Введение к работе
Актуальность проблемы. Хорошо известно, что как океан, так и атмосфера подвержены влиянию разнообразных ветров и течений. В то же время к настоящему времени можно считать установленным тот факт, что, наряду с турбулентностью и вихревыми движениями, важная роль в динамике океана и атмосферы принадлежит гслновым процессам. Очевидно также, что сдвиговые течения оказывают заметное влияние на специфику распространения волн в океане и атмосфере. Очевидно и существование обратного влияния. Поэтому анализ распространения волн на фоне сдвиговых течений составляет предмет пристального внимания современной геофизической гидродинамики и океанологии.
Исследование волновых возмущений на фоне сдвиговых потоков было традиционной задачей начиная с работ Гельмгольца и Релея, и, в частности, составляло основной предмет теории гидродинамической устойчивости. До недавнего времени геофизическая гидродинамика в значительной мере являлась по сути линейной теорией гидродинамической устойчивости в применении к геофизическим потокам. На протяжении большей части нашего столетия теория гидродинамической устойчивости интенсивно и весьма плодотворно развивалась в рамках линейного приближения. Наиболее полно линейная теория гидродинамической устойчивости изложена в монографиях Линя [1958J, Дикого [1976], Дрейзина и Рейда Е1981J, Джозефа [1981).
Распространенной точкой зрения в течение многих десятилетий было представление, что, хотя линейная теория заведомо
неспособна к описанию динамики волновых возмущений большой амплитуды, она по крайней мере дает адекватное представление о диапазонах генерируемых неустойчивостью волн, масштабах наиболее быстрорастущих мод и характерных скоростях их роста. Оказалось, что далеко не всегда области неустойчивости совпадают с предсказанными на основании линейной теории. В результате нелинейного анализа выявляются новые области неустойчивости, зачастую расположенные далеко от диапазона линейной неустойчивости. Более тоїи, возможны ситуации, где наблюдаемые неустойчивости вообще не имеют линейных аналогов. Как правило, предсказываемые линейной теорией характерные длины и амплитуды генерируемых волн оказываются существенно меньшими, чем те, которые получаются из анализа данных наблюдений. Поэтому необходимость исследования нелинейных механизмов генерации и определені. их места в ряду конкретных геофизических задач не вызывает сомнений.
Интерес к проблемам нелинейных волн и к связанным с ними нелинейным аспектам гидродинамической устойчивости наблюдается начиная с шестидесятых годов. Здесь прежде всего следует упомянуть монографии Экхауза [1965], Уизема [і9?7], Филлипса [1969], а также сборники трудов под редакцией Лейбовича и Сибасса [1977] и Суинни и Голлаба [1984].
Из всего ряда проблем, возникающих в связи с рассмотрением нелинейных аспектов устойчивости сдвигового течения, наиболее актуальными на наш взгляд представляются проблемы межмодового нелинейного взаимодействия и проблемы поиска нелинейных механизмов генерации волн. Одним из примеров подобных механизмов является взрывная неустойчивость.
Другой круг проблем связан с явлениями, принципиально не
объясняемыми в рамках линейной теории, а именно, с обнаружением устойчивых долгоживущих когерентных образований, распространяющихся с постоянной скоростью практически без искажения формы, т.е. солитонами. Подобные явления наблюдаются как в нижних слоях атмосферы (см. обзорные работы Кристи [198?, 1991]), так и на поверхности океана ( Пелинсаский [1982]). Известны также солитоны внутренних волн в океане (Осборн и Зурш [1980], Anej.^ и др. [1989], Серебряный [1993], Островский и Степанянц
[1989]).
Опис лгае этих принципиально нелинейных явлении потребовало привлечения нового аппарата математической физики, который, как выяснилось, оказался универсальным для волк различной физической природы (г"м. Захаров и др. [і980], Уизем [1977]). Вместе с тем специфика механизмов влияния различных усложняющих факторов, таких, как стратификация, шеро. .татости дна, орография, учет вращения Земли, и т.д., оказывается индивидуальной для каждой геофизической ситуации. Анализ проявления универсальности когерентных явлений для конкретной геоф: зической среды является сложной и важной проблемой.
Третий круг проблем, который можно очертить при анализе волновых движений в геофизических течениях, связан с необходимо 'тью развития универсального языка и выработки аппарата построения адекватных переменных, описывающих взаимодействия разных типов волн для широкого класса неравновесных и неустойчивых сред. Геофизические стратифицированные сдвиговые течения являют собой типичный пример таких сред. Таким универсальным языком является язык гамильтонова формализма, и наиболея адекватными для описания волновой динамики являются канонические
переменные, в частности, нормальные канонические переменные системи.
Задача универсального описания волноьых возмущений в равновесных средах на основании гамильтоновского формализма была в значительней степени решена в работах Захарова [і97і]. В работе Игнатова [19Вб] и монографин Гончарова и Павлова [1992] процедура введения нормальных канонических переменных была в значительной степени обобщена на неравновесные системы. При этом, однако, оставался открытым вопрос о построении универсальных канонических переменных в г. .гранично неустойчивых областях (областях алгебраической неустойчивости), где стандартный переход к нормальным каноническим переменным приводит к нарушению приближения слабой нелинейности. Необходимость построения адекватных канонических переменных в этоГ области является чрезвычайно актуальной, поскольку результаты, основанные на стандартном приближении нормальных мод, оказываются в этой области структурно неустойчивыми как по отношению к введению малой нелинейности, так и по отношению к изменению ширины волнового пакета.
Широко используемым подходом к решению нелинейных задач геофизической гидродинамики является аппроксимация непрерывных сред слоистыми м делями. Многие аспекты волновых взаимодействий могут быть исследован-1 с использованием многослойных аппроксимаций, хотя след/ет помнить, то интерпретация полученных на их основе результатов требует известной осторожности (см. Маслоу, [і9Ві]). Сейчас границы их применимости установлены в значительной мере: эмпирически, на основании численных экспериментов.
Вопрос о применимости послойных аппроксимаций изучался в
литературе достаточно подробно. Например, известно, что они хорошо работают в длинноволновом приближении. Наиболее полнее изложение результатов, полученных на основан:"! послойных аппроксимаций сдвиговых течений, можно найти в монографиях Госсарда и Хука [1979], Подлоски [1984], Крейка [,.985], Тернера [1977].
Проблема обоснования N-слойных аппроксимаций является важным моментом. В частности, важным является вопрос о структурной устойчивости результатов, полученных на основании многослойной аппроксимации, по отношению к малому сглаживанию ступенчатого профиля. В этой связи представляет большой интерес идея промежуточной асимптотики, высказанная в работе Шриры [1992], где дискретная волновая мода на границе слоев с постоянной завихренностью интерпретируется как промежуточная асимптотика задачи Коши на определенном промежутке времени в среде с непрерывным профилем течения.
Цели работы и задачи исследований. При написании диссертации автор преследовал две основные цели. Первая цель - эчо анализ возможного влияния различных типов стратификации плотности и скорости течения в невозмущеннои среде как на крупномасштабные локализованные волновые образования, так и на распространение пакетов диспергирующих волн. Особое внимание автора направлено на исследование влияния стратификации и неоднородности потока по высоте на специфику нелинейного взаимодействия волн, а также на исследование обусловленных неравновесностью среды механизмов неустойчивости стратифицированных сдвиговых течений.
Вторая цель - это описание на основа гамильтонова формализма слабонелинейной волновой динамики для широкого класса
неравновесных сред с дисперсией. Частным примером таких ере; являются стратифицированные течения в океане и в атмосфере.
В соответствии с обозначенными целями сформулируем основ ние задачи, решаемые я диссертационной работе:
-
Исследование влияния плотностной и ветровой стратификации на динамику уединенных волн, распространяющихся в приземных горизонтальных волноводах.
-
Анализ межмодовых взаимодействий в слоистых моделях едвиговіл ^ іечения и поиски алгоритмов вычисления коэффициентов нелинейного взаимодействия.
-
Развитие универсального подхода к исследованию слабонелинейных волн в неравновесных средах с дисперсией и приложение полученных на его основе результатов к описанию динамики не.гл-нейных волновых пакетов в океанических и атмосферных течениях.
-
Построение канонических переменных в областях алгебраической (маргинальной) неустойчивости, обуславливающее построение регулярной процедуры описания динамики волновых пакетов в этих областях.
-
Анализ механизмов неустойчивости сдвиговых течений, связанный с концепцией волн отрицательной энергии в применении к волновым процессам в океанических и атмосферных течениях и в системе океан - атмосфера.
Научная новизна результатов диссертационной работы определяется прежде всего решением ряда новых задач теории не чиненных волн, а также разработкой общего подхода к исследованию волновых процессов в неравновесных и неустойчивых средах. Этот подход не зависит от конкретной специфики среды и может бы'^ь применен во многих областях физики, где приходится иметь дело с
неравновесными средами. Развиваемый в диссертации подход, основанный на принципах гамнльтонова формализма, предлагает регулярный метод -построения канонических переменных в тех областях волновых чисел, в которых переход к традиционные нормальным переменным нарушает приближение слабой нелинейности. Предложенные методы позволяют исследовать в самой общем виде динамику и взаимодействие нелинейных волновых пакетов ьо всем „..аііазонс волновых чисел, включая области пограничной устойчивости. Показано, что традиционное выражение для плотности энергии в терминах норма.ьных мод, отвечающее линейному приближению, является структурно неустойчивым в маргинальных областях по отношению к введению слабой нелинейности.
Используемчй автором гамильтонов формализм позволяет получать выражения для коэффициентов нелинейного мешмодового взаимодействия волн различной природы. Получение этих коэффициентов HenocpeflCTBeHHj из примитивных уравнений сопряжено с большими аналитическими трудностями. Кроме того, гамильтонов подход позволяет получать результаты сразу для широкого класса задач.
Рассмотренные в диссертации механизмы линейной генерации внутренних волн сдвиговым течением могут служить теоретическим обоснованием как для интерпретации данных наземных микробаро-гргфов, регистрирующих внутренние волны, так и для интерпретации наблюдений спектра внутренних волн в океане.
Некоторые результаты, изложенные в диссертации, выходят за рамки собственно волновой динамики в геофизических средах и представляют междисциплинарный интерес. В частности, они могут найти применение в физике плазмы и астрофизике.
Научная обоснованность и достоверность положений и выводов
работы подтверждается тем, что они получены в рамках единого, математически корректного метода. Кроме того, в диссертации последовательно соблюдался принцип соответствия, согласно которому новый обобщающий подход приводит к тем же результатам и выводам в тех областях, где применимы традиционные подходы. Некоторые результаты, приведенные в диссертации, были независимо получены другими авторами.
Практическая значимость работы. Результаты, методы и выводы, изложенные в диссертации, имеют фундаментальное значение и могут быть использованы в качестве основы для дальнейшего проведения теоретических исследований в области нелинейной теория устойчивости стратифицированных течений. В частности, предложенный метод построения канонических переменных в областях, примыкающих к линейно неустойчивому диапазону, ыо,. л служить основой для анализа структурной устойчивости результатов, полученных на основании понятия нормальных мод.
Проведенные исследования механизмов нелинейной неустойчивости могут быть полезными для теоретической интерпретации результатов данных наземных наблюдений за внутренними волнами в атмосфере.
Результаты, представленные в диссертации, могут быть положены в основу алгоритмов численного моделирования нелинейных волновых процессов в геофизических течениях. Кроме того, они могут быть использованы для интерпретации натурных и лабораторных экспериментов по исследованию взаимодействий поверхностных волн с подповерхностными течениями.
Публикации и апробация работы. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 24 работах, гписок которых приведен
в автореферате. Изложенные в диссертации результаты докладывались на Международных Ассамблеях Европейского Геофизического Общества ( Копенгаген, 1990, Гренобль 1993), на заседании меж--дунарсдной рабочей группы по нелинейным волнам на , воде (Бристоль, 1992), на II и III Всесоюзных школах-семинарах "Методы гидрофизических исследований" (Светлогорск, 1990, Канев, 1991), На всесоюзной школе по динамике атмосферы (Аксаково, 1?СС), на Всесоюзной конференции по нелинейным волнам (Калининград, 1988), на семинарах ИФА РАН, И0 РАН, ИПФ РАН, Астросовета РАН, Физического факультета МГУ, Акустического института им. акад. Н.Н.Андреева.
Часть содержащихся в диссертации результатов получена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект N 94-05-16200.
Личный вклад автора. Основная часть результатов получена автором лично. В работах, выполненных в соавторстве, имело место равноправное участие.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы. Работа содержит 218 стр. текста, из которых 198 стр. составляет основной текст, список литературы включает 201 наименование.
Основные положения, выносимые на защиту, сформулированы в виде заключения, завершающего основной текст диссертации.
