Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Модель формирования интерференционной картины и общая задача интерферометрического контроля 10
1.1 Задача контроля ошибок формы оптических поверхностей 10
1.2 Математическая модель формирования интерференционной картины 13
1.3 Обработка измерений при контроле ошибок формы
оптических поверхностей 19
ГЛАВА 2 Этапы расшифровки интерференционной картины 22
2.1 Общие принципы построения алгоритмов обработки интерференционных картин 22
2.2 Предварительная обработка интерференционной картины 23
2.3 Расшифровка интерференционной картины 26
ГЛАВА 3 Численная реализация алгоритмов расшифровки интерференционной картины 30
3.1 Численная реализация процедуры фильтрации 30
3.2 Численная реализация процедуры поиска области локализации интерференционной картины 32
3.3 Численная реализация поиска направления сканирования 34
3.4 Численная реализация алгоритма отслеживания полос 39
3.5 Уточнение координат экстремумов полос 42
ГЛАВА 4 Математический аппарат аппроксимации деформаций оптических поверхностей 45
4.1 Способы описания деформаций оптических поверхностей 45
4.2 Основные требования к форме математического описания сложных оптических поверхностей 47
4.3 Описание поверхности с учетом общей формы и локальных отклонений 49
4.4 Кусочное представление поверхностей 52
4.5 Совмещенный базис описания оптической поверхности .57
4.6 Подходы к решению задачи аппроксимации 59
ГЛАВА 5 Численная реализация алгоритмов аппроксимации и анализа ошибок формы оптических поверхностей 62
5.1 Численные характеристики методов решения задачи наименьших квадратов 62
5.2 Алгоритм решения задачи наименьших квадратов 64
5.3 Формирование системы уравнений для аппроксимации по совмещенному базису 65
5.4 Восстановление значения функции в произвольной точке 69
5.5 Анализ функции деформации поверхности 73
ГЛАВА 6 Методика абсолютной аттестации плоских эталонных поверхностей по методу трех плоскостей 78
6.1. Методика проведения измерений 78
6.2 Расчет деформаций контролируемых поверхностей 80
ГЛАВА 7 Анализ результатов 85
7.1 Результаты оценки точности алгоритма обработки интерферограмм и аппроксимации деформации поверхности 85
7.2 Результаты оценки сходимости измерений функции деформации поверхности 87
Выводы 89
Заключение 91
Литература 94
Приложения
- Математическая модель формирования интерференционной картины
- Предварительная обработка интерференционной картины
- Численная реализация процедуры поиска области локализации интерференционной картины
- Основные требования к форме математического описания сложных оптических поверхностей
Введение к работе
В современном оптическом производстве доля точной и высокоточной оптики за последнее десятилетие сильно возросла [93, 99]. Оптические детали, поверхности которых должны изготавливаться с высокой точностью, нуждаются в эффективном и быстром производственном контроле, поскольку оптические системы, состоящие из них, производятся все более крупными сериями. Вместе с тем оптический прецизионный контроль базируется в основном на интерферометрических методах, которые требуют адаптации к современным возрастающим требованиям, что приводит к возникновению целого ряда проблем, в том числе и в области интерпретации данных контроля.
Традиционно, для описания формы оптических поверхностей принято использовать коэффициенты разложения по степенному базису или по базису ортогональных полиномов Цернике [5, 19, 21, 28, 29, 50, 65]. Они позволяют описать общую форму поверхности, так как каждая базисная функция однозначно определяется одним коэффициентом на всей области определения. Такой подход позволяет проводить эффективную оценку качества описываемой модели.
Результатом контроля формы оптической поверхности, как правило, является набор точек и значений деформации поверхности в этих точках. Переход к математической модели контролируемой поверхности осуществляется аппроксимацией исходного набора данных. Получаемая в результате математическая модель является «наилучшим» приближением к реальной форме. Это означает, что локальные отклонения реальной поверхности не просто отбрасываются в математической модели, а вносят искажения в математическое описание формы контролируемой поверхности [54].
Таким образом, желательно, чтобы математическая модель была ориентирована не только на описание общей формы поверхности, но и на
описание локальных отклонений. Основными требованиями к базису для описания деформаций оптических поверхностей является возможность представления как общей, так и локальных ошибок формы с возможностью эффективной оценки параметров получаемой математической модели.
Данная диссертационная работа посвящена разработке математического описания сложных оптических поверхностей, то есть поверхностей содержащих общие и локальные ошибки формы, а так же быстрых и устойчивых алгоритмов обработки интерференционных картин, обеспечивающих при этом высокую точность контроля деформаций оптических поверхностей.
Целью диссертационной работы является исследование и развитие математического аппарата, алгоритмов и программ для автоматизированной обработки интерферограмм, с последующей аппроксимацией деформаций по единому базису представления общих и локальных ошибок.
При выполнении диссертационной работы необходимо решить следующие задачи:
Выполнить модернизацию алгоритмов и реализовать программные модули для автоматизированной обработки двулучевых амплитудных интерференционных картин.
Провести сравнительный анализ базисов, используемых при аппроксимации деформаций оптических поверхностей по результатам интерферометрических измерений.
Разработать методику и алгоритм аппроксимации деформаций оптических поверхностей по данным интерферометрических измерений на основе единого базиса представления общих и локальных ошибок.
Развить методику и реализовать алгоритм абсолютной аттестации плоских эталонных поверхностей по методу трех плоскостей.
Структурно диссертационная работа состоит из семи глав, четырех приложений, вводного и заключительного разделов, а также списка использованной литературы.
В первой главе данной работы рассматривается общая задача интерферометрического контроля качества оптических поверхностей. Поскольку анализ интерференционной картины является обратной задачей, рассматривается построение полной математической модели формирования интерференционной картины. Это позволяет провести анализ влияния различных факторов на качество интерферограммы и эффективным образом построить алгоритм расшифровки интерференционной картины.
Во второй главе диссертационной работы вводятся требования к алгоритму обработки интерференционных картин для обеспечения устойчивости и возможности устойчивой автоматизированной обработки. Процесс расшифровки интерферограмм разбивается на отдельные этапы, и обсуждаются возможности построения эффективной реализации каждого из них.
В третьей главе диссертационной работы обсуждается численная реализация этапов расшифровки интерферограмм. В основе предлагаемых алгоритмов лежит идея отказа от априорных оценок, что позволяет повысить устойчивость и построить алгоритмы независимые от аппаратного обеспечения.
В четвертой главе диссертационной работы проводится анализ применяемых способов описания деформаций оптических поверхностей. Формулируются основные требования к форме представления ошибок с учетом локальных деформаций. Предлагается базис описания деформаций оптических поверхностей с учетом общих и локальных ошибок. Рассматриваются задача аппроксимации и возможные подходы к решению этой задачи.
В пятой главе диссертационной работы проводится сравнение методов решения задачи аппроксимации и предлагается алгоритм, обладающий
8 наиболее высокой эффективностью и устойчивостью. Рассматривается формирование систем уравнений по результатам расшифровки интерференционных картин для определения параметров предлагаемой математической модели. Так же приводятся основные положения эффективного восстановления значений функции деформации поверхности и ее анализа.
В шестой главе диссертационной работы рассматривается методика абсолютной аттестации плоских эталонных поверхностей по методу трех плоскостей.
В седьмой главе диссертационной работы представлены результаты, показывающие точность разработанных математических моделей и алгоритмов.
В приложении 1 приведена схема интерферометра типа Физо ИКД-110, на котором проводилась апробация разработанных алгоритмов. В приложении 2 приводится блок-схема алгоритма решения задачи наименьших квадратов преобразованиями Хаусхолдера, используемого в данной работе. В приложениях 3, 4 приводится текст программ на языке программирования C++. Программная реализация решения задачи наименьших квадратов, используемая в разработанном пакете исследовательских программ, приведена в приложении 3. В приложении 4 приведена программная реализация вычисления базисных функций локального сплайна.
На защиту выносятся следующие оригинальные научные результаты:
Единый базис аппроксимации общих и локальных ошибок оптических поверхностей сложной формы, который представляет собой суперпозицию полиномиального и кусочного описания.
Модернизированный алгоритм обработки амплитудных интерферограмм, включающий:
регистрацию с учетом фонового распределения освещенности;
определение области локализации интерференционной картины итерационным алгоритмом по величине невязки радиусов контурных точек;
определение преимущественного направления полос и уточнение координат точек локальной аппроксимацией профиля полосы.
3) Развитый метод абсолютной аттестации плоских эталонных поверхностей с обоснованием выбора угла разворота одной из аттестуемых поверхностей в дополнительном измерении.
Математическая модель формирования интерференционной картины
Полная математическая модель формирования интерференционной картины, которая и является в случае интерферометрического контроля оператором R (6), имеет своей целью выявление основных факторов, вносящих искажения в вид интерферограммы и затрудняющих ее расшифровку. Основной целью математического моделирования является обеспечение возможности аттестации алгоритмов обработки интерферограмм, поэтому модель должна учитывать, по возможности, все факторы, влияющие на формирование реальной интерференционной картины [37].
В практике интерферометрического контроля оптики наиболее востребованы методы, основанные на анализе распределения интенсивности (под интенсивностью здесь и далее понимается величина, пропорциональная квадрату амплитуды) по интерференционной картине. Поэтому основной интерес представляет моделирование распределения интенсивности I(px9pv) по интерферограмме в зависимости от разности фазинтерферирующих световых волн [8, 31, 39, 92], которая может быть определена по значению функции деформации волнового фронта W(x,y), обычно выражаемой в длинах волн:
Выражение (9) показывает, что для математического моделирования реальной интерференционной картины в принципе достаточно определить функцию деформации волнового фронта. Это выражение является базовым и описывает модель идеальной интерферограммы.
Интерферограммы, моделированные согласно соотношению (9) весьма далеки от реальных интерференционных картин, что наглядно видно на рисунке 1, где а) - моделированная и б) - реальная интерферограммы.
Из рисунка 1 так же видно, что наибольший недостаток моделированной интерферограммы заключается в равномерном распределении функций освещенности и видности (контраста) по изображению. Вид этих функции на реальной интерферограмме определяется как характеристиками источника излучения, так и параметрами оптики интерферометра [17, 18]. Чтобы учесть влияние этих факторов при моделировании интерференционной картины, дополним формулу (9), описывающую распределение интенсивности на изображении, двумя функциями: /0[рх,ру) - функцией распределения освещенности иV{px ,pv) функцией распределения видности, а так же масштабныммножителем А. Использование в качестве значений освещенности и видности (контраста) не конкретных численных оценок, а функциональных зависимостей является первым шагом на пути получения реалистичных моделированных интерферограмм, поскольку позволяет смоделироватьнеравномерности, которые неизбежны в практике реальных измерений. Масштабный множитель А фактически определяет значение разности максимального и минимального значения интенсивности, что будет в значительной степени сказываться при квантовании получаемых значений, которое всегда присутствует при цифровой регистрации и обработке сигналов.
Интерферограмма, смоделированная по формуле (10) приведена на рисунке 2.В идеальном случае форма области локализации интерференционной картины определяется формой рабочей области контролируемой поверхности. Искажения формы этой области могут возникать по причине виньетирования в оптике интерферометра (такие искажения хорошо могут быть описаны эллиптическим контуром, либо контуром типа «кошачий глаз»), либо из-за сколотых краев контролируемой поверхности, участвующей в процессе формирования интерференционной картины (описывается функцией изменения радиус вектора, в зависимости от направления) [17]. Кроме искажений контура возможно наличие различных экранов в схеме формирования интерференционной картины (например, центрального экранирования, спайдеров) [20]. Воздействие этих факторов может быть описано бинарной функцией Q.
Так же искажения контура интерференционной картины могут быть вызваны (например, в интерферометре схемы Физо) смещением центра контролируемой поверхности Ск относительно центра эталоннойповерхности Сэ - децентрировками Ах и Ау (рис. 3).
В этом случае функция деформации волнового фронта W(px9p ) ифункция формы области локализации интерференционной картины Q(pv,/?v) определяются суммами (считая, что центр эталона совмещен соптической осью интерферометра):
Предварительная обработка интерференционной картины
Процесс предварительной обработки интерференционной картины предназначен для подготовки интерферограммы к последующей расшифровке. На этом шаге можно выделить три задачи:? фильтрация - подавление шумов, присутствующих на интерференционной картине;направления полос интерферограммы.
Идеальная интерференционная картина представляет собой интерференционные полосы с синусоидальным распределением интенсивности. В процессе формировании реальных интерференционных картин вносятся помехи в основной сигнал [20, 41]. Их можно классифицировать следующим образом: плавное изменение освещенности по полю интерферограммы; мелкозернистые шумы.
Рассматривая схему интерферометра (приложение 1), можно определить основные источники этих типов помех. Плавное изменение освещенности по полю интерферограммы, являющееся шумом с низкой пространственной частотой, определяется особенностями источника излучения, а так же загрязнением оптики интерферометра и схемы контроля. Мелкозернистые шумы, характеризующиеся высокой пространственной частотой, вызваны белым шумом ПЗС-матрицы, а так же когерентным шумом спеклов. Следует отметить, что в современных интерферометрах шум спеклов фильтруется на аппаратном уровне. Фильтрация указанных типов помех должна осуществляться отдельно.
Выравнивание распределения освещенности по интерференционной картине желательно проводить в связи с тем, что из-за неравномерности освещенности может происходить смещение экстремумов полос. На рисунке 5 штрихпунктирной линией показана функция косинус, линией с крупным пунктиром изображена функция изменения освещенности, сплошной линией показан результат их наложения, то есть то, что происходит при регистрации реальной интерференционной картины. Ромбом отмечен максимум функции косинуса, круг отмечает максимум функции, регистрируемой на приемнике. Линии, нарисованные мелким пунктиром демонстрируют различие координат регистрируемого максимума и действительного максимума функции деформации волнового фронта.
Учет фонового распределения должен проводиться непосредственно в процессе регистрации интерференционной картины. Если при регистрации интерферограммы такая операция не была выполнена, можно аппроксимировать функцию распределения освещенности используя значения максимумов полос интерференционной картины, после чего произвести учет фонового распределения по аппроксимированной функции распределения освещенности.
Процесс подавления мелкозернистых шумов основывается на пространственно-частотной фильтрации интерферограммы [7, 11, 30], то есть выполнении операций по подавлению определенных составляющих Фурье-спектра интерференционной картины.
Следующий этап - определение области локализации интерференционных полос. Эта область определяет участок интерферограммы, содержащий полезный сигнал, ее вид определяется видом рабочей области контролируемой оптической детали.
В наиболее распространенном случае оптические детали имеют рабочую область в форме круга. Однако при регистрации интерференционной картины на ПЗС-матрице с неквадратным пикселом, интерферограмма «вытянута» в направлении, соответствующем меньшему размеру пиксела. Поэтому для круглых деталей область локализации интерференционных полос будет эллиптической: у0 - координаты центра контура, а, Ъ - полуширина иполувысота контура соответственно.
Информация об области локализации интерференционных полос позволяет выразить ошибки формы контролируемой поверхности в абсолютных величинах, а так же дает возможность перейти к относительным координатам, что важно для последующей аппроксимации функции деформации волнового фронта.
На этапе, завершающем предварительную обработкуинтерференционной картины, определяется преимущественное направление полос на интерферограмме. Геометрические методы расшифровки интерференционных картин основаны на поиске и последующем анализе взаимного расположения экстремумов интерференционных полос, как точек с известным значением функции деформации волнового фронта. Для эффективного поиска и определения принадлежности экстремума конкретной полосе желательно иметь информацию об ориентации полосы в каждой рассматриваемой точке, поэтому информация о преимущественном направлении полос на интерференционной картине позволит эффективнее организовать процедуру поиска экстремумов.
Учитывая, что направление полос на интерференционной картине может изменяться, а преимущественное направление требуется определить до того, как будет известно расположение полос, необходимо использовать алгоритм, который в большинстве случаев будет давать приемлемое приближение направления.
Такие алгоритмы можно разделить на два типа: сканирующие и аппроксимирующие. Для любого алгоритма потребуется определить некоторую опорную точку (xs,ys), относительно которой будет проводиться анализ направления полосы. В качестве решения может использоваться алгоритм, который определяет направление полос в центральной части интерферограммы.
Процесс расшифровки интерференционной картины заключается в определении экстремумов полос и идентификации их принадлежности конкретной полосе [2, 20, 43, 91, 94, 95, 96, 98]. Алгоритмы, осуществляющие такую операцию, можно условно разделить на два типа: реализующие метод сканирования и метод слежения за полосой.
Принципиальное различие заключается в том, что метод сканирования ищет экстремумы, а потом определяет, какой полосе они принадлежат, а метод сканирования ищет полосу, а затем на ней ищет экстремумы. Отсюда следует, что метод слежения за полосой должен быть более устойчив при расшифровке интерферограмм с изгибающимися полосами.
В методе сканирования на первом этапе производится поиск всех экстремумов в области контура интерферограммы. Это реализуется сканированием интерференционной картины по параллельным прямым -уровням сканирования, расстояние между которыми определяет частоту расстановки точек. Далее производится последовательное сопоставление уровней сканирования - определяются пары точек из двух уровней, принадлежащие одной полосе. После того, как сопоставление уровней завершено, определена принадлежность каждой точки определенной полосе.
В методе слежения за полосой осуществляется поиск полосы -экстремума на пути основного сканирования. Затем производится отслеживание найденной полосы (при этом фиксируются экстремумы) до контура интерферограммы. После этого производится поиск очередной полосы. Когда поиск полос закончен, сформирован набор точек для каждой полосы.
Сравнение этих двух методов может показать следующее: метод сканирования, в отличие от метода слежения за полосой, не требует, чтобы направление основного сканирования пересекало все полосы интерференционной картины; метод слежения за полосой, в отличие от метода сканирования, устойчив при обработке кольцевых интерферограмм; метод слежения за полосой, в отличие от метода сканирования, устойчив на изогнутых полосах.
Таким образом, оба метода обладают как преимуществами, так и недостатками. Однако, учитывая, что интерференционную картину почти всегда можно настроить таким образом, что найдется прямая, пересекающая все полосы, метод слежения за полосой является более универсальным (хотя для него, на сложных интерференционных картинах, вероятно, потребуется ручная корректировка направления поиска полос).
Численная реализация процедуры поиска области локализации интерференционной картины
Предлагаемый алгоритм поиска области локализацииинтерференционных полос ориентирован на обработку интерферограмм, получаемых при контроле деталей круглой формы, однако может быть обобщен и на другие случаи.
Итак, предполагается, что расшифровываемая интерферограмма получена при контроле круглых или эллиптических деталей. При этом, искомая область локализации интерференционных полос описывается выражением (18). Однако, выражение (18) является нелинейным относительно неизвестных параметров, поэтому представим его в виде: (23) уравнения эллипса является линейной относительно искомых параметров, которые могут быть легко вычислены, если известны координаты как минимум четырех точек, принадлежащих контуру области локализации интерференционных полос.
Для получения исходных данных при аппроксимации зависимостью (23), то есть точек, расположенных по краю интерференционной картины, следует ввести пороговое значение сигнала q{. Затем просканировать выборку интерферограммы от краев к центру, и каждую первую по пути сканирования точку, сигнал в которой превышает qt, считатьпринадлежащей контуру интерференционной картины. В результате будет сформирован набор данных (xi9yt) і 0,...,п для аппроксимации. При
формировании системы уравнений нужно представить зависимость (23) в виде: Тогда структурную матрицу и вектор правых частей системы уравнений вида (15) следует заполнять следующим образом:
После решения системы уравнений вектор неизвестных будет содержать значения искомых коэффициентов:
Выбор порогового значения qt в виде константы может привести ктому, что ни одной точки, соответствующей краю интерференционной картины алгоритм найти не сможет. Такая ситуация возможна в двух случаях - когда значение сигнала фона окажется выше порогового значения qx, либо когда максимальное значение сигнала на интерференционнойкартине будет ниже qx. Поэтому следует определять qt непосредственно изинтерференционной картины, используя некоторое усредненное значение сигнала по выборке интерферограммы.
Учитывая, что на пути сканирования может оказаться минимум полосы, желательно получить избыточный набор данных, провести аппроксимацию методом наименьших квадратов [35], отбросить сбойные точки (их можно выявлять, например, по максимальному несоответствию аппроксимированной зависимости) и провести окончательную аппроксимацию.
Алгоритмы, реализующие поиск направления сканирования, можно разделить на два типа [18]. Построение алгоритмов первого типа основывается на поиске максимумов при сканировании по окружности, с центром в опорной точке, при этом радиус окружности изменяется до тех пор, пока при сканировании не будет найдено только двух максимумов. Второй тип основан на аппроксимации профиля полосы с последующим определением ориентации полосы из анализа полученного математического описания.
Алгоритмы сканирующего типа требуют, чтобы опорная точка находилась в максимуме полосы (таким образом, потребуется определить ближайший к центру контура интерферограммы максимум). После того как опорная точка определена, можно производить сканирование по окружности с центром в опорной точке. Начальный радиус окружности сканирования выбирается примерно равным половине максимально предполагаемой ширины полосы. Если на окружности обнаружено более двух максимумов, то окружность пересекается не только с полосой, содержащей опорную точку, но и с ближайшими к ней полосами. Радиус окружности уменьшается, и сканирование производится вновь. Эта процедура проводится до тех пор, пока на окружности сканирования не будет ровно двух максимумов, тогда направление полосы - это прямая проходящая через найденные максимумы.
Основные требования к форме математического описания сложных оптических поверхностей
При контроле оптической поверхности (волнового фронта) проводят измерение деформаций формы поверхности в наборе точек. Набор точек определяется исходной сеткой узлов, которая, в общем случае, является нерегулярной, точки расположены в узлах сетки. Таким образом, результаты измерений представляют собой набор точек Pj -(Xj.yj) и значенияконтролируемой функции в этих точках І(х-9у-). Для полученияматематического описания контролируемой функции (то есть набора коэффициентов с() проводят математическую обработку результатовизмерений, которая заключается в аппроксимации данных - определении коэффициентов ci, при которых будет достигаться наилучшее приближениематематического описания функции W(x9y) к реальной W(x9y). Обычными для аппроксимации требованиями к алгоритмам являются достижение необходимой точности и обеспечение непрерывности математического описания.
Требование точности предусматривает незначительное отклонение приближенных (вычисленных в процессе аппроксимации) значений в узлах исходной сетки от соответствующих исходных значений и, кроме того, малые отклонения вычисленных промежуточных значений от теоретически (или практически) возможных значений исходной функции. В основе этого требования лежит предположение, что аппроксимируемая функция непрерывна и имеет непрерывные производные.
Целью аппроксимации является не только хорошее приближение, но и "улучшение" исходных данных (например, нередко используемое сглаживание). Сохранение непрерывности обеспечивает постепенность изменений (то есть отсутствие разрывных скачков) аппроксимирующей (приближенной) функции не только при переходе от одной точки внутри промежутка, образованного соседними узлами, к близлежащей другой, но и в самих узлах [35].
Одним из наиболее часто применяемых и сравнительно простых методов аппроксимации является метод наименьших квадратов [25]. Согласно ему, отыскиваются такие значения коэффициентов сп которыедоставляют минимум квадрату суммы отклонений значений функции W(x9y) в узлах исходной сетки от исходных данных W{x,y) [40]. Полученная таким образом эмпирическая функция W(x,y) однозначно определена на всей области определения. Достоинства метода наименьших квадратов -сравнительная простота и возможность экстраполяции, то есть определения не только промежуточных значений, но и значений, лежащих за пределами охваченного сеткой интервала. Но у метода наименьших квадратов есть и недостатки, обусловленные интуитивным выбором типа кривой (базиса) и малым числом параметров. При большом (относительно параметров) числе узлов исходной сетки представляется весьма затруднительным подогнать значения эмпирической функции W(x,y) одинаково хорошо на все исходныеданные W(Xj,y-) и тем самым обеспечить требуемую точность.
Поскольку представление исследуемой функции в виде (43) является глобальным, то всякие локальные отклонения при аппроксимации сглаживаются и искажают глобальную форму функции. Использование весовых коэффициентов при проведении аппроксимации в этом случае не может улучшить положение, так как заранее неизвестно, в какой области присутствуют локальные отклонения и, к тому же, при анализе важно оценить не только глобальную форму поверхности, но и локальные ошибки.
Из этого следует, что математическая модель должна быть ориентирована не только на общее описание формы поверхности, но и на описание локальных отклонений. Описания функции, ориентированного на представление и общей ошибки формы поверхности, и локальных отклонений, можно достичь двумя путями - либо вводя отдельное описание общей ошибки формы и локальных отклонений поверхности [40], либо используя описание только локальных отклонений (при этом глобальная форма функции представляется в виде набора локальных отклонений) [64].
Как отмечалось выше, улучшения точности аппроксимации можно достичь путем специального выбора узлов интерполяции или за счет перехода к каким-либо обобщенным многочленам. Однако при проведении интерферометрического контроля исходная сетка узлов не может быть выбрана произвольно, так как расположение узлов зависят от количества и формы полос интерференционной картины. Переход же к обобщенным многочленам, как правило, значительно усложняет вычисления и не избавляет от второй проблемы - быстрого накопления ошибок округления с ростом степени многочлена. На практике, для того чтобы достаточно хорошо приблизить функцию, вместо построения многочлена высокой степени используют кусочные многочлены.
Основываясь на этих предпосылках, можно сформулировать первый вариант описания функции поверхности (волнового фронта). Дополним глобальное описание функции деформации поверхности в виде (43), описанием отдельных локальных отклонений:
Здесь коэффициенты с І и базисные функции а((х,у) описывают общую составляющую функции ошибки формы поверхности (волнового фронта), коэффициенты стк и "специальные" базисные функции fik(x- x0m,y - yQm) описывают m-oe локальное отклонение, с центром в точке xQm, у0т. Важно отметить, что наборы функции а{ (х, у) иРк (х - х0т, у - у0т) в общем случае отличаются, так как описываемая функция W(x9y) не должна иметь разрывов по области определения.
Поэтому "специальные" базисные функции рк (х - х0т, у - у0т) должны бытьфинитными, не должны иметь разрывов и их значения на границе области определения должны быть равны нулю.
Такое задание функции весьма привлекательно с точки зрения анализа поведения описываемой функции. При моделировании описание (44) предоставляет возможность определить количество и форму локальных отклонений. Но при аппроксимации исходных данных зависимостью (44) необходимо проводить сложный анализ для выявления количества и расположения локальных отклонений, что приведет к итерационному процессу, критерии завершения которого будут эмпирическими.
Второй способ описания является кусочным, то есть область определения Q функции W(x,y) разбивается на N подобластейa j є Q, / = 1,7V так, что JX J J2...KJ JN = Q, И поведение функции W{x,y) определяется отдельно на каждой подобласти {xhyt) є al:
При таком способе представления функции деформации затруднен ее анализ и необходима разработка методов эффективного оценивания поведения функции по значениям коэффициентов. Точность представления функции W(x,y) зависит от количества подобластей т/5 на которые разбивается область определения Q. С другой стороны, набор данных для аппроксимации W(x,y) представлен исходной сеткой конечного набора узловых точек. Данные о значениях функции известны только в узлах исходной сетки, поэтому разбиение на количество N подобластей т;,
Похожие диссертации на Исследование методов описания формы сложных оптических поверхностей при интерферометрическом контроле
