Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Экспериментальные и теоретические исследования оседания и группировки частиц 15
1.1. Обзор экспериментальных данных по оседанию эритроцитов. 15
1.2. Теоретические модели оседания частиц 22
1.3. Явление группировки. Силы, действующие на частицу в ультразвуковом поле 30
Глава 2. Некоторые специальные модели суспензий 37
2.1. Уравнения гравитационной агрегации 37
2.2. Трехфазная модель суспензии агрегирующих частиц 43
2.3. Акустическая модель суспензии 49
Глава 3. Исследование оседания агрегирующих частиц... 62
3.1. Постановка одномерной задачи об оседании в конечной трубке 62
3.2. Двухпараметрическая модель оседания суспензии агрегирующих частиц 71
3.3. Решение задачи об оседании в случае постоянной скорости роста объема агрегатов 78
3.4. Экспериментальные исследования оседания эритроцитов в капиллярах различной высоты 80
3.5. Вопросы интерпретации скорости оседания .эритроцитов. 86
Глава 4. Исследование группировки частиц в ультра звуковом поле 96
4.1. Постановка задачи и исследование распространения малых возмущений 96
4.2. Осредненные уравнения движения в плоской стоячей ультразвуковой волне 102
4.3. Группировка частиц в плоской стоячей ультразвуковой волне 108
4.4. Другие примеры группировки частиц в высокочастотных полях 114
Заключение 124
Литература
- Теоретические модели оседания частиц
- Трехфазная модель суспензии агрегирующих частиц
- Двухпараметрическая модель оседания суспензии агрегирующих частиц
- Осредненные уравнения движения в плоской стоячей ультразвуковой волне
Введение к работе
В последние два десятилетия наблюдается интенсивное проникновение методов механики сплошных сред в исследование физиологических процессов [16,17,ЗІ,40І . Это обстоятельство связано как с развитием самих методов механики, позволяющих исследовать сложные процессы в биологических объектах, так и с возрастающей потребностью использования количественных данных в физиологии и медицине.
Среди исследований, использующих континуальный подход применительно к биологическим материалам, большое место занимают исследования по реологии и гидродинамике крови. Специфика задач гидромеханики крови связана, в первую очередь,с особенностями состава и физических свойств компонент крови [23 J . Кровь представляет собой суспензию форменных элементов (эритроцитов, лейкоцитов и тромбоцитов) в плазме. Среди факторов, связанных с форменными элементами, наибольшее влияние на реологические свойства крови оказывают концентрация и физическое состояние эритроцитов, поскольку их объемное содержание в норме (0,40-0,45) значительно превосходит объемное содержание тромбоцитов (0,5.10 ) и ЛеЙКОЦИ-тов (0,5.10""). Плазма крови представляет собой водный раствор солей, белков и других высокомолекулярных соединений. Форменные элементы способны вращаться, деформироваться, а также образовывать агрегаты (эритроциты и тромбоциты). Свойства форменных элементов и состав плазмы могут существенно изменяться при заболеваниях, а также при различных лабораторных и физиологических экспериментах с кровью.
В исследованиях гидромеханики суспензий, в частности, крови активно используются достижения таких разделов механики сплошной среды, как механика многофазных сред, механика сред с микроструктурой, термодинамика необратимых процессов и др. При этом потребности физиологических приложений стимулируют постановку но- вых задач и построение новых континуальных моделей суспензий. Большие возможности развития исследований в этом направлении открывает разработка общих методов построения моделей сплошных сред с усложненными свойствами I 46 I .
В моделировании реологических свойств суспензий, и в частности, крови за последнее время достигнут существенный прогресс. Весьма общая модель крови предложена в работах I 39,54 . Эта модель, учитывающая двухфазность крови, а также флуктуации и агрегацию эритроцитов, обобщает целый ряд моделей, предлагавшихся ранее, и может быть использована для исследования широкого круга задач гидромеханики крови. К этим задачам, в первую очередь относятся: расчет стационарных и нестационарных течений крови в сосудах различного диаметра; расчет движения крови в экстракорпоральных устройствах и измерительных системах; задачи о тепло-и массо-обмене.
При подобных исследованиях, как правило, пренебрегают различием плотностей эритроцитов (1,089-1,097 г/см3) и плазмы (1,022-1,034 г/см3), а также сжимаемостью компонент крови. Однако существует ряд явлений, представляющих существенный практический интерес в связи с запросами медицинской диагностики и терапии, при исследовании которых нельзя пренебречь неоднородностью по плотности и сжимаемостью крови. Указанное обстоятельство диктует необходимость построения новых специалилизрованных реологических моделей крови.
Существование различия в плотностях эритроцитов и плазмы вызывает оседание эритроцитов в седиментационных трубках под действием силы тяжести и в центрифугах под действием центробежного ускорения. В настоящей диссертации предложена специальная модель суспензии, которая может служить основой для описания явлений этого типа. Отличительной особенностью модели является отражение динамики запертой в агрегатах жидкости наряду с учетом кинетики образования агрегатов и кинетики запирания жидкости. В диссертации указанная модель применена к исследованию процесса оседания под действием силы тяжести агрегирующих частиц концентрированной суспензии - явления, лежащего в основе общепринятого в медицине диагностического теста - "реакции оседания эритроцитов" (РОЭ).
Под РОЭ понимают совокупность процессов, связанных с осаждением эритроцитов на дне капилляра, первоначально однородно заполненного кровью, при предохранении крови от свертывания. На характер реакции влияет множество факторов, и возможны подходы к исследованию РОЭ с различных точек зрения. Например, много работ посвящено изучению химии и электрохимии белков в РОЭ, изучается связь РОЭ с иммунологическими процессами в организме (см. І35І ). Тем не менее, для интерпретации РОЭ в ее обычной постановке, когда основным показателем служит величина смещения границы раздела эритроцитов и прозрачного слоя плазмы, особое значение имеет изучение физических основ метода, а именно гидродинамики оседания с учетом основных физико-химических процессов (агрегации), поскольку влияние различных факторов на окончательные показатели не может проявиться иначе, чем через гидродинамику.
Простейшее исследование гидродинамики оседания эритроцитов основывается на известной формуле Стокса для нестесненного оседав ния одиночной частицы или на ее обобщениях (см.раздел 1.2). Однако для интерпретации клинических показателей реакции оседания эритроцитов такого анализа недостаточно по ряду причин: I) необходимо описание процесса агрегации; это обстоятельство является одним из решающих при интерпретации клинических показаний; 2) конечность длины капилляра с оседающей кровью при немалых концентрациях приводит к неоднородности распределения концентрации и других параметров по длине капилляра; тем самым "нульмерное" опи- сание (формула Стокса и ее обобщения) становится неприемлемой.
Кроме того, при более детальном описании процесса необходимо, вообще говоря, учитывать такие явления, как: 3) запирание части плазмы в агрегатах, приводящее, в частности, к увеличению кажущейся концентрации эритроцитов; 4) фильтрация запертой плазмы сквозь структуру агрегата; 5) образование единого упругого каркаса эритроцитов на поздних стадиях процесса; осаждение каркаса, фильтрация плазмы сквозь него.
В настоящей работе предложена общая гидродинамическая модель оседания частиц суспензии, позволяющая в той или иной мере описать все перечисленные выше особенности оседания эритроцитов.
К числу проблем, в которых существенное значение имеет сжимаемость компонент крови, относится распространение ультразвука в крови. Вопросы распространения звуковых колебаний в биологических средах в последнее время привлекают особенно интенсивное внимание в связи с широким распространением ультразвуковых методов в медицинской диагностике и терапии. Существует большое количество работ, в основном экспериментальных, в которых исследуются акустические свойства различных биологических тканей и взаимодействие ультразвукового поля с биологическими объектами (см. [43,ііо] ).
Проблема построения специальной континуальной модели, предназначенной для описания акустических свойств крови, практически не ставилась. Это было вызвано, в первую очередь, двумя причинами. Во-первых, так как сжимаемости эритроцитов и плазмы близки, то кровь в целом во многих практических задачах можно рассматривать как акустически однородную среду. Во-вторых, поскольку интенсивность акустических явлений, связанных с неоднородностью сжимаемости крови, как правило, имеет порядок некоторой степени отношения размера неоднородностей (эритроцитов) к длине звуковой волны (например, рассеяние звука, радиационное давление в плоской бегущей волне и др.), а при континуальном описании это отношение считается малым, то обычные континуальные методы оказываются малоэффективными для исследования указанных явлений.
Однако существует ряд явлений, связанных с неоднородностью сжимаемости крови, при исследовании которых необходимы и могут быть успешно использованы континуальные методы. К таким явлениям относится, в частности, группировка эритроцитов в стоячей ультразвуковой волне, наблюдающаяся в виде образования сгустков и "запирания" эритроцитов в малых кровеносных сосудах под действием ультразвукового поля [б7,7б] . Другой пример группировки эритро-цитов - образование слоистой структуры в ультразвуковом поле вблизи газового пузырька 193 I . Дальнейший интерес к задачам о группировке эритроцитов в поле ультразвуковой волны связан, во-первых, с тем, что само явление группировки в лабораторных приборах, возможно, окажется полезным для косвенного изучения свойств крови, а также при разработке устройств, предназначенных для разделения составляющих крови; во-вторых, с тем, что ультразвуковые методы сейчас широко используются для измерения скорости движения крови, смещений сосудистой стенки, размеров эритроцитарных агрегатов, для выявления газовых пузырьков в крови и т.п. Гі5,56,ііо| и необходимо знать, насколько ультразвуковое облучение может изменять состояние и движение крови.
Само явление локализации частиц в узлах или пучностях стоячей звуковой волны хорошо известно [2,32,49] . Однако теоретические исследования группировки ограничены движением одиночной(частицы [14,86,IIїї или смесей с малыми концентрациями частиц [9j и, как правило, рассматривают равновесное положение одной частицы и его устойчивость. Распределение концентрации частиц и его изменение во времени исследовалось лишь для малых концентраций I 79J . Поэтому имеющиеся результаты недостаточны для описания группиров- ки частиц концентрированных суспензий, в частности, группировки эритроцитов в ультразвуковом поле.
В [_76j группировка частиц концентрированной суспензии (эритроцитов) изучалась на основе анализа траекторий отдельных частиц, занимавших в начальный момент различные позиции вдоль звуковой волны. При этом подходе отсутствует учет зависимости радиационной силы звукового поля и динамики концентрации от локального значения концентрации частиц.
В настоящей диссертации при исследовании распространения звука в суспензии и явления группировки использован континуальный подход, позволяющий адекватно описать указанные процессы.
Предмет диссертации составляет построение специальных моделей, предназначенных для изучения гидромеханических явлений в концентрированных суспензиях с учетом переменности и неоднородности плотности, и исследование с использованием этих моделей, оседания агрегирующих частиц под действием силы тяжести в трубке конечной высоты и группировки частиц в поле стоячей звуковой волны.
Теоретические модели оседания частиц
Формула Стокса и ее обобщения. Согласно формуле Сто-кса скорость медленного стационарного оседания под действием силы тяжести твердой частицы в безграничном объеме ньютоновской жидкости с вязкостью М равна где О - гравитационное ускорение; о , О - плотности жидкости и частицы; Ы - числовой коэффициент, зависящий от формы частицы, Z - эквивалентный радиус, т.е. радиус сферической частицы того же объема, что и данная. Для твердых сфер о( =4,5.
Характерное время, в течение которого устанавливается рав номерное оседание, имеет порядок . Для оседания крупных агрегатов ( С I мм) в плазме крови t 10 с, что крайне мало в сравнении с характерными временами процесса оседания, поэтому всегда полагают, что стационарная скорость осе дания каждой частицы устанавливается мгновенно.
На основании (I.2.I) возможен анализ результатов по оседанию одиночных эритроцитов [36,62] . Среднее значение коэффициента о( , вычисленного для одиночного эритроцита согласно данным [62 J , равно 4,64. Хорошее согласие (I.2.I) при Ы. = 4,5 с экспериментальными результатами для сильно разбавленных растворов эритроцитов отмечалось в работе L97J
Формула (I.2.I) не учитывает взаимодействия частиц. В [J5J дан расчет скорости оседания частицы разбавленной суспензии с учетом их гидродинамического взаимодействия на основе решения задачи о взаимодействии двух изолированных сфер. В [ilj аналогичный расчет проведен на основе уравнений, выведенных осреднением по ансамблю положений центров частиц с учетом бинарной корреляционной функции. В указанных работах _5,Іі] зависимость скорости оседания от концентрации частиц С рассчитывалась для малых концентраций с точностью до С .
Возможное обобщение (1.2.I) на случай конечных концентраций состоит в замене вязкости м и плотности 9 окружающей жидкости на вязкость Д и плотность Р среды в целом. При учете равенства 9=( -)ft + С% а также условия локального сохранения объема суспензии в неподвижной системе координат вместо (1.2Л) необходимо полагать (см. разд.3.2)
Величина її зависит от объемной концентрации частиц. При отсутствии взаимодействия для малых концентраций твердых сферических частиц имеет место формула Эйнштейна М М Существует ряд обобщений этой формулы на случай умеренных концентраций (см.J_20,52J ). Однако в случае оседания в сосуде конечной высоты приходится иметь дело с изменением концентрации частиц в широком диапазоне вплоть до предельно высоких. При этом, как правило, пользуются эмпирическими или полуэмпирическими формулами зависимости вязкости суспензии от концентрации. В случае высокой дисперсности частиц предлагалось обобщение формулы Эйнштейна в виде [99J
В случае несжимаемых частиц близких размеров полагалось где в - коэффициент, учитывающий жидкость, "эффективно запертую" между двумя частицами при их слипании. Существует также множество других эмпирических формул для зависимости вязкости суспензий, в частности, крови от концентрации частиц (см.обзор L.99J ) Заметим, что большинство известных из литературы эмпирических формул близки между собой и согласуются с (1.2.4). При этом для суспензий сильно деформируемых частиц, в частности, для крови коэффициент близок к единице и можно приближенно воспользоваться формулой (1.2.3).
Для исследования агрегирующих частиц определенный интерес представляют данные о вязкости суспензии пористых частиц. В [57 J дано обобщение формулы для вязкости в случае малоконцентрированной суспензии пористых сфер и предложено полуэмпирическое обобщение (1.2.3) на случай высоких концентраций частиц где RE - коэффициент, зависящий от отношения #/v к ; Of , -радиус и проницаемость частиц. Вопросы оседания пористых тел сложной структуры рассматривались в связи с проблемами химической технологии I 72,91J .
На формулах (1.2.1),(1.2.2) основывается простейший анализ оседания эритроцитов. Из (1.2.1),(1.2.2) видно, что скорость оседания прямо пропорциональна разности плотностей частиц и жидкости и квадрату размера частиц. Однако эти факторы не являются решающими для объяснения разности в скоростях оседания эритроцитов в норме и при патологии (в несколько раз), как это предполагалось первыми авторами, изучавшими РОЭ. Например, по данным [13J наибо - 25 лыпий средний диаметр эритроцитов, наблюдавшийся при патологии, равен 9,49 мкм, при нормальном среднем диаметре 7,5 мкм.
Согласно (1 2.1) или (1.2.2) с учетом какой-либо из формул типа (1.2.3),(1.2.4), скорость оседания эритроцитов обратно пропорциональна вязкости плазмы. Однако в увеличении вязкости значительную роль играет накопление в крови грубодисперсных фракций белка (глобулина, фибриоген), которые вызывают усиление агрегации эритроцитов [ 4,35j . Следовательно, изменение вязкости плазмы сопровождается значительными изменениями в способности эритроцитов к агрегации, которая может в большей степени, нежели вязкость, определять скорость оседания. Поэтому, как правило, при большей вязкости плазмы скорость оседания не уменьшается, а увеличивается [82] .
Из (1.2.2) можно видеть, что существенными факторами, влияющими на скорость оседания, являются агрегация (увеличение характерного размера ь ) и концентрация частиц. Для оседания эритроцитов при отсутствии агрегации ( равно характерному размеру эритроцита) и при нормальных концентрациях ( С = 0,4) скорость оседания, согласно (1.2.2) приближенно равна 0,2 мм в час, что по крайней мере в 10 раз меньше нормальной скорости оседания эритроцитов (3-Ю мм в час). Эта оценка хорошо согласуется с экспериментальными данными по оседанию эритроцитов в физиологическом растворе и плазме крови J_S5j . Таким образом, скорость оседания эритроцитов существенным образом определяется процессом агрегации,причем агрегация имеет место не только в патологически измененной, но и в нормальной крови.
Трехфазная модель суспензии агрегирующих частиц
В работе на основе (2.1.3) исследовалась агрегация эритроцитов в процессе оседания. При этом подсчет числа эритроцитов в агрегатах велся визуально и определялся эффективный коэффициент К согласно (2.1.3). (Коэффициент К в _97J вычислен в относительных единицах; данных работы недостаточно для его определения в.;размерных величинах). Результаты аналогичных исследований приведены в [l07j .
Образование агрегатов из частиц суспензии может сопровождаться захватом части несущей жидкости в состав агрегата, что имеет место, например, при агрегации эритроцитов в крови. Вопросы кинетики агрегирующих систем с учетом захвата жидкой фазы на примере систем, допускающих образование и распад агрегатов, рассмотрены в [_4IJ . При этом вводится функция распределения агрегатов filT, с) , задающая ожидаемое в единичном физическом объеме число агрегатов с объемами в интервале аЧР t содержащих объемы жидкости в интервале аэг . Феноменологические уравнения, учитывающие захват жидкости в агрегаты, строились в [42J . В (_6J приведены модели, описывающие процесс конденсации, близкий по описанию к процессу запирания.
При феноменологическом описании суспензии интерес представляют макроскопические характеристики, являющиеся моментами функции распределения, в первую очередь числовая концентрация агрегатов Л/? истинная объемная концентрация взвешенных частиц Н и объемная концентрация агрегатов С
Дисперсность может играть заметную роль при гравитационном механизме сближения отдельных агрегатов, имеющих различный объем. Для того, чтобы учесть специфические особенности агрегации эритроцитов, введем также в число аргументов определяющих параметров числовую концентрацию Cf , характеризующую содержание в несущей жидкости (плазме крови) специальных белков (в частности, фибриногена), являющихся участниками агрегационного процесса (см. I.I). Уравнения баланса для введенных характеристик запишем в виде где G - итоговая скорость образования агрегатов, 0 - скорость запирания жидкости в агрегатах, z. - скорость изменения дисперсности агрегатов, 9г - интенсивность расхода "склеивающих" белков; и , U среднеобъемные скорости несущей жидкости и агрегатов.
Выражения для G , 0 t ц $ Ф можно конструировать исходя из соображений теории размерностей. При оседании частиц суспензии под действием силы тяжести имеют место два специфических механизма сближения агрегатов: за счет разности в скоростях агрегатов, имеющих различные размеры и за счет случайных флуктуации скорости оседания. Первый механизм учтем введением в число аргументов характеристики дисперсности Сь , второй - введением средней флуктуационной энергии / . Кроме того, будем считать, что агрегация определяется следующими параметрами: а - ускорение силы тяжести, О. - истинная плотность частиц, 8% - разность истинный плотностей частиц и жидкости, ль - вязкость жидкости, концентрации N , С , Н , Cf , безразмерные параметры fa , характеризующие геометрическую форму агрегатов. Из перечисленных размерных параметров можно составить четыре безразмерные комбинации СІ=0 о рс /уиг , Є = Cf/N . Величина d имеет смысл числа Рейнольдса для оседающих частиц. Полагая v, а « 1 , из соображений размерностей будем иметь где 7; - безразмерные функции безразмерных аргументов CL , t- , а , е , $ , о/ в пределе V О , сі- О
Рассмотрим случай столь высокой концентрации белков, что параметр в не входит в число аргументов и Если при этом влияние флуктуационного механизма сближения мало ( ос « 1 ),то согласно (2.1.6)
Двухпараметрическая модель оседания суспензии агрегирующих частиц
Таким образом, в предположении (3.1.4) весь столбец смеси можно разделить на три зоны. В первой, верхней зоне, частицы отсутствуют ( О Н = О третьей, нижней зоне, справедливо уравнение (3.1.21); во второй, средней зоне, оседание описывается уравнениями (3.1.5). Первая и вторая зоны, как было сказано, разделены разрывом, допускаемым системой (3.1.5). Границу между второй и третьей зонами естественно задать соотношениями /.3 , ССЖ и ж . Условие на нижней границе для (3.1.21) имеет вид
Если вместо (3.1.5) использовать приближенную постановку, соответствующую уравнениям (3.1.19),(3.1.20), то между второй зоной, где справедливы эти уравнения, и третьей зоной будет промежуточная зона, в которой us mf . Толщину промежуточной зоны можно приближенно оценить соотношением (при G\V0t » і ) в Gist где U0 - характерная скорость оседания одиночной частицы, t -время, прошедшее с момента начала оседания. Если Ь« 1 , то во второй зоне можно использовать уравнения (3.1.19),(3.1.20), сохраняя представление процесса оседания на основе трех зон.
Отметим, что возможность разделения на указанные три зоны связана с выбором зависимостей и" (С, н) . Существование разрыва между первой и второй зоной обязано предположению об отсутствии диффузии, т.е. независимости I/ от С и п . Если вместо (3.1.4) положить : при всех С и п п w и принять, что при п - пы упругое взаимодействие приводит к остановке движения, то во второй и третьей зонах можно использовать уравнения (3.1.5), дополненные условием: и -U =0 при И=Н , При этом, если о - ! , то вместо (3.1.5) можно использовать приближенную постановку, соответствующую уравнениям (3.1.11),(3.1.12) при В-О , которая систему (3.1.5) сводит к двум характеристикам.
Расчеты на основе предложенной модели позволяют хорошо описать эксперименты по оседанию эритроцитов в крови. Однако большое количество варьируемых параметров препятствует однозначному толкованию экспериментов, и лишает смысла столь подробное их описание. Модель оседания концентрированной суспензии агрегирующих частиц, являющаяся частным случаем предложенной в настоящем разделе и содержащая, по-видимому, наименьшее из возможных количест - 71 во переменных параметров, необходимых для описания "реакции оседания эритроцитов", изложена в следующем разделе.
Отметим, что если под а подразумевать центробежное ускорение, которое может зависеть от координаты эс , то результаты настоящего раздела могут быть отнесены и к оседанию агрегирующих частиц при центрифугировании. Двухпараметрическая модель оседания суспензии агрегирующих частиц
В настоящем разделе исследуется оседание частиц суспензии без учета упругих свойств "каркаса" частиц, образующегося на поздних стадиях процесса оседания, и без учета динамики запирания жидкости в агрегатах. Эта постановка соответствует модели, предложенной в предыдущем разделе, если положить н=с . Сделанные предположения заметно упрощают моделирование оседания, сохраняя описание важнейших его черт, существенных для интерпретации "реакции оседания эритроцитов" - концентрационных явлений и процесса агрегации.
Состав суспензии будем характеризовать двумя концентрациями Н (Н-С) и Л/ (или средним объемом агрегатов, совпадающим со средним объемом твердой фазы в агрегатах гО -=гг=- И/N )# в настоящем разделе дял определенности будем полагать где к - положительный коэффициент, количественно характеризующий агрегационные свойства частиц. В этом случае для скорости роста объема агрегатов имеет место выражение ч = -чV/г/ = кп . Последующее изложение легко обобщается на случай любой зависимости вида Ь- w \п? N) t причем дополнительно потребуется лишь интегрирование уравнения
Воспользовавшись уравнениями (3.1.5) (поскольку при И-С t 9 = 0 и учитывая (3.1.14), получим систему уравнений, описывающую процесс оседания без учета упругих свойств "каркаса" частиц и запирания жидкости в агрегатах
Рассмотрим характеристики на плоскости ( л , Г ) (рис.1). Пусть А и О обозначают координаты соответственно дна трубки и вершины столбика крови. На О А выполнены начальные условия (3.2.3),т.е. в безразмерном виде Н = Н0 , V=l .В точке А концентрация в начальный момент терпит разрыв от Н0 до максимальной
Для процесса оседания эритроцитов характерная зависимость наклона характеристик второго семейства dX/aT- Х(п) U ,где от концентрации п имеет вид, представленный на рис.2. Особенностью этой зависимости является наличие экстремума при п-п , причем наклон характеристик при Н л с ростом Н монотонно возрастает; п„ Н+ , где Х(Н )=0.
Случай Но п : . Будем рассматривать разрыв в точке А как предельный случай (при о- О ) непрерывного монотонного распределения концентрации от п до п на участке i-o Х- ± Учитывая, что все характеристики, берущие начало в точке А , будут распространяться в области QAOl 9 причем наклон характеристик к оси AQ монотонно падает с ростом концентрации, придем к выводу, что в точке А берет начало бесконечное множество характеристик второго семейства, задаваемых уравнением (3.2.6) при всевозможных начальных значениях концентрации в пределах п0 h\ Ны В рассматриваемом случае разрыв в точке А не образуется. Рассмотрим область АОВ , образованную характеристикой ОВР первого семейства, выходящей из О , и крайней характеристикой А В второго семейства, выходящей из А .
Осредненные уравнения движения в плоской стоячей ультразвуковой волне
Характерные размерные времена образования слоистой структуры, рассчитанные для эритроцитов в ультразвуковом поле частотой tO 2.1T .10 Гц и мощностью W I Вт/см , имеют порядок нескольких секунд, что согласуется с экспериментальными данными [_76j . Это обстоятельство обосновывает применимость предпринятого исследования к описанию группировки эритроцитов, хотя здесь отсутствует учет агрегации: на временах порядка нескольких секунд агрегация эритроцитов практически не успевает проявиться.
Отметим, что в случае малых концентраций, изложенное настоящем разделе решение сводится к известному результату о локализации частиц в узлах или пучностях плоской стоячей звуковой волны.
Проведенное выше исследование группировки частиц справедли во лишь при условии, что диффузией частиц можно пренебречь. При учете диффузии в уравнении (4.3.1) следует использовать выражение для скорости в виде (в случае р - р — р Из этого выражения видно, что диффузией можно пренебречь почти всюду в случае
Отметим, что неравенство (4.3.9), позволяющее пренебречь диффузией при исследовании осредненного движения в стоячей звуковой волне, не совпадает с первым условием (4.I.I), позволяющим пренебречь диффузией при исследовании распространения звуковых колебаний в среде. Неравенство (4.3.9) имеет место для случая облучения крови ультразвуком мощностью vv I Вт/см , принятой в терапевтической практике. Справедливость принятого здесь бездиффузионного приближения процесса группировки эритроцитов {подтверждается также сравнением с экспериментами [67,76J , в которых наблюдалось образование ярко выраженных разрывов концентрации эритроцитов.
В настоящем разделе рассматривается группировка частиц суспензии в высокочастотных полях в ситуациях, отличных от исследованной в разд. 4.2 и 4.3: группировка в поле сферической звуковой волны и в плоском канале при колебаниях стенок канала по типу стоячей гармонической волны.
Известны экспериментальные наблюдения группировки эритроцитов крови вблизи газового пузырька [93j . При этом отмечалось притяжение эритроцитов к газовому пузырьку с образованием на некотором удалении от поверхности пузырька сферической зоны свободной от эритроцитов. К сожалению, в [_93J (единственной известной нам работе, в которой упомянуты подобные эксперименты) не дано достаточно подробного описания постановки эксперимента (неизвестны характерные размеры, а также способ возбуждения и частоты колебаний). Рассматриваемое явление представляет интерес в связи с возможностью возникновения гемолиза (разрушения эритроцитов) и образования агрегатов вблизи газового пузырька в звуковом поле.
Ниже рассматривается случай стоячей сферической звуковой волны вне сферического объекта радиуса К . Будем считать выполненными соотношения (4.1.1),(4.1.2),(4.1.19). Тогда в первом приближении по выражения для возмущений типа сферической стоячей волны можно представить в виде
В дальнейшем задача о группировке частиц в сферической стоячей звуковой волне сводится к решению второго уравнения (4.4.2), в котором иг определяется из (4.4.6).
Из (4.4.6) и (4.4.7) видно, что при KR«1 вблизи сферического объекта (пузырька) радиуса И при Re »i. частицы суспензии будут отталкиваться от пузырька, а при Re « л. притягиваться. Во втором случае сферическая область, которую частицы под действием звукового поля будут покидать, расположена на расстоянии порядка длины волны Z A » R . Этот результат не соответствует тем экспериментальным данным, которые схематично приведены в работе j_93J (свободная от частиц зона наблюдалась на расстоянии порядка Z R ). Отмеченное несоответствие может быть связано с тем, что в эксперименте осуществлялась бегущая, а не стоячая сферическая волна.
Явление группировки частиц характерно для суспензии, не только помещенной в поле стоячей звуковой волны, но и в ситуациях, когда сжимаемость частиц и несущей жидкости несущественна. В частности, частицы в трубках могут группироваться за счет высоко-ачстотных поперечных вибраций стенок сосудов, если эти вибрации носят характер стоячей волны.
Рассмотрим плоский (для простоты) бесконечный симметричный относительно своей оси канал, заполненный несжимаемой суспензией частиц в ньютоновской жидкости. Движение смеси осуществляется только за счет периодических колебаний стенки, имеющих форму синусоидальной стоячей волны
