Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Оптимизация ускорения тела в одноступенчатых установках
1. Задача Лагранжа. Решения с однородной деформацией
Глава 2. Оптимизация работы установок с деформируемым каналом
1. Постановка задачи. Движения с однородной деформацией
Глава 3. Оптимизация работы «разрежённых» метательных систем
1. Задача о слое газа между поршнями
- Задача Лагранжа. Решения с однородной деформацией
- Постановка задачи. Движения с однородной деформацией
- Задача о слое газа между поршнями
Задача Лагранжа. Решения с однородной деформацией
Пороховые газы обладают достаточно большим молекулярным весом и относительно малой скоростью расширения, поэтому их использование не позволяет ускорять тела быстрее 2—2,5 км/с. Применение лёгких газов с большой скоростью звука (таких как гелий и водород) дало увеличение скорости метания до 3—4 км/с. Кардинальным шагом было использование двухступенчатых установок, в которых пороховые газы в первой ступени толкали поршень, сжимавший лёгкий газ во второй ступени. Впервые эта схема была предложена в 1940-х годах [135]. Такие установки состоят из двух цилиндрических стволов — поршневого 2 и баллистического б, соединённых коническим переходником (рис. В.2). При сгорании порохового заряда 1 образующиеся газы толкают поршень 3, который сжимает лёгкий газ 4. После раскрытия при заранее заданном давлении диафрагмы 5 лёгкий газ входит в баллистический ствол и ускоряет метаемое тело 7. Двухступенчатые установки с тяжёлым недеформируемым поршнем имеют низкую степень сжатия лёгкого газа (около 100) и позволяют ускорять тела до скоростей порядка 4 км/с. Ещё большие скорости достигаются на двухступенчатых ЛГУ с лёгким пластмассовым поршнем (степень сжатия около 1000) за счёт увеличения скорости движения передней границы промежуточного деформируемого поршня во время его входа в коническую часть установки (применение деформируемого поршня и камеры высокого давления конической формы предложено Чар-терсом [61]). Кроме того, удобство применения пластмассового поршня состоит ещё и в том, что он не разрушает установку. В настоящее время с помощью ЛГУ возможно ускорение тел массой Ю-1—1 г до скоростей 9—11 км/с и массой около 103 г до скоростей 3—7 км/с [1,61].
Легкогазовые пушки обеспечивают повторяемость, стабильность результатов экспериментов, дают возможность ускорения тел заданной формы и сравнительно большого веса до достаточно высоких скоростей, легко оснащаются стационарными измерительными комплексами.
Расчёт параметров двухступенчатой легкогазовой установки методами классической внутренней баллистики проводился в [140]. В [84,132] предлагались приближённые аналитические методики расчёта ЛГУ, основанные на последовательном расчёте параметров отдельных узлов установки и учитывающие нагрев лёгкого газа при многократном прохождении ударных волн через лёгкий газ. Для численных исследований внутренней баллистики двухступенчатых установок широко применяются уравнения газовой динамики в квазиодномерном приближении [43,90,122], дающие хорошее совпадение с экспериментальными данными. Численное исследование разгона тела газом в установке с каналом переменного поперечного сечения в случае подвижной задней стенки проводилось в [70] в рамках квазиодномерных уравнений газовой динамики с выделением возникающей ударной волны. Изложение основ теории и практики высокоскоростных экспериментальных легкогазовых устройств и принципов расчёта их конструктивных и баллистических параметров, а также результаты исследования процессов, имеющих место при высокоскоростном движении тел различной формы в газообразных и твёрдых средах, можно найти в монографии [48]. Вопросы применения методов теории подобия к задачам моделирования работы двухступенчатых ЛГУ рассмотрены в [8,90], где приведены различные варианты точного и приближённого моделирования метательных установок.
Для повышения скорости метания в ЛГУ используются различные технические решения, например увеличение числа ступеней, применение нетрадиционных схем, дополнительный нагрев газа и т.д. Например, в [142] предлагается трёхступенчатая газовая пушка, предназначенная для изучения ударных явлений при скоростях более 7 км/с. Трёхступенчатые установки, в которых горючее использовалось для движения большого поршня через лёгкий газ (гелий или смесь кислорода и водорода), который в свою очередь приводил в движение меньший поршень, сжимающий гелий, описываются в [18]. На некоторых установках использовался так называемый способ «дульной струи»: несущий метаемое тело поддон деформировался, наталкиваясь на специальную насадку в конце дула, и дополнительно ускорял снаряд, повышая его скорость на 1—2 км/с [51]. В качестве способа увеличения скорости снаряда используется дополнительный разгон тела при помощи реактивных сил. В [137] исследуются схемы легкогазовой пушки с деформируемым поршнем и поршнем, несущим пороховой заряд; приводятся данные об ускорении алюминиевых и нейлоновых шариков диаметром 3 мм до 10,7 км/с. В [122] приводятся результаты теоретического и экспериментального изучения метательных установок с дополнительным твердотопливным зарядом, присоединяемым к тыльной части ускоряемого тела; показана возможность увеличения КПД системы по сравнению с классической схемой без присоединённого заряда.
Повышения скорости метания в ЛГУ можно добиться, предварительно подводя к лёгкому газу дополнительную энергию с использованием тех же методов, которые используются для повышения эффективности ударных труб [6,115]. Так, использование горючих смесей (например, кислорода, водорода и гелия) [61] и электроимпульсного подогрева газа позволяет повысить скорость метания тел массой Ю-4—10 3 кг в одноступенчатых установках до 5—7 км/с [48]. ЛГУ с предварительным электроподогревом газа описываются в [1,13,141]. Кроме того, возможен также подогрев газа в самом процессе выстрела. Численное моделирование ускорения тела в канале с применением электродинамических методов подогрева газа проводится в [39]. В рассмотренном случае за время выстрела конденсаторная батарея не успевает существенно разрядиться и отдать значительную часть энергии газу. В [27] описывается установка, в которой разгон снаряда достигается путём последовательных электродуговых разрядов, происходящих в расширяющемся лёгком газе непосредственно за снарядом при его движении в пусковом стволе газовой пушки. Хотя в экспериментах зарегистрировано увеличение скорости снаряда на 2,5 км/с, отмечается эрозия ствола и загрязнение рабочего газа примесями с большим молекулярным весом, которые выделяются из электродов и стенок камеры. Кроме того, коэффициент полезного действия (КПД) процесса всё ещё остаётся достаточно низким, так как накопленная электрическая энергия не успевает передаться газу за короткое время. Этот относительно сложный метод позволяет надеяться на полезный эффект для сравнительно несовершенных пушек, но полученные результаты довольно скромны [61].
Кроме упомянутых выше методов, для предварительного нагрева газа, в дальнейшем используемого в ЛГУ, можно использовать безударное сжатие газа в специальных установках. Обзор большого числа работ, посвященных математическому описанию и оптимизации процесса безударного сжатия газа, приведён в монографии [9]. Среди методов повышения температуры газа особое место занимает способ, основанный на использовании многокаскадных газодинамических установок, в которых неизоэнтропический нагрев газа осуществляется при многостадийном перепуске газа в вакуумированные объёмы (дросселировании) [48,53]. Описания различных конструкций таких одно- и многокаскадных установок приводятся в работах [17,52-54,97,130]. С помощью таких систем удаётся повышать температуры и давления газов от 2 до 10 раз по сравнению с их первоначальными значениями и получать плазму с температурой до 8000—12000 К и давлением до 5 106—108 Па. Для расчёта и оптимизации работы подобных установок с достаточной для практики точностью обычно применяются выражающие баланс массы и энергии приближённые интегральные соотношения, описывающие квазистатические процессы [53]. Также интересны установки, в которых клапан для перепуска газа (сквозное отверстие) делается непосредственно на подвижном поршне. Например, в [131] описывается баллистическая установка для нагрева газа с двумя свободными поршнями, в одном из которых имеется клапан для перепуска газа. В таких системах возможен нагрев газа до 15000 К, а КПД преобразования энергии толкающего газа во внутреннюю энергию плазмы достигает 80%. Задачи о движении поршня, имеющего отверстия, под действием давления расширяющегося газа рассматривались в [43]. В этих расчётах метаемое тело заменялось двумя поверхностями сильного разрыва, на которых выполнялись законы сохранения. Такая схема одномерной аппроксимации хорошо подтверждается анализом решения соответствующих задач в осесимметричной постановке. 3.
Постановка задачи. Движения с однородной деформацией
Для характеристики энергетической эффективности установки вводится текущий коэффициент полезного действия (КПД): = Якин(О) + н(0) + W(t) (2,6) где Ешн, Еш — кинетическая и внутренняя энергии газа, Еп — кинетическая энергия поршня, W — работа внешних сил на деформируемой боковой поверхности. Так как во время работы реальных установок обычно не важен дальнейший разлёт газа, будем интересоваться значением КПД в момент . Естественно потребовать, чтобы в процессе сжатия газа внешние силы на деформируемой поверхности совершали неотрицательную работу в течение всего процесса разгона поршня до момента (в противном случае на некоторых участках газ совершал бы над стенкой работу, которая не шла бы на ускорение поршня). Требование ft v О, где ft — вектор внешней по отношению к границе газа нормали, приводит в случае гладкости /(&) к условию a(t)b(t)f(d) if (i)b(t)a(i), откуда, учитывая, что при t Є [0; ] отношение b(t)/a{t) пробегает весь интервал (—оо; 0), а величины а (і) и b(t) остаются конечными, получаем ограничение / (Сі) 0, справедливость которого будет предполагаться в дальнейшем. При задании боковой поверхности в форме в — в {г) условие неубывания /(і) можно также записать в виде — (rsm0(r)) —-(rcosQ(r)) 0. аг аг Используя закон сохранения энергии, можно свести задачу о наилучшей эффективности установки к минимизации функционала 1(+ \ — - КИНУЛ ] Ь - вн(п) /0 7ч Аи)- Щ7) (2-7) который связан с КПД соотношением 1 + J(U В формуле (2.7) v{t ) = кин( ) = кшш pi (r)r4 cos2 в sin 9drde, k = —-— =, J J M 2VM n ЕЖ) = kmJJPl(rysmOdrdO, km = (7_1)(в(4 )Д,))7-іЛ2лАГ ft r2 ЫГ) = А)(С), PiW=Po(C), C=y, РІ(Г) = rpi(r). (2.8) Область интегрирования 7 схематически показана на рис. 2.3; здесь поверхность поршня и задняя стенка соответствуют прямым АВ и СХ , боковая поверхность газа — кривой ВС; отрезок OD соответствует началу координат.
Далее будет предполагаться, что параметры m, L, 0Ь Ль А2, 6(0) заданы. Этим, в частности, фиксируются форма изобарических поверхностей газа, зависящая от Аі/А2, и максимальная скорость поперечного движения боковой стенки 6(0)[r1sin i/v/A7, что может быть связано, Рис. 2.3 например, с ограничениями на скорость распространения продуктов детонации ВВ. В такой постановке при изменении начальных формы боковой поверхности и распределения параметров газа р\ (г) и р\ (г) не меняется кинетическая энергия поршня п( ) = raL2d2(i )/2, и задача об оптимизации КПД ?( ) фактически сводится к достижению заданной скорости поршня при наименьших энергозатратах за счёт выбора в рамках наложенных на систему ограничений только начальных параметров газа и формы стенки. Для сравнения отметим, что при оптимизации начальных параметров газа в задаче Лагранжа с использованием аналогичного класса решений с однородной деформацией (гл. 1; в обозначениях настоящей главы Л = Ль Л2 = 0) полная энергия системы фиксировалась, а, наоборот, параметр Л мог варьироваться при изменении распределения начальных параметров газа.
Поясним возможный механизм образования движения газа с однородной деформацией на примере точных решений уравнений газовой динамики с образованием сходящихся ударных волн в случае \\ = 0, А2 = -Л 0. Рассмотрим осесимметричный объём покоящегося газа массой 9Но на единицу длины, ограниченный цилиндрической стенкой радиуса 9Я0. Пусть в начальный момент времени граница газа начинает движение к оси симметрии таким образом, что по газу начинает распространяться сходящаяся ударная волна (УВ). Покажем, используя метод обратной задачи для сильных УВ [31], что можно выбрать такое распределение начальной плотности газа перед УВ и закон движения границы, что за ней распределение скорости газа будет линейным по радиусу вплоть до прихода УВ к оси симметрии. Будем искать закон движения газа за УВ в виде t = .(t).b(m),m = 2,/p(r1)r1drI, О где m — массовая лагранжева переменная, г — расстояние до оси симметрии. Подстановка этого соотношения в уравнения движения и разделение переменных дают с-Ь Am Р = а27 С = COnSt С 5 р= [2-ксґЬ—- , 7-Г7—тг — h. (2.9) Считая возникающую УВ сильной, будем полагать перед ней р = 0. Условия на УВ дают соотношения 7г Я(7 - l)ps где m = 9Я() — лагранжев закон движения ударной волны, индексом «s» обозначены параметры газа за УВ. Учитывая, что зависимость a(t) известнаіюпоследнего соотношенияв (2 Ду, из-уравнаний на Ф юлучаем соотношение и обыкновенное дифференциальное уравнение для определения функции m(t) . п С + А971 ЯЯа=2тг ———, из которых находим в неявном виде зависимость b (т). Используя непрерывность эйлеровой координаты г на УВ, получаем закон распределения массы до УВ: to = a(s(m))b(m), где функция ts = ts(m) является обращением зависимости m = 9Л(). Начальное распределение плотности до УВ получается из соотношения р„(т)=(2«„ ) . Пусть, например, h = 0 (в этом случае газ коллапсирует за конечное время). Тогда закон движения границы газа определяется функцией № = -Н , 0, - = 7i W к у 7 1 движение границы начинается в момент времени —t0. Закон движения УВ описывается формулой 7+1 начальное распределение массы определяется соотношением 7+1 / ч / \ 2(7-1) или ро(с) - ,(7+1) v«J Заметим, что в случае сферической симметрии решение строится аналогично. Начальное распределение плотности задаётся формулой 7-7 А)М = m0ir -ft -\-r+i 7гет(7 + 1) W законы движения границы газа и ударной волны определяются соотношениями 2 7+1 ( \ 37-1 _ _ / t\ 37-1
При 7 = 7 в этом случае плотность среды перед УВ постоянна. 5. Некоторые качественные особенности поведения решений уравнений (2.3) в случае, когда матрица {Ха/з) не является положительно определённой, можно выявить, рассматривая степенные решения вида „( ) = (-!)", ад = (-1) , о. Возникающие здесь случаи представлены в таблице 1; в скобках указано поведение решений при t -+ 0 - 0. Отметим, что система (2.3) не меняет свой вид при изменении знака времени, так что из решений, описывающих коллапс газа, могут быть получены точные решения для разлёта газа.
Задача о слое газа между поршнями
В настоящее время большая часть используемых экспериментальных легкогазовых баллистических установок являются двухступенчатыми метательными системами. Одним из способов повышения эффективности таких систем может служить их оснащение дополнительной третьей ступенью, что, возможно, позволит повысить скорость метания на несколько десятков процентов без существенных конструктивных изменений. Исследование работы многоступенчатых метательных систем, проводившееся в предыдущей главе с использованием ряда упрощающих предположений, даёт качественное представление об оптимальном распределении параметров для достаточно «разрежённых» установок. В данной главе изучение работы трёхступенчатых метательных систем с каналом переменного поперечного сечения проводится в рамках одномерного гидравлического приближения газовой динамики.
В этом разделе будет исследоваться работа трёхступенчатой баллистической установки, схема которой показана на рис. 4.1. Установка состоит из соединённых коническим пере щднш участкоі прршневого и баллистического стволов, в первом из которых находятся пороховой заряд массы гап и деформируемый поршень массы тІ5 во другом — второй поршень массы т2 и модель (третий поршень) массы т = ты. Области между поршнями заполнены лёгким газом, пространство перед метаемой моделью вакуумировано; каждый поршень начинает двигаться после того, как перепад давлений на нём достигает некоторой заранее заданной величины (давления форсирования).
В подобных установках продольные размеры много больше поперечных, а диаметр канала как функция продольной координаты слабо меняется (угол полураствора конической части ствола обычно составляет несколько градусов), поэтому для описания движения газа и деформируемых поршней достаточно использовать квазиодномерные уравнения, получающиеся из полных уравнений движения путём осреднения по поперечному сечению канала.
Обычно в ЛГУ используется полиэтиленовый тяжёлый поршень, который достаточно легко поддаётся деформации в процессе движения в конической части ствола. Полиэтилен относительно слабо сжимаем, поэтому при расчётах поршень можно моделировать слоем идеальной несжимаемой жидкости (такой подход, например, использовался в работе [90]). При более точном описании движения поршня для учёта диссипации энергии поршень рассматривают как слой вязкой несжимаемой жидкости, в котором приближённо можно выделить пристеночную зону, где происходит сильный нагрев вещества поршня из-за трения о стенку, и ядро, в каждом достаточно узком поперечном срезе которого движение происходит с однородной деформацией (материал поршня удлиняется вдоль оси канала). В этой модели компоненты скорости материала поршня в цилиндрической системе координат (х, г, в) определяется соотношениями распределение средней по сечению скорости u(x,t) находится из кинематического условия постоянства объёмного расхода c(t) = u(x,t)S(x) вдоль поршня; в области канала с постоянным поперечным сечением ядро не деформируется и движется поступательно. Такой подход был предложен Ю.П.Хоменко в работе [121]. Считая, что при деформации материал поршня ведёт себя как ньютоновская жидкость, уравнение движения поршня можно записать в виде
xh жь Ph Pr — соответственно координаты концов поршня и давления газа на них, rw — величина касательного напряжения на стенке канала. Зависимость напряжения трения rw от скорости скольжения и нормального давления на стенке можно либо определять из рассмотрения движения в пристеночной зоне в рамках приближения вязкого пограничного слоя (см., например, [126]), либо получать в ходе специальных экспериментов. Установлено, что для многих материалов при повышении нормального давления сначала выполняется закон сухого трения Амонтона—Кулона с коэффициентом трения, зависящим от относительной скорости, а начиная с некоторого давления, близкого к пределу текучести менее прочного материала, напряжение трения становится практически постоянным (закон С.С.Григоряна) [38,129]. В случае трения полиэтилена по стали можно использовать феноменологическую зависимость [129] = / feW \Рпп\ при рЦ ps, (w) _ _ 3ficS (x) \ k{u)-ps прирїї Ps, ПП S2 к(и) = к0(1 + biu)exp(-b2w), А;0 = 0,054, (4-2) где Рпп — нормальное напряжение на боковой границе поршня; значения коэффициентов Ъ\ — 0,027 с/м, 62 = 0,00675 с/м, ps = 2,52 107 Па. В случае движения поршняпод постоянного сечения при и 0, р\ ps, рх ps ускорение поршня определяется соотношением [7] и аналогичное соотношение при р\ ps pt. Если рх — 0, из соотношения (4.3) получаем эффективную массу поршня в одноступенчатой установке: ехр(ї/) - 1 / v\ 2Ы 5б0К тэф = т ( 1 + J V = R = к Т С 1 В случае произвольного вида функции S(x) уравнение (4.1) необходимо интегрировать численно.
Для установок, в которых масса порохового заряда гап много меньше массы mi деформируемого поршня, удовлетворительное описание го-зрения пороха достигается-прииспользованииоереднённых уравнений традиционно применяемых во внутренней баллистике артиллерийских систем [57,106]. При соизмеримых значениях гап и тх в газо-пороховой смеси могут образовываться волны большой амплитуды и даже ударные волны, поэтому в этом случае необходимо описывать движение пороховых газов в рамках газовой динамики. Поскольку характерный размер пороховых зёрен много больше молекулярных размеров и много меньше расстояний, на которых параметры смеси существенно меняются, можно рассматривать газо-пороховую смесь в качестве гетерогенной смеси [77]. Движение пороховых зёрен начинается из состояния покоя, поэтому в качестве первого приближения можно считать, что ещё не сгоревшие частицы пороха движутся вместе с газом, образовавшимся при сгорании какой-то части пороха [10,110]. При сделанных выше предположениях уравнения газо-пороховои смеси можно записать в виде где p — истинная плотность пороховых газов [77], q — лагранжева мас (см) совая переменная, рх0 — начальная плотность газо-пороховои смеси, ф — массовая доля сгоревшей части пороха, Q — тепловой эффект сгорания пороха, a, R — коволюм единицы массы и газовая постоянная пороховых газов, сп и Vn — теплоёмкость и истинный удельный объём пороховых зёрен; величины Q, a, R, 7, сп, Vn суть постоянные параметры. Здесь считается, как это обычно делается во внутренней баллистике артиллерийских орудий, что пороховые газы описываются уравнениями состояния типа Дюпре, переходящими при а = 0в соотношения для со-вершенного газа. Расчёты с исподьзованием этой модеди в типичном случае дают для максимальной температуры газо-пороховой смеси сравнительно небольшие значения (около 3000 К). Отметим, что при расчётах двухступенчатых метательных установок с большой степенью сжатия отличие реальных уравнений- состояния газа от рассматриваемых может, по-видимому, приводить к расхождению расчётных и экспериментальных скоростей метания на 10—20% [12].
Похожие диссертации на Оптимальные задачи передачи энергии в легкогазовых баллистических установках
