Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор устройств и способов для автоматической и много кратной балансировки шпинделей 9
1.1. Проблемы балансировки шпинделей 9
1.2. Требования к АБУ 14
1.3. Общие сведения об известных АБУ 19
1.3.1. Классификация 19
1.3.2. Пассивные АБУ 21
1.3.3. Активные АБУ 27
1.3.4. Сопоставление эффективности работы АБУ 32
1.4. Область применения и эффективность использования АБУ в станкостроении 34
1.5. Постановка задачи исследований 39
Глава 2. Теоретические зависимости использованные при решении задач балансировки шпинделей с помощью жидкостного АБУ 40
2.1. Критические скорости и методы их расчетов 40
2.2. Общее уравнение колебаний неуравновешенного шпинделя с кругом 48
2.3. Жидкостное АБУ 51
2.3.1. Основные уравнения однокамерного АБУ типа Леблана 51
2.3.2. Основные способы повышения эффективности жидкостного АБУ 56
2.4. Расчет критической скорости для шпинделя типового шли фовального станка 61
Глава 3. Экспериментальные исследования балансировки шпинде лей жидкостным АБУ с использованием легкоплавких веществ 66
3.1. Описание экспериментальной установки 66
3.2. Порядок проведения экспериментов и обработка опытных данных 73
3.2.1. Условия и программа проведения опытов 73
3.2.2. Очередность обработки полученных данных 80
3.3. Особенности процесса автоматической балансировки жид костным АБУ с использованием легкоплавких веществ 84
3.3.1. Эффект двойного изменения скорости вращения во время процесса балансировки шпинделя 84
3.3.2. Оптимальные балансировочные скорости для жидкостного АБУ 88
3.3.3. Расположение легкоплавкого вещества после застывания 91
Глава 4. Разработка математических зависимостей для расчетов па раметров АБУ и их сопоставление с экспериментальными данными. Рекомендации по проектированию АБУ 94
4.1. Математические зависимости для расчета параметров жидкостного АБУ, установленного на гибком шпинделе с жесткими опорами 94
4.2. Математические зависимости для АБУ установленного на жестком шпинделе с жесткой и упругой опорами 98
4.3. Сопоставление результатов теоретических расчетов с экспериментальными данными 105
4.4. Разработанные способы и устройства для балансировки шпинделей 131
4.4.1. АБУ, работающие по принципу перераспределения масс внутри шпинделя 131
4.4.2. АБУ, работающие по принципу прямого совмещения ГЦОИ с осью вращения 137
4.4.3. АБУ учитывающее действие сил поверхностного натяжения для балансировки шпинделя 143
4.5. Методика расчета жидкостного АБУ установленного на шпинделе металлообрабатывающего станка 145
4.6. Многокамерное жидкостное АБУ, разработанное для шпинделя круглошлифовального универсального станка ЗУ131ВМ 154
Заключение 156
Список литературы 158
Приложение 170
- Область применения и эффективность использования АБУ в станкостроении
- Общее уравнение колебаний неуравновешенного шпинделя с кругом
- Порядок проведения экспериментов и обработка опытных данных
- Математические зависимости для АБУ установленного на жестком шпинделе с жесткой и упругой опорами
Введение к работе
Основной тенденцией в развитии станкостроения является постоянное повышение быстроходности и мощности, что приводит к необходимости изучения динамической нагруженности и влиянии колебательных процессов на движение шпинделя. Вибрация негативным образом влияет на ресурс и надежность станков и машин, точность вращения шпинделя, долговечность и характер износа деталей, качество выполнения технологического процесса, и др., а возникающие резонансные режимы могут служить причиной серьезных поломок и аварий.
В металлообработке под точностью понимают как точность размеров формы и взаимного расположения обработанных поверхностей, так и их волнистость и шероховатость [91]. При этом точность обработки - главный показатель качества технологической системы. Обеспечение высокой точности качества обрабатываемой поверхности во время шлифования непрерывно связано с колебаниями технологической системы шпиндель - шлифовальный круг - деталь.
Повышенная вибрация машины может быть вызвана различными причинами но, как показывает теоретические и экспериментальные исследования, основной из них являются неуравновешенность шпинделей, в частности шлифовального круга.
Демпфирования колебаний в шпинделях с помощью упругих стоек помогает лишь на определенных скоростях вращения, на других скоростях нагрузки могут возрастать. При применении упругих опор, шпиндель остается неуравновешенным, и поэтому напряжения в нем и нагрузки на опоры не устраняются. В области критических оборотов прогибы, напряжения и реакции в опорах резко возрастают и могут вызвать поломку машины.
В процессе проектирования машин конструкторы стремятся уменьшить величину возможной вибрации, стремясь выбирать правильную компоновку вращающихся деталей, соблюдая осевую симметрию шпинделя и контролируя
технологический процесс сборки. Однако, в процессе изготовления деталей и узлов возникают условия, нарушающие симметрию и приводящие к их неуравновешенности. Для этого применяют балансировку шпинделей при их изготовлении и монтаже. Если при этом учтена гибкость шпинделя и дисбаланс устранен для всех форм колебаний, то при эксплуатации шпиндель вращается с нужной точностью, если дисбаланс не меняет свое первоначальное положение.
В машинах всегда существует дисбаланс, находящийся прямой зависимости от времени эксплуатации, который невозможно устранить одной первоначальной балансировкой. Для некоторых из них разбалансировка происходит вследствие износа деталей, для других изменение дисбаланса является результатом выполняемого ими технологического процесса. Отбалансированный шпиндель со шлифовальным кругом в процессе работы начинает изменять свое сбалансированное состояние. Основанная причина - заключается в неравномерной выработке шлифовального круга, который в свою очередь обладает неравномерной плотностью. Сменные насадки устанавливаемые на шпиндель могут ухудшить его сбалансированное состояние своим посредством своего дисбаланса или неточности установки насадки на шпиндель. Часто операция остановки станка и произведения добалансировки шпинделя связана с большими экономическими потерями, а для некоторых станков недопустима по условиям выполнения технологического процесса или условий эксплуатации. Поэтому для устранения этого явления целесообразно применять автоматические балансирующие устройства (АБУ), которые при вращении шпинделя следят за его вибрацией и при превышении ее расчетного уровня автоматически устраняют его до допустимого минимума.
Основные требования к шпинделям металлообрабатывающих станков сформулированы в работах Ачеркана Н.С., Бальмонта В.Б., Бушуева В.В., Века М., Джонса А., Диментберга Ф.М., Зверева И.А., Оишомуры, Каминской В.В., Кедрова С.С., Кудинова В.А., Левиной З.М., Лизогуба В.А., Лундберга Г., Мас-лова Г.С., Маталина А.А., Оптица Г., Пальмгрена А., Пинегина СВ., Понома-
рева К.К., Портмана В.Т., Проникова А.С., Пуша А.В., Пуша В.Э., Решетова Д.Н., Фигатнера A.M., Хомякова B.C. и др.
Анализ работ показал, что современные быстроходные и высокоточные шпиндели шлифовальных, расточных и других станков должны обеспечивать точность формы рабочих поверхностей порядка десятых долей микрометра и быстроходность dn более 106 мм-мин"1 при чистоте поверхности Яа<0,08 мкм [35]. Важным условием повышенной точности является сбалансированность шпинделя, которая может обеспечиваться применением АБУ.
Большой вклад в изучение вопросов колебаний валов, балансировки роторов и шпинделей, в описание уравнений, характеризующих поведение АБУ в различных эксплуатационных условиях, в разработку новых методов и устройств балансировки внесли российские и зарубежные исследователи: Бидер-ман В.Л., Блехман И.И., Горбунов Б.И., Гусаров А.А., Куинджи А.А., Левит М.Е., Маслов Г.С., Нестеренко В.П., Рейбах Ю.С., Тимошенко СП., Щепетиль-ников В.А., и др. Проведенные исследования базируются на трудах этих ученых.
Область применения и эффективность использования АБУ в станкостроении
Основной областью применения АБУ с использованием легкоплавких веществ в машиностроении могут быть шпиндели металлообрабатывающих станков, в частности шпиндели шлифовальных станков, имеющих быстроизменяю-щийся эксплуатационный дисбаланс. Для обеспечения высоких качества и точности шлифования необходимо повысить точность вращения шпинделя путем уменьшения до минимума колебаний системы: станок - приспособления - инструмент - деталь. Проведенные исследования [26] показали, что дисбаланс шлифовального круга оказывает большое влияние на качество обрабатываемой поверхности (знак, величину, глубину залегания остаточных напряжений, микротвердость, волнистость) и точность формы шлифованных поверхностей (рис. 1.6.-1.8.).
Установлено, что доля погрешности, вносимой неуравновешенностью круга, например, при бесцентровом шлифовании, может достигать 70% в общем балансе погрешности обработки. Рост амплитуды колебаний станочной системы под действием дисбаланса шлифовального круга приводит к повышению некруглости [39].
Созданы шлифовальные станки, работающие на скоростях резания свыше 120 м/с и сошлифовывающие до 100 кг металла в час. Данные станки обеспечивают высокую производительность и снижение стоимости обработки изделий. В ряде случаев шлифовальные станки могут допускать использование заготовок без предварительной обработки их лезвийным инструментом. Высокие центробежные и линейные скорости накладывают жесткие требования на балансировку шлифовального круга на шпинделе (максимальный дисбаланс). Дисбаланс, возникающий на круге, может служить причиной, снижающей точность вращения шпинделя, а вместе с ней качество шлифования и долговечность технологического оборудования.
Экспериментально подтверждено [85], что применение АБУ в металлообрабатывающих станках при обработке конструкций значительно снижает значения виброскоростей, увеличивает долговечность кругов при той же производительности, а также сокращает время балансировки.
Создано большое количество АБУ для балансировки шпинделей на до и сверх критических скоростях. Лидирующими в сфере пассивных АБУ с твердыми КМ являются шаровые [66, 67, 129]. Связано это с тем, что шаровое АБУ обеспечивает наибольшую точность уравновешивания шпинделя, а его корпус может распологаться на внешней поверхности шпинделя, что освобождает его внутреннее пространство. Менее используются роликовые и маятниковые АБУ. При соизмеримых габаритных размерах они позволяют получить большую балансировочную емкость по сравнению с шаровыми АБУ, но их точность уравновешивания меньше, поскольку на ролики и маятники действуют большие си лы сухого трения, чем на шары. Практически не используются кольцевые АБУ, поскольку при сопоставлении габаритных размерах они имеют небольшую балансировочную емкость. Практически не используются сегментные АБУ, поскольку на их сегменты также действуют значительные силы сухого трения, что уменьшает точность уравновешивания шпинделя.
Создан ряд устройств с автоматическим перемещением корректирующих дисков [64, 99, 100] с использованием гидростатических и гидродинамических опор. Данные АБУ требуют постоянного подвода энергии и жидкости для своей работы, что не всегда возможно и применимо в шлифовальных станках.
Эффективны активные АБУ, управляемые с помощью индикаторов по методам случайного и направленного поисков [108]. Несмотря на то ,что данный тип АБУ требует потребление энергии для перемещения грузов и работы управляющего устройства, с его помощью можно добиться высоких результатов балансировки.
Жидкостные АБУ также используются для балансировки шпинделей шлифовального оборудования [111]. Это устройства гидрокомпенсорного типа, выполняющие балансировку подачей жидкости в камеры, количество которых колеблется от трех до восьми. Разработаны программы для автоматического проектирования этих АБУ [130]. Выпускаются полуавтоматические системы [112] предназначенные для балансировки шпинделей шлифовальных станков и представляющие собой механические гидрокомпрессорные устройства, управляемые электронными блоками.
Некоторые конструкции жидкостных АБУ [67] позволяют балансировать шпиндель на закритических скоростях, одновременно исключая вредный дисбаланс жидкости на докритических скоростях.
Общее уравнение колебаний неуравновешенного шпинделя с кругом
Номера і и j определяются по схеме расположения системы шпиндель -корпус (более подробно о них см. в выше указанной литературе), под 8т понимают статическую податливость w-ой связи опоры. Из схемы можно составить вектор реакций, в который будут входить все связи, действующие в системе. Для определения собственных частот и форм связанных колебаний каждого шпинделя (корпуса), входящего в систему, достаточно решить уравнение: являющегося частотным для системы шпинделей.
Метод начальных параметров [32, 132]. Его удобно применять для расчета и программирования на ЭВМ. Он позволяет точно определить весь спектр собственных частот и форм колебаний, построить амплитудно-частотную характеристику системы. Перед расчетом шпиндель представляется в виде восьми типовых элементов: кругов; точечных масс; без массовых участков; отрезков валов или оболочек; ступенчатых переходов; упругих и жестких опор. Также необходимо учитывать краевые условия и условия закрепления. Матрица перехода участка шпинделя будет иметь вид:
Матрицы составляются для всех участков расчетной схемы. Параметры конца предыдущего участка являются в то же время параметрами начала следующего.
Определение критической частоты производится методом итераций. Задаваясь некоторым числовым значением, можно составить для всех участков матрицы перехода. Пользуясь линейной связью между параметрами, последовательно рассчитывают все участки шпинделя. Частоту можно считать выбранной правильно, если определитель второго порядка, составленный из коэффициентов однородных уравнений, равен нулю.
Зависимость конструктивных параметров шпинделя (длин, масс, моментов инерции) от гироскопического эффекта можно определить с помощью формулы [32]: где а кро - критическая скорость шпинделя с кругом без учета гироскопического момента; є - отношение угловой скорости плоскости изогнутой оси вала к угловой скорости вала; Уд - момент инерции круга относительно его диаметра; М- момент, действующий на вал; є - прогиб (податливость) вала.
Прямая синхронная прецессия є=\ будет возникать под действием неуравновешенности вала при любом его вращении, поэтому при расчете нужно определять критическую скорость для режима прямой синхронной прецессии.
Влияние гироскопического эффекта в основном зависит от радиуса инерции круга, места расположения круга относительно опор и жесткости опор. При увеличении радиуса инерции влияние гироскопического эффекта также растет, так что можно с уверенностью предположить, что начиная с некоторого значения радиуса инерции гироскопическим эффектом пренебрегать нельзя. При закрепления круга вблизи жестких опор гироскопический момент растет. Обратную картину можно увидеть при вращении круга посреди шпинделя на упругих опорах. Гироскопический момент изменяется пропорционально квадрату скорости, и действует на вал таким образом, что он становится более жестким и при этом возрастает частота собственных колебаний.
Для возникновения отрицательной прецессии необходимо наличие условий редко осуществляемых в станочном парке: полное отсутствие неуравновешенности (статической и моментной); малая крутильная жесткость вала и наличие возмущающей периодической силы, не вызванной неуравновешенностью; несимметричность шпинделя [8, 33]. Таким образом, расчет проводят для прямой синхронной прецессии, а другие виды прецессионного движения учитывают если есть причины порождающие его.
Опыт теоретических расчетов и экспериментальных исследований [62] указывает на некоторое расхождение в конечных результатах критических скоростей. Основной причиной данных расхождений является не учитывание жесткости опор в расчетных методах. Действительно, нет абсолютно жестких опор и жесткость конструкции можно учитывать формулой: І +2с0 где т - масса вращающихся частей шпинделя; с - жесткость шпинделя; CQ - жесткость упругих опор.
С учетом жесткости опор критические обороты системы понижаются примерно на 10 - 15%. Средние значения жесткости опор приведены в работе [62], а зависимости для расчета реальных шпинделей металлообрабатывающих станков - в работах [61,94,95].
В случае вращения шпинделя на анизотропных опора (случай различной жесткости опор в двух взаимно перпендикулярных направлениях) картина балансировки резко изменяется [70, 71].
При расчете роторной системы следует учитывать эффект Зоммерфельда [131], при котором в системе при определенных ее параметрах, может установиться режим близкий к резонансному. Более того, двигатель, выйдя на этот режим, не сможет преодолеть критическую скорость вследствие больших потерь мощности на колебания в резонансной зоне.
Порядок проведения экспериментов и обработка опытных данных
Порядок проведения опытов: Рис. 3.7. - Переход неуравновешенного шпинделя с балансировочной камерой через критическую скорость 1. Фиксировались параметры проведения опытов: номер балансировочной камеры и вала; место расположения камеры и дисбаланса на шпинделе; частота вращения системы; масса легкоплавкого вещества внутри камеры; параметры устанавливаемого дисбаланса; наличие и месторасположения шлифовального круга; наличие нагревающих и охлаждающих элементов. В качестве легкоплавкого вещества использовались парафин и сплав Вуда. 2. Производилась установка шпинделя в систему и закреплением на нем диска, камеры и дисбаланса с учетом предыдущего пункта. Закрепление дисбаланса было выполнено в направлении сечения 1 (подробнее см. п. 3.2.2.) для всех типов камер. 3. Осуществлялся вывод системы на опытную скорость (выше критической) и начальных параметров вибрации, т.е. до начала балансировки. С целью предотвращения разрушения роторной системы с заданным дисбалансом разгон шпинделя и переход через критическую скорость производился с максимально возможным ускорением (рис. 3.7.). Опытные скорости для каждого из опытов задавались в соответствии с задачами исследования (см. ниже). 4. Подвод энергии, необходимой для расплавления легкоплавкого вещества. Процесс подачи тепла производился при вращении камеры на опытной частоте. В экспериментах использовался источник тепла в виде паяльной лампы (о других методах подвода тепла к вращающейся камере см. ниже). 5. Время нагревания камеры, необходимое для расплавления легкоплавкого вещества, определялось экспериментально по вибрационному состоянию системы, т.е. при уменьшении вибрации упругой опоры подшипника, замеренной с помощью вибродатчика, подвод тепла прекращался. 6. Охлаждение легкоплавкого вещества до твердого состояния производилось при помощи подачи холодной воды на горячую стенку балансировочной камеры во время ее вращения, при этом частота вращения поддерживалась постоянной во избежания смещения центра масс жидкого легкоплавкого вещества при его отвердевании. 7. Осуществлялся замер амплитуды вибрации упругой опоры на различных рабочих частотах вращения шпинделя после балансировки. 8. Далее производился демонтаж камеры и замер геометрических параметров расположения отвердевшего легкоплавкого вещества. Каждая камера, использовавшаяся в экспериментах, была разделена четырьмя контрольными сечениями, расположенными через 45. На пересечении контрольных сечений и боковой стенки балансировочной камеры были нанесены восемь линий по которым микрометром замерялась толщина слоя легкоплавкого вещества.
Все проведенные опыты делились на несколько серий по принципу совместности контрольного - варьируемого параметра, т.е. в каждой серии имелся один параметр (частота вращения, место крепления элемента системы, масса легкоплавкого вещества), систематически изменялся, а остальные параметры оставались неизменными.
Первая и вторая серия опытов проведены для выяснения зависимости между быстроходностью шпинделя dn и балансировочными параметрами: отклонением оси шпинделя от оси вращения в месте крепления балансировочной камеры, углом запаздывания, полезным дисбалансом, остаточной вибрацией и др. Опыты проводились на разных частотах вращения. Остальные параметры (места крепления элементов, масса легкоплавкого вещества и др.) выбирались по рекомендациям из следующих источников [24, 82, 93, 98, 116], и затем не изменялись. Испытания также проводились при различных креплениях балансировочной камеры: межопорным и консольным.
Третья серия опытов позволила установить зависимость между балансировочными параметрами и местами крепления балансировочной камеры /,. Во время опытов камера крепилась межопорно с последующим смещением от упругой опоры до жесткой. При этом частота вращения оставалась неизменной.
В четвертой серии опытов камера крепилась консольно со стороны упругой опоры, а в качестве изменяемого параметра было изменение места крепления упругой опоры /«,„. Она сдвигалась от балансировочной камеры в сторону неподвижной опоры. Быстроходность шпинделя оставалась постоянной во всех опытах.
Пятая серия проделана при постоянных геометрических параметрах установки камеры, шпинделя и дисбаланса, постоянной скорости вращения. Крепление камеры выполнено консольно со стороны упругой опоры. В качестве изменяемого параметра выступала масса легкоплавкого вещества в балансировочной камере тлв. Данный эксперимент позволил определить количество легкоплавкого вещества, необходимого для устранения максимальной неуравновешенности определенного шпинделя и подтвердил положение об избыточности легкоплавкого вещества.
Шестая серия опытов повторила первую серию с межопорным креплением балансировочной камеры. Их отличие состояло в том, что при эксперименте использовалась балансировочная камера и вал отличные, от использованных в сериях 1-5 (табл. З.1.). Подвижная упругая опора была заменена на подвижную жесткую опору путем изъятия из нее пружин (в этом случае жесткость подвижной опоры принималась равной бесконечности). Отличительной особенностью этой серии опытов являлось то, что прогиб шпинделя в месте крепления балансировочной камеры создавался не из-за деформации пружин под действием неуравновешенных сил, а изгибом шпинделя. Емкость балансировочной камеры уменьшена по сравнению с предыдущими сериями опытов для качественной проверки математических зависимостей.
Математические зависимости для АБУ установленного на жестком шпинделе с жесткой и упругой опорами
Было рассмотрено поведение АБУ, установленного на жестком шпинделе, вращающимся на одной жесткой и одной упругой опорах. Данная схема являет ся типовой при балансировки пассивными АБУ шпинделей металлообрабатывающих станков (рис. 4.3.). Примем массу шпинделя равной трот. Коэффициент жесткости упругой опоры с был принят одинаковым в направлениях перпендикулярных шпинделю, а массу опоры равна тот а расстояние между опорами - 1оп. Данная схема выбрана потому, что она позволяет снизить передачу вибрации несбалансированного шлифовального круга на корпус и переходить критическую скорость с минимальными изгибающими напряжениями на шпинделе. Считалось, что дисбаланс в ротативной системе создает только шлифовальный круг а его характер статический, т.е. его можно свести в одну результирующую центробежную силу, действующую от центра шлифовального круга перпендикулярно оси вращения. Было принято, что все вращающиеся элементы, кроме круга, сбалансированы и не способны добавлять дисбаланс в систему. Центр тяжести шлифовального круга находился на расстоянии 1ШК от центра неподвижной опоры. Балансировочная камера длиной / и внутренним радиусом R частична заполнена легкоплавким веществом плотностью р, способным неоднократно менять свое агрегатное состояние. Учитывалось, что на шпиндель действовали силы внутреннего и внешнего сопротивления, зависящие от коэффициента сопротивления колебаниям п [30]. При вращении неуравновешенного шпинделя на закритической скорости со его геометрическая ось в результате прецессионного движения отклоняется от оси вращения на угол в. При выводе зависимостей считалось, что шпиндель был абсолютно жестким, так как его собственная критическая частота на жестких опорах была гораздо выше частоты вращения. По законам динамики он вращался «тяжелой» стороной во внутрь прогиба и угловая скорость прецессионного движения была равна со.
В результате вращения на него действовали следующие силы и моменты: - центробежные силы вращающихся частей: шпинделя Fupom, пустой балансировочной камеры (без учета легкоплавкого вещества) FgK, упругой опоры F"n, шкива FJ и шлифовального круга F K (каждая из этих сил определяется как произведение массы вращающейся части на квадрат угловой скорости и смещения точки приложения силы инерции от оси вращения); - центробежная сила от вращения несбалансированной массы на шлифовальном круге, т.е. сила дисбаланса FD, которая определяется как произведение дисбаланса D на квадрат угловой скорости; - центробежная сила легкоплавкого вещества Р"в (см. п. 2.3.1.); - сила упругости F , действующая со стороны упругой опоры и стремящаяся совместить ось шпинделя с осью вращения; - гироскопический момент М , стремящийся, как и сила упругости, совместить ось шпинделя с осью вращения и равный произведению момента инерции, угловой скорости вращения шпинделя, угловой скорости прецессии и синуса угла расхождения осей; - сила реакции жесткой опоры R0„. Уравнение, вытекающее из суммы моментов сил, действующих на шпиндель относительно центра жесткой опоры, выглядит следующим образом: где 1Ш - расстояние от центра жесткой опоры до точки приложения FJ; 1рот - расстояние от точки приложения силы инерции шпинделя до центра жесткой опоры. Для шпинделя сложной формы для расчета его силы инерции использовалось выражение [18]: / Гироскопический момент определился следующим образом [18]: где / - момент инерции шпинделя со шлифовальным кругом и балансировочной камерой относительно оси вращения; прец - угловая скорость прецессии оси шпинделя. Как отмечалась выше, все расчеты для металлообрабатывающих станков стоит вести для случая прямой синхронной прецессии, где справедливо равенство а прец = со. Принимая во внимание вышеизложенное, для малых углов в гироскопический момент будет определяться формулой: Учитывая, что: K=monXon(o2, где хш - смещение точки приложения F от оси вращения; г - радиус на котором расположен центр тяжести неуравновешенного груза; тшк - масса шлифовального круга (или иного источника дисбаланса); тш - масса шкива или турбины, если движение передается на шпиндель через нее; т - масса неуравновешенного груза (источника дисбаланса шлифовального круга). Подставляя в (4.11) выражения (4.14) и (4.15) получим: Выражая все переменные х, (отклонение точек приложения соответствующих результирующих центробежных сил от оси вращения шпинделя) через одну - хбк, при помощи следующих зависимостей (учитывая условия жесткости шпинделя), получим: Для малых углов угол отклонения оси шпинделя выражен через х следующим образом
