Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Состояние вопроса и постановка задач исследования 13
1.1. Введение 13
1.2. Базирование как основа построения модели геометрии объекта производства 17
1.3. Пространственная размерная цепь как инструмент описания модели геометрии объекта производства 25
1.4. Методы решения пространственных размерных цепей 30
Выводы 41
1.5. Цель и задачи исследования 42
Глава 2. Методика формирования модели пространственной размерной цепи объекта производства с помощью унифицированных геометрических параметров 44
2.1. Формирование систем координат элементов конструкции и изделия в целом 44
2.1.1. Формирование системы координат поверхности 44
2.1.2. Формирование системы координат элемента конструкции на трех точках 46
2.1.3. Формирование системы координат элемента конструкции на двух точках и одном направлении 48
2.1.4. Элементы линейной алгебры для описания соотношений между геометрическими параметрами 51
2.2. Методика формирования модели пространственной размерной цепи объекта производства 53
2.2.1. Вывод уравнений модели пространственной размерной цепи...53
2.2.2. Унифицированные геометрические параметры 56
2.2.3. Структура модели пространственной размерной цепи 58
Выводы 61
Глава 3. Методика оценки линейной модели в количественном и качественном отношениях на основе известной модели пространственной размерной цепи 63
3.1. Построение линейной модели пространственной размерной цепи объекта производства методами теории планирования эксперимента 63
3.2. Определение коэффициентов уравнения гиперплоскости на основе матрицы плана типа 2" 71
3.3. Определение коэффициентов уравнения гиперплоскости на основе матрицы плана типа 2П'Г 75
3.4. Способы оценки адекватности гиперплоскости 83
3.4.1. Оценка адекватности гиперплоскости на основе поля допуска для отклонений гиперплоскости от гиперповерхности на матрице плана типа 2П"Г 83
3.4.2. Оценка адекватности гиперплоскости на основе радиуса эквивалентности гиперсферы 85
3.4.3. Оценка адекватности гиперплоскости на основе стохастического моделирования 89
Выводы 90
Глава 4. Разработка программного пакета для моделирования замыкающих величин объекта производства на основе модели пространственной размерной цепи 92
4.1. Структурная схема программного пакета 92
4.2. Ввод исходных данных в программном пакете 94
4.3. Постановка задачи в программном пакете 95
4.4. Представление исходных данных в программном пакете 96
4.5. Построение модели пространственной размерной цепи в программном пакете 97
4.6. Стохастическое моделирование замыкающих величин 98
4.6.1. Определение числа реализаций 100
4.6.2. Моделирование случайных значений составляющих величин.. 101
4.6.3. Определение случайных значений замыкающих величин 107
4.6.4. Определение границ интервалов рассеивания замыкающих величин 108
4.6.5. Построение гистограмм для замыкающих величин 110
4.7. Построение в программном пакете линейной модели пространственной размерной цепи 112
4.8. Оценка адекватности в программном пакете линейной модели пространственной размерной цепи 115
4.9. Результаты исследований оценки эффективности получаемых с помощью программного пакета линейных моделей пространственных размерных цепей 118
Выводы 119
Глава 5. Методика экспериментальной оценки линейной модели пространственной размерной цепи в количественном и качественном отношениях 121
5.1. Методика экспериментальной оценки коэффициентов линейной модели 121
5.2. Методика экспериментальной оценки адекватности линейной модели 128
Выводы 146
Общие выводы 148
Список литературы 151
Приложения 161
- Пространственная размерная цепь как инструмент описания модели геометрии объекта производства
- Методика формирования модели пространственной размерной цепи объекта производства
- Определение коэффициентов уравнения гиперплоскости на основе матрицы плана типа 2"
- Построение модели пространственной размерной цепи в программном пакете
Введение к работе
Актуальность темы. В технологии машиностроения традиционной является задача о влиянии технологических факторов на эксплуатационные характеристики изделий, поэтому при изготовлении и сборке сложных объектов производства необходимо решать проблему исследования влияния погрешностей их входных геометрических параметров на выходные. От точности выполнения выходных геометрических параметров зависит качество работы объекта производства. Параметры объекта производства, влияющие на его работоспособность, получили наименование выходных геометрических параметров, а параметры элементов объекта производства, влияющие на выходные геометрические параметры, получили наименование входных геометрических параметров.
На точность выходных геометрических параметров объектов производства влияют две группы входных геометрических параметров. Первую группу составляют геометрические параметры элементов конструкции имеющие связи внутренние, в пределах объема каждой детали. А вторую -геометрические параметры деталей, имеющие связи внешние (сборка, формирование геометрических параметров сборочной единицы), и входящие в соединения с другими параметрами деталей в машине.
В условиях производства, когда элементы конструкции изготавливаются независимо, а геометрические параметры оцениваются в собственной системе координат элемента, обязательно возникает задача увязки систем координат и определения допусков на входные и выходные геометрические параметры. Для назначения допусков на выходные и входные геометрические параметры необходимо решать задачи анализа и синтеза пространственных размерных цепей. При этом используются модели размерных цепей, получаемые на основании применения аналитического подхода, использующего векторно-проективный или векторно-матричный способ.
Наиболее эффективно, с точки зрения анализа точности, построение модели размерной цепи векторно-матричным способом, основанном на представлении относительного положения систем координат и связанных с ними поверхностей элементов конструкции объекта производства.
Так как положение одной поверхности объекта производства (одна координатная система) относительно другой (другая координатная система) характеризуется тремя расстояниями (координаты центра системы) и тремя углами поворотов (одной координатной системы относительно другой), то эти шесть параметров характеризуют звено пространственной размерной цепи. При этом входные геометрические параметры определяют составляющие звенья размерной цепи и являются составляющими величинами, а выходные геометрические параметры определяют замыкающее звено и являются замыкающими величинами.
Таким образом, пространственная размерная цепь состоит из составляющих и замыкающего звеньев, каждое из которых определяется радиус-вектором и матрицей поворотов, параметрами которых являются составляющие величины - для составляющих звеньев и замыкающие величины -для замыкающего звена.
Поэтому размерная цепь рассматривается как схема, представляющая собой многоугольный векторный замкнутый контур в виде векторной суммы. В этом замкнутом многоугольнике результирующим вектором является размер замыкающего звена, а остальные векторы представляют собой размеры деталей и их соединений, являющихся составляющими звеньями.
Такой способ построения размерной цепи позволяет дать точное описание детерминированной связи между составляющими и замыкающими величинами, входящими в пространственную размерную цепь, а недостатком является то, что уравнения модели размерной цепи являются нелинейными и, как следствие этого, невозможность решения задачи синтеза пространственной размерной цепи.
Для решения этой проблемы необходимо иметь методики построения адекватных линейных моделей пространственных размерных цепей. Эти методики создают базис для решения задач и анализа и синтеза, что позволяет оптимизировать конструкцию и обеспечить выполнение выходных геометрических параметров объекта производства заданной точности. Эта задача весьма остро стоит при сборке летательных аппаратов сложной формы, где отсутствие информации о коэффициентах влияния в линейных уравнениях размерных цепей, не позволяет назначать оптимальные допуски на геометрические параметры изделия.
Существующие методы теории планирования эксперимента пригодны для получения линейной модели пространственной размерной цепи, что позволяет решать задачи анализа и синтеза полей допусков замыкающей и составляющих величин. Они имеют потенциальные возможности для сокращения объемов исходных данных при определении коэффициентов. Недостатком этих методов является отсутствие данных об их эффективности и точности.
Получение оценок линейной модели пространственной размерной цепи возможно с помощью эксперимента, однако отсутствует методика экспериментальной оценки с требуемой эффективностью.
Таким образом, задачей диссертации является научное обоснование такого алгоритма построения линейных моделей пространственных размерных цепей, который обеспечит и простоту, и эффективность, и удобство решения задач анализа и синтеза полей допусков параметров, характеризующих геометрию объекта производства, и удобство технических измерений.
Цель диссертации. На основании изучения проблемы сформулирована цель работы, которая заключается в разработке и исследовании методики формирования линейных моделей пространственных размерных цепей для анализа и синтеза полей допусков параметров, характеризующих геометрию объекта производства.
Поставленная цель достигается решением следующих основных задач:
1. Разработать методику формирования модели пространственной размерной цепи объекта производства с помощью унифицированных геометрических параметров;
2. Разработать методику оценки линейной модели пространственной размерной цепи в количественном и качественном отношениях на основе известной модели пространственной размерной цепи;
3. Разработать программный пакет для моделирования замыкающих величин объекта производства на основе известной модели пространственной размерной цепи;
4. Разработать методику экспериментальной оценки линейной модели пространственной размерной цепи в количественном и качественном отношениях;
5. Провести исследования для оценки эффективности получаемых с помощью программного пакета линейных моделей пространственных размерных цепей.
Объектом проводимых исследований являются сложные соединения деталей сборочных единиц при производстве летательных аппаратов. Предметом исследований являются оценки эффективности линейных моделей пространственных размерных цепей, получаемых с помощью разработанных методик.
Поставленные научные задачи решались на основании системного подхода к объекту исследований с использованием методов теоретической метрологии, методов теории планирования эксперимента, математической ста тистики, теории вероятностей, линейной алгебры, аналитической геометрии, теории базирования.
Новизна результатов. Научную новизну работы составляют:
1. Методика формирования пространственной размерной цепи объекта производства с использованием унифицированных геометрических параметров;
2. Методика оценки линейной модели в количественном и качественном отношениях на основе системы уравнений пространственной размерной цепи;
3. Методика экспериментальной оценки линейной модели пространственной размерной цепи в количественном и качественном отношениях.
Практическая ценность. Практическая ценность работы состоит в разработке программного пакета моделирования замыкающих величин пространственной размерной цепи и использовании результатов моделирования для оценки ее линейной модели. Предложенные методики могут найти применение для предприятий машиностроения, занимающихся выпуском сложных объектов производства.
Созданный в процессе диссертации программный пакет позволяет обосновать линейную модель пространственной размерной цепи, на основе которой могут быть определены оптимальные допуски на входные геометрические параметры объектов производства при заданных полях допусков на выходные.
Разработанные методики оценки линейной модели пространственной размерной цепи реализованы в учебном процессе по дисциплине «Планирование и организация эксперимента»:
- в учебной программе дисциплины в разделе «Планирование измерений при оценке линейной математической модели поверхности отклика»;
- в лабораторной работе «Экспериментальная оценка эквивалентности линейной модели статической характеристики результата измерения на основе оптимального плана измерения».
Основные положения, выносимые на защиту. Автором лично получены и выносятся на защиту следующие основные положения:
1. Методика формирования модели пространственной размерной цепи объекта производства с помощью унифицированных геометрических параметров;
2. Методика оценки линейной модели пространственной размерной цепи в количественном и качественном отношениях на основе известной модели пространственной размерной цепи;
3. Методика экспериментальной оценки линейной модели пространственной размерной цепи в количественном и качественном отношениях.
Основные положения и результаты исследований доложены, обсуждены и одобрены на конференциях, семинарах, заседаниях и т.д., в частности, на:
- всероссийских научно-технических конференциях «Состояние и проблемы технических измерений» (г. Москва, 1997, 1998, 1999, 2005 гг.);
- всероссийских научно-практических конференциях «Метрологическое обеспечение испытаний и сертификации», организованных ФГУ РОСТЕСТ-МОСКВА (г. Москва, 1998, 1999 гг.);
- научных семинарах и заседаниях кафедры «Метрология и взаимозаменяемость» Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана (г. Москва, 1996-2005 гг.);
- заседании кафедры «Системы автоматизированного проектирования» Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана (г. Москва, 2002 г.).
Основные положения диссертации отражены в 14 опубликованных работах, в том числе 8 статьях в научно-технических журналах.
Пространственная размерная цепь как инструмент описания модели геометрии объекта производства
В существующей практике традиционного отображения трехмерной геометрии объектов производства на плоских чертежах геометрическая модель элемента конструкции представлена набором проекций линий пересечения его поверхностей простой формы (плоскости, поверхности вращения с образующими - коническими сечениями), ограничивающих объем этого элемента, и/или сечений этих поверхностей плоскостями, направленными чаще всего параллельно плоскостям проекций. При переходе к представлению поверхностей более сложной формы их отображают набором проекций плоских сечений или каркасом точек с заданным способом интерполирования.
На этих проекциях задаются номинальные значения величин, определяющих относительное расположения характерных точек поверхностей, линий пересечения поверхностей или проекций их сечений, которые задаются цепью, получившей наименование «размерная цепь». Помимо номинальных значений величин задаются также их предельные отклонения [16].
Для адекватного и корректного описания соприкосновения поверхностей недостаточно традиционного представления геометрии поверхностей элементов конструкции в виде проекций, поскольку в нем погрешности расположения и отклонения формы поверхностей элементов конструкции задаются условно [8]. Вследствие того, что размерные цепи в этом случае, будучи по смыслу пространственными, представляются в виде проекций на плоскости, то попытка представить их величины через проекции некорректна. Использование пространственных размерных цепей на основе проекций разрывает связь между линейными и угловыми величинами, что приводит к существенным погрешностям при сборке объектов производства [17].
Поэтому размерную цепь необходимо рассматривать как схему, представляющую собой многоугольный векторный замкнутый контур в виде векторной суммы. В этом замкнутом многоугольнике результирующим вектором является размер замыкающего звена, а остальные векторы представляют собой размеры деталей и их соединений, являющихся составляющими звеньями [6]. Представление размерной цепи в виде схемы имеет очень большое значение, так как она дает возможность наглядно показать связь между звеньями цепи, освобожденную от всех условностей конструкторского оформления чертежей объекта производства (рис 1.3).
Для правильного выявления размерных связей и построения схемы размерной цепи нужно руководствоваться следующими принципами: естественная последовательность, непрерывность и замкнутость размеров, входящих в размерную цепь [18]. Замкнутость размерной цепи имеет особое значение, на что указывает отражение этого принципа в определении цепи [19].
Такой подход к построению размерных цепей представлен в работах Булатова В.П., Карепина П.А., Кашубы Л.А., Колесова И.Н., Фридленде-ра И.Г. Этот подход также использовался в работах, которые проводились в 70-х годах на кафедре «Технологии ракетно-космического машиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана и были посвящены решению задачи анализа точности выходных геометрических параметров (замыкающих величин пространственных размерных цепей) объекта производства при сборке.
Так как положение одной поверхности объекта производства (одна координатная система) относительно другой (другая координатная система) характеризуется тремя расстояниями (координаты центра системы) и тремя углами поворотов (одной координатной системы относительно другой), то эти шесть параметров характеризуют звено пространственной размерной цепи [8,17,20,21]. При этом геометрические параметры, определяющие составляющее звено размерной цепи, называются составляющими величинами, а геометрические параметры, определяющие замыкающее звено - замыкающими величинами.
Таким образом, пространственная размерная цепь состоит из составляющих и замыкающего звеньев, каждое из которых определяется радиус-вектором и матрицей поворотов, параметрами которых являются составляющие величины - для составляющих звеньев и замыкающие величины -для замыкающего звена.
Такой принцип формирования пространственной размерной цепи был использован в работах [22,23,24] при описании модели геометрии объекта производства. В этих работах корректное описание модели геометрии объекта производства представлено следующим образом: номинальная геометрия поверхностей объекта производства задается в их собственных локальных системах координат, чем обеспечивается инвариантность описания поверхностей по отношению к их расположению в системе координат элемента конструкции.
Атрибуты, определяющие номинальную геометрию поверхности, включают [22]: 1) ссылку на библиотеку, в которой хранятся математические модели видов поверхностей в нормированном масштабе; 2) вид поверхности, задаваемой аналитически или координатами опорных точек и правилами интерполирования; 3) масштабные коэффициенты конкретной поверхности по отношению к нормированным размерным величинам соответствующего библиотечного элемента, трактуемые, как номинальные значения размерных величин; 4) номинальные значения параметров положения собственных локальных систем координат в системе координат элемента конструкции, определяемые матрицей вращения и вектором смещения начала собственных локальных систем координат поверхностей в базовой системе координат; 5) погрешности масштаба (размерных величин); 6) погрешности положения собственной системы координат данной поверхности в базовой системе координат объекта производства; 7) отклонение формы; 8) шероховатость поверхности. Таким образом, существующее традиционное представление объекта производства в виде трехмерной модели проекциями линий пересечения и сечений поверхностей на плоскости проекций некорректно. Корректной пространственной моделью является более сложная трехмерная модель, представленная статусами поверхностей и имеющая в своем составе такие компоненты, как параметры номинального положения собственных локальных систем координат в системе координат элемента конструкции, отклонения формы и шероховатости [23,24]. Формирование модели геометрии объекта производства на базе универсального описания его объемов через статусы поверхностей их ограничивающих, создает новые предпосылки для корректного и адекватного описания геометрии и анализа точности выходных геометрических параметров, охватывающих все множество задач - от вероятностных оценок массы, координат центра масс и параметров тензора инерции объектов производства до отклонений расстояния между точками элементов конструкции после сборки при наличии погрешностей в стыках.
Методика формирования модели пространственной размерной цепи объекта производства
Построение пространственной размерной цепи объекта производства связано с представлением его модели геометрии в виде систем координат элементов его конструкции. При этом каждая последующая система координат задана относительно предыдущей следующими параметрами: 1) радиус-вектором; 2) матрицей направляющих косинусов. Эти параметры характеризуют относительное положение элементов (поверхностей и принадлежащих им характерных точек, линий) объекта производства и определяют замыкающее и составляющие звенья пространственной размерной цепи, представленной в виде векторной суммы (рис.2.7). Составляющие и замыкающие величины размерной цепи, соединяющие характерные точки объекта производства, определяют эти параметры. Рассмотрим задачу в следующей постановке. Дано: В исходной выбранной системе координат X0Y0Z0 заданы системы координат, количество которых равно к (рис.2.7). Рис. 2.7. Схема пространственной размерной цепи объекта производства Пусть каждая последующая система координат задана относительно предыдущей параметрами В последней системе координат задана точка М вектором R mk. Требуется найти координаты этой точки в выбранной системе координат. Воспользуемся методом математической индукции. Положим k = 3, то гда Появление новой системы координат элемента конструкции, заданной относительно k-ой, эквивалентно увеличению числа систем координат на единицу. Положение новой системы координат в выбранной системе координат определяется с помощью системы уравнений (2.12) с заменой к на к+1. Уравнения (2.12)-(2.14), полученные для пространственной размерной цепи векторно-матричным способом, представляют собой векторные функции, связывающие векторы замыкающего и составляющих звеньев.
В работе [6] такие уравнения называются функциями взаимосвязи. В самом общем случае функция взаимосвязи представляет собой систему уравнений, связывающих замыкающие и составляющие величины пространственной размерной цепи, при этом замыкающие величины определяют замыкающее звено, а составляющие величины - составляющие звенья. В дальнейшем такая система уравнений будет называться моделью пространственной размерной цепи. Векторно-матричное представление положения системы координат поверхности в декартовой системе координат [17] удобно для вычислений, но не наглядно. Более наглядно расположение системы координат поверхности в выбранной системе координат представлять через унифицированные геометрические параметры (рис.2.8). Унифицированные геометрические параметры Они координируют положение начала отсчета системы координат поверхности в выбранной системе координат модулем радиус-вектора R и двумя углами со и (р, а положение осей тремя углами: а, (3 и у. Угол со находится между направлениями вектора R и оси Х0, угол а - между направлениями осей X, и Х0. Углы (р и (3 - между осью Y0 и, соответственно, проекциями вектора R и оси Х на плоскость Y0O0Z0. Угол у - между проекцией оси Y, на ту же плоскость и осью Y0. Углы со и а отсчитывают-ся от положительного направления оси Х0 и изменяются в пределах от 0 до 7С. Углы Р, у и ф отсчитываются в направлении против часовой стрелки от оси Y0 к проекциям осей Xj, Y, и вектора R соответственно и изменяются в интервале от 0 до 2л;. Переход от унифицированных геометрических параметров к векторно-матричным параметрам і-ой системы координат поверхности в декартовой системе координат выполняется по соотношениям В практической деятельности чаще используется смешанная система параметров: координаты начала отсчета і-ой системы координат задаются в декартовых системах координат, а положение осей - в унифицированных геометрических параметрах.
Рассмотрим возможные структуры модели пространственной размерной цепи, представленной в виде векторной суммы (рис.2.7) для случая к систем координат. Наиболее общим случаем, очевидно, является случай, когда в качестве замыкающих величин пространственной размерной цепи выбираются величины, определяющие положение k-ой системы координат относительно выбранной (нулевой) системы координат X0Y0Z0, а именно: lRkol» шко» Фко ак0 Рко» Уко- Эти замыкающие величины определяют замыкающее звено и являются функциями составляющих величин, в качестве которых выступают величины R ііл \, со ііл, (р ііл, a j j.,, р і м, у ,- и, і = 1, k, определяющие положение каждой последующей системы координат размерной цепи относительно предыдущей. Таким образом, в этом случае замыкающие величины определяются по модели размерной цепи (2.12), которую можно представить в виде системы уравнений
Определение коэффициентов уравнения гиперплоскости на основе матрицы плана типа 2"
При построении дробной реплики типа 2""г необходимо, чтобы дробная реплика была регулярной и обладала максимальной разрешающей способностью. По определению, реплика, используемая для сокращения реализаций в 2Г раз, где г=1,2,3,..., и сохраняющая основные свойства полной матрицы плана типа 2" , называется регулярной, а ее разрешающая способность, задаваемая системой смешивания дробной реплики, будет максимальной, если линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наибольшего возможного порядка [85]. Смешивание зависит от выбора генерирующих соотношений. По определению, соотношение, показывающее, с каким из приведенных отклонений смешано данное приведенное отклонение, называется генерирующим соотношением [83]. Генерирующие соотношения необходимы при построении дробной реплики. От генерирующих соотношений можно легко перейти к определяющим контрастам. Определяющим контрастом называется равенство, в левой части которого стоит единица, а в правой части - произведение правой и левой частей генерирующего соотношения [85]. Определяющие контрасты позволяют получить систему смешивания приведенных отклонений, с помощью которой определяется разрешающая способность полученной дробной реплики.
При построении дробной реплики число г выбирается в зависимости от числа составляющих величин п. Например, для п=18 целесообразно строить 1 Я. 1/256-реплики от полной матрицы плана типа 2 , что показано в табл.3 (см. приложение В). Поэтому в этом случае на первом этапе строится полная матрица плана типа 210, а затем, используя генерирующие соотношения и матрицу плана 210, строится дробная матрица плана 218"8. Матрица, имеющая шестьдесят четыре строки для шести составляющих величин будет полной матрицей плана 26, а для двенадцати составляющих величин - четверть-репликой от 212. В последнем случае два линейных эффекта приравниваются к эффектам взаимодействия. Для обозначения дробных реплик, в которых г линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, удобно пользоваться условным обозначением 2П"r. Так, полуреплика от 2 запишется в виде 2 , а четверть-реплика от 2 - в виде 25-2. Пусть имеется объект производства, у которого на двух поверхностях сформированы системы координат X0Y0Z0, XjY,Z, ив системе координат X,Y,Z, задана точка М (рис.3.2). При этом система координат X,Y,Z, определена относительно системы координат X0Y0Z0 с помощью унифицированных геометрических параметров Rio, о)10, ф10, ot10, Рю Y to» а точкаМ определена в системе координат X jZ, с помощью унифицированных геометрических параметров Rmi, comi, (pm. Известны также номинальные значения этих геометрических параметров и их предельные отклонения. Требуется построить линейную модель для замыкающего звена пространственной размерной цепи, которое определяется замыкающими величинами Rmol, wm0, фт0 задающими положение точки М относительно системы координат X0Y0Z0. Составляющими величинами пространственной размерной цепи в этом случае являются унифицированные геометрические параметры R10, со10, ф10, а,0, Р10, у10, RmI, ют„ (рт1. Для решения данной задачи построим модель пространственной размерной цепи, представленную в векторно-матричном виде. Для этого, используя (2.12), найдем радиус-вектор Rm0.
В результате получим Для задания элементов радиус-векторов R10, Rml и матрицы направляющих косинусов А10 с помощью соотношений (2.15) сделаем переход от унифицированных геометрических параметров к параметрам в декартовых системах координат. Подставляя полученные элементы радиус-векторов R10, Rmi и матрицы направляющих косинусов АІ0 в уравнение (3.18) и осуществляя затем по соотношениям (2.16) обратный переход от параметров в декартовых системах координат к унифицированным геометрическим параметрам, получим систему нелинейных уравнений (3.18) модели пространственной размерной цепи, замыкающие величины которой определяют положение точки М относительно системы координат X0Y0Z0: Построим матрицу плана К на цепочках аг k,,..., гек9, к = 1,N. Использование дробной реплики плана позволяет резко сократить число строк. Для построения плана 2 "5 требуется N=24=16 строк, в то время как для построения полной матрицы плана потребовалось бы N = 2 =512 строк. Определив число строк дробной реплики, составляем генерирующие соотношения. Руководствуясь тем, что наличие связи между всеми составляющими величинами менее вероятно, чем между какими-то их комбинациями [83,92], из множества возможных генерирующих соотношений выбираем наиболее оптимальные Матрица плана К в этом случае будет иметь вид, показанный в приложении Г. Значения векторов замыкающих величин yj = (yj(, yj2,..., у 6), j = l,3 определяем с помощью построенной матрицы плана и уравнений (3.22). Затем, с помощью матрицы плана и полученных значений векторов замыкающих величин yj = (ул, уj2,..., yjl6), j = 1,3 определяем по формуле (3.15) векторы коэффициентов Cj , j=l,3 линейных уравнений для приведенных отклонений. После этого, по формулам (3.14) и (3.16) определяем
Построение модели пространственной размерной цепи в программном пакете
Задачу построения модели пространственной размерной цепи объекта производства решает в программе процедура DET_MODEL. Исходными па 98 раметрами этой процедуры являются массивы СМ [к, j], RM[k, j], k = l,v, j=l, 12 и переменные nl, n2. Формирование модели происходит в зависимости от значений исходных параметров процедуры DET_MODEL. В соответствии со значениями этих параметров формируются массивы исходных данных С[к, j] и R[k, j], к = 1, N, j=l, 12, а также определяется число систем координат N пространственной размерной цепи N = n2-nl, при пКп2 и N = п1-п2,при nl п2. Сущность стохастического решения задачи сводится к тому, что генерируется набор (реализации) случайных значений составляющих величин в пределах их полей допусков [100,101]. Далее, по модели пространственной размерной цепи определяются случайные значения замыкающей величины. Эта процедура повторяется NT раз. В результате для каждой замыкающей величины определяется интервал и строится гистограмма распределения полученных случайных значений. Если результат не удовлетворяет заданным требованиям, то корректируются параметры полей допусков составляющих величин и процедура расчета повторяется заново. Число реализаций NT, необходимое для того, чтобы получить результат с заданной вероятностью, вычисляется аналитически по теории непараметрических толерантных интервалов [102]. Так, чтобы получить результат с вероятностью Р= 0.9973 и надежностью q = 0.9973 необходимо провести от 2188 до 3000 циклов вычислений при одной или двух границах соответственно. Одной из проблем стохастических задач является выбор законов моделирования случайных значений составляющих величин.
Большое разнообразие реальных законов распределения создает существенные трудности при получении исходных данных. Этих трудностей можно избежать, если реаль ные распределения заменить близкими к ним «модельными», имеющими те же параметры (математическое ожидание, дисперсию, интервал распределения), но обладающими тем свойством, что изменение характера реальных распределений не приводит к увеличению доверительных интервалов. В теории информации доказаны следующие теоремы: 1. Энтропия (неопределенность) непрерывного процесса со случайной величиной, принимающей значения только на заданном интервале [а, Ь] максимальна при равномерной (равновероятной) плотности распределения; 2. Энтропия непрерывного процесса с заданной дисперсией D его случайной величины максимальна при нормальном законе распределения с той же дисперсией; 3. Энтропия непрерывного процесса со случайной величиной, принимающей только положительные (отрицательные) значения с заданным средним (математическим ожиданием) максимальна при экспоненциальном законе распределения. Из этих теорем следуют важные для практических расчетов выводы. Если известно, что величина ограничена с двух сторон и не выходит за пределы интервала [а,Ь], то независимо от действительного характера ее распределения на этом интервале максимальная неопределенность будет при равновероятном законе. В случае, когда известно математическое ожидание (центр группирования) М и дисперсия D величины, имеющей неограниченную двустороннюю область существования, доверительный интервал будет наибольшим, если параметр распределен по нормальному закону. Интервалы рассеяния других распределений, имеющих те же значения М и D, при той же доверительной вероятности Р будут находиться внутри доверительного интервала нормального распределения.
Наконец, если величина всегда положительна или отрицательна (не ограничена односторонне), то при одном и том же ма тематическом ожидании М и доверительной вероятности Р доверительный интервал экспоненциального закона будет охватывать аналогичные интервалы любых других распределений. Определение границ доверительного интервала рассеивания случайных значений замыкающей величины по выборке из бесконечной генеральной совокупности наиболее эффективно и просто осуществляется с помощью непараметрических толерантных интервалов. Эти границы представляют собой наименьшее и наибольшее значения замыкающей величины в выборке из NT элементов, которым со статистической надежностью G соответствует, по крайней мере, Р часть совокупности состояний системы. Минимальные объемы выборок NT в зависимости от надежности G и доверительной вероятности Р для распределений с замкнутыми и не замкнутыми двусторонними областями определения вычисляются по неравенству Имея информацию об исходных значениях G и Р, по отношению (4.1) в программном пакете определяется необходимое число реализаций NT в выборке, обеспечивающее в интервале между минимальным и максимальным значениями замыкающей величины с надежностью G доверительную вероятность Р событий при стохастическом моделировании случайных значений составляющих величин. Число реализаций NT определяется в программе с помощью процедуры CHISLO_REALIZAC, исходными параметрами которой являются переменные G и Р [103].
