Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор литературы 11
1.1. Экспериментальные закономерности 13
1.2. Теоретические модели генерации гармоник высокого порядка 13
1.2.1 Полуклассическая модель 13
1.2.2. Модель Левенстейна 15
1.3. Проблема фазового синхронизма 25
2. Отклик атома на возбуждающее поле 31
2.1. Отклик атома на возбуждающее поле для разных траекторий 31
2.2. Аппроксимация атомного отклика суммой степенных функций 38
2.3. Результаты численных и аналитических расчетов 39
3. Угловые распределения гармоник высокого порядка, генерируемых в тонких мишенях 53
3.1. Интегральные выражения для гармоник поля 53
3.2. Угловые распределения гармоник 56
3.3. Результаты численных и аналитических расчетов гармоник высокого порядка , генерируемых в тонких мишенях 58
4. Угловые распределения и мощности гармоник высокого порядка, генерируемых в протяженных мишенях 69
4.1. Выражения для угловых распределений и мощности гармоник высокого порядка, генерируемых в протяженных мишенях 69
4.2. Результаты расчетов угловых распределений и мощности гармоник высокого порядка при разных условиях 72
Заключение 87
- Теоретические модели генерации гармоник высокого порядка
- Аппроксимация атомного отклика суммой степенных функций
- Угловые распределения гармоник
- Результаты расчетов угловых распределений и мощности гармоник высокого порядка при разных условиях
Введение к работе
Генерация гармоник высокого порядка (ГГВП) в атомарных мишенях впервые наблюдалась авторами [1] и [2], вскоре после создания мощных источников оптических импульсов с длительностями порядка и меньше пикосекуиды. Сущность явления состоит в следующем. При воздействии на атомарную мишень (пучок, струя, и др.) достаточно интенсивного лазерного пучка наблюдается генерация значительного число нечетных гармоник света. Гармоники генерируются одновременно друг с другом, в их спектре обычно наблюдается своеобразно «плато» -интервал на котором энергетический выход гармоник меняется с их номером относительно медленно и немонотонно.
В соответствие с современными теоретическими воззрениями, начало плато лежит вблизи частоты Etlh, где Е( - энергия ионизации атома, высокочастотная же граница а , определяется равенством aW-5+З.Ш, (1) где Up- пондеромоторный потенциал электрона в световом пучке (средняя кинетическая энергия электрона в осциллирующем поле: Up = М:ег 12тяпсг, где /и
Я интенсивность и длина волны света). В области частот превышающих (1), выход гармоник быстро уменьшается и становится не обпаружимым. Гармоники с частотами ниже Et/h далее называются гармониками низких порядков. Тогда соотношение (I),
наглядно демонстрирует пороговый характер явления, Его механизм будет обсуждаться в главе 1. (Схематически его можно представлять как периодически повторяющуюся — с частотой поля — последовательность актов ионизации, набора энергии в свободном движении электрона в поле возбуждающей волны и, наконец, рекомбинации сто на родительском ионе).
Типичные интенсивности возбуждающего света в экспериментах по ГГВП лежат в области 10й - 10,5вт/см2. Номера гармоник высокого порядка (ГВП), наблюдающихся в экспериментах, составляют десятки и даже сотни (например, в [3] наблюдались гармоники с номерами в области 300). Соответственно, частоты ГВП лежат в области жесткого УФ и мягкого рентгеновского излучения.
ГГВП интенсивно исследуется в течение последних 15 лет, как экспериментально, так и теоретически. Эти исследования представляют как фундаментальный, так и практический интерес. Уже сейчас ГВП используются в технике физического эксперимента [4]. Их достоинством является когерентность, направленность, возможность перестройки частоты (хотя бы дискретными шагами), а также то важное обстоятельство, что импульс гармоники автоматически оказывается синхронизованным с импульсами других гармони и с мощным возбуждающим лазерным импульсом, (поэтому ГВП часто используются в экспериментах по схеме возбуждение - зондирование).
Более широкому применению ГВП, в частности их использованию для силового воздействия (например, для коротковолновой литографии), пока препятствует относительно низкий выход, достигающийся в экспериментах по ГГВП. Вместе с тем, по мерс углубления понимания физики явления, совершенствуются схемы ГГВП и растут, хотя и очень медленно, достижения в области эффективности генерации. Рекордные коэффициенты преобразование энергии возбуждающего импульса в гармонику с номером порядка тридцати - пятидесяти, достигнутые к настоящему времени, лежать в области I0"6 - I0"J [5].
В теоретических исследованиях ГГВП следует выделить две основных проблемы. Первая из них является проблемой атомной физики. Ее существом является выяснение микроскопического механизма явления, получение формул и разработка численных методов для вычисления гармоник атомного отклика (или отклика среды) на поле интенсивной электромагнитной волны. Вторая проблема -исследование ГГВП в макроскопической среде — является проблемой электродинамики и состоит в вычислении полей ГВП вдали от области генерации.
На первый взгляд вторая проблема является рутиной и незначительно отличается от проблем возникающих, например, при исследовании генерации третьей гармоники в газе. На самом деле это не так. ГВП атомного отклика на возбуждающее поле очень сложным образом зависят от параметров последнего. Это затрудняет сколь ни будь полное аналитическое исследование генерации в среде, и делает очень трудоемким ее численное исследование. Трудоемкость такого исследования, естественно зависит от сложности алгоритма используемого для вычисления ГВП отклика среды на поле.
Таким образом, качество результатов достигнутых при решении первой проблемы в значительной мере определяет и перспективы исследования электродинамики генерации в макроскопической среде. Другими словами, исследование генерации в макроскопической среде требует адаптации моделей, используемых для расчетов отклика, к условиям задачи.
Одним из вопросов, требующих теоретического исследования, является вопрос о закономерностях, определяющих пространственное распределение ГВП. По крайней мере, до проведения данного исследования в литературе отсутствовали рекомендации, руководствуясь которыми можно было бы управлять расходимостью ГВП.
Вместе с тем, в ряде экспериментальных работ пространственное распределение гармоник исследовалось (см., на пример [6-10]). В основном, исследования касались гармоник с относительно небольшими номерами. В частности, в них показано, что угловые распределения немонотонны. Один из интересных результатов получен в работах [6,11,65 ], в которых обнаружено, что пучок гармоники состоит из двух компонент - двух пучков, отличающихся друг от друга сечением в плоскости наблюдения [б], и длиной когерентности [12].
К сожалению, упомянутые исследования регулярный характер и не были направлены на разработку методов управления расходимостью ГВП. Разработка таких методов остается актуальной задачей. Целью диссертации является:
1. Расчет угловых распределений ГВП, генерируемых в атомарных мишенях с различными толщинами при различных конфигурациях эксперимента, выяснение закономерностей определяющих формирование распределений и выработка рекомендаций по управлению их шириной.
2. Расчет мощностей ГВП, генерируемых в толстых мишенях при разных дисперсиях показателя преломления, разных толщинах и положениях мишени относительно фокуса лазерного пучка.
Практическая ценность результатов состоит в том, что в диссертации
1. Найдены аналитические выражения, с высокой точностью аппроксимирующие ГВП атомного отклика на сильное поле;
2. Указаны условия, при которых реализуется минимальная расходимость ГВП. Научная новизна работы состоит в следующем:
Впервые получена аналитическая формула, описывающая с помощью элементарных функций угловое распределение ГВП, генерируемых в тонком слое. Защищаемые положения
1. Поле ГВП, генерируемой в тонкой атомарной мишени, как правило, (исключение составляют ГВП с номерами, лежащими на границах «плато») может быть представлено в виде суммы полей двух пучков, близких друг к другу по мощности, но сильно (на порядок и более) различающихся по расходимости. 2. Расходимость ГВП, генерируемой в тонком слое атомарного газа в гауссовском световом пучке может быть доведена до дифракционной за счет правильного расположения генерирующего слоя относительно фокуса возбуждающего пучка.
3. Минимальная расходимость ГВП, генерируемой в протяженной мишени, в гауссовском лазерном пучке реализуется при расположении мишени за фокусом возбуждающего пучка.
4. В зависимости мощности ГВП от дисперсии показателя преломления максимум как правило лежит в области, где дисперсия среды почти компенсирует геометрическую дисперсию, но остается несколько меньше (на 10-20%) последней по абсолютному значению.
5. При оптимальных значениях дисперсии показателя преломления максимумы в зависимостях мощности ГВП от положения мишени наблюдаются при расположении мишени ниже фокуса гауссовского лазерного пучка.
Краткое содержание диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех главы, заключения и списка цитируемой литературы,
В первой главе представлен обзор литературы по теме диссертации. Приводятся основные результаты экспериментальных работ, в которых исследовались угловые распределения ГВП. Описываются два теоретические модели, позволяющие рассчитать ГВП атомного отклика на сильное возбуждающее поле. Сначала представлена полу классическая модель, которая позволяет, в частности, описать положение высокочастотной границы плато в спектре гармоник. Далее подробно обсуждаются квантовомеханическая теория Левенштейна, описывающая ГГВП одиночным атомом. Исходным в теории является уравнение Шредингера для одноэлектронного атома, находящегося во внешнем электромагнитном поле. В условиях ГГВП это поле не может рассматриваться как слабое по сравнению с атомным, поэтому методы теории возмущений в их традиционной форме не применимы. Однако в уравнении удается выделить малое слагаемое, что позволяет решать уравнение методом последовательных приближений. Использование этой теории позволяет получить выражения для амплитуд гармоник и выражения Фурье компонент q-ой гармоник. В конце этой главе коротко обсуждается о проблеме фазового синхронизма.
Вторая глава посвящена вычислению ГВП атомного отклика на сильное поле световой волны. В первом разделе главы обсуждается роль различных траекторий электрона, показано, что для гармоники, принадлежащей к области плато, имеются несколько электронных траекторий, которые вносят вклад в процесс ГГВП. Доминирующую роль играют две из этих траекторий. Во втором разделе описан алгоритм для расчета отклика атома на возбуждающее поле, основанный на полуклассической теории. В третьем разделе введена аналитическая формула, аппроксимирующая зависимость атомного отклика от интенсивности возбуждающего поля. Наконец, в четвертом разделе проводится сравнение значений атомного отклика рассчитанных численно (с использованием описанного во втором разделе алгоритма) и предсказываемых аналитической формулой.
Третья глава посвящена проблеме расходимости ГВП, генерируемых в тонких мишенях. В первом разделе введены интегральные выражения для полей ГВП в дальней зоне и для силы света гармоник. Во втором разделе получена аналитическая формула описывающая угловые распределения ГВП, лежащих в области плато, вдали от высокочастотной границы, и генерируемых в тонком слое газа.
Сформулированы условия, при которых пучок гармоники содержит компоненту с малой расходимостью, близкой к дифракционной.
В третьем разделе обсуждаются результаты численных расчетов угловых распределений гармоник высокого порядка, генерируемых в тонком слое атомарного газа при разных положениях относительно фокуса лазерного пучка. Проводится сравнение этих результатов с предсказываемыми аналитической формулой.
В четвертой главе обсуждаются ГВП, генерируемые в толстой газовой мишени. Рассчитываются численным методом угловые распределения и мощности гармоник высокого порядка, генерируемых в атомарных газовых мишенях с разными толщинами, положением относительно фокуса лазерного пучка и дисперсией показателя преломления, В первом разделе получаются выражения для угловых распределений ГВП и мощности ГВП. Такие выражения состоит из одномерного интеграла, который бистро и просто считается. Далее обсуждаются о результатах, рассчитанных при разных толщинах, и разных положениях мишени относительно лазерного пучка, и дисперсии показателя преломления. Численными расчетами показано, что и при больших толщинах газовой мишени (порядка одно десятой конфокального параметра) может быть реализована относительно малая расходимость гармоники за счет правильного выбора ее положения. Обсуждается зависимость мощности от ряда параметров: от дисперсии показателя преломления, от толщины газовой мишени и от положения мишени относительно фокуса лазерного пучка. Найдены условия, при которых получается максимальная мощность гармоники. В заключении сформулированы основные результаты работы.
Теоретические модели генерации гармоник высокого порядка
Простое и эвристически ценное описание ГГВП даст полуклассическая модель ГГВП. Она основана на некоторой системе взглядов на механизм явления, сложившейся к настоящему времени и, что очень важно, допускающей дальнейшее развитие. Генетически она связана с работой [31] (в ним исследовалось распределение по энергиям электронов, образующихся в процессе надпороговой ионизации) и была использована для описания ГГВП в [32] и других работах. Ее основная идея такова: представим условно элементарный процесс типа упругого п - фотонного рассеяния на атомах, как последовательность (когерентную и периодически повторяющуюся) трех следующих этапов: 1)ионизация (туннелирование электрона сквозь потенциальный барьер, созданный атомным потенциалом и полем световой волны); 2) движение свободного электрона в иоле; 3) излучательная рекомбинация (возвращение электрона в исходное связанное состояние с излучением кванта). В этой модели, ионизация и рекомбинация рассматриваются как мгновенные квантого-мехаиические события (естественно, ионизация происходит - с некоторой амплитудой вероятности - во все моменты времени, т.е. протекает непрерывно; в этом смысле она является квазипериодическим процессом, поэтому излучаемый атомом спектр оказывается дискретным). Предполагается, что непосредственно после ионизации скорость электрона равна нулю. Свободное движение электрона грубо можно рассматривать как классическое, причем влиянием атомного остатка на него можно пренебречь. Электрон, движется вдоль траектории, которая зависит от интенсивности и от фазы поля лазерного пучка в момент туштелирования. При линейной поляризации электрон может вернуться к родительскому иону (т.е. рекомбинация может иметь место) если ионизация происходит на интервалах времени, на которых поле убывает по абсолютному значению. Энергия излучаемого фотона равна сумме кинетической энергии "возвращающегося" электрона (т.е. энергии, приобретенной электроном на стадии свободного движения) и энергии ионизации атома (см. рис.2.1 на стр.34). Сформулированные предположения позволяют рассчитать ширину спектра ГВП, решая простейшее уравнение движения свободного электрона в осциллирующем электрическом поле при исходных условиях x(tt) = 0 и (/,) = 0, где tt-момент ионизации. Получив решение, надо найти следующий после tt корень уравнения ( ) = 0(здесь /г-момент рекомбинации).
Траекторию электрона удается записать в параметрическом виде [21]: Максимум энергии (1.1) лежит в точке г » 4Л/(У и составляет около ЗЛ7ІІр . Основным результатом теории является вывод о том, что высоко частотная граница плато ГВП hto j определяется соотношением Ticocumff =Е,+ЪЛ1и р, где Ег энергия ионизации атома, Vр- пондеромотоный потенциал электрона в световом пучке. Изложение ниже аналитическая кванта вомеханическая теория ҐГВП в первоначальном варианте была сформулирована в [33,34] применительно к системе с дельтаобразным потенциалом. Она была распространена на другие потенциалы [35] и развита в ряде других работ, в частности в [36-40]. Одно из ее достоинств -целостность: исходным в теории является уравнение Шредингера итоговыми — формулы для комплексных амплитуд гармоник среднего момента или его производных (последние затем подставляются в уравнения для полей). Слабые поля гармоник в уравнении (1,2) обычно не учитываются, (вариант теории, основанный на вычислении вероятности рекомбинации в присутствии полей гармоник, разработан авторами [41,42]. Он более сложен в техническом и особенно в идейном отношении,). BE- представление [33-35] в (1.2) Н,гя егЕ , в А -представление в [36,37] Применительно к условиям ГГВП гамильтониан в (t.2) не содержит малых слагаемых и потому методы теории возмущений в их традиционной форме для решения уравнения неприменимы. Тем ие менее удается, хотя и несколько искусственно, выделить в уравнение (1.2) малое слагаемое и решить (1.2) методом последовательных приближений. Разные авторы используют различные схемы этого метода, но различия являются чисто техническими, а получаемые решения, по крайней мере в первом приближении (только это приближение до сих пор и использовалось), незначительно отличаются друг от друга. Все они основаны на одной физической идее, которая и оправдывает применение метода последовательных приближений. Она состоит в следующем. Пусть атом находится в поле с умеренно большой амплитудой, уже исключающей применение обычной теории возмущений, но обеспечивающей малую по сравнению с частотой поля скорость ионизации. Волновая функция электрона может быть представлена в виде суммы двух слагаемых: у = у/0 + у/{, одно из которых описывает связанный электрон (преимущественно в основном состоянии, поскольку возбужденные быстро ионизируются), а второе - свободный электрон. После ионизации волновой пакет электрона относительно быстро удаляется от силового центра (атомного остатка) и расплывается [87]. Поскольку к тому же волновой пакет свободного электрона (слагаемое ,) формируется в течение многих периодов поля, он оказывается сильно делокализованпым, а слагаемое Ру, в уравнении Шредипгера относительно малым, даже если вероятность ( ) ,) не мала. Пренебрегая этим слагаемым, получается формальное решение этого уравнения можно записать в виде где р =(р+(е/с)ЛУ f2m, а вид функции состояния 0 зависит от используемого представления. В Л -представлении ф = =—- 3/2- , т.е. не зависит от времени. BE- представлении ф = ppcxp[ieA(t)r/hc] (нерелятивистское волковское состояние). В обоих представлениях фр1- собственное состояние канонического импульса mv-eAfc с собственным значением р. Справедливость решение (1.4) проще всего проверить непосредственной подстановкой в уравнение (1.3). Особенно просто это сделать в А - представлении, в котором К сожалению, состояние у/й в (1.3) должно быть задано. Его следует выбрать так, чтобы при / — -ад оно совпадало с начальным состоянием атома. Далее считается, где (pQ- функция основного состояния атома; здесь предполагается, что а0 = 1. Естественно, такой выбор состояния у/0, как и само выражение (1.4), имеет смысл лишь при выполнении условий где и- скорость ионизации; Т- период поля; SE - штарковский сдвиг основного уровня; и Ej - потенциал ионизации.
Первое из этих условий обеспечивает квазипериодичность процесса и тем самым дискретность излучаемого спектра. Если (1.6) выполнено, можно рассматривать амплитуда а0 в (1.5) как медленную функцию времени, учитывающую изменение населенности начального состояния и (небольшой) штарковский сдвиг. При интегрировании (1,4) ло времени можно, считая амплитуду ай постоянной, вынести ее за знак интеграла. Однако лучше, не усложняя анализ, ввести зависимость \a0(t)\ лишь в конечные выражения для амплитуд ГВП. Решение (1.4) - (1.6), вообще говоря, содержит ГВП - в математическом смысле их основным источником является экспонента в под интегральном выражении. Ширина плато в их спектре определяется амплитудой осцилляции показателя экспоненты. Несколько забегая вперед, укажем, что в простейших моделях удастся представить эти амплитуды в виде интегралов по промежуточному времени г [13 15] либо в виде выражений, содержащих интегрирование и суммирование [35]. Но уже из вида (1.4) очевидно, что сделать это можно лишь в том случае, если интеграл в показателе экспоненты можно вычислить аналитически. Несмотря на кажущуюся простоту этой процедуры, для импульсов с ограниченной длительностью она оказывается нереализуемой. Интегрирование можно выполнить, полагая амплитуду поля постоянной или экспоненциально возрастающей. Последний случай проще в логическом отношении, но связан с более сложными вычислениями. Как правило, используется предположение о постоянной (меняющейся сколь угодно медленно) амплитуде ПОЛЯ. Физически это предположение абсурдно и, естественно, оно не понимается буквально. Однако, будучи постулированным (например, в виде выражения A = const.s\n(&t)), оно существенным образом влияет на результат интегрирования в (1.4) по времени г. Прежде чем проводить с помощью (1.4) какие- либо вычисления, следует обсудить физический смысл этого решения и ошибки, которые в нем заложены.
Аппроксимация атомного отклика суммой степенных функций
Плотность тока зависит, не только от параметров возбуждающего поля, но и от состояния среды. Далее для простоты исключаются из рассмотрения эффекты, связанные с изменением концентрации тех или иных частиц. Тем самым, величина J4(D с точностью до постоянного множителя, равного концентрации N(z) атомов в мишени, есть амплитуда гармоники тока, индуцируемого в одном атоме. Предполагается, также, что ионизация носит туннельный характер, а рассматриваемая гармоника лежит в области «плато». В такой ситуации для расчета амплитуд j9(I) может быть использован алгоритм, описанный в начале этой главы , Чтобы кратко охарактеризовать рассчитанные с его помощью зависимости jqU)i удобно представить их в виде сумм [66] Слагаемые в правой части (20) описывают вклад двух траекторий ионизируемого и рскомбинирующего электрона в амплитуду гармоники атомного тока. (Аналогичное представление использовалось в [59], где показано, что эти слагаемые порождают два пучка излучения с существенно различающимися свойствами). Анализ результатов численных расчетов, проведенных в рамках настоящей работы, показал, что между слагаемыми суммы (2.14) и интенсивностью возбуждающего света имеет место, следующее приближенное соотношение [66]: где ачл =a q„ +ia j„ - комплексный показатель степени; Ф - ступенчатая функция Хевнсайда, интенсивность Iq определяется из условия ha q =3.l7f/(/g) + ,, U{I)- пондеромоторный потенциал электрона, Е( - потенциал ионизации атома. (Во избежание недоразумений укажем, что записывая (21), мы исходим из определения (/// ,)" =ехр(с 1п(/ //0))). Поэтому, в случае гауссовского лазерного пучка, гауссовскими оказываются и зависимости амплитуд Jqm от радиуса р. Плотность тока можно записать в виде: гдеjv„(ztQ)считается на оси z. В случае гауссовского лазерного пучка, плотность тока получается в форме: Для иллюстрации на Рис. 2.1-2.6 показаны зависимости действительных и мнимых частей логарифмов амплитуд у , и jq2 от логарифма интенсивности, рассчитанные по алгоритму, описанному в части 2.3, для атомов неона при А=0.8мкм. Видно, что эти зависимости почти линейны. Для гармоник с другими номерами зависимости имеют аналогичный вид. Во всех случаях наклоны их таковы, что aI»a 1»a i aJ (см. таблицу №1). Естественно, показатели степени ацт в (2.15) для разных атомов различны, но по порядку величии совпадают, (смотрите на типичные, которые рассчитаны для Неона, Гелии, Водорода).
Величина a q2 слабо зависит от номера гармоники. При \5 q 55 она лежит на интервале (135, 170). Величина а"чЛпочти линейно растет с номером q от 7.5 при q=\5 до 60 при =79. Величины а с удовлетворительной точностью аппроксимируются выражениями: a ql = 27/qiH ; а ч2 60q/(q2 +250). Эти выражения использовались в обсуждаемых ниже аналитических расчетах. На Рис.2.7-2.9 для иллюстрации показаны зависимости у47 , и j_/47 31 от радиуса р, рассчитанные с помощью этих выражений и (2.15), вместе с исходными зависимостями (рассчитанными по алгоритму, описанному в части (2.3) . Рисунки показывают, что аппроксимация (2.15) хорошо совпадает с вычисленными результатами, которые получается из алгоритма, описанному в части (2,3). В этой главе проведены численные и аналитические расчеты угловых распределений гармоник, генерируемых в тонких газовых мишенях при различных расположениях относительно фокуса лазерного пучка. Обсуждается методика и результаты таких расчетов, В случае тонкой мишени аппроксимация атомного отклика обсуждавшаяся во 2-ой главе, позволяет, в простейших случаях, вычислить угловое распределение аналитически; в общем случае, она позволяет сформулировать наглядные качественные соображения относительно искомого распределения и путей его оптимизации. Вначале формулируются общие интегральные выражения, позволяющие рассчитать угловые распределения, по крайней мере, численно. Обсуждается физический смысл возникающих при этом интегралов, проводится приближенное интегрирование. Затем обсуждаются и сравниваются результаты аналитических и численных расчетов угловых распределений ГВП, генерируемых в тонких слоях мишени. Уравнения для гармоник поля линейны и допускают аналитические решения при относительно простых предположениях. Например, в однородном пространстве справедливо следующее (строгое) выражение для амплитуды #-оЙ гармоники электрического поля в точке R [64] где jq - амплитуда q-ой гармоники плотности тока в точке г, о = qco икч - частота и длина волнового вектора гармоники. Наличие газовой струи лишает пространство однородности, но как приближенное, это решение в условиях ГГВП применимо и обеспечивает более высокую точность, чем параболическое уравнение. Предполагается, что лазерный пучок и зависимость д(г) осесимметричны, а расстояние до области наблюдения намного превышает размеры области генерации. Поэтому справедливо следующее разложение: При записи (3.2) в показателе экспоненты опущена величина ikq(p2 + z2s m20)/2R и более малые величины, а в аргументе функции Бесселя -множитель l + z/R (как правило, в интеграле можно ограничиться значениями р,и zsin0 не превышающими 0.01см). На расстояниях, на которых применимо это приближение, произведение R\EJ не зависит от расстояния R . Это позволяет использовать следующее определение для силы света 1Я{0) q-ou гармоники [66] (тем самым lq (в) = dPq /dCi, где Pq - мощность гармоники, О. телесный угол). Амплитуду J4 удобно записать как произведение где /и фу- интенсивность и фаза возбуждающей волны, jq- амплитуда ]qi вычисленная при , =0. В плоской волне pt=kx7, в пучке зависимость pt(z,p) сложнее. Далее предполагается, что она может быть представлена в виде суммы p1(z,p) = p(z) + ktp /2R(z) Подставляя это соотношение в (3.4) и затем в (3.2) и (3.3) получаем для силы света выражение Величина 2 2lg?(2, )l J с по физическому смыслу есть сила света гармоники, генерируемой в газовом слое с толщиной Л 12ки с центром в точке z (X - длина волны лазера). Как оказывается, эта величина при некоторых, вполне реалистичных, предположениях может быть вычислена аналитически (см. ниже). 3.2.
Угловые распределения ГВП В соответствие с результатами второй главы (см. формулы 2.14-2.15), величину (3.6) можно представить в виде суммы С точностью до коэффициента, выражение (ЗЛО), как функция угла 9, описывает угловое распределение поля в дальней зоне, возникающее при прохождении гауссовского пучка с длиной волны XI q, радиусом rqm(z) и радиусом кривизны волнового фронта Rqm{z) через диафрагму с радиусом a(q,z). Для гармоник, далеких от высокочастотной границы «плато», интеграл (3.10) можно оценить, положив радиус a(q,z) неограниченно большим. Тогда интеграл сводится к табличному ( \cxp(iax2)J0(flx)x-dx = —схр(-/—)). В итоге, оказывается [66] где Ь- конфокальный параметр лазерного пучка. При записи (3.11) полагалось, что фокус пучка расположен в начале координат и, тем самым, R(z) = (Ьг + 4z2)/4z, г2 ={Ь2 +4z2)/Aj6. Естественно, распределение (3.11) представляет собой гауссовскнй пучок, параметры которого в плоскости z фигурируют в (3,9). Простой анализ показывает, что перетяжка такого пучка лежит в плоскости zft=z-Rqjlt(\ + &2R2J!,lq2K2rq\ni), в которой радиус его составляет При z = ba"Jmlq радиус волнового фронта R „iz) обращается в бесконечность (Rqm(z)=k4r}i4(zlb a"qm))f а мнимая часть djfa в (3.11) - в нуль. Поскольку величина а"чЛ очень велика, равенство 1/ R(z)=4a 2/kqr2, по-видимому, невозможно, а радиусы Rq2(z), (см (3.9)), всегда остаются отрицательными и малыми по абсолютной величине. Это означает, что пучок света, связанный со вторым слагаемым в (2.14), вблизи плоскости генерации г является сильно сходящимся, а в дальней зоне обладает большой расходимостью. В то же время, как показывают оценки, равенства 1/ R(z) Aa"qilkqr} легко реализуются при г близких к половине конфокального параметра, где радиусы R(z) близки к минимальным. (Как точное, это равенство реализуется при z = baqi lq . Радиус RqM(z) обращается здесь в бесконечность, (Rqm(z) =kqr /4(zfb — aqm)), а действительная часть sq„ в (3.11)- в ноль). Это означает, что расходимость пучка, связанного с первым слагаемым в (2.14), может быть доведена, за счет выбора координаты z генерирующего слоя, до дифракционной.
Угловые распределения гармоник
ZВ настоящей главе проводится численное исследование угловых распределений и мощностей ГВП, генерируемых в протяженных газовых мишенях. Для вычисления отклика атома используется алгоритм, обсуждавшийся во 2-ой главе. В первой части формулируются общие интегральные выражения, позволяющие рассчитать численно угловые распределения и мощность. Обсуждается физический смысл возникающих при этом интегралов. Потом проведены численные расчеты угловых распределений и мощности гармоник, генерируемых в протяженных газовых мишенях с различными толщинами, различными значениями дисперсии показателя преломления и различным расположением мишени относительно фокуса лазерного пучка. Далее обсуждаются результаты, которые при параметрах, интенсивность на фокусе 5.5-10й Вт/см2 и для гауссовского пучка с конфокальным параметром 6 = 10mm, и длиной волной Я = 0.8/да, и для неона. В заключение формулируются выводы. 4.1. Выражения для угловых распределении и мощности ГВП, генерируемых в протяженных мишенях Случай протяженных мишеней значительно сложнее и должен быть предметом специального анализа. Ниже обсуждаются соображения относительно угловых распределении гармоник, генерируемых в таких мишенях, основанные на предположении о том, что номера гармоник далеко отстоят от высокочастотной границы «плато», и выражение (3.11) применимо. Используя (3.11) и (3.7), можно представить силу света (3.5) в виде [66] где координата z измеряется в единицах 6/2, N{z) - плотность газовой мишени, Fqm(z,0) и \j/qm(z,0)- безразмерные действительные функции (4,2 ) 00 ktry/2 - расходимость лазерного пучка, « - показатель преломления на частоте qo . в2 q2a По крайней мере, при z2«l, грубо, F„ (0) и а ;1 -04)(--3- - ). При m = 2 ширина этой зависимости значительно больше расходимости в0 лазерного пучка, при т = \ - сравнима с в0, или меньше, чем О0. В некоторых случаях интегрирование в (4.1) может быть выполнено аналитически методом стационарной фазы. Во всяком случае, значение интегралов в (4.1) существенным образом зависит от наличия точек стационарной фазы в области, где произведение N(z)Fqm(z,$) не мало. Фактически, условие стационарности является условием фазового синхронизма. Естественно, при фиксированных q, т в точно оно выполняется лишь в одной точке. Несложные вычисления показывают, что точка z, является точкой стационарной фазы, если Условие (4.4) несимметрично, как относительно знака координаты z, так и относительно знака разности пк п1. Как уравнение относительно угла 0t оно имеет действительные корпи лишь в том случае, если его правая часть неотрицательна (лишь при таком условии существует направление, в котором гармоника излучается синхронным образом).
Если координата z далеко отстоит от «резонансного» значения la"qm, в этом соотношении можно пренебречь слагаемыми, содержащими величины а в знаменателях, и записать его в упрощенном виде Как известно, вклад точки стационарной фазы в интеграл существенным образом зависит от значения второй (или более высокой) производной фазы в этой точке. В том же приближении, что и (4.5), можно получить Хотя это выражение носит приближенный характер, ясно, что величина 5V?ffl(z,0)/5z достигает наименьших значений в областях, в которых правая часть (6) проходит через ноль (z -q/2a BI± \ + (q/2a nl)2 ). При больших толщинах мишеней именно такие области должны вносить наибольший вклад в излучение гармоник в направлениях (4.5). В случае толстой мишени такой одномерный интеграл позволяется проще, чем двухмерный интеграл, возникающий при вычислении углового распределения в общем случае. Интеграл выполняет вдоль оси лазерного пучка, и суммарное слагаемое для разных траекторий. Этот интеграл позволяется для гармоник, принадлежащих к области плато и номера гармоник далеко от номера границы плато. Мощность гармоники вычисляется по формуле 4.2. Результаты расчетов угловых распределении и мощности На Рис.4.1-4.3 показаны некоторые результаты численные расчетов угловых распределений по формулам (4.1), выполненных для неона, при длине волны возбуждающего света Л=0.8мкм, при интенсивностях порядка 5.5-1014 вт/см2. Варьировалась ширина и положение центра мишени, а также, разность пц—Щ показателей преломления. Целью расчетов являлась проверка формул (4.1), а также возможности генерации гармоник с малой расходимостью в мишенях с немалой толщиной. Зависимости показанные на Рис.4.1 рассчитаны для мишени с прямоугольным профилем плотности толщиной 0.2b, расположенной в фокусе пучка, при разных значениях дисперсии я?-я,. Максимумы зависимостей лежат вблизи углов 00J\ + 2(nq -nx)/Gl , предсказываемых соотношением (4.5). Зависимости, показанные на Рис.4.2, 4.3 рассчитаны для мишеней с гауссовским профилем плотности, расположенных симметрично относительно фокуса на расстоянии 0.686 от фокуса при - =0. В этом случае для мишени расположенной после фокуса формула (4.6) неприменима (здесь qz/2 a „). Представленные зависимости демонстрируют, что при таком расположении сила света растет с толщиной мишени, а расходимость гармоники остается малой, по крайней мере, вплоть до толщины мишени d = b/2. Зависимости мощности Рц(&г) [65, 66] от дисперсии показателя преломления показаны на Рис.4.4-4.6. Эти зависимости рассчитаны для мишеней с гауссовским профилем плотности. Видно, что при изменении дисперсии &i n4 n появляется один максимум мощности Рч(дп). Положение этот максимум, Sn , не зависит от толщины мишени d (рис. 4/.4) и не зависит от номера гармоника (рис. 4.4) но зависит от позиции мишени (рис. 4.5) и от интенсивности лазерного пучка. При параметрах, указанных в начале главы выполняется грубое соотношение йгти «-0.8/1/лй. как написано в первой главе ЭТОТ результат показывает, что оптимальная дисперсия получается, когда дисперсии среды и геометрическая дисперсия почти компенсирует друг друга. С ростом толщины мишени появляется второй максимум функции Рч(бп) (широкий и низкий) в области положительных йі. Для того чтобы объяснить появление второй максимум, заметим на поведение траекторий электронов. Угловые распределения траекторий с возвращением время т2 шире, чем угловые распределения траекторий с возвращением время гДсм. второй глава). Поэтому второй максимум появляется, когда траектория т2 играет большую роль в интерференции двух траекторий.
Па рис.4.7 показаны мощности P4{Sn) для разных траекторий, видно, что каждый из двух максимум зависит от одной из этих траектории. На рис. 4.7 показаны зависимости Pq{z) [65, 66] мощность гармоники от положения z (расстояние между центром мишени и фокусом лазерного пучка), при разных значениях дисперсии показателя преломления. Зависимость Pq(z) содержит один максимум, когда величина\бп\ мала по сравнению геометрической дисперсии и два максимума при 5«] лЫX : 1. Положение максимума Р (г) зависит от знака и значения dn = nq n] При отрицательных дп максимум мощности лежат в области положительных z (мишень расположена за фокусом) , но при положительных ёп максимум расположен в области отрицательных z. Для того чтобы объяснить положения максимума Pq(z), должно обращаться к условию фазового синхронизма, которые обсуждаются в первой главе. В результате появляется фазовая разность, между возбуждающим пучком и гармониками, поэтому гармонические поля, генерируемые в мишени, в различных положениях будут иметь различные фазы и суммарная гармоническая обнаруженная интенсивность будет уменьшена из-за разрушительной интерференции. Генерация гармоники оптимизировано, когда разность фазы возбуждающего лазерного пучка и индуктируемого гармонического поля минимизировано по координате г, вдоль оси лазерного пучка, в условии фазового синхронизма на оси лазерного пучка для гармоник высокого порядка три слагаемая вносят вклад: 1) Слагаемое распространения, вынужденный сдвиг фазы q-q?(z), в случае гауссовского лазерного пучка — q-atan(2z/b) где q -номер гармоника, и конфокальный параметр (расстояние от конфокальной плоскости до точки, где интенсивность пучка понижается наполовину). Геометрическая дисперсия появляется из-за фокусирования и с ростом номера гармоники или с уменьшением конфокального параметра для определена точка г становится более важным. 2) дисперсия среды, которая зависит от свойства среды и номера гармоника, Ак = qKx-Kq.
Результаты расчетов угловых распределений и мощности гармоник высокого порядка при разных условиях
Генерация гармоник высокого порядка (ГГВП) в атомарных мишенях впервые наблюдалась авторами [1] и [2], вскоре после создания мощных источников оптических импульсов с длительностями порядка и меньше пикосекуиды. Сущность явления состоит в следующем. При воздействии на атомарную мишень (пучок, струя, и др.) достаточно интенсивного лазерного пучка наблюдается генерация значительного число нечетных гармоник света. Гармоники генерируются одновременно друг с другом, в их спектре обычно наблюдается своеобразно «плато» -интервал на котором энергетический выход гармоник меняется с их номером относительно медленно и немонотонно. В соответствие с современными теоретическими воззрениями, начало плато лежит вблизи частоты Etlh, где Е( - энергия ионизации атома, высокочастотная же граница а , определяется равенством где Up- пондеромоторный потенциал электрона в световом пучке (средняя кинетическая энергия электрона в осциллирующем поле: Up = М:ег 12тяпсг, где /и Я интенсивность и длина волны света). В области частот превышающих (1), выход гармоник быстро уменьшается и становится не обпаружимым. Гармоники с частотами ниже Et/h далее называются гармониками низких порядков. Тогда соотношение (I), наглядно демонстрирует пороговый характер явления, Его механизм будет обсуждаться в главе 1. (Схематически его можно представлять как периодически повторяющуюся — с частотой поля — последовательность актов ионизации, набора энергии в свободном движении электрона в поле возбуждающей волны и, наконец, рекомбинации сто на родительском ионе). Типичные интенсивности возбуждающего света в экспериментах по ГГВП лежат в области 10й - 10,5вт/см2. Номера гармоник высокого порядка (ГВП), наблюдающихся в экспериментах, составляют десятки и даже сотни (например, в [3] наблюдались гармоники с номерами в области 300). Соответственно, частоты ГВП лежат в области жесткого УФ и мягкого рентгеновского излучения. ГГВП интенсивно исследуется в течение последних 15 лет, как экспериментально, так и теоретически. Эти исследования представляют как фундаментальный, так и практический интерес. Уже сейчас ГВП используются в технике физического эксперимента [4]. Их достоинством является когерентность, направленность, возможность перестройки частоты (хотя бы дискретными шагами), а также то важное обстоятельство, что импульс гармоники автоматически оказывается синхронизованным с импульсами других гармони и с мощным возбуждающим лазерным импульсом, (поэтому ГВП часто используются в экспериментах по схеме возбуждение - зондирование). Более широкому применению ГВП, в частности их использованию для силового воздействия (например, для коротковолновой литографии), пока препятствует относительно низкий выход, достигающийся в экспериментах по ГГВП.
Вместе с тем, по мерс углубления понимания физики явления, совершенствуются схемы ГГВП и растут, хотя и очень медленно, достижения в области эффективности генерации. Рекордные коэффициенты преобразование энергии возбуждающего импульса в гармонику с номером порядка тридцати - пятидесяти, достигнутые к настоящему времени, лежать в области I0"6 - I0"J [5]. В теоретических исследованиях ГГВП следует выделить две основных проблемы. Первая из них является проблемой атомной физики. Ее существом является выяснение микроскопического механизма явления, получение формул и разработка численных методов для вычисления гармоник атомного отклика (или отклика среды) на поле интенсивной электромагнитной волны. Вторая проблема -исследование ГГВП в макроскопической среде — является проблемой электродинамики и состоит в вычислении полей ГВП вдали от области генерации. На первый взгляд вторая проблема является рутиной и незначительно отличается от проблем возникающих, например, при исследовании генерации третьей гармоники в газе. На самом деле это не так. ГВП атомного отклика на возбуждающее поле очень сложным образом зависят от параметров последнего. Это затрудняет сколь ни будь полное аналитическое исследование генерации в среде, и делает очень трудоемким ее численное исследование. Трудоемкость такого исследования, естественно зависит от сложности алгоритма используемого для вычисления ГВП отклика среды на поле. Таким образом, качество результатов достигнутых при решении первой проблемы в значительной мере определяет и перспективы исследования электродинамики генерации в макроскопической среде. Другими словами, исследование генерации в макроскопической среде требует адаптации моделей, используемых для расчетов отклика, к условиям задачи. Одним из вопросов, требующих теоретического исследования, является вопрос о закономерностях, определяющих пространственное распределение ГВП. По крайней мере, до проведения данного исследования в литературе отсутствовали рекомендации, руководствуясь которыми можно было бы управлять расходимостью ГВП. Вместе с тем, в ряде экспериментальных работ пространственное распределение гармоник исследовалось (см., на пример [6-10]). В основном, исследования касались гармоник с относительно небольшими номерами. В частности, в них показано, что угловые распределения немонотонны.
Один из интересных результатов получен в работах [6,11,65 ], в которых обнаружено, что пучок гармоники состоит из двух компонент - двух пучков, отличающихся друг от друга сечением в плоскости наблюдения [б], и длиной когерентности [12]. К сожалению, упомянутые исследования регулярный характер и не были направлены на разработку методов управления расходимостью ГВП. Разработка таких методов остается актуальной задачей. Целью диссертации является: 1. Расчет угловых распределений ГВП, генерируемых в атомарных мишенях с различными толщинами при различных конфигурациях эксперимента, выяснение закономерностей определяющих формирование распределений и выработка рекомендаций по управлению их шириной. 2. Расчет мощностей ГВП, генерируемых в толстых мишенях при разных дисперсиях показателя преломления, разных толщинах и положениях мишени относительно фокуса лазерного пучка. Практическая ценность результатов состоит в том, что в диссертации 1. Найдены аналитические выражения, с высокой точностью аппроксимирующие ГВП атомного отклика на сильное поле; 2. Указаны условия, при которых реализуется минимальная расходимость ГВП. Научная новизна работы состоит в следующем: Впервые получена аналитическая формула, описывающая с помощью элементарных функций угловое распределение ГВП, генерируемых в тонком слое. Защищаемые положения 1. Поле ГВП, генерируемой в тонкой атомарной мишени, как правило, (исключение составляют ГВП с номерами, лежащими на границах «плато») может быть представлено в виде суммы полей двух пучков, близких друг к другу по мощности, но сильно (на порядок и более) различающихся по расходимости. 2. Расходимость ГВП, генерируемой в тонком слое атомарного газа в гауссовском световом пучке может быть доведена до дифракционной за счет правильного расположения генерирующего слоя относительно фокуса возбуждающего пучка. 3. Минимальная расходимость ГВП, генерируемой в протяженной мишени, в гауссовском лазерном пучке реализуется при расположении мишени за фокусом возбуждающего пучка. 4. В зависимости мощности ГВП от дисперсии показателя преломления максимум как правило лежит в области, где дисперсия среды почти компенсирует геометрическую дисперсию, но остается несколько меньше (на 10-20%) последней по абсолютному значению. 5. При оптимальных значениях дисперсии показателя преломления максимумы в зависимостях мощности ГВП от положения мишени наблюдаются при расположении мишени ниже фокуса гауссовского лазерного пучка. Краткое содержание диссертации Диссертация состоит из введения, четырех главы, заключения и списка цитируемой литературы, В первой главе представлен обзор литературы по теме диссертации. Приводятся основные результаты экспериментальных работ, в которых исследовались угловые распределения ГВП. Описываются два теоретические модели, позволяющие рассчитать ГВП атомного отклика на сильное возбуждающее поле.
