Содержание к диссертации
Введение
1 Аналитический обзор
1.1 Основные критерии классификации голограмм 9
1.2 Методы расчета голографических оптических элементов 12
1.3 Расчет схемы записи тонкого голографического оптического элемента 15
1.4 Дифракционная эффективность тонкого голографического оптического элемента 18
1.5 Объемные голографические оптические элементы 19
1.6 Динамические голографические среды 21
1.7 Особенности записи динамических голограмм 23
1.8 Основные практические применения голографических оптических элементов 24
1.9 Заключение 26
2 Расчет объемных голографических оптических элементов
2.1 Расчет схемы восстановления и зеркально-линзовой модели объемного осевого цилиндрического ГОЭ 28
2.2 Расчет схемы восстановления и зеркально-линзовой модели объемного внеосевого цилиндрического ГОЭ 36
2.3 Расчет схемы восстановления объемного осевого сферического ГОЭ 44
2.4 Расчет схемы восстановления объемного внеосевого сферического ГОЭ 50
2.5 Увеличение объемного ГОЭ 59
2.6 Дисперсия объемного ГОЭ 61
2.7 Особенности аберраций объемного внеосевого ГОЭ 64
2.8 Особенности аберраций объемного осевого ГОЭ 67
3 Расчет схемы записи и разработка объемного ГОЭ для голографических устройств
3.1 Расчет положений источников волн и допустимых погрешностей схемы записи объемного осевого цилиндрического ГОЭ 74
3.2 Расчет схемы записи объемного внеосевого цилиндрического ГОЭ 78
3.3 Расчет положений источников волн и допустимых погрешностей схемы записи объемного осевого сферического ГОЭ 85
3.4 Расчет схемы записи объемного внеосевого сферического ГОЭ 94
3.5 Разработка объемного ГОЭ голографического нивелира 105
3.6 Разработка объемного ГОЭ голографического спектроуказателя. 111
3.7 Голографический датчик перемещений 117
4 Особенности процесса записи ГОЭ в динамической диэлектрической среде
4.1 Перекачки энергии при записи объемного ГОЭ цилиндрическими волнами 124
4.2 Анализ сложения типов перекачек энергии цилиндрических волн 128
4.3 Определение дифракционной эффективности шумовых решеток и величины рассогласования интерференционной картины при записи ГОЭ 140
4.4 Перекачки энергии при записи объемного ГОЭ сферическими волнами 142
4.5 Экспериментальные результаты 152
4.6 Стабилизация интерференционных полос при записи объемного ГОЭ 157
Заключение 167
- Методы расчета голографических оптических элементов
- Расчет схемы восстановления и зеркально-линзовой модели объемного внеосевого цилиндрического ГОЭ
- Особенности аберраций объемного внеосевого ГОЭ
- Расчет схемы записи объемного внеосевого сферического ГОЭ
Введение к работе
Диссертация посвящена разработке и расчету объемных голографических оптических элементов, исследованию особенностей записи и восстановления этих элементов.
Актуальность работы. За последние годы достигнуты значительные успехи в разработке объемных голографических сред, причем происходит как улучшение характеристик уже известных сред, так и создание новых голографических сред, превосходящих существующие не только по отдельным своим характеристикам (чувствительность, разрешение), но и по совокупности своих оптико-технических и голографических параметров, в том числе по себестоимости и технологичности изготовления. Это обеспечивает возможность создания высокоэффективных голографических оптических элементов с улучшенными оптическими характеристиками.
В то же время значителен прогресс в создании обладающих несомненными достоинствами полупроводниковых лазеров видимого диапазона - малогабаритных, недорогих и экономичных источников когерентного света. Неоптимальность использования этих лазеров в оптических системах, базирующихся на традиционных оптических элементах (линзы, призмы, зеркала), наиболее сильно проявляется в существующей в настоящее время тенденции уменьшения массы и габаритов оптических приборов и устройств. Как правило, оптические элементы существенно превосходят по массе и габаритам полупроводниковые лазеры и тем самым задают массо-габаритные характеристики всего оптического прибора. Эти обстоятельства диктуют необходимость создания оптических элементов для когерентного излучения, которые при сопоставимых оптических характеристиках были бы меньше по массе и габаритам.
Одним из путей создания оптических элементов для когерентной оптики является запись с помощью лазеров объемных голографических оптических элементов - ГОЭ. Анализ свойств тонкого и объемного ГОЭ показывает на существенную разницу в свойствах формирования изображения, вызванную различием дифракционных структур. В наибольшей степени это проявляется для отражающих ГОЭ. Поэтому методы расчета тонких ГОЭ не всегда могут быть использованы для расчета объемных ГОЭ.
Для расчетов ГОЭ с помощью существующих компьютерных программ необходима исходная модель записывающих волн. Расчет схемы записи объемного ГОЭ отличается от расчета схемы записи тонкого ГОЭ, так как требуется учитывать объемность среды и особенности объемных сред. На начальной стадии практическое применение объемных ГОЭ ограничивалось использованием их в комбинации с традиционными оптическими элементами. Но с улучшением характеристик голографических элементов применение их в качестве важных, но все же вспомогательных элементов, заменяется тенденцией разработки оптических систем, основанных только на использовании одних ГОЭ. В связи с этим для ГОЭ требуется не только высокая эффективность и малые аберрации, но и низкий уровень шумов рассеяния.
Указанные обстоятельства делают актуальной задачу расчета схем записи и восстановления объемных голографических оптических элементов с учетом особенностей голографических сред, разработки метода контроля уровня шумов во время их записи, изучения особенностей регистрации в динамических голографических средах. Актуальной остается задача разработки новых объемных ГОЭ и на их основе - оптических приборов и устройств.
Цель работы - разработка и расчет объемных голографических оптических элементов, исследование особенностей схем их записи и восстановления.
Основные задачи
1. Анализ современного состояния модельных представлений голографических оптических элементов, анализ существующих методов расчета схем записи и восстановления, анализ особенностей записи динамических голографических оптических элементов, перспектив их создания и применения.
2. Расчет схем записи и восстановления осевых и внеосевых объемных голографических оптических элементов с учетом объемности среды, изменения показателя преломления и неизотропной усадки среды.
3. Разработка метода определения средней дифракционной эффективности шумовых решеток и определение величины рассогласования интерференционной картины относительно записываемого динамического ГОЭ.
4. Расчет условий термостабилизации интерференционных полос в объеме динамической светочувствительной среды в процессе экспозиции ГОЭ.
5. Разработка оптических схем оптических и спектральных устройств на основе применения объемных голографических оптических элементов.
Методика исследования. Исследования, выполненные в диссертации, проводились на основе общего метода расчета ГОЭ - метода характеристической функции, общих принципах и методах записи и восстановления голограмм. В работе используются: теория геометрической оптики, теория волновой оптики, кинематическая теория голограмм, теория связанных волн.
Научная новизна:
1) установлено, что формирование сопряженных плоскостей объемного ГОЭ происходит одновременно в соответствии с формулами тонкой линзы и сферического зеркала; предложена зеркально-линзовая модель объемного, глубоко объемного и псевдоглубокого ГОЭ; указаны отличия этой модели от зеркальной и линзовой модели тонкого ГОЭ;
2) показано, что положение плоскости предмета или изображения объемного, глубокообъемного и псевдоглубокого ГОЭ графически задается точкой пересечения двух прямых, проходящих через две симметричные точки среды ГОЭ, и фокусы зеркально-линзовой модели;
3) на основании исследований записи осевых объемных ГОЭ предложены условия выбора значений коэффициентов усадок, длин волн записи и восстановления для исправления сферической аберрации объемного пропускающего осевого ГОЭ при любом заданном линейном увеличении; показано, что для отражающего объемного осевого ГОЭ сферическая аберрация может быть исправлена для отрицательных линейных увеличений;
4) показано существенное различие между схемами записи объемного отражающего ГОЭ и тонкого отражательного ГОЭ, имеющих одинаковую схему восстановления;
5) предложены условия термостабилизации интерференционных полос в объеме голографической среды, достигаемые выбором оптимальной температуры среды во время записи;
6) разработан метод измерения дифракционной эффективности шумовых решеток объемного ГОЭ в процессе записи, позволяющий записывать ГОЭ с допустимым уровнем шумов рассеяния;
7) разработан метод определения величины рассогласования интерференционной картины относительно записываемого ГОЭ, учитывающий шумы рассеяния.
Практическая ценность работы:
1) предложены аналитические выражения для расчета схем записи и восстановления объемных, глубокообъемных и псевдоглубоких ГОЭ;
2) выполнены расчеты схем записи осевых и внеосевых объемных ГОЭ и проведено сравнение со схемой записи тонкого ГОЭ;
3) разработан датчик перемещений, основанный на многократной дифракции когерентного света на голографической решетке;
4) разработан голографический спектроуказатель, основанный на глубокообъемном ГОЭ и не требующий наличия входной и выходной щели;
5) разработан голографический нивелир, предназначенный для работы на малых расстояниях (внутри небольших помещений), в условиях ограниченной видимости (дымка, сумерки) и на освещенном фоне, в том числе на фоне неба.
Защищаемые положения
На защиту выносятся следующие положения:
1) зеркально-линзовая модель объемного, глубокообъемного и псевдоглубокого голографического оптического элемента, обладающая свойствами тонкой линзы и сферического зеркала с разными фокусными расстояниями;
2) правила графического определения положений сопряженных плоскостей объемного ГОЭ, заключающиеся в определении точки пересечения двух прямых, одна из которых проводится через фокус зеркально-линзовой модели и произвольную точку объема ГОЭ, вторая проводится через другой фокус и точку, симметричную относительно оптической оси к выбранной произвольной точке;
3) соотношения, связывающие положения источников записывающих волн и коэффициент линейного увеличения ГОЭ с коэффициентами неизотопной усадки и длинами волн записи и восстановления, для объемных и глубоко объемных осевых ГОЭ с исправленной сферической аберрацией;
4) условия стабилизации интерференционных полос в объеме голографической среды в процессе экспозиции динамических объемных ГОЭ, получаемые выбором температуры среды, при которой происходит взаимная компенсация фотоиндуцированного и термоиндуцированного рассогласования интерференционной картины относительно записываемого ГОЭ;
5) метод определения дифракционной эффективности шумовых решеток и величины рассогласования интерференционной картины относительно записываемого динамического цилиндрического или сферического ГОЭ.
Реализация результатов работы. Результаты диссертационной работы внедрены и используются в Сибирской государственной геодезической академии, что потверждается актами, представленными в приложении диссертации.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
1) Всесоюзном семинаре "Автоматизация проектирования оптических систем ". Москва. 1988 г.;
2) Всесоюзном семинаре по голографии. Гродно. 1989 г.;
3) Всесоюзном совещании-семинаре по прикладной голографии. Тбилиси. 1989 г.;
4) Всесоюзном семинаре по голографии. Барнаул. 1991 г.;
5) Международной конференции "Сферы применения CPS технологий". Новосибирск. 1995 г.;
6) Международных конференциях "Современные проблемы геодезии и оптики". Новосибирск. 1998., 2003 г.;
7) научно-технических конференциях преподавателей Сибирской государственной геодезической академии. Новосибирск. 1996 г., 2000 г., 2002 г.;
8) научном семинаре кафедры общей физики Сибирской государственной геодезической академии, научном семинаре Конструкторско—технологического института научного приборостроения СО РАН.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, в том числе авторское свидетельство на изобретение и 11 статей.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, приложения и библиографии. Общий объем диссертации 184 страниц.
В заключении представлены результаты и выводы диссертационной работы.
В приложении представлены вычисления некоторых результатов диссертации, а также материалы, подтверждающие внедрение и
использование результатов диссертационной работы. Библиография содержит 148 наименований.
Методы расчета голографических оптических элементов
Тонкие голографические оптические элементы по расположению относительно прямой, соединяющей точечные источники восстановленной и восстанавливающей волн, подразделяются на осевые, наклонные осевые, внеосевые и наклонные внеосевые. Основными методами расчета тонких и объемных голографических оптических элементов являются лучевой метод [42] и метод характеристической функции [43]. Лучевой метод основан на представлении о распространении световой волны в виде лучей - узких световых пучков, распространение которых в среде подчиняется законам геометрической оптики. Изменение направления лучей при переходе из одной среды в другую происходит в соответствии с законом преломления. Лучевой метод используется и в волновой оптике для расчета разности фаз при интерференции и дифракции волн. Лучевой метод лежит в основе разработанных компьютерных программ для расчета оптических систем с использованием как традиционных оптических элементов - линз, зеркал, призм [44], так и новых -дифракционных [45], голографических [46,47], киноформных [48], волоконных, интегральных оптических элементов [49]. В тексте работы вместо термина голографический оптический элемент используется общепринятое сокращение - ГОЭ. Метод характеристической функции широко применяется при расчете и анализе как оптических систем содержащих ГОЭ, так и отдельных голографических оптических элементов. Так, с использованием метода характеристической функции были детально исследованы свойства осевого тонкого ГОЭ - аналога зонной пластины Френеля и показано, что она обладает свойством формировать изображение подобно тонкой линзе [50-52]. Для анализа и расчета тонкого ГОЭ в работе [53] использовалось разложение характеристической функции V по координатам произвольной точки в параксиальной области ГОЭ. Было получено, что длина волны А,0 при записи, длина волны А,с при восстановлении и положение z,, z0, zc, zx источников опорной и объектной волн (на оптической оси) на стадии записи и восстановления связаны соотношением, называемым формулой тонкого ГОЭ: где k - порядок дифракции, F - фокусное расстояние ГОЭ, К недостаткам тонкого ГОЭ следует отнести формирование изображения в когерентном свете, наличие множества порядков дифракции, приводящее к возникновению такого же количества изображений. Линейное (поперечное) увеличение Р тонкого ГОЭ В оказавших большое влияние на развитие расчетов ГОЭ работах [53,54] представлены расчеты линейного увеличения и аберраций третьего порядка тонкого ГОЭ. Показано, что тонкий ГОЭ подобно линзе имеет все типы аберраций третьего порядка - сферическую аберрацию, кому, астигматизм, кривизну поля и дисторсию.
В работах [55,56] исследовались аберрации пятого и более высших порядков тонкого ГОЭ. Отличительной особенностью всех аберраций ГОЭ является их очень сильный хроматизм [57]. Как для тонкого пропускающего, так и тонкого отражающего ГОЭ это проявляется в равной степени. Для отражающих тонких ГОЭ было показано [58], что условия формирования изображения подчиняются соотношению совпадающему с формулой сферического зеркала с радиусом кривизны R: Аналогия между линзой и тонким ГОЭ детально исследовалась в работе [59], что позволило использовать разработанные для линзовой оптики щ) компьютерные программы в расчетах тонкого ГОЭ. В работе [60] предложена зеркально-линзовая модель для рельефно-фазовых ГОЭ, изготовленных на сферической отражающей поверхности. Полифункциональность этой модели заключается частности в том, что аберрации рельефно-фазового ГОЭ складываются из аберраций тонкой линзы и аберраций отражающей поверхности. Выполненные с использованием метода характеристической функции расчеты отражающих и пропускающих внеосевых тонких ГОЭ, например [54], показали, что для узких пучков волн в первом приближении выполняется условие дифракции плоских волн В представленном условии дифракции и в последующих выражениях этого раздела верхний знак плюс соответствует тонким отражающим ГОЭ, нижний знак минус - тонким пропускающим ГОЭ. Из условия дифракции получается известная формула угловой дисперсии тонкого ГОЭ, совпадающая с угловой дисперсией дифракционной решетки Продольная дисперсия тонкого ГОЭ равна производной расстояния до точки изображения по длине волны восстановления. Для осевого тонкого ГОЭ продольная дисперсия Линейная (поперечная) дисперсия тонкого ГОЭ равна произведению расстояния до точки изображения на угловую дисперсию. Для внеосевых ГОЭ расчет увеличения и дисперсии производится как в сагиттальной плоскости, так и в меридиональной плоскости. В большом количестве работ, например [61-64] метод характеристической функции использовался для расчета ГОЭ на сферических, тороидальных и других вогнутых поверхностях. В большинстве работ члены разложения характеристической функции, описывающие аберрации представлены в виде разложения в окрестности заданной точки вблизи центра ГОЭ. Удобство этого разложения заключается в получении зависимости величин аберраций от размеров рабочей области ГОЭ. Разработанные методы расчета тонкого ГОЭ и полученные результаты применимы для киноформов [48]. 1.3 Расчет схемы записи тонкого голографического оптического элемента Известно, что характеристическая функция V тонкого ГОЭ может быть записана через пространственное распределение полос т в виде где 1С- расстояние от произвольной точки в вблизи центра ГОЭ до источника восстанавливающей волны, dc- расстояние от источника восстанавливающей волны до центра ГОЭ, lj- расстояние от произвольной точки в вблизи центра ГОЭ до источника восстановленной волны, dj - расстояние от источника восстановленной волны до центра ГОЭ, к - порядок дифракции, Хс - длина восстанавливающей волны. В выражении для характеристической функции V нижний знак минус соответствует пропускающим ГОЭ, верхний знак плюс - отражающим ГОЭ. Пространственное распределение "полос" т тонкого ГОЭ выражается через разность оптических путей лучей от положений источников при записи где 1г - расстояние от произвольной точки ГОЭ в вблизи центра ГОЭ до источника опорной волны, dr - расстояние от источника опорной волны до центра ГОЭ, 10 - расстояние от произвольной точки ГОЭ в вблизи центра ГОЭ до источника объектной волны, d0 - расстояние от источников объектной волн до центра ГОЭ, Л,0 - длина волны при записи. В работе [65] приведены формулы для расчета условий записи сферическими волнами осевого пропускающего тонкого ГОЭ.
Так как источники волн при записи и восстановлении находятся на одной прямой, являющейся оптической осью ГОЭ, то в характеристической функции расстояния dr, d0, dc, dj заменяются на соответствующие координаты zr, z0, zc, Zj на этой оси. Из характеристической функции V осевого тонкого ГОЭ, приравнивая к нулю коэффициенты первых членов разложения, получаются выражения: где m - коэффициент усадки, k - порядок дифракции, ц. - отношение длин волн ц. = \с/\0. Первое выражение может быть получено из формулы тонкого ГОЭ и соответствует условию формирования изображения. Тонкий ГОЭ регистрируется в голографической среде обладающей изотропной усадкой. Второе выражение соответствует условию отсутствия сферической аберрации. Решая эту систему относительно l/zr, l/z0 для тонкого ГОЭ, получаем Для существования действительных значений zr, z0 выражение должно быть положительным. Таким образом, выбором оптимальных расстояний zr, z0 до источников записывающих волн может быть исправлена сферическая аберрация как для пропускающего, так и для отражающего тонкого ГОЭ. Из характеристической функции V внеосевого тонкого ГОЭ, приравнивая к нулю коэффициенты первых членов разложения, получаются выражения, связывающие параметры схем записи и восстановления ГОЭ [54]: где 0r - угол распространения опорной волны, 00 - угол распространения объектной волны, 0С - угол распространения восстанавливающей волны, 01 - угол распространения восстановленной волны, m - коэффициент усадки, к - порядок дифракции, ц. - отношение длин волн с и Х0. Первое выражение этой системы связывает углы распространения волн при записи и восстановлении. Второе и третье выражения системы соответствуют условию отсутствия астигматизма первого порядка и связывают между собой расстояния до источников волн при записи и восстановлении в сагиттальной и меридиональной плоскостях.
Расчет схемы восстановления и зеркально-линзовой модели объемного внеосевого цилиндрического ГОЭ
Рассмотрим объемный внеосевой ГОЭ, восстанавливающая, восстановленная, опорная и объектная волны которого являются цилиндрическими волнами, но в отличие от случая осевого ГОЭ не находятся на оси Oz. Центр прямоугольной системы координат совместим с центром объемного ГОЭ, ось Oz направим перпендикулярно к поверхности объемного ГОЭ, как показано на рисунке 3(а,б). Используя характеристическую функцию объемного внеосевого ГОЭ [127], рассмотрим ход лучей цилиндрических источников при записи и восстановлении объемных пропускающих и отражающих внеосевых ГОЭ. Как и в рассмотренном выше осевом ГОЭ, все источники цилиндрических волн на стадии записи и на стадии восстановления считаем параллельными друг другу и перпендикулярными плоскости координат xOz. В этом случае лучи распространяются в плоскостях, параллельных плоскости координат xOz, поэтому свойства цилиндрического объемного ГОЭ также достаточно проанализировать в этой плоскости координат (являющейся сагиттальной плоскостью). Положение источников цилиндрических волн в плоскости xOz удобно задавать с помощью полярных координат: длин отрезков dc, dj, dr, d0 от источников цилиндрических волн до центра системы координат и угла отклонения этих отрезков от оси Oz (или перпендикуляра к поверхности ГОЭ, как показано на рисунке 3). Характеристическая функция V объемного внеосевого ГОЭ записывается в виде [127] где 1с, li, 1г, 10 - расстояния от произвольной точки M(x,y,z) объема ГОЭ в вблизи центра системы координат соответственно до источников восстанавливающей, восстановленной, опорной и объектной На стадии восстановления расстояния 1с, 1; в сагиттальной плоскости выражаются через соответствующие расстояния dc, dj до центра системы координат, углы 0С, 0; относительно оси Oz и через координаты точки M(x,0,z) в виде Если на стадии записи ГОЭ (например для динамических ГОЭ) или в процессе послеэкспозиционной обработки происходит усадка или набухание среды ГОЭ, то координаты точки M(x,0,z) на стадии восстановления отличаются от координат этой же точки на стадии записи на величины усадок тх, ту, mz (коэффициенты усадок вдоль осей Ох, Оу, Oz). В сагиттальной плоскости расстояния 1г, 10 выражаются через соответствующие расстояния dr, d0 до центра системы координат, углы 0Г, 0О относительно оси Oz и через координаты точки M(x/mx,0,z/mz) на стадии записи в виде Разлагая расстояния lc, 1І5 lr, 10 по величинам малости x/dc, x/dj, x/dr, x/d0 и z/dc, z/dj, z/dr, z/d0 получаем в первых порядках разложения характеристическую функцию V(x,z) внеосевого объемного ГОЭ в виде При толщине светочувствительного ГОЭ равной нулю (координата z равна нулю) характеристическая функция V(x,0) для внеосевого объемного ГОЭ совпадает с членами разложения характеристической функции V(x) тонкого внеосевого ГОЭ [48]. В этом подразделе мы ограничимся рассмотрением внеосевого объемного цилиндрического ГОЭ, записанного в среде с изотропной усадкой (то есть с коэффициентами усадки равными по всем направлениям: mx=my=mz=m).
Более общий случай среды ГОЭ с неизотропной усадкой будет рассмотрен в дальнейшем на примере внеосевого объемного сферического ГОЭ. Условия дифракции. Первые два члена разложения характеристической функции V(x,z), существенно различаясь для отражающего и пропускающего объемного внеосевого ГОЭ, представляют собой условия дифракции для плоских волн на локальной объемной решетке с периодом d. Действительно, приравнивая к нулю первые два члена разложения, получаем для объемного пропускающего внеосевого ГОЭ где dx, dz - расстояния вдоль осей координат Ох и Oz между соседними полосами локальной объемной решетки. Эти выражения можно записать в стандартном виде условий дифракции При порядке дифракции равном единице полученные выражения совпадают с условиями дифракции Брэгга. Это указывает на то, что результаты проводимого расчета объемного внеосевого ГОЭ могут быть использованы не только для расчета объемных или глубокообъемных ГОЭ, но и также для расчета так называемых псевдоглубоких ГОЭ. Для объемного пропускающего внеосевого ГОЭ выражения системы (3) могут быть преобразованы к виду Затем, поделив первое выражение этой системы на второе, получаем условие локального равенства угла наклона интерференционных полос в объеме ГОЭ на стадии записи и на стадии восстановления [127] в виде Учитывая в выражениях системы (3) равенство углов наклона, получаем условие пропорциональности локальных периодов d и d0 интерференционных полос в объеме ГОЭ на стадии восстановления и записи При заданном порядке дифракции из условий равенства угла наклона и пропорциональности периода интерференционных полос углы на стадии восстановления 0С, О; выражаются через известные углы на стадии записи 0Г, 0О, величину усадки т, отношение длин волн восстановления и записи ц в виде: Для существования действительных значений углов 0С, 0j должно выполняться условие: модуль выражения kum_lsin(0r/2 -0о/2) не должен превышать единицы. Для объемных отражающих внеосевых ГОЭ, преобразовывая выражения системы (3) аналогично объемным пропускающим внеосевым ГОЭ, получаем углы на стадии восстановления 0С, 0j в виде: Для существования действительных значений углов 0С, 0j должно выполняться условие: модуль выражения кцггГ cos(0r/2 - 0о/2) не должен превышать единицы. Переход от углов распространения волн в среде к углам в воздухе осуществляется, используя закон преломления на границах сред. Определение положения сопряженных плоскостей объемного внеосевого цилиндрического ГОЭ. Третий член разложения характеристической функции V(x,z) имеется и в разложении характеристической функции тонкого внеосевого ГОЭ. Приравняв к нулю этот член разложения, получим известное условие фокусировки тонкого внеосевого ГОЭ В отличие от выражения для осевого ГОЭ здесь наряду с расстояниями до источников волн присутствуют углы распространения волн в среде.
Если распространение волн при восстановлении и записи происходит вблизи оси Oz (углы находятся в параксиальной области и косинусы их равны единице), то выражение (6) преобразуется в формулу осевого объемного ГОЭ. Приравнивая к нулю четвертый член разложения характеристической функции V(x,z) получаем дополнительное условие формирования сопряженных плоскостей объемного внеосевого ГОЭ в виде Перепишем выражения (6) и (7), вводя новые обозначения: Из рисунка 3 видно, что отрезки dc, di5 dr, d0 являются проекциями отрезков zc, Zj, zr, z0, находящихся на оси координат Oz. В новых обозначениях выражения (6), (7) представляются в виде системы Умножая первое выражение системы (8) на l/cos0j, а второе выражение системы (8) на l/sin0i5 вычитая полученные выражения и сделав преобразования, получаем для объемного пропускающего ГОЭ где F] - фокусное расстояние линзовой модели ГОЭ, Аналогично, умножив первое выражение системы (8) на l/cos0c, а второе выражение системы (8) на l/sin0c и выполнив преобразования, получаем Вычитая из выражения для l/zc выражение для 1/ZJ, получаем формулу тонкой цилиндрической линзы с фокусным расстоянием Fi. Фокусное расстояние Fi не совпадает с фокусным расстоянием ГОЭ. Складывая выражения для l/zc и 1/ZJ, получаем формулу цилиндрического зеркала Умножая первое уравнение системы (8) для отражающего объемного внеосевого ГОЭ на l/cos0j, а второе выражение системы (8) на l/sin;, вычитая полученные выражения и сделав преобразования, получаем для внеосевого отражающего объемного ГОЭ где Fm = m zrzocos(0c/2 - 0j/2)/kn(zo + zr)cos(Or/2 - 0o/2) - фокусное расстояние, Q0 = ± Умножая первое выражение системы (8) на l/cos0c, а второе выражение системы (8) на l/sin0c, вычитая полученные выражения и сделав преобразования, получаем Сложив для объемного отражающего ГОЭ величины l/zc и l/zJ5 получаем формулу цилиндрического зеркала Вычитая величины l/zc и І/z;, получаем формулу цилиндрической линзы с фокусным расстоянием Следовательно, объемный внеосевой цилиндрический ГОЭ может быть представлен в виде модели, обладающей одновременно свойствами тонкой цилиндрической линзы и цилиндрического зеркала.
Особенности аберраций объемного внеосевого ГОЭ
Рассмотрим аберрации объемного внеосевого ГОЭ. Разлагая характеристическую функцию V(x,y,z) объемного ГОЭ по координатам произвольной точки M(x,y,z) слоя среды, находящегося на расстоянии z от плоскости хОу, получаем Первые три члена разложения рассмотрены в предыдущих подразделах. При толщине ГОЭ, стремящейся к нулю, вторым и третьим членами разложения можно пренебречь. Условия дифракции (первый и второй члены разложения) в общем случае выполняются для локального объема ГОЭ. Явный вид коэффициентов Fj и Gj (j = 1,2,3,...) приведен в приложении. Коэффициенты Fj совпадают с аберрационными коэффициентами характеристической функции тонкого ГОЭ [48]. Известно, что член разложения с коэффициентом Fj характеризует хроматическую дефокусировку в сагиттальной плоскости, член разложения с коэффициентом F2 характеризует хроматическую дефокусировку в меридиональной плоскости, член разложения с коэффициентом F4 характеризует кому в сагиттальной плоскости, член разложения с коэффициентом F7 характеризует астигматизм в внесагиттальной и внемеридиональной плоскости, член разложения с коэффициентом F8 характеризует сферохроматическую аберрацию третьего порядка в сагиттальной плоскости, член разложения с коэффициентом F9 характеризует сферохроматическую аберрацию третьего порядка в меридиональной плоскости [48,53]. Объемные составляющие рассмотренных аберраций определяются коэффициентами Gj. Так член разложения с коэффициентом Gi характеризует объемную хроматическую дефокусировку в сагиттальной плоскости, член разложения с коэффициентом G2 характеризует объемную хроматическую дефокусировку в меридиональной плоскости, член разложения с коэффициентом G4 характеризует объемную кому в сагиттальной плоскости, член разложения с коэффициентом G7 характеризует объемный астигматизм в внесагиттальной и внемеридиональной плоскости, член разложения с коэффициентом Gg характеризует объемную сферохроматическую аберрацию третьего порядка в сагиттальной плоскости, член разложения с коэффициентом Gg характеризует объемную сферохроматическую аберрацию третьего порядка в меридиональной плоскости [129]. При толщине среды ГОЭ, равной нулю, объемные аберрации отсутствуют.
Таким образом, в отличие от тонкого ГОЭ аберрации объемного ГОЭ включают в себя аберрации тонкого ГОЭ и объемные аберрации. Осевые аберрации внеосевого ГОЭ. Осевые поперечные аберрации Дх, Ау в изображении точечного источника внеосевым объемным ГОЭ определяются из характеристической функции V(x,y,z) по известным соотношениям Объемная продольная аберрация Az определяется из характеристической функции по соотношению Подставляя характеристическую функцию V(x,y,z) в соотношения (30), получаем поперечные аберрации Дх, Ау в виде суммы аберраций Ах,, Ayt тонкого внеосевого ГОЭ и объемных аберраций Axv, Ayv: Поперечные аберрации тонкого внеосевого ГОЭ: Поперечные объемные аберрации внеосевого ГОЭ: Подставляя характеристическую функцию V(x,y,z) в (31), получаем объемную продольную аберрацию Azv в виде: Продольная аберрация, соответствующая поперечным аберрациям Ах,, Ау, тонкого внеосевого ГОЭ равна их произведению соответственно на dj/xcos0i и d/y [31]. Полевые аберрации внеосевого ГОЭ. Полевые аберрации внеосевого объемного ГОЭ возникают при углах и расстояниях, отличающихся от рассчитанных Ос, Oj, dc, dj, для заданных 0Г, 0О углов и расстояний dr, d0 схемы записи. При этом отличие углов А0С, А( и расстояний Adc, Ad; от рассчитанных не должно превышать угловой и пространственной селективности объемного ГОЭ в схеме восстановления. Характеристическая функция Vх для вычисления полевых аберраций внеосевого объемного ГОЭ может быть получена из характеристической функции V(x,y,z) заменой углов 0С, j и расстояний dc, dj схемы восстановления соответственно на С+А0С, @j+AQj и dc+Adc, dj+Adj. Подставляя величины углов С+Д0С, j+Aj при восстановлении в первое и второе уравнения систем (9) и (11), получаем для пропускающего и отражающего внеосевого ГОЭ Углы отклонения равны по величине и отсчитываются по разные стороны от оптической оси. Подставляя расстояния dc+Adc, dj+Adj при восстановлении в соотношения (14) и (16), получаем для пропускающего и отражающего внеосевого ГОЭ в меридиональной плоскости Это выполняется при величинах отклонения Adj, Adc много меньше соответственно расстояний dj и dc. Полевые поперечные аберрации внеосевых объемных ГОЭ могут быть определены из выражений для характеристической функции V: Полевая объемная продольная аберрация Az определяется из выражения для характеристической функции: Подставляя характеристическую функцию V в эти соотношения, получаем полевые аберрации Ах, Ау в виде суммы аберраций Axt, Ayt тонкого внеосевого ГОЭ и объемных аберраций Axv, Ayv. Аберрации объемного осевого ГОЭ отличаются рядом особенностей от детально изученных аберраций тонкого осевого ГОЭ. Рассмотрим эти особенности. Полевые аберрации объемного осевого ГОЭ. Характеристическая функция V для вычисления полевых аберраций объемного осевого ГОЭ может быть получена из характеристической функции V (x,y,z), в которой углы Ог, 0О при записи равны нулю, а расстояния dr, d0 схемы записи заменяются соответственно на zr, z0, и равна [129] При этом углы 0C, 0j и расстояния dc, dj в схеме восстановления не должны превышать угловой и пространственной селективности объемного ГОЭ. Из первого члена разложения (32) характеристической функции V получаем для осевого ГОЭ Углы при восстановлении равны по величине и отсчитываются для пропускающего и отражающего ГОЭ по разные стороны от оптической оси Oz.
Из условия равенства нулю второго члена разложения характеристической функции V получаем для отражающего осевого ГОЭ Полевые поперечные аберрации осевых объемных ГОЭ могут быть определены из характеристической функции V: Полевая объемная продольная аберрация Az определяется из выражения для характеристической функции: Подставляя характеристическую функцию V объемного осевого ГОЭ в эти выражения, получаем полевые аберрации Дх, Ду в виде суммы аберраций Дх,, Ду( тонкого осевого ГОЭ и объемных аберраций Дху, Дуу. Осевые аберрации ГОЭ. Рассмотрим подробнее осевые аберрации объемного ГОЭ. Ограничимся рассмотрением важного с практической точки зрения случая записи ГОЭ в голографической среде с неизотропной усадкой только вдоль оси Oz. Первые три члена разложения характеристической функции V объемного осевого ГОЭ по координатам произвольной точки M(r,z) равны Здесь в первом члене удержаны линейный и квадратичный член разложения по координате z, в других членах удержан линейный член разложения по координате z. Нечетные члены разложения по г отсутствуют в виду радиальной симметрии ГОЭ. При толщине равной нулю (координата z равна нулю) характеристическая функция V(r,z) совпадает с характеристической функцией тонкого ГОЭ [53]. Для отражающих осевых объемных ГОЭ должно выполняться еще дополнительное условие: ku=mz. В общем виде для всех порядков разложения (33) по г и z аберрационные коэффициенты Sa при rbza_b+1 представляются в виде: где ц. - отношение длин волн в среде, а - натуральное число, b - четное натуральное число ( b Ф Члены разложения с коэффициентами Si, S3, S5 характеризуют хроматическую дефокусировку, сферохроматическую аберрацию третьего порядка, сферохроматическую аберрацию пятого порядка и совпадают с известными аберрационными коэффициентами тонкого ГОЭ [48,53]. Члены разложения с коэффициентами S2, S4, S6 характеризуют объемную хроматическую дефокусировку, объемную сферохроматическую аберрацию третьего порядка и объемную сферохроматическую аберрацию пятого порядка. Рассмотрим подробнее каждый тип аберраций. Хроматическая аберрация положения. Хроматическая аберрация положения AZJ пропускающего ГОЭ может быть определена дифференцированием по длине волны восстановления расстояния z-„ выраженного из второго уравнения системы (1), где ДА,С — изменение длины волны восстановления относительно задан ій ной длины волны А.с, F\ - фокусное расстояние объемного пропускающего ГОЭ.
Расчет схемы записи объемного внеосевого сферического ГОЭ
Рассмотрим расчет записи двумя сферическими волнами объемного внеосевого ГОЭ с неизотропной усадкой. Координаты источников сферических волн схемы записи задаются углами 0Г, 0О и расстояниями dr, d0, а схемы восстановления - углами 0С, 0; и расстояниями dc, dj. Схема записи представлена на рисунке 6а, схема восстановления - на рисунке 66. Рассчитаем угловые координаты записывающих волн. Объемный пропускающий внеосевой ГОЭ. Приравняв нулю первые два члена разложения характеристической функции V внеосевого ГОЭ, получаем для объемного внеосевого пропускающего ГОЭ: Поделив первое выражение этой системы на второе, можно получить, условие, связывающее котангенсы полусумм угловых координат в объеме ГОЭ на стадии записи и восстановления. Возводя в квадрат оба выражения системы и складывая, получаем условие, связывающее полуразности угловых координат в объеме ГОЭ на стадии записи и восстановления. Из полученных выражений определяются угловые координаты записывающих волн Ог, 0О через известные углы на стадии восстановления Ос, 0І, величины усадки mx, mz, отношение длин волн записи и восстановления \± в виде: Для существования действительных значений углов 0Г и 0j должно выполняться условие: модуль выражения gm2sin(Oc/2 - J2)/k\i не должен превышать единицы. В симметричной внеосевой схеме восстановления углы с, 0 восстанавливающей и восстановленной сферических волн одинаковы по величине и противоположны по знаку, поэтому выражения системы (50) упрощаются: Таким образом, углы опорной и объектной волн также равны по величине и противоположны по направлению. Если распространение волн при восстановлении и при записи происходит вблизи оси Oz (углы находятся в параксиальной области), то приравнивая арксинусы и синусы аргументов самим аргументам, выражения (50) преобразуются к виду: 0r = (mx/mz + mx/ku)0c/2 + (mx/mz - тх/кр.)0/2, 0О = (mx/mz - тх/кд)0с/2 + (mx/mz + mx/k_i)0;/2. Малость углов накладывает ограничения: отношение коэффициента усадки тх к коэффициенту усадки mz и к величине кц. должно быть много меньше величин 1/0с и 1/Oj. Объемный отражающий внеосевой ГОЭ. Из условия равенства нулю первых двух членов разложения характеристической функции V объемного внеосевого отражающего ГОЭ получаем: Поделив первое выражение этой системы на второе получаем условие, связывающее между собой полусуммы углов при записи и восстановлении.
Возводя в квадрат оба выражения системы и складывая, получаем условие, связывающее между собой полуразности углов на стадии записи и восстановления. Из полученных двух выражений определяются углы на стадии записи 0Г, 0О через известные углы на стадии восстановления 0С, 0; в виде: Для существования действительных значений углов 0Г и 0О в (51) должно выполняться условие: модуль выражения gmzcos(0c/2 - /2)/кц не должен превышать единицы. При симметричной схеме записи отражающего внеосевого ГОЭ (0С= - 0j) углы падения 0Г, 0О опорной и объектной волн одинаковы по величине и противоположны по знаку: Если распространения волн при восстановлении и записи происходит вблизи оси Oz (углы находятся в параксиальной области), то приравнивая косинусы полуразности углов 0С, 0j единице, выражения системы (51) преобразуются к виду: Малость углов накладывает ограничения: отношение коэффициентов усадок mx/mz должно быть намного меньше величин 1/0C, l/0j, а отношение коэффициента усадки mz к величине к\х не должно превышать единицы. Переход на границах сред от углов распространения волн в среде к углам в вакууме (воздухе), осуществляется используя закон преломления. Расчет схемы записи внеосевого ГОЭ в меридиональной плоскости. Приравнивая к нулю третий и четвертый члены разложения характеристической функции V, получаем систему уравнений для объемного внеосевого ГОЭ в меридиональной плоскости: В параксиальной области (углы 0С, 0І5 0Г, 0О намного меньше единицы) система (52) совпадает с системой для осевого ГОЭ в меридиональной плоскости. Внеосевой пропускающий ГОЭ. Второе уравнение системы (52) учитывает объемность ГОЭ в меридиональной плоскости. Выражая из первого уравнения системы (52) величину l/dr для объемного пропускающего ГОЭ в виде где фокусное расстояние F = dcdj/(dj - dc), и подставляя во второе уравнение системы (52), получаем квадратное уравнение относительно Решая это квадратное уравнение, имеем где Fi - фокусное расстояние пропускающего ГОЭ, Подставляя выражение (53) в выражение для l/dr, получаем Формулы (53), (54) позволяют рассчитать расстояния до источников опорной и объектной сферических волн при записи объемного пропускающего внеосевого ГОЭ. В случае симметричной схемы восстановления и записи (0с=-0„ Qr=—Q0) второе уравнение системы (52) запишется в виде Разлагая разность квадратов и учитывая первое уравнение системы (52), получаем: Складывая и вычитая уравнения этой системы, получаем: Формула для параметра Рс в случае симметричного пропускающего внеосевого ГОЭ отличается от аналогичной формулы пропускающего осевого ГОЭ величиной отношения Для отражающего ГОЭ выразим из первого уравнения системы (52) величину l/dr в виде где фокусное расстояние Fm = dcd/(dc + df). Подставляя во второе уравнение системы (52) и решая квадратное уравнение, получаем Ф где параметр Qc = ±[2m22(p2 + 1 )cos0c/mx2(p + 1 )2cos0r - 1 ]1/2. Формула для параметра Qc в случае симметричного отражающего внеосевого ГОЭ отличается от аналогичной формулы осевого отражающего ГОЭ величиной отношения cos0c/cos0r. Складывая и вычитая выражения для l/dr и l/d0, получаем формулы тонкой линзы и сферического зеркала. Таким образом, в меридиональной плоскости как пропускающий, так и отражающий объемный внеосевой ГОЭ на стадии записи может быть представлен в виде зеркально-линзовой модели.
Расчет схемы записи объемного внеосевого ГОЭ в сагиттальной плоскости. Приравнивая к нулю пятый и шестой члены разложения характеристической функции V, получаем условия, связывающие угловые и пространственные координаты источников волн на стадии записи и восстановления в сагиттальной плоскости: Для объемного внеосевого пропускающего ГОЭ умножая первое уравнение системы (57) на 2sin0o, а второе уравнение системы (57) на cos0o, вычитая полученные выражения и сделав преобразования, получаем: Аналогично умножая первое уравнение системы (57) на 2sin0r, второе уравнение на cos0r, вычитая полученные выражения и сделав преобразования, где величины Fc и fc задаются выражением (59). По сравнению с осевым объемным ГОЭ расстояния dr и d0 зависят от углов 0О, 0Г. Аналогично, для объемного внеосевого отражающего ГОЭ, умножая соответственно первое уравнение системы (57) на 2sin0o, 2sinOr, а второе уравнение системы на cos0, cos0r, вычитая полученные выражения и выполнив преобразования, получаем: где величины Fs и fs равны Таким образом, в меридиональной и сагиттальной плоскостях координаты источников в схеме записи [dr]Mep, [dr]car, [d0]Mep, [d0]car объемного внеосевого пропускающего ГОЭ различны и определяются выражениями (54), (58), (53), (60). Следовательно, для записи объемного пропускающего внеосевого ГОЭ, требуется опорная волна с астигматической разностью и объектная волна с астигматической разностью Для записи объемного внеосевого отражающего ГОЭ требуется опорная волна с астигматической разностью и объектная волна с астигматической разностью Величины расстояний [dr]Mep, [d0]Mep, [dr]car, [d0]car для объемного отражающего ГОЭ определяются из формул (55), (56), (61). Таким образом, полученные выражения позволяют рассчитать требуемые астигматические опорный и объектный волны для записи стигматического внеосевого объемного ГОЭ. Рассмотрим определение допустимой погрешности координат источников волн при записи двумя сферическими волнами объемного внеосевого ГОЭ. Определение допустимой погрешности в меридиональной плоскости. Для определения в меридиональной плоскости продольной погрешности в установке координат источников при записи вычислим дифференциал от где для объемного пропускающего внеосевого ГОЭ: для объемного отражающего внеосевого ГОЭ: Для объемного внеосевого пропускающего ГОЭ, умножая первое уравнение системы (62) на cos0o/do, вычитая из полученного выражения второе выражение системы и выполнив преобразования, получаем Умножая первое выражение системы (62) на cos0r/dr, вычитая из полученного выражения второе выражение системы и выполнив преобразования, получаем Аналогично, для объемного внеосевого отражающего ГОЭ, умножая соответственно первое выражение системы (62) на cos0o/do, cos0r/dr, вычитая из полученных выражений второе выражение системы и выполнив преобразования.
