Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Выбор математического аппарата 8
1 Краткие сведения из теории групп 8
2 Практические задачи теории групп преобразований 18
Выводы по Главе 1 33
Глава 2. Теоретико-групповые свойства измерительных преобразований .34
1 Групповые свойства 34
2 Задачи группового анализа и синтеза измерительных преобразований 43
Выводы по Главе 2 56
Глава 3. Групповые методы повышения правильности 57
1 Анализ многоточечных преобразований 57
2 Инвариантные базисы измерений 65
3. Некоторые экспериментальные результаты 71
Приложение. Синтез групп преобразований 83
Выводы по Главе 3 94
Заключение 95
Список литературы. 99
- Практические задачи теории групп преобразований
- Задачи группового анализа и синтеза измерительных преобразований
- Инвариантные базисы измерений
- Некоторые экспериментальные результаты
Введение к работе
Задачи повышения правильности измерений
Под правильностью измерений понимается і характеристика качества измерений, отражавшая близость к нулю систематических погрешностей результатов [1]; [7]v [9];. Повышение правильности— одна из наиболее сложных задач: измерений. В [11]: в связи: с этим отмечается, что «систематические погрешности вызывают смещение результатов измерений. Наибольшую опасность в этом отношении представляют систематические погрешности, оставшиеся невыявленными; о существовании которых даже не подозревают. Именно систематические, а не случайные погрешности: бывали неоднократной причиной ошибочных научных выводов; установления ложных физических законов,, неудовлетворительных: конструкций средств измерений,.брака < продукции: в производстве».
Систематические погрешности обычно разделяют на: -постоянные,
прогрессивные,
периодические,
изменяющие по сложному закону.
Особенно сложно исключить - постоянные систематические погрешности.
Вообще говоря [11], способы исключения или учета' систематических погрешностей можно разделить на четыре основные группы:
1. Устранение источников погрешностей до начала измерений; (профилактика погрешностей).
Исключение: погрешностей в процессе измерения (экспериментальные исключения' погрешностей) способами, замещения^. компенсации погрешностей по знаку, противопоставления, симметричных наблюдений;
Внесение известных поправок в результат (исключение погрешностей вычислением);
4;. Оценка границ систематических погрешностей, если, их нельзя исключить.
Устранение источников температурных погрешностей сводится к термостатированию средства измерений, отдельных его частей или рабочего помещения в целом. При этом чаще прибегают к искусственному поддержанию температуры - подогреву или охлаждению.
Устранение влияния магнитных полей производится: в- результате экранирования' магнито-мягкими сплавами. Для устранения: вредных, вибраций и1 сотрясений: проектируют специальные амортизаторы,, а для устранения- колебаний давления, используют барокамеры, или: амортизируют помещения. Ясно, что введение в; измерительные устройства; дополнительных, обычно сложных узлов: ухудшает: их габаритно-массовые характеристики,, снижает надежность и увеличивает энергопотребление.
Исключение погрешности в процессе: измерений известными способами замещения^ компенсации; по знаку, противопоставления симметричных наблюдений: и другими с последующим введением поправок не всегда возможно.
Сложно учесть поправки,, когда мы имеем дело с методами измерений; которые недостаточно изучены, при интегрировании меняющихся: величин: и т.п; В последних перечисленных случаях мы
можем, оценить лишь, предполагаемые границы; систематических погрешностей, что обычно недостаточно.
Для; обнаружения? систематических погрешностей используют статистические методы. В частности, при непостоянных систематических погрешностях может быть, эффективной оценка допустимых пределов* измерения среднего арифметического. Известны также- попытки применения корреляционного.= и: регрессивного; анализа, Bt целом: вероятностно-статистические методы не позволяют в большинстве случаев выявить систематические погрешности; особенно.постоянные.
Эти; методы широко используют для обнаружения и фильтрации случайных погрешностей;
Целью работы является исследование и! разработка5 математических моделей; и алгоритмов исключения постоянных систематических погрешностей в процессе измерений; в максимальном числе случаев: их проведения;
Для поставленной цели решались следующие проблемные задачи.
Исходя; из определения; постоянных систематических
погрешностей'выбрать и обосновать адекватный математический? аппарат
для их; описания;. Таким аппаратомї в данной работе- является аппарат,
математической теории групп, преобразований, а в качестве
преобразований выступают; измерительные преобразования.,
Разработать способы и алгоритмы выявления постоянных
систематических погрешностей:
б Научная новизна
Применение теории групп для выявления и компенсации систематических погрешностей измерений.
Разработка адекватных методов анализа и синтеза групп преобразований
На основе, главным образом, анализа групп разработаны способы обнаружения и компенсации постоянных систематических погрешностей измерений.
Практическая ценность работы
Проведены эксперименты по компенсации одного влияющего фактора.
Разработаны алгоритмы компенсации п влияющих факторов.
Реализация работы
Результаты внедрены в эталоны во ВНИИМ им. Д.И.
Менделеева (г. Санкт-Петербург)
Апробация результатов.
Основные положения работы докладывались на XXXII научной и учебно-методической конференции СПбГИТМО (ТУ), на семинарах кафедры «Измерительные технологии и компьютерная томография», февраль 2004; на НМК СПбГУКИТ, март 2004; на конференции молодых ученых ИТМО, февраль 2004.
Публикации По материалам диссертации опубликовано 4 статьи.
Структура и объем работы Диссертация изложена на 101 странице машинописного текста, состоит из Введения, трех глав, Заключения, списка литературы.
Практические задачи теории групп преобразований
Изучение с единых позиций:систем измерения, в том числе, решение задач определения; их структур, алгоритмов функционирования, оптимальных характеристик составляющих элементов: и т.п. в существенной степени осложняется многообразием и качественной; разнородностью целей; функционирования, а также неполнотой априорной информации (сведений). Под? последним здесь понимается: ситуация, когда-неконтролируемых; объектах (параметрах, функциях) неизвестно; ничего или известно, что они ограничены: по величине (интенсивности).
Следующие три примера: из области управления движением иллюстрируют это положение: Пусть целями управления являются (рис. 2): Г... Полет самолета по заданному маршруту (траектории). 2. Полет по прямолинейной траектории, например, при скоростных испытаниях, бомбометании и т.п. Цель, таким образом, состоит в стабилизации полетного курса;
Тогда выполнение условия в полете MtIM = const і(0- а( і) где: л, ), х,/ -текущие координаты, а ,г,(?/Л ,() - координаты, в момент времени t = ti при любых Ті ,т2 ,х3,Х4 ведет к достижению цели 2. Практически это может означать, что для достижения цели 2 достаточно, чтобы характеристики преобразования средств измерения были бы линейными функциями координат, а масштабные коэффициенты и смещения нулей не изменялись бы в течении полета. Вычислительный алгоритм, соответствующий этому случаю, по сравнению с первой задачей, усложняется.
Практически, это означает, что полет по: замкнутой1 траектории может быть осуществлен при наличии весьма низкоточных средств измерений Xi и х2. Необходимо лишь,, чтобы измерительные преобразования этих датчиков в; точках; с координатами xi, х2 и х„. х2 были: бы взаимнооднозначными і функциями и не изменялись бы; в течение полета;
Цели 2: щ в особенности; 3 по сравнению с целью її могут быть охарактеризованы как: менее определенные (более "грубые"); Другими техническими; примерами: более "грубых" целей являются достижение устойчивости; контроль функционирования;- обнаружение экстремума; или вообще - наличия или отсутствия.сигнала стабилизации; параметров необходимой; для контроля, градуировки: средств- снятия частотных характеристик, распознавание и.передача; образов; Кроме того, к такого рода целям можно отнести; измерения: углов и; вообще -производных физических величин: - в отличие от основных. Более "грубые" цели при правильном;построении системы допускают применение менее точных в обычном смысле средств измерения, обычно - при условии; усложнения алгоритмов их функционирования. В зависимости от степени "грубости" цели; оказываются, существенно; разными ответы на? вопросы: Каков; минимальный? объем; информации; необходим для- достижения заданной цели? Каковы должны быть при этом структура и алгоритм функционирования системы и ее элементов; в; том числе,. - минимальной сложности? Какие: цели достижимы при наличии средств измерения и других элементов системы» с имеющими характеристиками, и т.п.?. Первый;из поставленных вопросов тесно связан;с задачей синтеза средств измерения, второй - с задачей синтеза регулятора, третий вопрос относится к анализу свойств систем.измерения (управления).
Ниже показано, что вышеперечисленные системы, отличаются в. главном своими группами преобразований, а решение задач их синтеза и анализа, обеспечивающих достижение любой цели; может быть, осуществлено на основе; идей теории групп. Более того, решение многих творческих задач-(в технике - изобретательских); в: науке и искусстве также основывается на теории групп.
Задачи группового анализа и синтеза измерительных преобразований
Групповые: свойства; измерительных преобразований? позволяют многие задачи» теории измерений; относящиеся; к терминологии;, методологии; нормированию характеристик, анализу погрешностей анализу надежности; синтезу измерительных процедур t и: т.д.,. последовательно; рассматривать, опираясь на математическую теорию:: группа [1]. В?работе: [9]? показано,.что перечисленные: задачи, сводятся- к: синтезу групп преобразований или к анализу групп:
При решении: задачи синтезам строится? группа: преобразований; передающая: заданное: свойство (инвариант) Цхи Х2,...,,) без; искажения-[II]. Максимальную: из групп, передающих измеряемую величину без. искажений; назовем: группой: цели І И; обозначим через G [9]; Заметим;, что; любая; подгруппа- группы цели также не искажает измеряемую; величину. Группа цели может быть задана своими1 инвариантами, эквивалентными фигурами, инфинитезимальными преобразованиями и другими-способами;. При; всех преобразованиях, принадлежащих (?, остаются неизменными свойствами, существенные для достижения цели, -инварианты, т.е. остается неизменной зависимость (или инвариант) l(xi, X2,...,xJ, например, аналитическое выражение измеряемой величины при косвенных измерениях. Если измерительное преобразование не принадлежит группе цели, то никакое усовершенствование алгоритмов получения и обработки измерительной информации не приведет к измерениям с максимальной точностью, и наоборот, все преобразования аргументов должны принадлежать группе G.
Синтез измерительных операций - важная для практики теоретическая задача, так как в результате ее решения может, например, оказаться, что высокая точность достижима при наличии низкоточных в обычном понимании (а, следовательно, и более дешевых) средств измерений. Если преобразование (16.2) дает непрерывную однопараметрическую группу, то справедливо следующее высказывание [2]. Функция 1(х} л:,?/является инвариантом непрерывной группы (16.2) тогда и только тогда, если она удовлетворяет уравнению g&j, х2) f- = g2 (хь x2)f- = 0.. (19.2) схл дх2 Из условия (18.2) следует, что всякая однопараметрическая группа точечных преобразований на плоскости имеет один независимый инвариант, в качестве которого можно взять левую часть первого интеграла J(x},X2)= Ij сопряженного с (18.2) обыкновенного дифференциального уравнения (характеристического уравнения): h = —&Ь— (20.2) Любой другой инвариант является тогда функцией от J. Общим решением (18.2) будет произвольная функция от первого интеграла I(xlt х2) = ФУ(хі, х2)). Если для удобства записи ввести в рассмотрение дифференциальный оператор U=gl(x}t Хг) + g2(xlfx2)—. (21.2) ос, сх2 то критерий инвариантности (18.2) будет иметь вид UI = 0. В теории групп оператор (21.2) называется инфинитезимальным оператором (или просто оператором) группы преобразовании (15.2). Применение рассмотренного метода анализа параметрических групп проиллюстрируем задачей нахождения инвариантов для непрерывных однопараметрических групп на плоскости.
Пример 1. Группа неоднородных растяжений. Рассмотрим синтезированную в работе [1] однопараметрическую группу растяжений хг = Х2Є в Г. Инфинитезимальный оператор будет иметь вид дх{ дх2 U = -a}Xi— + а2Х2—. (22.2) а характеристическое уравнение - —- = ——. Проинтегрировав, tin Л Ul л получаем х/"1 хг1 2 = її. Следовательно, можно записать инвариант для группы растяжений: / = Ф(х]а Х2а ). Пример 2. Группа вращения. Запишем инвариант для однопараметрической группы вращения: Хх = X] COS Т+ Х2 Sin Г Х2 = Х2 COS Г- X] Sin Т Инфинитезимальный оператор тт 9 а охх дх2 Характеристическое уравнение ] = - 2 Проинтегрировав, получаем х/ + х22 = //. Следовательно, инвариант для группы вращения будет иметь вид: /= Ф(х}2 + х22). Итак, задача нахождения инвариантов приводит к необходимости решать однородные линейные уравнения с частными производными. В общем случае для поиска инварианта I(xh х2, ... х„) уравнение будет иметь вид Xi (Xi,...,Xr) —— + ...+ X n (xi,...,Xf,) .—— — 0 (23.2) &,- дхя Этому уравнению ставится в соответствие система обыкновенных дифференциальных уравнений д і = 2 = " » /94 2 х{ х2 Хп Общим решением системы (24.2) будет произвольная функция первых интегралов этой системы: I(Xj, X2,...XfJ - Ф [IJ(XJ, ..., Xr),..., In-l(X],..., XfJ]. 3. Задание групп цели с помощью эквивалентных фигур Рассмотрим задачу нахождения эквивалентных фигур (инвариантных семейств) с точки зрения заданной группы. Итак, имеем некоторое семейство кривых co(xi, Х2) = С. Причем функция со(Х}, Х2) инвариантом группы не является, т.е. преобразования группы изменяют кривые семейства; Такое семейство кривых будет называться инвариантным, если при групповом преобразовании эти кривые будут переходить в другие кривые того же семейства. Для того, чтобы функция СО(ХІ, .) определяла инвариантное семейство, она должна удовлетворять условию [6], [8]
Инвариантные базисы измерений
Определив действительные значения сопротивления г и напряжения: U, легко найти другие параметры сети: сила тока, проводимость, мощность и т.п. Параметры г и U составляют инвариантный базис рассматриваемого объекта измерения. Этот базис, по сути дела, играет роль системы физических величин. Трудность определения инвариантного- базиса здесь состоят в том, что температурные: погрешности носят систематический характер и не поддаются определению1 статистическими; методами. Использование же средств измерения? температуры и; других неконтролируемых факторов осложняют измерительную систему,,повышают ее стоимость, уменьшают надежность. Рассматриваемая задача достаточно распространена. Так аналогичным [9]ї по форме являются записи: закона Гей-Люссака относительно давления, /эй- объема, V жидких сред.
Обычно при точных измерениях механических величин приходится сталкиваться с влиянием температуры, давления, влажности и; других неконтролируемых факторов. В соответствии с последней; рекомендацией PMF 29-99 «Метрология. Основные термины и:определения.» исходный эталон:- это эталон обладающий- повышенными- метрологическими свойствами- (в данной? лаборатории;, организации;, not предприятию); от которого; передают размер единицы подчиненным средствам.
В процессе работы исследована" одна- из? таких установок -специальный эталош в, диапазоне (5.ІСГ8 -4- 2,5; 10"4) рад/с; При: этом основное влияние уделялось исследованию его систематических: и: случайных погрешностей;. Специальный эталон реализует метод: (гл. Г, 2); В качестве задающего устройства применен прецизионный рычажный; механизм ввиду плавности; его работы при: больших передаточных отношениях и высокой надежности. Специальный! эталон состоит из: комплекса; следующих средств; измерений:: - измерительная; система, включающая; в- себя; автоколлимационный преобразователь и - блоки обработки-информации; - устройство для задания малых угловых, скоростей; включающее: в себя? механизм рычажного типа и: управляемый; прецизионный электропривод.. Укрупненная схема общего вида эталона представлена на рис.:..7.. Измерительная-, система- эталона5 предназначена: для? измерения; задаваемых, угловых скоростей, и; имеет следующие основные характеристики: -диапазон измеряемых угловых скор остей 5.10: -ь 2,5.10 рад/с; - среднее квадратическое отклонение результата: измерений = 2Л О"9 рад/с; - неисключенная систематическая погрешность = 2.10"9 рад/с; В состав измерительной системы эталона входит (рис. 7): фотоэлектрический измерительный- автоколлимационный преобразователь (АКП); - блок индикаторный (БИ); - блок измерения времени (БИВ); - блок согласования (БС); - цифропечатающее устройство (ЦПУ).
Измерительная система (0И)= обеспечивает измерение угловой скорости путем измерения; поворота отражающего элемента (ОЭ) закрепленного на поворотной; стреле установки; В качестве измерительного преобразователя угла поворота ОЭ в: электрической сигнал; использован фотоэлектрический автоколлимационный преобразователь АКП: АКП; построен на базе АФ-4І. С помощью АКП регистрируются моменты начала и окончания: поворота ОЭ на фиксированный: угол. Сигналы АКП подаются в индикаторный блок, который: формирует управляющие импульсы, используемые для управления; работой блока измерения, времени. БИВ осуществляет измерение времени поворота ОЭ на фиксированный угол. Полученный результат через блок согласования поступает на вход- ЦПУ. Окончательная обработка, результатов измерений производится с помощью ЭВМ; или. вручную. Для повышения производительности и достоверности, в; эталоне реализовано два метода измерений:
Устройство: задания малых угловых скоростей пр едназначено для работы в диапазоне 5:10" + 2,5.10 рад/с. Это- устройство преобразует значительные угловые скорости прецизионного электропривода (до 300 рад/с) в малые угловые скорости задающего элемента - стрелы. Преобразование: угловой скорости осуществляется, механизмом рычажного типа. Двигатель электропривода; угловая-скорость которого регулируется системой управления,, посредством редуктора соединен с микрометрическим винтом. Верхний конец микрометрического винта упирается в подпятник, смонтированный на стреле. Стрела снабжена осью вращения- и отражающими элементами (зеркалами) измерительной системы. Вал двигателя с помощью цилиндрического и червячного редукторов вращает микрометрический: винт с заданной угловой скоростью. Вращающийся микрометрический винт перемещается относительно основания и поворачивает стрелу вокруг оси на некоторый угол tp.
Некоторые экспериментальные результаты
Система управления приводом предназначена: для плавной регулировки угловой скорости выходного вала привода (выходной вал редуктора с изменяемым передаточным отношением) и жесткой стабилизации заданного значения угловой скорости. Конструкция устройства воспроизведения и управления электроприводом позволяет задавать угловые скорости в диапазоне 5.10"8 ч- 2,5.10-4 рад/с как за счет изменения скорости, синхронного двигателя, так и - передаточного отношения.
Эталон размещен в термостабилизированном затемненном помещении на виброизолированном фундаменте массой 10 т. Программа аттестации и исследования эталона включала в себя: - аттестацию измерительной системы эталона и оценку его систематических погрешностей; - исследование случайных погрешностей эталона; - оценку вибраций фундамента; - исследование влияния температуры на точность эталона; - исследование элементов конструкции (точности юстировки зеркал, неравномерности хода редуктора, собственных частот элементов и др.). В Таблицах 2 - 5 приведены характерные результаты аттестации и исследования эталона. Видимая скорость звезды определялась по ее склонению 8 следующим образом юс = CI cos5 При аттестации эталона использовались звезды a Lyra (Вега) и a Aguila (Альтаир), характеристики, которых приведены в таблице 1. Таблица Название звезда Величина Параллакс Склонение a Lyra aAguila 0,14 0,89 0,125" 0,194" +384134,72" +848 04,72" В Таблицах 2 и 3 приведены результаты аттестации по данным звездам. При оценке систематической погрешности эталона принято в tgSo ( — коэффициент, зависящий от числа наблюдений л и доверительной вероятности a[I96J) ввиду предположения о нормальном характере случайных колебаний.линии визирования звезд. В нашем случае п= 21". Полагая а— 0.99;получим / = 2.84. Таким образом, в З.Ю"4 7мин.
Таблица 4 содержит результаты исследования случайной составляющей погрешности воспроизведения угловой скорости при ее значениях, близких / /мин. В Таблице 5 приведены данные измерений угловой скорости, соответствующие модернизированному редуктору. Вибрации фундамента не превышали, 2 Л О"7 мв; диапазоне: 0; Iі -s- ЗТц;. Влияние температуры,при ее отклонении от номинального значения;на-± 5G на-точность работы эталона не зафиксировано. Собственная! частота стрелы? 40 Гц. Погрешности юстировки зеркал 5".
Проведены исследования:по расширению диапазона работы эталона; в сторону малых значений: и; повышению»его точности:. Это возможно с помощью схема? усовершенствованной: системы аттестации; Фиксированный; угол задаетсяJ с; помощью призм; Схема; устройства; позволившая: расширить, диапазон работы в сторону малых значении состоит в том- числе; из:: стрелы, отражателя; основания? отражателя; средства? измерения; автоколлиматора; измерительной системы эталона: При работе данного устройства на вход- АКП поступает проекция; со sin а угловой; скорости стрелы: Формула измерений при; малости; случайной) составляющей погрешности измерения1 а принимает вид: со= a osina+ В sina+co0Aacosa (49:3) (здесь со - задаваемое значение; а 0 since - регулярная: составляющая; скорости; В since - случайная составляющая; Л а - погрешность измерений; ее, а асс а-систематическая погрешностьзадаваемой: скорости).При;;соо = 0;і7мин,, сс=\у ,6 = 1Л0"3 /мин, Аа= 5" имеем; со =1,7Л0:3 7мин. Для случайной составляющей?получаем:: = 2Л0:5 /мин; для систематической; А= 2,5Л0 ? 7мин: При сщ = 0,01 7мин:размеры со и\А\уменьшаются на1, порядок.
Из-за произвольности выбора функции у(хи х2,т) можно утверждать, что существует большое число преобразований (51.3), передающих свойство (50.3) без искажений при произвольных значениях т. Их число ограничено случаями интегрируемости системы уравнений (57.3) и (58.3).
В преобразованиях (66.3), (72.3) и (74.3) неконтролируемые параметры выступают, по существу, в качестве сомножителей. Такие сомножители при обычных измерениях приводят к мультипликативным погрешностям и нелинейно стам.
Отметим, что и здесь неконтролируемая величина т имеет аддитивный характер. Однако, в отличии от выражений (773) и (783) зависимости (833) структурно близкие. Таким образом, существует большое число преобразований плоскости передающих заданные свойства, например, измеряемые величины без искажений при любых т. Однако число таких преобразований ограничено. Все они при коммутациях в конце концов сводятся к группам Ли. А как показал С. Ли, на прямой их всего 3, на плоскости - 26.
