Содержание к диссертации
Введение
Глава I Профилирование дозвуковой части сопла 21
1. Профилирование дозвуковой части осесимметричного кольцевого сопла методом годографа Чаплыгина 21
2. Сравнение плоского сопла Лаваля с осесимметричным соплом 32
3. Влияние показателя адиабаты к на контур сопла 33
4. Обеспечение монотонности потока на стенке сопла в случае использования несовершенного газа 35
Глава II Профилирование сверхзвуковой части сопла 37
1. Профилирование сверхзвуковой части осесимметричного сопла с центральным телом 37
2. Профилирование сверхзвуковой части сопла для плоского течения и сравнение с соплом для осесимметричного течения 41
3. Влияние показателя адиабаты А: на контур сопла 44
4. Влияние высоты критического сечения на контур сопла с центральным телом 46
Глава III. Профилирование сопла с центральным телом для несовершенного газа 47
1. Теория профилирования сопла для несовершенного газа 47
2. Контуры при равной ширине h на входе в сопло 59
3 Контуры дозвуковой части осесимметричного сопла с центральным телом для несовершенного газа 63
4 Профилирование сверхзвуковой части сопла для несовершенного газа 64
5 Влияние температуры торможения на контур сопла и сравнение с соплом для совершенного газа 68
Заключение 71
Научная новизна 71
Практическое значение работы 71
Выводы 72
Список публикаций 73
Литература 74
- Влияние показателя адиабаты к на контур сопла
- Профилирование сверхзвуковой части сопла для плоского течения и сравнение с соплом для осесимметричного течения
- Контуры дозвуковой части осесимметричного сопла с центральным телом для несовершенного газа
- Влияние температуры торможения на контур сопла и сравнение с соплом для совершенного газа
Введение к работе
Актуальность работы
Сопло является одним из самых необходимых элементов реактивного двигателя. Степень его совершенства может существенным образом повлиять на эффективность всего летательного аппарата в целом.
В последнее время сопло с центральным телом привлекает внимание учбных и исследователей в области аэродинамики и космической техники в разных странах.
Обычное сопло (сопло Лаваля) работает в расчётном режиме только на определённой высоте, а на других высотах его характеристики ухудшаются. Поэтому продолжается поиск форм сопел, которые бы оптимально работали на всех высотах. Интерес исследователей привлекло сопло с центральным телом. Считается, что оно обладает свойством авторегулируемости, т.е., что оно хорошо работает на всех высотах.
Кольцевое сопло позволяет также экономить вес и габариты, улучшает теплообмен, поскольку уменьшается площадь охлаждаемой поверхности сопла. Именно, при прочих равных условиях площадь поверхности сверхзвуковой части таких сопел приблизительно в три раза меньше, чем у наиболее коротких сопел, выполненных по обычной схеме. Внутреннюю полость центрального тела можно при этом использовать в качестве хранилища: в ней можно расположить турбонасосный агрегат или другие агрегаты, обслуживающие двигатель. В результате двигатель с соплом с центральным телом получается более компактным и коротким по длине.
Цель и задачи исследования
- Используя метод Чаплыгина, разработать программу вычисления координат контура дозвуковой части осесимметричного сопла с центральным телом, имеющего прямую звуковую линию с угловой точкой на этой линии.
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 1 еИЕЛИОТЕКА I
- Исследовать вопрос о возможности применения метода годографа
Чаплыгина для профилирования дозвуковой части сопел для несовершенного
газа.
В случае совершенного газа определить влияние показателя адиабаты, а для несовершенного газа - изучить влияние отношения теплоёмкостей и температуры торможения на координаты профилируемого сопла.
Профилировать сверхзвуковые части сопел с центральным телом для совершенного и несовершенного газа.
Научная новизна работы состоит в следующем :
в профилировании осесимметричного сопла с центральным телом применена модификация численного метода годографа Чаплыгина, разработанного ранее для профилирования плоских и осесимметричных сопел Л аваля.
произведено вычисление координат контуров до- и сверхзвуковых частей осесимметричного сопла с центральным телом, в котором реализуется трансзвуковое течение с плоской звуковой поверхностью, ортогональной оси симметрии и с изломом стенки в звуковой точке.
создана программа численного решения для профилирования контуров сопел с центральным телом для несовершенного газа. При этом для профилирования дозвуковых частей сопел используется метод годографа Чаплыгина. Программа проверена на примере плоского сопла при заданных законах термодинамического состояния.
- исследовано влияние показателя адиабаты совершенного газа на контур
сопла. Для несовершенного газа исследованы влияния отношения
теплоёмкостей и температуры торможения на координаты сопла и скорости
потока на выходе.
Практическая ценность.
Созданная программа позволяет профилировать осесимметричные сопла с центральным телом при различных значениях определяющих параметров. В этом случае профилирование дозвуковой части методом годографа Чаплыгина заранее выполняет важное условие монотонности скорости на стенке, благодаря которому можно обеспечивать безотрывносгь обтекания на стенке сопла при любых числах Рейнольдса.
Разработанная программа для сверхзвуковой части дает возможность профилировать сопла с уменьшенной длиной центрального тела. (При этом контур центрального тела выходит не на ось симметрии и можно уменьшить массу, габариты и усовершенствовать охлаждение сопел).
- Профилирование сопел для несовершенного газа и исследование
влияния показателя адиабаты и температуры торможения на координаты сопла
и скорости потока на выходе дает важную информацию для проектирования
сопел для горячих газов, которое производилось до настоящего времени в
рамках модели совершенного газа.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на XLVI и XLVII
Научной конференции в МФТИ в 2003г. и в 2004г. Список работ по теме диссертации приводится в конце автореферата.
Публикации
Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [1-5].
Структура и объём диссертации
Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 77 страницах и содержит 53 рисунка и 9 таблиц.
Влияние показателя адиабаты к на контур сопла
В теории сопла Лаваля существуют два подхода, связанные с решением так называемых «прямой» и «обратной» задач [23, 26]. В прямой задаче определяют поле скорости внутри сопла при заданном контуре сопла. В обратной задаче требуется найти контур сопла, такой, чтобы на выходе из него поток был равномерный и прямолинейный.
В традиционной обратной задаче [23] контур сопла определяется, исходя из заданного на оси симметрии распределения скорости или давления. Однако этот подход приводит к задаче Коши с данными на оси симметрии, которая в дозвуковой области некорректна.
Вычисление решения этой задачи как условно-корректной приводит к тому, что профилируемое сопло получается слишком пологим, что не интересно для практики.
Ниже используется другой подход [27], приводящий к корректной задаче. Он основан на использовании преобразования Чаплыгина в плоскость годографа скорости. Метод годографа состоит в рассмотрении определяющих величин как функций — компонент вектора скорости. В данной работе переменными являются относительная величина скорости г (V/Vmax) и аргумент скорости р. Координаты х, у вычисляются после отыскания решения в плоскости годографа. Преобразование Чаплыгина для плоских изэнтропических течений в плоскость годографа приводит к линейному уравнению Чаплыгина. В дозвуковой области в плоскости годографа решается задача Дирихле для уравнения Чаплыгина, в котором в качестве искомой функции берётся функция тока Ч . (Использование функции тока в качестве независимой переменной особенно удобно для профилирования сопел, поскольку граничные условия задаются на поверхности тока — на прямолинейней стенке или на оси симметрии). Метод Чаплыгина для профилирования плоских сопел Лаваля был разработан в [1].
Далее, в работе [2] этот метод был применён к задаче профилирования осесимметричных сопел Лаваля, несмотря на то, что уравнение в плоскости годографа становится нелинейным. Однако его можно преобразовать к виду, в котором в левой части стоит линейный оператор Чаплыгина для плоских течений, а правая часть нелинейна. Такой приём позволяет вычислять решение методом итераций.
Описанный метод в данной работе был модифицирован для решения задачи профилирования осесимметричного сопла с центральным телом, в котором реализуется трансзвуковое течение с плоской звуковой поверхностью, ортогональной оси симметрии и с изломом стенки в звуковой точке. Аналогичная проблема для сопла Лаваля была решена в [30].
Сопло с плоской звуковой поверхностью, ортогональной оси симметрии, позволяет проектировать дозвуковую часть контура сопла независимо от сверхзвуковой области. При этом можно использовать схему сопла с угловой точкой, расположенной на прямой звуковой линии. В этом случае сверхзвуковая часть сопла оказывается короче, чем у наиболее коротких сопел, выполненных по обычной схеме. Сверхзвуковая часть сопла рассчитывается в предположении, что на выходе из сопла поток равномерен и параллелен оси симметрии, т.е., что сверхзвуковая струя вытекает в затопленное пространство с тем же давлением. Расчет проводится методом характеристик; для «отхода» от звуковой плоскости используется точное решение уравнения Трикоми [13, 28] для околозвуковых течений с прямой звуковой линией.
В отличие от схемы [23], в которой поток разгоняется через веер разрежения волн Плантдля-Майера примыкающий к звуковой линии, такой подход является точным, следовательно, позволяет получить более высокую точность.
Распределение скорости вдоль сверхзвуковой части сопла получается также монотонным, что обеспечивает отсутствие отрыва пограничного слоя и, следовательно, адекватность модели идеального газа. Из результатов расчетов видно, что течение в сверхзвуковой части сопла непрерывно (скачков уплотнения нет).
Для профилирования сверхзвуковой части осесимметричного сопла её можно разделить на две подобласти : область предварительного расширения и область выравнивания потока. Расчёты сверхзвуковой части сопел целесообразно проводить численным методом характеристик. В нашей работе использовался метод, предложенный Элерсом [27, 29]. Этот метод состоит в преобразовании переменных в уравнениях характеристик с помощью рациональных алгебраических функций, что упрощает задание коэффициентов в дифференциальных уравнениях. Это позволяет значительно сокращать машинное время каждого шага в процессе численного решения.
Профилирование сверхзвуковой части сопла для плоского течения и сравнение с соплом для осесимметричного течения
Во второй главе рассматривается задача профилирования осесимметричного сопла с центральным телом.
При профилировании сверхзвуковой части требуется исходить из условия, чтобы поток на выходе из сопла был равномерным и параллельным оси симметрии.
Область сверхзвукового течения в осесимметричном сопле с центральным телом состоит из двух подобластей.
В первой, примыкающей к прямой звуковой линии, поток разгоняется при развороте в угловой точке контура. Эта область ограничена звуковой линией АА , последней характеристикой AD узла разрежения (течения типа Прандтля-Майера) и цилиндрической стенкой A D, параллельной оси симметрии.
Вторая область ограничена профилируемым сверхзвуковым участком контура сопла АЕ, характеристикой AD и прямолинейной характеристикой DE, проведённой от концевой точки профилируемого участка контура до внешней цилиндрической стенки (Рис. 2-1).
На характеристике DE сверхзвуковой поток равномерен и параллелен оси симметрии. В случае, когда давление в затопленном пространстве совпадает с давлением на границе струи вниз по потоку от характеристики DE, поток в струе остается равномерным и прямолинейным.
Если давление в струе больше давления в затопленном пространстве («недорасширенная струя»), поток вниз от характеристики DE будет расширяться, разворачиваясь вокруг точки D. Если же давление в струе меньше давления в затопленном пространстве («перерасширенная струя»), то, вообще говоря, вверх по потоку от DE будут возникать скачки уплотнения, причем возможно «маховское» отражение от центрального тела; возможен также отрыв потока от цилиндрической стенки сопла A D. Расчет течения в недорасширенной струе не производился; его следует проводить отдельно, по видоизмененному алгоритму.
Сверхзвуковая часть контура вычисляется в четыре этапа. 1. Вычисление характеристики первого семейства А"А " вблизи звуковой линии. Это позволит, «отойдя» от прямой звуковой линии, избежать вырождения метода характеристик. 2. Вычисление характеристики второго семейства А "В в течении Прандтля-Майера вблизи угловой точки. 3. Вычисление решения в области A "A"BD (между двумя характеристиками, полученными на первых двух этапах). На этом этапе решение вычисляется сначала в характеристическом четырехугольнике А" А"ВС, а затем в треугольнике Л "CD, ограниченном цилиндрической стенкой. 4. Вычисление контура центрального тела - участка АЕ.
Вычисление характеристики А"А " производилось путем использования точного решения уравнения Трикоми [13, 28], описывающего плоское околозвуковое течение вблизи прямой звуковой линии, возникающее в результате симметричного взаимодействия двух центрированных волн разрежения (т.е. отражения течения Прандтля-Майера от точки А).
Это точное решение описывается несобственным интегралом Ц/ = Сх f(z3-9/4)5/6 г z е[(9/4)Ш J Он вычислялся путем разбиения области интегрирования на три участка ( (9/4)1/3 z, (9/4),/3+0.0001, (9/4)1/3+0.0001 z2 (9/4)1/3+0.1, (9/4)I/3+0.1 z3 oo ). На первом и третьем участке вычисления производились с использованием асимптотических выражений, на втором — численным методом.
Использование этого точного решения в осесимметричном течении можно обосновать следующим рассуждением. Так как радиальная компонента скорости на прямой звуковой линии, ортогональной оси симметрии, равна нулю, то уравнения характеристик плоского и осесимметричного течения на прямой звуковой линии совпадают. Поэтому, если характеристика (выпущенная из точки расположенной вдали от оси симметрии) близка к прямой звуковой линии, то она мало отличается от характеристики того же семейства в плоском течении. При развороте в угловой точке по Прандтлю-Майеру существуют три возможности. Если разворот потока мал, то сверхзвуковая часть контура сопла не доходит до оси симметрии, т.е. в точке Е, будет $Е Ф О, У 0.
Если разворот потока слишком велик, то контур центрального тела нельзя спрофилировать методом характеристик так, чтобы он мог дойти до оси симметрии, коснувшись её. Действительно, в силу теоремы А.А.Никольского [31] не существует непрерывного осесимметричного сверхзвукового течения в окрестности точки заострения тела с ненулевым внутренним углом (характеристика DE не сможет быть доведена до оси симметрии по непрерывному полю скорости так, чтобы было РЕ Ф 0, у = 0).
Поэтому угол разворота потока в угловой точке контура должен быть подобран так, чтобы получились равенства р = 0, уЕ = 0. В вычислительном процессе такой подбор осуществлялся перебором значений разворота потока в точке А. На рис. 2-2 показаны три возможности контура сопла при разных разворотах в угловой точке А по Прандтлю-Майеру. Верхние четыре линии на рисунке представляют собой последние характеристики первого семейства, которые определяют длину наружного стенки сопла.
Профилирование сверхзвуковой части сопла для плоского течения и сравнение с соплом для осесимметричного течения
Метод характеристик профилирования плоской сверхзвуковой части сопла с центральным телом аналогичен методу профилирования сопла для осесимметричного течения.
Отличие между ними состоит только в уравнении совместности. Поэтому программа для численного решения задачи для плоского сверхзвукового течения, может быть использована без существенного изменения при профилировании сверхзвуковой части контура осесимметричного сопла.
Контуры дозвуковой части осесимметричного сопла с центральным телом для несовершенного газа
Максимальная скорость F достигается," когда температура в жидкой частице обращается в нуль. Из (7) следует, что К — ограниченная, монотонно убывающая функция температуры и І(Т) 110 = 1 - \V\ /\У\ Из (3, 4) следует, что р0, р0 постоянны во всем потоке.
Обозначим Л = \V\. Из монотонности 1{Т) следует существование монотонной обратной функции Т = Т(1) , причем Г/=0=0,Т(10) = Т0 . Поэтому Т(А,Т0) - ограниченная, монотонно убывающая функция Л . Обозначив т = Т /Т0, получим Т = ЦІ) = Г(/0 - Л2 /2) = Г0т(Л,Г0) (8) Из (3, 4) следуют представления р/р0 = є(Л;Г0), р/р0 = я(Л;Г0) (9) Выражения т(Л;Г0), є(Л;Г0), тс(Л;Г0), задаваемые формулами (8, 9) при фиксированной температуре торможения - аналоги «газодинамических функций» в теории совершенного газа. В несовершенном газе «газодинамические функции» (8, 9), в отличие от совершенного газа, зависят от температуры торможения. Дифференциальные уравнения стационарного движения идеального газа имеют вид V-(pV) = 0, /YV-VjV + V/ = 0, p(V.V)(IJ = 0 (10)
Следуя [13] преобразуем уравнения движения плоскопараллельных течений. (Аналогичные преобразования могут быть выполнены и в случае осевой симметрии). Введем локальную ортогональную систему координат, связанную с линиями тока. Обозначим щ=У1А - единичный вектор скорости, п2 - единичный вектор, полученный поворотом вектора щ на угол я/2 против часовой стрелки. При этом п{ = /cosP + ysinP , п2 =-/sinP + ycosf3 , где Р - аргумент вектора скорости, i,j - орты декартовой системы координат на плоскости (х,у). Векторными линиями полей щ, «2 являются, соответственно, линии тока vj/ = const и их ортогональные траектории ср = const . Обозначим ni 2 V = d/dsi 2 -производные по направлениям единичных векторов яІ5/і2. В точках, где рЛ 0, первое уравнение (5) преобразуется к виду divn{ + d(ln.pA)/dsl = О
Из дифференциальной геометрии известно, что дивергенция единичного вектора равна удвоенной средней кривизне ортогональных к нему траекторий. Поэтому в плоскопараллельном случае divnx = d$/ds2 (в осесимметричном divnx =d$/ds2 + sin ft/у ). Используя формулы (3, 7) и вводя число Маха М = А/а dT 9? dT Р dA d\nA Ж Ср Ш получим ІІ+(,-И =о ds2 ds{ Умножим скалярно p(V -V)K + Vp = 0 на щ . Из формул (3,4) следует - = - -VT = - -CPVT = CPVT = VI = -AVA , поэтому это р р dT 9f 0Ро уравнение тождественно удовлетворяется в силу (7). Умножив скалярно p(V V)F + Vp = О ная2. получим д2 дп, dp _ рЛ —L n2 + - — = 0 дя ds2 Используя приведенные выше выражения для векторов Щ,п2 , получим дпх d(/cosP + ysinP) . . . D. 6р а "2 =— (- SinP + ycosP) = - откуда следует Л d$ldsx +8I/ds2 =0 . Учитывая, что в силу (7) dl/ds2 =-AdA/ds2 при 7 = const, получим d /ds] =d\nA/ds2. Итак, независимо от конкретных выражений СР(Т), CV(T), уравнения движения в естественной системе координат имеют инвариантный вид dpJdnA) dp 2 лдШЛ nsinp dsx ds2 ds2 dst у где n = 0, 1 для плоского и осесимметричного случаев соответственно. На звуковой линии (при М = 1) происходит изменение типа системы. От СР(Т), CV(T) зависит только выражение для числа Маха. Так как уравнения (11) в локальной системе координат нельзя интегрировать, выведем из них уравнения в криволинейной ортогональной системе координат (р,ц/. Выражая производные по направлениям через частные производные по формулам hld/dsl =д/дц , h2d/ds2 =d/d\\f, где hl,h2 - коэффициенты Ламе, получим
Итак, уравнения стационарного изэнтропического движения несовершенного газа инвариантны относительно уравнений состояния (1,2). В уравнениях (12) можно совершить преобразование Чаплыгина в плоскость годографа скорости точно так же, как и в уравнениях для совершенного газа, путём умножения якобианов (д( р, ці) /д(Л, /?)).
Перекрёстно дифференцируя выражения рл и ф получим окончательное уравнение для функции тока (Л, Д) в несовершенном газе. ду/ (\ + М2)ду/ (\-М2)д2у/ _ П д1А А дЛ А д1(3 Iv «г/2 , (1-М2) 2 COSР 2SinР SJnP уУ А у Л У р уЛ2 у2 Л2 У р уЛ2 р (13) где D =(8( р, у/) /д(Л, /?)) и п = О, 1 для плоского и осесимметричного случаев соответственно. В плоском течении при подстановке Л — X, Q(A,TQ) — q(X) система (12) переходит в систему уравнений для совершенного газа. ( X -коэффициент скорости, газодинамическая функция q{X) выражает удельный расход в совершенном газе). В осесимметричном течении при СООТНОШеНИЯХ Г = И /Г L = Л2/2СрТ0, Т = \К\ /И И QHeCOBep = Qcoeep р /Ро уравнение (13) переходит в обобщенное уравнение Чаплыгина для совершенного газа.
Корректная постановка задачи профилирования сопла Лаваля методом годографа [13] не претерпевает никаких изменений.
Прямоугольнику ABCD (Рис. 3-1) в плоскости годографа соответствует в физической области контур сопла abed (Рис. 3-2). Задача Дирихле в прямоугольнике (Рис. 3-1) для уравнения (13) решена численным методом.
Таб. 3-1 Проведены расчёты контуров при равной скорости (72.12 m/s) на входе в сопло. На рисунке 3-3 показывается зависимость контура от температуры торможения. Как показано, по мере повышения температуры торможения увеличивается ширина во входном сечении. Такой результат основан на том факте, что коэффициенты (12), в отличие от уравнений для совершенного газа, зависят от 7 .
Это означает, что при фиксированных зависимостях CP(T),CV(T) изменение температуры торможения приведет к изменению уравнений движения, следовательно, изменению контура сопла. Рис. 3-4 На рис. 3-4. представлено отношение между температурой и отношением теплоємкостей K(T) = Cp(T)ICv(T) при температуре торможения Т0 = 4000К
Влияние температуры торможения на контур сопла и сравнение с соплом для совершенного газа
Во второй главе уже рассматривалась вычислительная схема для профилирования сверхзвукового сопла для совершенного газа.
Схема вычисления течения для несовершенного газа не отличается от схемы для совершенного газа, однако, алгоритмы на каждом этапе разные. Сверхзвуковая часть контура в несовершенном газе вычисляется в четыре этапа, как и в совершенном газе.
Алгоритмы вычисления характеристики первого семейства вблизи звуковой линии не отличаются между решениями для несовершенного и совершенного газа, поскольку для получения характеристику А"А " (Рис. 2-1) использовалось автомодельное решение уравнения Трикоми, инвариантного относительно уравнений состояния.
На втором этапе возникают некоторые изменения от случая совершенного газа в алгоритме вычисления характеристики второго семейства А"В в течении Прандтля-Майера вблизи угловой точки. Используя условия совместности вдоль характеристики второго семейства можно найти число Маха Mj в точке с известным числом Маха Mj.i предыдущей точки на характеристике. Число Маха Mj должно удовлетворять следующему уравнению. V, f 1 Л 1 Tf2 - arcsin + arcsin J 1С (T) l -в = 0 (14) VMJ-4 м, у Л\Ср(Т ЩТ) V \M J С/Т) где в = (a.j-i + Р уі) — (a j + Рj), а — угол Маха и Р — угол наклона вектора скорости. Уравнение (14) решается методом проб и ошибок. При этом возникает трудности с выбором шага интегрирования. По мере уменьшения шага интегрирования увеличивается точность, с другой стороны объём вычислений значительно возрастает. Такая же трудность возникнет при вычислении методом характеристик на каждом этапе. В случае совершенного газа вместо (14) решается уравнение следующего вида (15), а с использованием метода Ньютона можем получить точное решение достаточно быстро. 1 і г . (15) \MJ-4 -0 = При проведении расчёта в области A"A"BD (между двумя характеристиками, полученными на первых двух этапах) сначала вычисляется в характеристическом четырехугольнике А"А"ВС, а затем в треугольнике A "CD, ограниченном цилиндрической стенкой.
На третьем (вычисление решения в области A "A"BD) и четвёртом этапах (вычисление контура центрального тела - участка АЕ) расчёты проводились методом характеристик с использованием следующих формул : хи = _ УІ.П -Уi-ij +tg[ xu-i Д.у-iK-i +tg(ahV + Pt-\jW\J к;-,-Д. -і - («м.у+Д-и] (16) У и = Уі-и+їеіч-и +РиЛхи - і-и) Вычисление числа Маха Мц и угла наклона скорости Д, в каждой точке можно осуществлять двумя подходами.
Первый подход заключается в том, что методом проб и ошибок отыскать значение Уц, удовлетворяющее следующем уравнениям : p,=\ ( \ P»- + fa+ J \c7T) XT+ J С7Г) lT \CV(T) \CV(T) Рц-х Pi-u- ) \c(T) v + J С (T) v (17) \CV(T) \CV(T) При решении двух уравнений основная погрешность в расчёте связана с величинами шага Уц, Т и шагов сеток.
Уменьшение шагов, которое производится с целью увеличения точности, приводит к большей затрате времени. Поэтому при программировании для численного решения необходимо учесть не только точность, но и быстродействующий алгоритм.
Во втором подходе используется соотношение между касательной к характеристике первого семейства, проходящей в плоскости (х, у) через одну точку М и касательной к характеристике второго семейства, проходящей через соответствующую точку М в плоскости (ух, Vy), (ось параллельна оси Ух). При этом получается Vtj, решая уравнения VXjj Vyij : Kx-K2 Vy,j = Vy j-KJVxtj - Гх )-в2г(хи -xMjJ K _ 1 = У 1-"" Q = а\УУхУс2и-х 1 Ус, VxVy+aJVx2 + Vy2-a2 Ух(Ууг-а]) (18) Ус2 VxVy-a Vx2 + Vy2-a2 2 Уг(Уу\-а\) где f = О, 1 относятся к плоскому и осесимметричному случаям, а индексы Сі, С2 - к характеристикам первого семейства и второго семейства соответственно.
Координаты контура (х , yij) центрального тела могут быть получены вычислением пересечения линии характеристики первого семейства от точки Ху.і, y -.i с линией (от точки Xi.ij, Уі-ij) с углом наклона fii.ij вектора скорости относительно оси х.
Число Маха и угол наклона вектора скорости найдётся интерполяцией со значениями М / Pu-i и М, /? в точке х , у на линии воображённой характеристики второго семейства от Xi.jj, y j (Рис. 3-13). 3.5 Влияние температуры торможения на контур сопла и сравнение с соплом для совершенного газа
Теперь рассмотрим влияние температуры торможения на контур сопла. На рис. 3-14 и 3-15 показаны результаты расчёта при разных температурах торможения. В сверхзвуковой части сопла увеличение температуры торможения приведёт к росту скорости на выходе сопла, а к уменьшению числа Маха.
Линией показан контур сопла при температуре торможения Т0 = 1000К, пунктиром - при Т0 =3000 К, треугольником - при Т0 =5000 К. В этих случаях скорости потока, скорости звука и число Маха на выходе сопла написаны в таблице 3-5 и 3-6. Рис. 3-14. В случае плоского сопла То скорость потока Ve скорость звука ае число Маха Ме 1000 186.29 73.12 2.58 3000 325.94 131.90 2.47 5000 424.65 175.08 2.43 Таб. 3-5 Рис. 3-15. Контуры сверхзвуковой части осесимметричных сопел с центральным телом. т1 О скорость потока V0 скорость звука а0 число Маха М0 1000 171.82 78.86 2.179 3000 299.82 140.41 2.135 5000 389.12 184.76 2.106 Таб. 3-6 Как показаны расчёты на рис. 3-15 и таб. 3-5, течение сверхзвуковой части зависит от температуры торможения Т0. Поэтому сопло, спроектированное под какую-то температуру торможения, при её изменении окажется в нерасчётном режиме. Дальше проводилось сравнение контура для несовершенного газа с контуром для совершенного газа.
Рис. 3-16 На рис. 3-16 линией показан контур сопла при температуре торможения Т0 = 3000К для несовершенного газа, пунктиром - для совершенного газа с показателем адиабаты к = 1.3. В последнем случае число Маха на выходе сопла состоится 2.062.
