Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ проблемы гидродинамической устойчивости атмосферы 9
1.1. Анализ уравнений динамики атмосферы 9
1.2. Модели геострофического ветра с учетом геоидальной формы Земли 10
1.3. Профиль ветра в пограничном слое (спираль Экмана)
1.4. Теория линейных волн во вращающейся атмосфере
1.5. Вывод уравнения переноса вихря скорости движения с учетом геоидальной формы Земли
1.6. Анализ волн Россби в атмосфере
1.7. Теория линейных планетарных волн в сферических координатах
Глава 2. Влияние геоидальной формы земли на гидродинамическую устойчивость атмосферы 50
2.1. Описание геострофического состояния атмосферы с учетом геоидальной формы Земли 50
2.2. Описание геострофического состояния атмосферы в сферических координатах 67
2.3. Учет геоидальной формы Земли в экмановской модели атмосферы 71
Глава 3. Устойчивость волновых движений в атмосфере 90
3.1. Колебания атмосферы при агеострофическом состоянии 90
3.2. Теория линейных планетарных волн в сферических координатах 106
Заключение 135
Список литературы 138
Приложение
- Модели геострофического ветра с учетом геоидальной формы Земли
- Вывод уравнения переноса вихря скорости движения с учетом геоидальной формы Земли
- Описание геострофического состояния атмосферы в сферических координатах
- Теория линейных планетарных волн в сферических координатах
Модели геострофического ветра с учетом геоидальной формы Земли
Движение воздушных масс в атмосфере носит сложный, меняющийся с течением времени характер [1, 5, 52, 54, 58, 58, 110]. Но, несмотря на сложный характер движения, основные особенности этих движений из года в год повторяются, то есть носят сезонный характер [5, 44, 52, 53, 102]. В этом и заключается сложность процедуры прогноза состояния атмосферы. Для анализа движения воздушных масс в атмосфере Земли их классифицируют по масштабу, охватываемому тем или иным движением. В частности, рассматривают общую циркуляцию атмосферы, под которой понимают совокупность воздушных течений такой горизонтальной протяженности, которая сравнима с размерами материков и океанов [78, 88]. К общей циркуляции атмосферы относят следующие системы воздушных потоков: западный перенос в умеренных широтах обоих полушарий, пассатные ветры субтропиков, муссоны, струйные течения, системы движения в планетарных волнах, циклонах или антициклонах [10, 37, 44, 71, 72, 76, 77, 78, 84, 104, 105]. Но, несмотря на указанную определенную структуру глобальной атмосферной циркуляции, в чистом виде она не реализуется, а проявляется в виде сложной, внешне хаотической системы воздушных потоков. Поэтому разработка теорий, позволяющих понять общую закономерность развития крупномасштабной циркуляции, остается актуальной задачей физики атмосферы. Именно этим объясняется тот факт, что наряду с традиционными для метеорологии статистическими методами анализа общей циркуляции атмосферы широкое развитие получили методы математического моделирования общей циркуляции атмосферы, так же как процессов и явлений меньшего масштаба [96, 98, 107]. Такой подход к анализу крупномасштабной циркуляции позволяет понять физику этих процессов, механизм их формирования и динамику развития. Основу этих методов составляют уравнения движения воздуха, уравнение неразрывности, а также уравнения переноса лучистой энергии, тепла и влаги в атмосфере [19, 25, 35, 37, 38, 70, 127]. При анализе атмосферных явлений обращаются к некоторым модельным представлениям, являющимся идеализацией реальных процессов. Для этого при анализе уравнений динамики атмосферы, ввиду их математической сложности, делаются допущения, которые позволяют отразить основные особенности исследуемого явления, упростить задачу и решить ее аналитически или численно [25, 62, 70, 122]. Однако, принимая те или иные допущения, необходимо помнить о границах их применимости и круге задач, к которым эти допущения применимы. Одним из таких модельных представлений о динамике атмосферы является волновой характер крупномасштабной атмосферной циркуляции.
Актуальность проблемы. Работа посвящена исследованию вопросов устойчивости атмосферной циркуляции. Несмотря на то, что к настоящему времени имеется достаточно большое число экспериментальных и теоретических работ, посвященных изучению атмосферной циркуляции, многие проблемы остаются открытыми. К таким проблемам относятся, в частности, корректность допущения сферической формы Земли при описании динамики атмосферы, геопотенциальные поверхности которой в невозмущенном состоянии повторяют форму геоида. Исследованию этого вопроса была посвящена диссертация М. Н. Грицаевой. Как известно, геоид формируется за счет равенства касательных проекций силы тяготения и центробежной силы инерции на его поверхность. Поэтому в уравнениях динамики атмосферы, записанных в проекциях на плоскость, касательную к геоиду, проекции этих двух сил (силы тяготения и центробежной силы инерции) не записываются. Из-за малости угла между плоскостями, касательными к геоиду и сфере, во многих задачах метеорологии замена декартовой системы координат, в которой горизонтальная поверхность касательна к геоиду, на декартову систему координат, в которой горизонтальная поверхность касательна к сфере, не приводит к большим ошибкам и является достаточным приближением. Однако каждый раз при решении конкретных задач это необходимо проверять, так как могут возникнуть существенные погрешности. В частности, это имеет отношение к исследованию геострофического ветра. Особенно это может сказаться на исследовании процессов синоптического масштаба, волновых движений в атмосфере, а также динамики воздушных потоков в пограничном слое атмосферы. Поэтому представляется важным продолжить исследования, начатые в диссертации М. Н. Грицаевой, для анализа агеострофического состояния атмосферы, динамики воздушных потоков в пограничном слое атмосферы, при исследовании планетарных волн.
Вывод уравнения переноса вихря скорости движения с учетом геоидальной формы Земли
В атмосфере наблюдается исключительно большое разнообразие волновых и вихревых движений, механизм формирования и динамика развития которых не в полной мере ясны. Поэтому разработка математической модели волновых движений в атмосфере с учетом бароклинности, а также исследование скорости распространения планетарных волн Россби являются актуальными проблемами физики атмосферы. Целью настоящей диссертационной работы является исследование устойчивости волновых движений в атмосфере с учетом геоидальной формы Земли. Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи: 1. Определить форму возмущенной изобарической поверхности при геострофическом состоянии атмосферы. 2. Рассмотреть экмановское состояние атмосферы с учетом геоидальной формы Земли. 3. Исследовать закономерности колебательного режима при агеострофическом состоянии атмосферы. Определить форму возмущенной изобарической поверхности при агеострофическом состоянии атмосферы. 4. Найти скорость распространения планетарных волн в бароклинной атмосфере. Определить форму возмущенной изобарической поверхности для различных мод планетарных волн. Объектом исследования является атмосферная циркуляция воздуха. Предметом исследования является гидродинамическая устойчивость атмосферной циркуляции. Научная новизна диссертации: 1. Показано, что возмущенная изобарическая поверхность при геострофическом состоянии атмосферы имеет форму «яблока». 2. Установлено, что при экмановском состоянии атмосферы скорость ветра у земли перпендикулярна изобарам, а не составляет 45 как в случае спирали Экмана. 3. Возмущенная изобарическая поверхность при агеострофическом состоянии атмосферы имеет форму параболоида вращения, причем угловая скорость вращения частиц воздуха в возмущенной области растет от нуля до максимального значения в зависимости от широты места. 4. Получено выражение для скорости линейных планетарных волн, отличное от скорости планетарных волн в однородной атмосфере. Установлена форма возмущенной изобарической поверхности для различных мод планетарных волн и скорость их распространения. Научная и практическая значимость. Результаты, полученные в работе, уточняют существующие представления о физике и динамике циркуляции воздуха в атмосфере и могут быть использованы в практике прогнозирования параметров атмосферной циркуляции. Положения, выносимые на защиту: 1. Результаты исследования формы возмущения барической поверхности при геострофическом состоянии атмосферы с учетом геоидальной формы Земли. 2. Результаты исследования экмановского состояния атмосферы: спираль Экмана, направление ветра у земли. 3. Исследование колебательного режима при агеострофическом состоянии атмосферы: форма возмущения изобарической поверхности. 4. Теория линейных волн в бароклинной атмосфере с учетом геоидальной формы Земли в сферических координатах: выражение для скорости распространения планетарных волн различной моды. Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 научных работ, в том числе 3 статьи в рецензируемых изданиях из перечня ВАК. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 127 наименований. Материал диссертации содержит 167 страниц, включая 17 страниц приложения, 24 рисунка.
Во введении обоснована актуальность разрабатываемой темы, сформулирована цель работы, решаемые задачи, объект и предмет исследования, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту. В первой главе проведен аналитический обзор существующих математических методов анализа устойчивости циркуляции воздуха в атмосфере. Особое внимание уделено анализу уравнений динамики атмосферы в различных приближениях. Глава закончена анализом литературного обзора и выделением актуальных проблем, требующих решения. Во второй главе разработана математическая модель геострофического ветра с учетом геоидальной формы Земли. Анализируется геострофическое состояние атмосферы. В третьей главе исследуется агеострофическое состояние атмосферы. Анализируется форма изобарической поверхности при данном состоянии. Теория линейных планетарных волн развита в приближении Буссинеска.
Описание геострофического состояния атмосферы в сферических координатах
Получена система уравнений, описывающих линейные планетарные волны в бароклинной атмосфере. Получены формы возмущенной изобарической поверхности планетарных волн различных мод. 1. На основе исследований, проведенных в диссертационной работе, и разработанных алгоритмов получены следующие основные выводы и результаты: 1. Геострофическое состояние атмосферы определяется условиями, при которых радиальная составляющая геострофической скорости намного меньше меридиональной и широтной составляющих, которые, в свою очередь, намного меньше скорости движения точек поверхности Земли. 2. Возмущенная относительно статического равновесия изобарическая поверхность при геострофическом состоянии атмосферы имеет форму «яблока». 3. Экмановское состояние атмосферы можно рассматривать как возмущение геострофического состояния, вносимое силами вязкого трения. 4. Возмущение геострофической скорости, названное нами экмановским возмущением скорости, зависит от градиентов возмущения давления. 5. Толщина экмановского слоя, в котором силы вязкого трения играют важную роль, зависит от коэффициента турбулентной вязкости и широты места. 6. Ветер у земли при экмановском состоянии атмосферы будет направлен перпендикулярно изобарам, а угол наклона к параллели зависит от значений горизонтальных градиентов давления по соответствующим осям и . 7. Показано, что при агеострофическом состоянии атмосферы, под которым понимается отклонение от геострофического состояния атмосферы, вызванное наличием ускорения у частицы воздуха, происходят гармонические колебания с частотой равной удвоенной частоте вращения Земли вокруг своей оси. 8. Поверхность возмущения давления при агеострофическом состоянии атмосферы имеет форму параболоида вращения. 9. Частицы воздуха при агеострофическом состоянии атмосферы движутся по эллипсу, образованному горизонтальным сечением возмущенной барической поверхности. 10. Вид возмущенной поверхности периодически меняется от циклонального характера к антициклональному. 11. Возмущенная поверхность принимает колебательный характер через определенное время в зависимости от широты места. При этом скорость угловая скорость вращения частиц воздуха в возмущенной области растет от нуля до максимального значения в зависимости от широты места. В частности, на экваторе возмущения отсутствуют, но принимают максимальные значения на полюсе. 12. Максимальное значение угловой скорости вращения приобретается на северном полюсе уже через три часа после начала возмущения. Причем после этого направление вращения меняет знак с циклонального на антициклональное направление. Время перехода с одного режима на другой растет с приближением к экватору и на экваторе равно бесконечности. Это значит, как уже было отмечено, что колебательный режим на экваторе не наблюдается. 13. Теория линейных планетарных волн развита в приближении Буссинеска. Получена система уравнений, описывающих линейные планетарные волны в бароклинной атмосфере. 14. Получено выражение для скорости линейных планетарных волн, отличное от скорости планетарных волн в однородной атмосфере. Данное выражение совпадает с выражением, полученным в диссертации Грицаевой М. Н., в которой планетарные волны описывались не в сферической системе координат, а в декартовой системе координат, применение которых ограничено расстояниями порядка 200 км. 15. Получено дисперсионное соотношение для частоты планетарных волн. 16. Получено выражение для частоты планетарных волн на экваторе. Из данных выражений найдены соответственно период вращения и скорость движения различных мод вокруг экватора. Порядок моды определяет число длин волн, укладывающихся на экваторе. 17. Установлено, что планетарные волны вращаются по часовой стрелке. Период их вращения зависит от функции перегрева. 18. Учет зависимости плотности воздуха от температуры, а точнее -плавучести воздуха, связанной с тем, что теплый воздух легче окружающей среды, позволил получить значения скоростей планетарных волн, близкие к наблюдаемым значениям, в отличие от теории планетарных волн в однородной атмосфере. 19. Первая мода представляет собой смещенную относительно центра Земли сферу, которая вращается вокруг центра Земли. Вторая мода представляет собой вытянутый эллипсоид, вращающийся по часовой стрелке вокруг центра Земли. Вторая мода носит характер приливных волн. Третья и следующие моды носят характер обычных планетарных волн, представляющих собой чередование циклональных и антициклональных областей возмущения барической поверхности.
Теория линейных планетарных волн в сферических координатах
Приливное уравнение Лапласа представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение с сингулярными коэффициентами. С их наличием и связана основная сложность задачи. В XIX веке наибольшего продвижения в решении задачи достигли Маргулес [118-120] и Хаф [112]. Маргулес искал решения в виде разложения по тригонометрическим функциям, Хаф – в виде разложения по присоединённым сферическим функциям. Этими исследователями было установлено, что приливное уравнение Лапласа имеет решения двух родов. К первому роду были отнесены короткопериодические колебания, ко второму роду были отнесены долгопериодные колебания, переходящие в пределе в установившиеся течения на неподвижном шаре. Эти течения аналитически получены Гаурвицем [109] (а позднее – Нимтэном [117]) и называются волнами Гаурвица. Колебания первого рода могут распространяться как по направлению вращения планеты, так и против; колебания второго рода распространяются только против направления
вращения планеты. Хафом была выведена формула для приближённого вычисления собственных частот [112]. Сравнение приближённых частот с частотами, вычисленными более точными методами, показывает очень высокую точность формулы Хафа. Колебаниям второго рода отвечают медленные волны, движущиеся против направления вращения планеты с периодами больше суток. Первоначально их существование было выявлено лишь математически. Однако в 1939 году Россби с сотрудниками при анализе метеорологических данных установил существование в атмосфере Земли крупномасштабных медленно перемещающихся областей высокого и низкого давления, названных им центрами действия атмосферы и дал простейшую теорию этого явления в предположении нулевой кривизны земной поверхности [104]. Гаурвиц рассмотрел более реалистичную модель сферической Земли и обнаружил, что эти волны представляют собой колебания второго рода приливного уравнения Лапласа [109]. Они получили название планетарных волн или волн Россби. В дальнейшем исследованию собственных функций приливного уравнения Лапласа (получившим название функций Хафа) было посвящено значительное число работ. Чаще всего использовался метод Хафа разложения искомого решения по присоединённым сферическим функциям. Отдельные решения приливного уравнения Лапласа можно найти в многочисленных работах, посвящённых решению тех или иных метеорологических задач [113-115].
В [85] изучались эффекты, вызванные вязкостью покрывающей шар жидкости, и дана оценка момента сил приливного трения. Математические сложности, связанные с тем, что на полюсах сферы коэффициенты приливного уравнения Лапласа становятся сингулярными, привели к возникновению приближения -плоскости, смысл которого заключается в замене криволинейной геометрии сферы плоской с одновременной линеаризацией параметра Кориолиса. Приближению -плоскости посвящена обширная литература.
В [110, 111] приливное уравнение Лапласа рассматривалось как одно из уравнений математической физики и были подвергнуты исследованию такие свойства его решений, как ортогональность и полнота. Пожалуй, наиболее подробные исследования были проведены Лонге-Хиггинсом [116], а также Шварцтраубером и Касахарой [125]. Лонге-Хиггинс [116] использовал для интегрирования приливного уравнения Лапласа как метод Хафа (разложение по сферическим гармоникам), так и метод Маргулеса (разложение по тригонометрическим функциям). Однако, в силу сложности задачи, во многих случаях автору пришлось ограничиться построением асимптотических форм. Другое асимптотическое исследование было проведено Диким, который получил значительно менее полные результаты, чем Лонге-Хиггинс.
