ряде важных свойств когерентного диффузно-рассеянного поля. Теоретические и экспериментальные результаты работы по исследованию статистических свойств спекл-полей могут быть использованы при разработке новых технологий и подходов для создания дифракционных оптических элементов, устройств формирования изображений; новых методов и устройств оптической обработки информации, оптических измерений, интерференционных измерений параметров рассеивающих объектов, оптической микроскопии.
На основе разработанных алгоритмов восстановления изображения возможна разработка новых методов и технологий цифровой голографии, спекл-фотографии, голографической и спекл-интерферометрии, вычитания изображений, создания специальных дифракционных оптических элементов.
Результаты работы по исследованию статистических закономерностей распределения фазы в спекл-полях, образованных рассеивающими объектами различной формы, имеют научно-методологическое значение и могут использоваться в сфере образования в области естественных и технических наук, в современных учебных курсах по физической оптике.
Достоверность научных результатов и выводов, полученных в работе, обусловливается адекватностью используемых теоретических моделей исследуемым физическим процессам, корректностью принятых упрощающих допущений, корректностью постановки экспериментов и соответствием их результатов теоретическим выводам.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту
1. Спекл-модулированное оптическое поле, формируемое в дальней зоне
дифракции 8-коррелированным рассеивающим объектом, распределение интенсивности по которому описывается детерминированной четной функцией координат, является действительным. Это поле представляет собой совокупность спеклов, в пределах каждого из которых фаза постоянна, а при переходе к соседнему меняется на я радиан. В условиях не 8-коррелировашюсти источника имеет место неравномерность плотности распределения разности фаз в соседних спеклах с наиболее вероятным значением л радиан
Неравномерность плотности распределения вероятности разности фаз в двух точках спекл-поля может быть использована в алгоритмах обработки спеклограмм для синтеза голограммноподобных дифракционных структур для аналогового и численного восстановления изображения по записи интенсивности дифракционного поля.
Метод восстановления изображения объекта по записи интенсивности спекл-картины в дальней области дифракции, заключающийсяся в создании голограммноподобных дифракционных структур, путем нанесения системы несущих полос на спеклограмму со сдвигом на половину периода в соседних спеклах, с последующим Фурье-преобразованием полученной структуры.
Объектное волновое поле, восстановленное с голограммы, представляет собой суперпозицию элементарных волн, дифрагированных на элементарных ячейках голограммы, которые являются элементарными дифракционными решетками в виде спеклов, модулированных интерференционными полосами. Положение интерференционных полос внутри элементарной ячейки и положение самой ячейки определяют фазу элементарной волны, период полос - направление распространения элементарной волны, дифрагированной на данной ячейке.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены на международных конференциях: "Interferometry Techniques and Analysis" (USA, San-Diego, 1993); "International School on Optics, Laser Physics & Biophysics" (Саратов 2002, 2004, 2005, 2006 гг.); "Проблемы и перспективы развития прецизионной механики и управления в машиностроении" (Саратов, 2002 г.).
Исследования по теме диссертации были проведены при поддержке грантов: РФФИ №06-08-00987а; научной программы "Университеты России" № УР.01.01.048 и № УР.01.01.368; программы поддержки ведущих научных школ № НШ-25.2003.2 и CRDF № REC-006.
Личный вклад соискателя состоит в проведении теоретических исследований, в обсуждении и самостоятельном решении ряда задач, поставленных доцентом, к.ф.-м.н. Б.Б. Горбатенко и профессором, д.ф.-м.н. В.П. Рябухо; в постановке и проведении экспериментов; в обработке и анализе полученных результатов.
Публикации. По материалам исследований, выполненных в рамках диссертационной работы, опубликовано 10 научных работ, включая 5 статей в рецензируемых журналах, 4 статьи в сборниках научных трудов, 1 статья в сборнике докладов конференции [197-206].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 145 страниц текста, включая 46 рисунков. Список литературы содержит 206 наименований.
Общая постановка задачи формирования и восстановления изображения
В случае классической оптики изображение формируется с помощью систем линз, зеркал, дифракционных элементов, таких как линза Френеля, и других подобных элементов, которые в совокупности представляют собой систему формирования изображения. Вследствие искажений, вносимых системой формирования и средой распространения излучения, исходное изображение объекта f(x,y) преобразуется в некоторое регистрируемое изображение g( ,?]). Общее выражение для наблюдаемого изображения можно записать в виде [127] оо (?)= jjf(x,y)h( ,T],x,y)dxdy + n( ,Tj), (1.4) -00 где h( ,rj,x,y) - весовая функция системы, определяющая все ее свойства; п{Е,,г\) - аддитивный случайный шум. Задача восстановления изображения в большинстве случаев сводится к решению уравнения (1.4), к определению функции f(x,y) по зашумленным значениям g(%,ii). Для упрощения нахождения исходного изображения f(x,y) можно предположить условие линейности системы формирования изображения, т.е. реакция системы на сумму воздействий равна сумме реакций. Можно предположить также, что искажения, вносимые и системой формирования и средой распространения линейные. Выражение (1.4), описывающее такие системы, является приближенным, удобным для анализа. Если система формирования является идеальной, то ее передаточная функция равна дельта-функции. Входное изображение без искажения повторяется в выходном сигнале оо (#= /( Ж-х)Л = /(). (1.5) -00 Однако в реальных условиях системы формирования изображения являются нелинейными. Некоторые такие системы рассматриваются в работе [128]. Процесс формирования изображения является процессом преобразования исходного изображения f(x,y) в регистрируемое изображение g(%,rj) при помощи некоторого преобразования g(t,V) = A{f(x,y)}, (1.6) тогда задача восстановления исходного изображения заключается в нахождении обратного преобразования, устранении искажений, вносимых средой и системой формирования f(x,y) = A-llg( V)}. (1.7) Прямое и обратное преобразования производится при условии линейности систем формирования. Если нелинейность не сводится к простому преобразованию (1.6), где в этом случае А - нелинейная функция, то для анализа нелинейных систем можно использовать разложение в ряд Вольтерра [127,128]. Для одномерного случая этот ряд имеет вид 00 00 8(")= \f(i;)h(x,№+ j\f(t)fei)h2(x,ltl)d&r,+ -\ . 0-8) + Д j/() /Ш(У) h3(x,%,7j,v)d&?]dv + .... -00 где h\(x,), h2(x, ,t]),... - ядра системы. Для некоторых нелинейных систем достаточно приближения, которое дает два первых членов ряда.
С физической точки зрения все условия получения и все системы формирования изображений вносят искажения, которые часто приводят к невозможности извлечь полезную информацию об объекте, изображение которого необходимо восстановить из зарегистрированного сигнала.
Для того чтобы восстановить изображение необходимо решить обратную задачу, необходимо определить обратный оператор задачи (1.7). При решении обратной задачи возникает ряд вопросов о существовании, единственности и устойчивости решения основного интегрального уравнения, приводят ли малые изменения исходных данных к малым изменениям решения. В том случае, когда решение существует, является единственным и устойчивым, задача считается корректно поставленной. В обратном случае задача называется некорректной. Общие методы решения некорректно поставленных задач представлены в работах [130-132]. Как правило, задачи восстановления изображения оказываются некорректными. В реальных условиях всегда имеется в наличии входной сигнал от объекта исследования, и если не существует решение обратной задачи, это означает неадекватность моделирования реальной ситуации.
Для решения уравнений свертки (1.9) алгоритмы численного анализа можно разделить на алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений, алгоритмы вычисления свертки и алгоритмы обработки изображений в частотной области.
Существует ряд требований к алгоритмам восстановления изображений [130]. Требуется алгоритм, позволяющий расширить полосу пространственных частот и обеспечивающий неотрицательность решения. Алгоритм должен обладать устойчивостью к шумам на входе, которая достигается использованием общего математического подхода, основанного на регуляризации, а не с помощью каких-то частных приемов. Алгоритм должен качественно восстанавливать различные классы изображений, при независимости математического обеспечения от конкретной ситуации. В алгоритме должны учитываться возможные априорные сведения о сигнале, должен предусматриваться ввод дополнительных ограничений без изменения вычислительной схемы. Необходима возможность управления процессом восстановления с целью учета специфической структуры изображения.
При решении конкретной задачи необходимо оценить возможности вычислительной системы, степень искажения, уровень шума, доступную априорную информацию, требуемое качество решения, и соответственно этим оценкам происходит выбор подходящего алгоритма для решения задачи восстановления.
Использование линейных методов эффективно в случаях, когда изображения не слишком сильно искажены и зашумлены, и когда есть ограничения по времени вычисления. Достоинством линейных алгоритмов является простота их реализации, недостатком - несогласованность с неотрицательностью решения, невозможность экстраполяции спектра.
Для математического описания реальной ситуации используют различные виды алгоритмов. Процесс поиска общих методов решения некорректно поставленных задач привел к созданию новых решений. А.Н. Тихонов в своей работе [130] ввел фундаментальные понятия регуляризации решения и регуляризующего оператора. Эта идея состоит в том, что строится семейство обратных операторов, зависящих от некоторого числового параметра регуляризации а. Каждый оператор семейства дает решение корректной задачи. При стремлении к нулю параметра а и ошибки исходных данных решение корректной задачи стремится к истинному решению соответствующей некорректной задачи.
Когерентно оптические методы восстановления изображения в астрономии
Восстановление изображения имеет большое значение для решения многих задач в различных областях науки и техники. В частности, в астрономии применение альтернативных методов позволяет повысить в несколько раз эффективность использования оптических наземных телескопов при гораздо меньших затратах, чем затраты на строительство более крупных телескопов. Незначительное увеличение диаметра зеркала приводит к резкому возрастанию стоимости телескопа [158]. Тем более что для современных технологий существуют ограничения на увеличение диаметра зеркала.
Для наземных телескопов отношение сигнал-шум прямо пропорционально квадрату диаметра зеркала и обратно пропорционально диаметру турбулентного диска [159], который равен размеру «размытия» точечного объекта при длительной экспозиции и определяется отношением длины волны излучения к радиусу когерентности [160]. Атмосферная турбулентность на порядок уменьшает разрешение телескопа при наблюдении с поверхности Земли. Если получать изображения в режиме коротких экспозиций, то при их дальнейшей вычислительной обработке можно получить качественное восстановленное изображение.
Метод спекл-интерферометрии [3,11] позволяет получить информацию об объекте вплоть до дифракционного предела телескопа, а дальнейшая вычислительная обработка этих данных позволяет даже получить в некоторых случаях качественное восстановленное изображение. С применением этих методов телескоп с диаметром зеркала два метра по своим параметрам эквивалентен шестиметровому [127]. Открываются уникальные возможности астрономических исследований при применении когерентно-оптических методов совместно с классическими методами наблюдения в астрономии с помощью самых крупных телескопов.
Получение информации об оптически неразрешаемых астрономических объектах Для получения информации об оптически неразрешаемых астрономических объектах используется метод звездной спекл-интерферометрии. Основы этого метода были заложены французским ученым А. Лабейри [112,161-163]. При условии рассмотрения идеального оптического телескопа без аберраций его угловое разрешение ограничено дифракцией света на его апертуре, оно равно 1,22Я IDa, где Da - диаметр апертуры телескопа, X - средняя длина волны падающего излучения. Изображение одиночной звезды в фокальной плоскости телескопа представляет собой дифракционное пятно, круг Эйри. Это картина дифракции плоской волны на круглом отверстии.
В реальности световая волна от далеких звезд не является плоской, вследствие того, что атмосферные флуктуации сильно искажают волновой фронт. Если средний размер неоднородностей атмосферы га 0 порядка нескольких сантиметров, что значительно меньше апертуры телескопа, то в его фокальной плоскости вместо дифракционного пятна формируется спекл-картина, со средним размером спеклов s± = Xf/Da0, где f - фокусная длина телескопа. Поскольку атмосферные флуктуации меняются очень быстро, порядка 0,02 сек., то соответственно меняется и форма волновой поверхности. Следствием этого является быстрая смена спекл-структур в фокальной плоскости телескопа. При длительной экспозиции спекл-картина усредняется и наблюдается размытое пятно с размером «Я/га0. Если проводить регистрации при очень малых временах экспозиции, порядка 0,01 сек., и сделать множество таких снимков, то на каждом будет зарегистрирована спекл-картина со средним размером спеклов одинаковым для каждой реализации. Поскольку пространственное расположение спеклов на каждом снимке будет разное, между двумя зарегистрированными спекл-структурами не будет ни какой корреляции.
Из пространственного спектра этих спекл-изображений, усредненных по многим изображениям можно извлечь информацию об угловом размере звезды, в случае двойных звезд можно определить расстояние между компонентами звездной пары. При наблюдении двойных звезд, в апертуру телескопа попадает две световые волны (рис. 1.2), которые формируют в фокальной плоскости телескопа две идентичные спекл-структуры, смещенные друг относительно друга на расстояние g = fA0O, где Ав 0 - угловое расстояние между компонентами звездной пары.
Эти две спекл-структуры идентичны, поскольку они формируются при прохождении двух световых волн через одинаковые неоднородности атмосферы. Волны складываются без интерференции, поскольку источники взаимно некогерентные. Таким образом, результатом регистрации являются две идентичные взаимно смещенные спекл-картины. В результате преобразования Фурье можно получить пространственный спектр таких спекл-картин, который содержит косинусоидальную функцию, с периодом обратно пропорциональным Ав.
Допустим, что регистрация производится на физическом носителе, например, две идентичные спекл-структуры от компонент звездной пары регистрируются на фотопластинке. При освещении такой спеклограммы лазерным лучом в результате дифракции на двойной тонкой спекл-структуре дифракционного поля объекта формируется система параллельных интерференционных полос, перпендикулярных линии, соединяющей компоненты звездной пары, с периодом Л = Яг//Ав, где z - расстояние от спеклограммы до плоскости наблюдения системы параллельных полос.
Обзор исследования статистических параметров развитых спекл- полей
Статистические флуктуации света имеют важное значение во многих оптических экспериментах и играют центральную роль при определении характера изображения, формируемого когерентными оптическими системами. Знания о статистических свойствах спекл-полей лежат в основе многих оптических методов измерения.
Спекл-поля несут информацию о свойствах объекта, на котором рассеялось лазерное излучение. В случае, когда объектом исследования является шероховатая поверхность, то о параметрах ее неоднородности можно судить по свойствам образующихся спеклов. Поскольку спекл-структура присутствует всегда, когда имеют дело с источниками когерентных излучений, то для решения многих научно-технических задач, в частности, актуальной задачи восстановления и формирования изображения, необходимо знание о свойствах спекл-структур, распределении интенсивности, фазы, о поперечном и продольном размерах спеклов и т.п.
Большинство исследований посвящено изучению статистических свойств интенсивности спеклов, так как она непосредственно регистрируется и используется во многих практических методах [3,27,51,118-121]. Статистические характеристики распределения интенсивности и фазы в спеклах были исследованы в работе [14], в которой была теоретически получена функция плотности вероятности для распределения интенсивности и фазы в спекл-поле на основе статистики круговых комплексных гауссовских случайных переменных.
Переменными, которые описываются гауссовской статистикой, можно считать множественные случайные вклады от элементарных источников на шероховатой поверхности с однородным распределением для фазы, формирующие сложную интерференционную картину спекл-модулированого поля. На основе такого подхода, при условии, что количество элементарных источников стремится к бесконечности, получается, что действительная и мнимая части комплексной амплитуды результирующего поля имеют гауссовское распределение, а фаза равномерно распределена на интервале [-л;л]. Спекл-поле в результате такого подхода представляется круговым комплексным гауссовским случайным процессом. Контуры постоянной вероятности в распределения комплексной амплитуды представляют собой окружности.
Изучение спеклов на основе гауссовской статистики было продолжено в работах [82-89]. В работах [88,89] были исследованы статистические свойства спеклов, формируемых в дифракционной области, при освещении шероховатой поверхности лазерным пучком, распределение комплексной амплитуды которого описывается гауссовской статистикой.
В работах [35,90] исследованы статистические свойства спекл-полей в предположении неоднородного распределения для фазы элементарных источников. В этом случае контуры постоянной плотности распределения комплексной амплитуды представляют собой эллипсы, а функция распределения фазы представляет собой зависимость от пространственных координат точки наблюдения и от характера излучения, падающего на шероховатую поверхность. В работе [87] исследована статистика спеклов, формируемых в дальней области дифракции, при рассеянии лазерного излучения на случайном фазовом экране с негауссовской статистикой. Статистика комплексной амплитуды рассеянного поля может также отличаться от гауссовской, если не выполняется центральная предельная теорема. Это происходит при дифракции лазерного излучения на малом числе рассеивателей, например при дифракции сильно сфокусированных пучков в случайных средах [40,41,92-94]. Такие спекл-поля являются статистически неоднородными, все статистические характеристики таких полей зависят от координат точек наблюдения.
Спеклы, характеризуемые негауссовской статистикой, могут так же формироваться при рассеянии широких лазерных пучков на некоторых специфических поверхностях, высоты шероховатостей которых подчиняются определенным статистикам [96]. При прохождении когерентного излучения через слоистую среду со случайно неоднородными границами разделов формируются спекл-модулированные спеклы "speckled speckle", которые также характеризуются негауссовской статистикой [97,98]. В связи с все более широким применением систем с многомодовыми оптическими волокнами появилась необходимость изучения свойств спеклов, формирующихся на выходе волокна, свойства которых отличаются от свойств обычных спеклов [99,100].
Изучению пространственно-временных свойств спекл-полей, образующихся при движении диффузных рассеивателей посвящены работы [21,46,101]. При рассеянии лазерных пучков на неподвижных поверхностях, формируемые спеклы также неподвижны в плоскости наблюдения. В случае смещения диффузно-рассеивающей объекта относительно лазерного пучка, создаваемое им спекл-поле также претерпевает смещение и изменение [11,12]. Динамическое спекл-поле по своим статистическим свойствам является эквивалентным излучению теплового квазимонохроматического источника [20], которое можно представить как динамическое спекл-поле со временем смены реализаций, равным времени когерентности. На основе взаимосвязи между изменениями в состоянии объекта и в спекл-поле разработано много методов бесконтактной диагностики диффузно-рассеивающих систем [102-104], измерения скорости движения шероховатых поверхностей и случайных потоков [105-107], исследования оптических систем [108,109]. Преимущество методов тестирования поверхности с помощью спекл-структур состоит в возможности изучения объектов, недоступных для непосредственного наблюдения, с целью измерения параметров микрорельефа, формы и перемещений, сравнимых с длиной световой волны, при простоте технической реализации этих методов.
Представления о механизмах формирования изображения, восстанавливающегося с голограммы
Существует несколько представлений о формировании волнового фронта, восстановленного с голограммы. Первый подход заключается в принципе суперпозиции, любую световую волну можно разложить на бесконечную сумму плоских монохроматических волн. При записи голограммы каждая такая плоская волна интерферирует с опорным пучком и создает свою интерференционную картину, которая регистрируется в виде дифракционной решетки с определенным периодом, который зависит от угла между опорным пучком и элементарной, плоской волной. Вся голограмма при таком подходе представляет собой совокупность элементарных дифракционных решеток, каждая из которых расположена по всей плоскости голограммы. При восстановлении изображения с голограммы опорный пучок дифрагирует на каждой из элементарных решеток. В результате дифракции образуется совокупность плоских волн, суперпозиция которых и формирует восстановленный волновой фронт.
При другом подходе голограмма представляется как совокупность зонных пластинок. Предметную волну можно представить как суперпозицию сферических волн. Каждая такая волна при интерференции с плоский опорным пучком, который можно рассматривать как сферический с бесконечным радиусом кривизны, формирует интерференционную картину, которая регистрируется в виде зонной пластинки Френеля, расположенной по всей плоскости голограммы. Дифракция восстанавливающего пучка на таких элементарных зонных структурах формирует совокупность элементарных сферических волн, суперпозиция которых формирует восстановленное изображение объекта.
Вышеизложенные подходы о представлении, что же такое голограмма, являются в общем абстрактными, являются удобной для описания математической моделью, потому что в реальности элементарные дифракционные решетки и зонные пластинки Френеля по всей плоскости голограммы наблюдать невозможно. Другим подходом, более наглядным, является представление о голограмме, как о наборе элементарных ячеек, которыми являются спеклы объектного поля, промодулированные интерференционными полосами.
При переходе от спекла к спеклу интерференционные полосы смещаются, поскольку фаза в спеклах разная. Объектное волновое поле, восстановленное с голограммы, представляет собой суперпозицию элементарных волн, дифрагированных на элементарных ячейках голограммы, которые являются элементарными дифракционными решетками в виде спеклов, модулированных интерференционными полосами.
Теоретически и экспериментально доказанное свойство о неравномерной плотности вероятности разности фаз в двух точках спекл-поля справедливо только для областей дальней зоны дифракции, поэтому для регистрации спекл-картины необходимо использовать схему, элементы которой выполняли бы Фурье-преобразование
Сложный сигнал на входе линейных систем часто бывает удобно представить в виде ряда более простых сигналов. Тогда, определив отклики системы на каждый из этих элементарных сигналов и сложив их, можно найти полную реакцию системы.
В реальности, чтобы уравнения дифракции Фраунгофера были справедливы, чтобы действительно наблюдать Фурье-образ, расстояние z должно быть достаточно большим. На практике это условие не всегда бывает просто выполнить. Альтернативой этому условию может быть использование линзы как элемента, выполняющего преобразование Фурье. Эту трудоемкую аналоговую операцию может с предельной простотой выполнять когерентная оптическая система.
Следовательно, распределение поля Uf{xf,yj) в фокальной плоскости пропорционально двумерному Фурье-образу источника. Комплексная амплитуда волна, проходящей через линзу, приобретает фазовый множитель, который компенсирует фазовый множитель, получаемый волной при прохождении свободного пространства. Поскольку в нашем случае идет речь о спеклограмме рассеивающего объекта, то функцию распределения амплитуды по источнику можно записать U(x,y) = t(x,y)exp[ik4 {x,y)}, (3.13) где t(x,y) - функция распределения амплитуды по источнику, характеризующая форму апертуры, экспонента определяет добавочный, случайный фазовый множитель, характеризующий рассеивающую компоненту источника, Ш(х,у) - случайная функция, зависящая от координат (х,у), и определяемая случайной высоты рельефа рассеивателя и случайным углом рассеяния.
