Введение к работе
Актуальность темы. Для изучения уравнений газовой динамики методами группового анализа Л. В. Овсянниковым была предложена программа ПОДМОДЕЛИ. Основной целью программы является получение полного перечня подмоделей газовой динамики. Активные исследования проводятся в этом направлении учеными -участниками программы подмодели: Чупахиным А. П., Хабировым С. В., Мелешко, С. В., Черевко А. А., Головиным С. В., Мамонтовым Е. В., Чиркуновым Ю. А. Программа ПОДМОДЕЛИ предполагает построение оптимальной системы подалгебр допускаемой алгебры, так как каждая подалгебра служит потенциальным источником некоторой подмодели. Другой важной задачей этой концепции является отыскание и классификация точных решений уравнений газовой динамики, позволяющая более точно описывать явления механики сплошной среды. Построение и исследование новых подмоделей с целью получения точных решений и их интерпретации с точки зрения физики развивает не только методы решения квазилинейных систем дифференциальных уравнений, но и позволяет конструировать аппараты с неожиданными важными свойствами га-зоднамических течений.
В настоящей работе используется усовершенствованный способ построения оптимальной системы подалгебр 12-мерной алгебры Ли, допускаемой уравнениями газовой динамики в случае уравнения состояния с разделенной плотностью. Способ заключается в использовании разложения 12-мерной алгебры в полупрямую сумму шестимерного абелева идеала и шестимерной подалгебры. Предлагается способ упорядочивания множества подмоделей при помощи графа-дерева вложенных подалгебр. Граф представлен следующими фрагментами: основной фрагмент, конечные фрагменты к основному фрагменту, промежуточные фрагменты к основному фрагменту, конечные фрагменты к промежуточным фрагментам. Дается физическая интерпретация решения, полученного на четырехмерной подалгебре. Разыскиваются точные решения на трехмерной подалгебре, вложенной в четырехмерную. Таким образом, осуществляется
дальнейшая реализация программы ПОДМОДЕЛИ. Цель работы.
построение оптимальной системы неподобных подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью;
представление графа всех вложенных подалгебр из оптимальной системы с помощью фрагментов;
по одному из фрагментов графа вложенных подалгебр 12-мерной алгебры Ли построить вложенные друг в друга подмодели газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью;
нахождение точных решений уравнений некоторых подмоделей и описание движений: газа, звуковой поверхности, звуковых характеристик, а так же выявление оригинальных свойств такого движения.
Научная новизна.
в явном виде представлена оптимальная система неподобных подалгебр 12-мерной алгебры Ли, предложена компактная таблица оптимальной системы;
предложен способ упорядочивания множества подмоделей при помощи графа-дерева вложенных подалгебр;
построены новые подмодели уравнений газовой динамики с уравнением состояния с разделенной плотностью для одного из фрагментов графа;
найдены новые частично инвариантные решения уравнений газовой динамики и дана физическая интерпретация одного из них.
Теоретическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: моделирование движения сжимаемой жидкости, групповой анализ дифференциальных уравнений. Полученные результаты могут служить основой для дальнейшего исследования.
Например, нахождение новых точных решений, их физическое толкование. Полученные точные решения могут быть использованы в тестовых задачах для численных методов, могут быть сопряжены через характеристики с другими групповыми решениями для конструирования аппаратов с необходимыми свойствами движения газа. Развивается также математический аппарат группового анализа дифференциальных уравнений.
Работа выполнена в рамках программы ПОДМОДЕЛИ для уравнений газовой динамики, руководителем которой является академик Л.В. Овсянников.
Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обусловлена применением методов группового анализа дифференциальных уравнений и методов общей теории дифференциальных уравнений.
Апробации работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих конференциях, семинарах и научных школах:
41-я всероссийская молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 2010 г.;
Международная конференция «MOGRAN XV», Кемер (Турция), 2012 г.;
Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», Уфа (Россия), 2012 г.;
Международная конференция «Проблемы нелинейной математической физики», Нордфьордэйд (Норвегия), 2013 г.,
Семинар Института механики УНЦ РАН, 2013 г.;
Международная конференция «MOGRAN XVI», УГАТУ, Уфа (Россия), 2013 г.;
Семинар Института математики и механики УрО РАН, 2013
г.;
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ [1]-[6]. Из них - 4 в виде статей (в том числе, 2 - в журналах из списка ВАК), 2 - в виде тезисов.
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Объем диссертации составляет 136 страниц, в том числе 105 рисунков, 5 таблиц, приложения А и В. Список литературы состоит из 87 наименований.
