Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая модель охлаждения пористого тепловыделяющего элемента , 10
1.1. Основные уравнения математической модели 10
1.2. Постановка задачи о нестационарном охлаждении тепловыделяющего элемента 16
1.3. Постановка задачи о стационарном охлаждении тепловыделяющего элемента. 21
Глава 2. Стационарные режимы охлаждения пористого тепловыделяющего элемента 25
2.1. Стационарное охлаждение тепловыделяющего элемента 25
2.2. Критерий существования стационарного решения ,35
2.3. Влияние температурной зависимости вязкости газа при его течении через пористый тепловыделяющий элемент ,39
2.4. Задача о пористом завале над тепловыделяющим элементом. ,46
Глава 3. Нестационарные одномерные режимы охлаждения пористого тепловыделяющего элемента .51
3.1. Конечно-разностная схема для нестационарной одномерной задачи 51
3.2. Задача о резком сбросе давления газа на входе в элемент 57
3.3. Задача о переходе от состояния покоя к состоянию режима принудительной фильтрации 67
3.4. Задача о периодическом колебании давления газа на входе в элемент 73
Глава 4. Нестационарные двумерные режимы охлаждения пористого тепловыделяющего элемента 80
4.1. Конечно-разностная схема для нестационарной двумерной задачи 80
4.2. Задача о плавно-сужающемся тепловыделяющем элементе 88
4.3. Задача о ступенчато-сужающемся тепловыделяющем элементе. 99
4.4. Задача о тепловыделяющем элементе с застойными зонами 111
Заключение. Основные результаты. 126
Литература
- Постановка задачи о нестационарном охлаждении тепловыделяющего элемента
- Критерий существования стационарного решения
- Задача о резком сбросе давления газа на входе в элемент
- Задача о ступенчато-сужающемся тепловыделяющем элементе.
Введение к работе
В настоящее время наиболее активно математическое моделирование используется в механике сплошной среды. Множество исследований проводится в области механики сплошных гетерогенных (неоднородных) сред. В частности, продолжается изучение вопросов теории движения жидкости и газа через пористую среду.
Начало развитию теории движения жидкости и газа через пористую среду было положено французским инженером А. Дарси [57], который в 1856 году выпустил книгу, содержащую подробный отчет, исторические сведения и описание опытов по фильтрации воды, через песок в цилиндре. Дарси установил простейший закон просачивания воды в песке, который позже назвали его именем. Закон Дарси, называемый также линейным законом фильтрации, оказался справедлив при определенных условиях для различных; жидкостей и газов, протекающих через различные пористые среды.
Развитие теории фильтрации связано с именами Ж. Дюпюи [61], который вывел формулы для дебитов притока к дрене и к колодцу, названные его именем, и Ж. Буссинеска [56], именем которого названо уравнение неустановившегося движения грунтовых вод. Большое влияние на развитие теории фильтрации оказали работы Н.Е. Жуковского [14 - 16] и Н.Н; Павловского [39,40].
Математическую постановку задачи о фильтрации «грунтовых вод, не следующую закону Дарси», впервые дал С.А. Христианович [51, 52]. Нелинейный закон фильтрации, предложенный им, стал широко применяться при исследовании движений через пористую среду жидкости и газа с большими скоростями фильтрации, когда использование закона Дарси приводит к значительным погрешностям.
В СССР теория движения жидкости и газа через пористую среду получила бурное развитие с 30-х годов 20 века. Результаты исследований широко использовались в нефтяной и газовой промышленности, в сельском хозяйстве, в гидроэнергетике. Среди многих ученых следует выделить имена П.Я Полубариновой-Кочиной [43, 44], И.А. Парного [53], Г.И. Баренблатта [3, 4], Г\К. Михайлова [32], В.Н. Николаевского [32,37].
Следует также отметить работы Р.И. Нигматулина [34 — 36], в которых, в частности, подробно изложены вопросы вывода уравнений теории движения жидкости и газа через пористую среду.
Развитие ЭВМ позволило успешно решать многие задачи, не поддающиеся аналитическому разрешению. Численные методы стали широко применяться в механике многофазных сред, и, в частности, при решении разнообразных задач теории фильтрации. Здесь можно выделить работы В.Н. Монахова и Б.Т. Жумагулова [17, 18].
Исследование процесса охлаждения разрушенного в результате аварии в 1986 году энергоблока Чернобыльской АЭС расширило область, применения теории фильтрации. При разработке математической модели процесса эволюции.активной зоны аварийного блока Чернобыльской АЭС были проанализированы несколько различных механизмов. Но адекватной реальной ситуации оказалась лишь модель фильтрационного охлаждения. С общей точки зрения это математическая модель фильтрации газа в поле силы, тяжести через саморазогревающуюся пористую среду, открытую в атмосферу сверху и снизу. И хотя уравнения модели являются классическими и использованы в той или иной модификации во многих работах по теории фильтрации, новый тип краевой задачи для них, возникший при анализе конкретных условий охлаждения, аварийного блока Чернобыльской АЭС, привел к открытию новых физических:: эффектов, которые позволили последовательно объяснить важные особенности в поведении аварийного реактора.
Результаты исследований большой группы ученых в области математического моделирования охлаждения разрушенного энергоблока Чернобыльской АЭС легли в основу работы В.П. Маслова, В.П. Мясникова,
В.Г. Данилова [31]. В работе основное внимание уделено исследованию стационарного режима охлаждения аварийного реактора. При определенных упрощениях получены стационарные решения как для одномерного случая -аналитически, так и для общего трехмерного случая — численно. Одним из важнейших результатов этой монографии является доказательство существования критического значения параметра подобия задачи, определяющего возможность существования стационарного решения. Оказалось, что при превышении этого критического значения стационарного режима охлаждения, не существует. Для некоторых частных случаев критическое значение параметра подобия было вычислено точно. Для случая нарушения стационарного режима охлаждения исследованы возможные сценарии поведения завала аварийного энергоблока на основе уравнений движения упругосыпучей среды.
Исследование режимов охлаждения пористого. саморазогревающегося т элемента было продолжено В.П. Масловым [30], получившим некоторые соотношения при различных значениях определяющего параметра подобия задачи: как докритических, так и закритических.
И хотя в настоящее время, как в нашей стране, так и за рубежом активно продолжаются исследования движения жидкости и газа; через пористую среду, процесс течения газа через пористую саморазогревающуюся среду остается слабо изученным. Этот процесс близок к явлению фильтрационного горения в инертных и реагирующих пористых средах, которое исследуется во многих публикациях, например [6,1, 12, 13, 48 -50, 58-60,63,67];
Настоящая диссертационная работа посвящена дальнейшему изучению движения газа через твердую пористую среду, в которой происходит тепловыделение. Рассматриваются более точные, по сравнению с [30, 31], уравнения, моделирующие охлаждение протекающим воздухом пористого тепловыделяющего элемента. В частности, учитывается температурная зависимость вязкости газа и эффект теплопроводности, которыми пренебрегают в [30,31]. Также в отличие от [30, 31] рассматривается задача с различными значениями давления воздуха на входе в элемент, в общем случае зависящими от времени. Но в отличие от [31], все исследования в настоящей диссертационной работе посвящены только неподвижной и однородной твердой среде.
Первая глава посвящена построению модели охлаждения протекающим воздухом пористого тепловыделяющего элемента. В первом параграфе выводятся основные уравнения математической модели движения газа через твердую пористую среду, в которой происходит тепловыделение. Во втором параграфе производится обезразмеривание системы уравнений и постановка задачи о нестационарном охлаждении тепловыделяющего элемента для одномерного и плоского случая. В третьем параграфе производится обезразмеривание системы уравнений и постановка задачи о стационарном охлаждении тепловыделяющего элемента для одномерного случая как с учетом, так и без учета температурной зависимости вязкости газа.
Вторая глава посвящена исследованию стационарных режимов; охлаждения пористого тепловыделяющего элемента. В первом параграфе выводится решение стационарной одномерной* задачи о движении газа с постоянной динамической вязкостью через пористый тепловыделяющий элемент. Приводится также решение для случая, когда можно пренебречь, теплопроводностью, силой тяжести. Исследуется случай замены закона Дарси на нелинейный закон фильтрации. Во втором параграфе выводится критерий существования стационарного решения. Показывается, что в частном случае он полностью совпадает с критерием существования стационарного решения, полученным в [31]. В третьем параграфе решается задача о стационарном охлаждении тепловыделяющего элемента для одномерного случая с учетом температурной зависимости вязкости газа. Показывается, что при моделировании движения газа через пористую тепловыделяющую среду необходимо учитывать температурную зависимость вязкости газа. В дальнейшем в настоящей диссертационной работе температурная зависимость вязкости газа везде учитывается. В четвертом, параграфе решается задача о стационарном охлаждении тепловыделяющего элемента, сверх которого имеется пористый инертный слой (завал). В результате анализа определена критическая высота завала, при которой существует стационарное решение.
Третья глава посвящена исследованию нестационарных одномерных режимов охлаждения пористого тепловыделяющего элемента. В первом, параграфе приводится конечно-разностная схема, которая может применяться, при моделировании разнообразных задач, возникающих при изучении одномерного нестационарного течения газа через однородный тепловыделяющий элемент. Во втором параграфе решается задача о резком сбросе давления газа на входе в= тепловыделяющий элемент при установившемся стационарном режиме. Исследуются два возможных случая: 1) падение давления до значения выше критического, при котором возможно новое стационарное решение; 2) падение давления до значения ниже критического, при котором стационарное решение невозможно. В третьем параграфе описывается- переходный процесс от состояния покоя при отсутствии тепловыделения к состоянию режима принудительной фильтрации при мгновенном включении подвода тепла. Также рассматриваются два случая: 1) рост давления газа на входе в тепловыделяющий элемент до значения выше критического, при котором возможно стационарное решение; 2) рост давления до значения ниже критического, при котором стационарное решение невозможно. В четвертом параграфе решается задача о периодическом: колебании давления газа на входе в тепловыделяющий элемент.
Четвертая глава посвящена исследованию нестационарных двумерных режимов охлаждения пористого тепловыделяющего элемента. В первом параграфе приводится конечно-разностная схема, которая может применяться при моделировании плоского нестационарного течения газа через однородный тепловыделяющий элемент. Далее во втором — четвертом параграфах решается задача о переходе от состояния покоя при отсутствии тепловыделения к состоянию режима принудительной фильтрации при мгновенном включении подвода тепла для тепловыделяющих элементов различной формы: плавно-сужающейся формы, ступенчато-сужающейся формы, для тепловыделяющего элемента с застойными зонами.
Заключение содержит краткий обзор основных результатов, полученных в диссертационной работе. Некоторые результаты настоящей работы представлены в публикациях [21, 22, 24-28, 64].
В главах принята тройная нумерация формул и двойная нумерация рисунков. Первая цифра в номере формулы обозначает номер главы, вторая — номер параграфа, третья - порядковый номер формулы в параграфе. Первая цифра в номере рисунка обозначает номер главы, на протяжении каждой главы нумерация рисунков сквозная.
Постановка задачи о нестационарном охлаждении тепловыделяющего элемента
Рассмотрим пористый тепловыделяющий элемент высотой Н, ограниченный с боков нетеплопроводными стенами, а сверху и снизу открытый. В его нижнюю часть под давлением подается холодный газ, который движется снизу вверх через пористую среду, нагреваясь в результате теплообмена, и вытекает в свободное пространство с заданным давлением.
Если боковые стены элемента вертикальны и равны (рис. 1.1), то можно пренебречь особенностями течения газа у стенок, и в этом случае можно считать, что все параметры состояния модели зависят от одной пространственной переменной, изменяющейся по вертикали, т.е. в пределах каждого горизонтального слоя все параметры состояния не изменяются. Таким образом, в этом случае можно рассматривать одномерную нестационарную задачу об охлаждении тепловыделяющего элемента.
Итак, рассмотрим одномерное нестационарное движение газа через пористый тепловыделяющий элемент. В механике сплошной среды при анализе уравнений широко применяется переход к безразмерным переменным и выделение параметров подобия [47]. Далее обезразмерим систему (1.1.25). Введем безразмерные переменные (они обозначены тильдой) следующим образом: х = Нх, t = t t, u = u u (1-2.1) р = р р, р = р р, Т = Т Т, Tg =T Tg здесь и далее t и и - характерные значения времени и скорости фильтрации газа, р , р , Т - давление, плотность, температура газа при «нормальных» условиях.
Сократим число уравнений в системе (1.1.25) с семи до пяти, подставив два последних уравнения в системе (1.1.25) во второе и в четвертое уравнения. Подставим также в систему (1.1.25) выражения (1.2.1). Разделим
Для решения системы (1.2.3) необходимо также задать значения искомых величин в начальный момент времени.
Теперь перейдем к рассмотрению плоского нестационарного течения газа через пористый тепловыделяющий элемент. Такое движение может возникать, в частности, когда две боковые стены элемента вертикальны и параллельны, а другие две — им ортогональны, но не вертикальны: сужаются, расходятся, или имеют более сложную форму. Если в этом случае пренебречь особенностями течения газа у вертикальных стенок, то можно считать, что все параметры состояния модели зависят от двух пространственных переменных. Таким образом, в этом случае можно рассматривать двумерную нестационарную задачу об охлаждении тепловыделяющего элемента.
Итак, рассмотрим плоское нестационарное движение газа через пористый тепловыделяющий элемент. Горизонтальную координатную ось обозначим х, вертикальную у. Безразмерные переменные для двумерного случая вводятся аналогично одномерному случаю с той лишь разницей, что к (1.2.1) добавляется обезразмеривание второй пространственной переменной: х = Нх, у = Ну (1.2.5)
При одинаковом обезразмеривании обоих пространственных переменных, параметры подобия для двумерного случая совпадают с (1.2.2). Опустив тильду, запишем получившуюся систему в безразмерных переменных:
Перейдем к формулировке краевых условий. На входе в пористый элемент горизонтальная скорость фильтрации равна нулю, также известны температура газа и давление. На выходе известно давление, так как истечение газа происходит в открытое пространство. Известны также условия теплообмена на входе и выходе из пористого элемента. На рассматриваемых боковых стенах примем условие непроницаемости для скорости фильтрации, а также условие равенства нулю производной по нормали к стене от температур газа и твердой фазы. Обозначив поверхность рассматриваемых боковых стен Г, нормаль к ней - п, а вектор, ортогональный п и лежащий в плоскости (х,у), - г, запишем краевые условия для системы (1.2.6):
Критерий существования стационарного решения
Таким образом, система уравнений, описывающая стационарное одномерное движение газа с постоянной динамической вязкостью при нелинейном законе фильтрации через пористый тепловыделяющий элемент, имеет вид системы с линейным законом фильтрации (1.3.8), отличаясь от нее только одним параметром подобия. Следует сделать оговорку, что кроме этого одного отличия всё же будет ещё отличие во втором уравнении системы (1.3.8) — в нем добавится слагаемое, но в силу малости этого слагаемого им можно пренебречь. Поэтому, чтобы получить решение такой системы уравнений при нелинейном законе фильтрации, необходимо воспользоваться решением системы (1.3.8), заменив в нем я8- на тг8 и подставив q, вычисленное с этим новым параметром подобия.
Можно сделать вывод, что при замене, закона Дарси на нелинейный закон фильтрации при стационарном одномерном движении7 газа с постоянной динамической, вязкостью через пористый тепловыделяющий элемент вид решения не изменяется, хотя само решение, безусловно, меняется.
Выведем критерий существования стационарного решения. Будем рассматривать случай, когда можно пренебречь теплопроводностью в твердой фазе, так как в случае учета теплопроводности аналитический анализ сильно затруднен.
Рассмотрим, при каких условиях система (1.3.8) адекватно описывает стационарный процесс охлаждения протекающим воздухом пористого тепловыделяющего элемента. Если температура конденсированной фазы достигнет темп ературы плавления, то в процессе плавления поры в твердом веществе будут забиваться. Это приведет к ухудшению теплоотвода и стационарность нарушится. Следовательно, температура конденсированной фазы должна быть меньше температуры своего плавления. Значит, можно записать следующее необходимое неравенство:
При больших температурах в газе может нарушаться пятое уравнение системы (1.3.8) — уравнение состояния газа. Однако, учитывая то, что температура газа меньше температуры твердой среды, для которой должно выполняться (2.2Л), можно сделать вывод, что допустимые значения температуры газа не будут нарушать стационарность.
Скорость фильтрации и расход газа на входе в пористый элемент должны быть положительны, тогда в силу (2.1.1) они должны быть положительны во всем элементе:
Давление газа в пористом элементе при выполнении (2.2.2) монотонно падает по высоте и ограниченно снизу давлением на выходе, и сверху -давлением на входе. Поэтому, давление газа не оказывает влияния на условие существования стационарности при выполнении (2.2.2). Плотность газа определяется давлением и температурой газа и поэтому также не оказывает влияния на условие существования стационарности.
Таким образом, мы получили критерий существования стационарного решения, который состоит из двух неравенств: (2.2.1) и (2.2.2). Однако для проверки этого критерия нам необходимо находить расход газа, т.е. фактически решать задачу. Получим необходимое условие существования стационарного решения, не требующее вычисления q.
Рассмотрим стационарное.одномерное движение газа через пористый тепловыделяющий элемент полагая, что динамическая вязкость газа зависит от температуры по формуле Сазерленда. Будем решать, таким образом, систему уравнений (1.3.6) с краевыми условиями (1.3.7).
Процедура решения системы (1.3.6) такая же, как процедура решения системы (1.3.8), описанная в первом параграфе настоящей главы. В этом случае также справедливо выражение (2.1.1). Температура конденсированной т фазы определяется выражением (2.1.12), а температура газа — выражением (2.1.13). Подставляя в четвертое уравнение (1.3.6) пятое уравнение этой системы и учитывая (2.1.1), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно давления газа: -Г = -л9 —-я8- - zr (2.3.1). dx Tg pcs2+Tg Решить уравнение (2.1.5) аналитически не удается, его можно интегрировать численно методом Рунге-Кутта. Для нахождения расхода газа q, применяем метод дихотомии
Задача о резком сбросе давления газа на входе в элемент
В данном случае происходит неограниченный разогрев тепловыделяющего элемента, который неизбежно закончится расплавлением твердой фазы и нарушением описанного процесса охлаждения. Однако этот процесс разогрева также можно разделить на два этапа. Первый этап аналогичен рассмотренному выше первому этапу установления стационарности: по пористому элементу проходит волна разрежения, и вслед за этим происходит быстрое и сильное изменение давления, плотности, скорости фильтрации и расхода газа, которое примерно через 1 с значительно затормаживается. Двухэтапность процесса разогрева видна на рис. 3.8, на котором показано изменение расхода газа на входе в элемент и на выходе из элемента в течении первых двух секунд после сброса давления газа на входе в элемент. При сравнении рис. 3.8 и рис. 3.7 можно сделать вывод, что при резком сбросе давления газа на входе в тепловыделяющий элемент процесс в начальный момент времени протекает одинаково как для случая установления стационарности, так и для случая неограниченного разогрева.
Второй этап неограниченного разогрева несколько похож на рассмотренный выше второй этап установления стационарности: также происходит медленный нагрев элемента, который вызывает медленное изменение всех остальных искомых величин. Но в отличие от процесса установления стационарности, в случае неограниченного разогрева нагрев элемента продолжается неограниченно, что неизбежно закончится расплавлением твердой фазы и нарушением описанного процесса охлаждения. Это наглядно демонстрирует рис. 3.9, на котором показана температура твердой среды на выходе из тепловыделяющего элемента для обоих случаев рассмотренной задачи: случая установления стационарности (case I) и случая неограниченного разогрева (case 2). Из этого рисунка можно сделать вывод, что даже для жаропрочного бетона через 16-17 часов температура достигнет температуры плавления ( 2000 К) и, следовательно, рассматриваемый процесс охлаждения нарушится. Введем понятие коэффициента охлаждения л - отношение количества теплоты, покидающего элемент в единицу времени, к количеству теплоты, выделяемого в элементе в результате реакции в единицу времени. Для рассматриваемой задачи этот коэффициент приближенно можно найти по следующей формуле:
На рис. 3.10 показан коэффициент охлаждения, рассчитанный по формуле (3.2.5) для обоих случаев рассмотренной задачи: случая установления стационарности (case 1) и случая неограниченного разогрева (case 2). Наглядно видно различие этих процессов. В случае установления стационарности коэффициент охлаждения возрастает, асимптотически устремляясь к единице. Это означает, что при общем разогреве элемента процесс охлаждения со временем улучшается, и идет стремление к окончанию разогрева элемента и установлению стабильной температуры. Незначительное отличие коэффициента охлаждения от единицы обусловлено тем, что формула (3.2.5) дает не точное значение r\, а приблизительное.
В случае неограниченного разогрева сначала наблюдается рост коэффициента охлаждения, но потом происходит его стремительное падение. Таким образом, в этом случае при общем разогреве элемента процесс охлаждения сначала улучшается, а затем ухудшается со временем всё сильнее и сильнее.
Рассмотрев задачу, можно сделать следующий вывод. В случае нарушения стационарного режима охлаждения, произошедшего из-за падения давления нагнетаемого воздуха на входе в элемент, катастрофы в начальный момент времени не происходит. В зависимости от установившегося на входе в элемент давления воздуха либо устанавливается w новый стационарный режим охлаждения, либо происходит неограниченный разогрев элемента, ведущий к плавлению твердой фазы и нарушению процесса охлаждения. Нагрев элемента до температуры плавления твердой фазы требует достаточно длительного времени, это может позволить устранить причину понижения давления и вернуть систему к прежним краевым условиям без катастрофы.
Задача о ступенчато-сужающемся тепловыделяющем элементе.
Как видно из приведенных рисунков, графики искомых величин имеют очень схожий вид с рассмотренным выше случаем неограниченного разогрева. Но значения самих величин сильно различаются: в данном случае разогрев значительно менее слабый, плотность газа не столь сильно падает к выходу из элемента, скорости фильтрации газа несколько выше.
На рис. 4.15 показано изменение со временем температуры твердой среды в одном из наиболее горячих мест тепловыделяющего элемента: на выходе из элемента у боковых стен. Как видно из рисунка, примерно через шесть часов после начала процесса прекращается разогрев тепловыделяющего элемента и устанавливается устойчивый и не меняющийся со временем режим охлаждения. И хотя новый режим не будет полностью установившимся, так как тепловыделение в твердой фазе медленно убывает, но этим убыванием часто можно пренебрегать и считать режим охлаждения стационарным.
Рассмотрев задачу, можно сделать следующий вывод. В случае движения газа через пористый тепловыделяющий элемент, который плавно сужается в верхней части, возможен как стационарный режим охлаждения, так и неограниченный разогрев элемента. Наибольший разогрев твердой среды происходит вблизи боковых стен возле выхода из элемента.
Рассмотрим тепловыделяющий элемент, у которого две боковые стены элемента вертикальны и параллельны, а другие две - им ортогональны, но имеют более сложную форму: нижняя и верхняя части вертикальны, но различаются по ширине - нижняя часть более широкая, чем верхняя; эти части соединены между собой горизонтальной непроницаемой стенкой (рис. 4.16). Можно считать, что в этом случае движение газа через пористый тепловыделяющий элемент является плоским и описывается системой уравнений (1.2.6) с краевыми условиями (1.2.7).
Будем рассматривать элемент, ширина которого в нижней части равна высоте. Пусть сужение элемента происходит на высоте Н/2, а ширина тепловыделяющего элемента в верхней части в два раза меньше, чем в нижней.
Рассмотрим процесс перехода от состояния покоя при отсутствии тепловыделения к состоянию режима принудительной фильтрации при мгновенном включении подвода тепла. До начального момента времени тепловыделение в твердой фазе отсутствует, давление на входе в элемент и на выходе из элемента соответствует атмосферному давлению на заданных высотах, движение воздуха в элементе, следовательно, отсутствует. Таким образом, начальные данные для конечно-разностной схемы имеют вид (4.2.1). В начальный момент времени начинается тепловыделение в твердой фазе и одновременно происходит быстрый рост давления газа на входе в элемент.
Рассмотрим сначала случай, когда параметры подобия определяются (3.2.3). В этом случае имеет место неограниченный разогрев тепловыделяющего элемента, который неизбежно закончится расплавлением твердой фазы и нарушением описанного процесса охлаждения. На рис. 4.17 -4.22 приведены искомые величины через 6 часов после начала процесса. Из рисунков видно, что в средней части элемента проходящий воздух достаточно эффективно охлаждает конденсированную фазу. А возле боковых стенок охлаждение не столь эффективно, и наблюдается более сильный разогрев твердой среды. Также вблизи боковых стенок наблюдается понижение плотности и незначительное повышение давления газа по сравнению со средней частью элемента.
