Содержание к диссертации
Введение
1 Современное состояние исследований 11
1.1 Обзор работ по использованию эллиптических функций в задачах механики сплошных сред 11
1.1.1 Основные сведения об эллиптических функциях 11
1.1.2 Эллиптические функции в задачах механики деформируемого твердого тела 14
1.1.3 Эллиптические функции в задачах вихревой динамики . 17
1.1.4 Эллиптические функции в задачах подземной гидромеханики 21
1.2 Задачи моделирования месторождений углеводородов 23
1.2.1 Коэффициент продуктивности скважины 25
1.2.2 Коэффициент формы области питания скважины 33
1.2.3 Продуктивность группы скважин 35
Выводы по главе 1 37
2 Моделирование разработки месторождений углеводородов двояко-периодическими системами добывающих скважин 38
2.1 Общая постановка задачи 38
2.2 Общее решение для квазистационарного режима фильтрации (одиночная добывающая скважина в замкнутом резервуаре) . 45
2.3 Общее решение для квазистационарного режима фильтрации (двоякоперио диче екая система добывающих скважин) 47
2.3.1 Распределение скоростей 50
2.3.2 Распределение давления 52
2.4 Интегральная характеристика процесса разработки - коэффициент продуктивности скважины 55
2.5 Оптимизация разработки месторождений углеводородов двояко-периодическими системами добывающих скважин 65
Выводы по главе 2 69
3 Моделирование разработки месторождений углеводородов двояко-периодическими кластерами из систем добывающих скважин . 70
3.1 Общая постановка и решение задачи для n-скважинного двояко-периодического кластера 71
3.2 Случай расположения двух скважин в двоякопериодическом кластере 75
3.2.1 Характер течения в квадратной решетке 76
3.2.2 Характер течения в ромбической решетке 78
3.3 Случай расположения трех скважин в двоякопериодическом кластере 82
3.3.1 Характер течения в квадратной решетке 84
3.3.2 Характер течения в ромбической решетке 85
3.4 Случай расположения четырех скважин в двоякопериодическом кластере 86
3.4.1 Характер течения в квадратной решетке 87
3.4.2 Характер течения в ромбической решетке 89
3.5 Случай расположения п скважин в прямоугольном резервуаре с непроницаемыми границами 91
Выводы по главе 3 95
Заключение 97
Литература
- Эллиптические функции в задачах механики деформируемого твердого тела
- Общее решение для квазистационарного режима фильтрации (одиночная добывающая скважина в замкнутом резервуаре)
- Интегральная характеристика процесса разработки - коэффициент продуктивности скважины
- Случай расположения трех скважин в двоякопериодическом кластере
Эллиптические функции в задачах механики деформируемого твердого тела
В механике деформируемого твердого тела эллиптические функции использовались в основном при решении плоских задач теории упругости бесконечных областей с двоякопериодическими отверстиями. Подробнее с данным классом задач можно ознакомиться в монографиях Э.И. Григолюка, Л.А. Филынтинского [26], Д.И. Бардзокаса, А.И. Зобнина [16] и М.П. Саврука [52].
Первым, кто рассмотрел подобные задачи, был В.Я. Натанзон [42], применивший для решения плоской задачи теории упругости с круглыми отверстиями идею разложения решения в ряд по эллиптическим функциям в форме Вейер-штрасса. В этой работе была рассмотрена неограниченная плоская пластина, усеянная одинаковыми круговыми отверстиями, расположенными в шахматном порядке (периодическая решетка). Предполагалось, что на бесконечности решетка равномерно растягивается, а края отверстий свободны от напряжений. Краевые условия по границам отверстий и общие условия равновесия привели к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений для коэффициентов, использующихся в разложении комплексых потенциалов функций напряжения ф(г) и ф(г) в виде степенных рядов. Анализ был сконцентрирован на ромбических решетках с не нагруженными краевыми условиями на отверстиях и приложенным средним нормальным напряжением при растяжении. В работе была доказана сходимость решения, но примеры вычислений не были предоставлены. Возможно, это послужило причиной того, что данная фундаментальная работа была на долго забыта.
Данная проблема в более общем виде была вновь поднята В.Т. Койтером [103; 104]. Так, в работе [103] он предложил модифицированный интеграл Копій для двоякопериодического множества эквивалентных контуров, заменив сингулярное ядро интеграла Копій - = — - на квазипериодическую дзета-функцию Вейерштрасса. Во второй части статьи было показано, что в случае кругового контура квазипериодические функции могут быть разложены в бесконечный сходящийся ряд из производных ((z). В работе [104] общие теоремы о квазипериодических и двоякопериодических функциях были применены для исследования двоякопериодического распределения напряжений в бесконечной упругой пластине, ослабленной двоякоперио диче ской системой одинаковых отверстий произвольного очертания. Решение сводилось к интегральному уравнению Фредголъма второго рода, было доказано существование и единственность этого решения.
В работе [97] методы решения проблем равновесия криволинейных трещин в бесконечной изотропной среде, разработанные в [35; 96] и основанные на методе комплексных потенциалов, были модифицированы для применения к решению проблемы двоякопериодического множества криволинейных трещин. Авторами были использованы модифицированный интеграл Коши, предложенный В.Т. Койтером, и методы, использованные им для решения задач, связанных с двоякопериодическим множеством отверстий.
Подход, весьма близкий к исследованию В.Я. Натанзона, представлен в работах Я. Дворжака [88; 89], в которых последовательно развивалась схема решения различных двоякопериодических задач термоупругости, растяжения и изгиба для плоскости, ослабленной одинаковыми круговыми отверстиями, центры которых образуют квадратную сетку периодов. Функции напряжения, соответствующие плоской двоякопериодической задаче для квадратной решетки, выражались через тета-функцию Якоби $і и ее производные. В качестве примера в работах было рассмотрено распределение температурных напряжений в квад 16 ратной решетке и решение двоякоперио диче ской задачи об изгибе квадратной решетки моментами.
В дальнейшем исследования в этом направлении были развиты Э.И. Григо-люком, Л. М. Куршином и Л.А. Филынтинским [25; 32; 62]. В этих публикациях функция напряжения для плоской задачи с системой круглых отверстий выражается таким же образом, каким было предложено В.Я. Натанзоном. Однако авторы не решают бесконечные системы уравнений для коэффициентов обоих потенциалов функций напряжения одновременно, как предлагал В.Я. Натанзон, но, используя двоякопериодический характер проблемы, они получают систему линейных уравнений для коэффициентов функции напряжений. В [25] так же показано, что решение неоднородного двупотенциального уравнения может быть сведено к решению однородного уравнения добавлением нескольких интегралов эллиптической функции Вейерштрасса p(z) и некоторой мероморфной функции. В обобщающей монографии [26] были достаточно подробно изложены вопросы расчета прочности и жесткости пластин и оболочек, ослабленных большим количеством отверстий. Вопросы рассматривались с позиции двояко-периодических задач теории упругости.
Л.А. Филынтинский продолжил использовать аппарат эллиптических функций в своих дальнейших исследованиях. В [61] им изучена двоякоперио диче екая задача теории упругости для изотропной среды, ослабленной конгруэнтными группами произвольных отверстий. А в [31] им совместно с В.Е. Кацом рассмотрена аналогичная задача для анизотропной среды, которая была сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. В работе [60] было дано обобщение решения первой основной задачи теории упругости для анизотропной среды, ослабленной двоякоперио диче ской системой групп криволинейных разрезов общего вида.
Задачи теории упругости материалов с двоякопериодическими системами отверстий рассматривались так же в работах [30; 36; 39-41; 106; 115]. Теория эллиптических функций использовалась и при исследовании электрофизических свойств композитных материалов с регулярной структурой [15; 58; 92].
Общее решение для квазистационарного режима фильтрации (одиночная добывающая скважина в замкнутом резервуаре)
Для упрощения модели определяется система ограничений (допущений), к которым относятся: характеристика порового пространства (изотропность, однородность), влияние границ месторождения и другие.
Целесообразным является подход от простого к сложному. Вначале строится достаточно простая модель с возможностью аналитического решения, позволяющая получить качественную картину и провести быстрый расчет продуктивности разрабатываемой системы в хорошем приближении. В дальнейшем часть допущений снимается, и математическая модель усложняется. Тем самым увеличивается точность результата, но при этом усложняются вычислительные процедуры, которые зачастую возможно провести лишь численно. Таким образом, разработка новых более точных аналитических решений весьма востребована и актуальна.
Основной задачей математического моделирования разработки месторождений является расчет продуктивности скважин. Продуктивность скважин является одним из главных направлений в области разработки месторождений, т.к. предоставляет основу для формирования стратегии разработки. Для определения экономической целесообразности бурения скважин, инженерам необходим надежный метод оценки ожидаемой продуктивности.
Продуктивность скважины часто выражается с помощью коэффициента продуктивности, который определяется как скорость отбора флюида на единицу депрессии давления. Инженеры зачастую оценивают продуктивность для длительного периода работы скважины в течение квазистационарного режима или стационарного режима работы скважины [80].
Понятие коэффициента продуктивности вытекает из интуитивного представления: в случае, когда продуктивность скважины стабилизируется, отношение её дебита к разнице среднего давления в резервуаре и на контуре скважины должно зависеть только от геометрии резервуара и расположения в нем скважины. Стабилизация продуктивности является эмпирическим фактом, установленным из инженерной практики. В случае упругого режима добычи (замкнутый резервуар) или в случае водонапорного режима коэффициент продуктивности скважины с течением времени асимптотически стремиться к некоторой постоянной величине [28]. В углеводородном резервуаре стабильная продуктивность возможна в двух по существу различных случаях [101]:
Давление на контуре скважины поддерживается постоянным, тогда как дебит скважины и среднее давление в резервуаре постепенно уменьшаются. Дебит скважины поддерживается постоянным, но при этом давление на контуре скважины и среднее давление в резервуаре уменьшаются.
Если коэффициент продуктивности вычисляется при постоянном забойном давлении, тогда данный режим принято называть состоянием с доминирующими границами (boundary dominated state) [93]. Режим же с постоянной скоростью отбора флюида из скважины принято называть квазистационарным режимом [28]. Математически оба режима отличаются дуг от друга только граничными условиями на контуре скважины. Для режима с доминирующими границами это будет условие Дирихле (задано забойное давление, как функция от времени), а для квазистационарного режима - условие Неймана (задан дебит). В данной работе исследуется продуктивность скважин в квазистационарном режиме.
Коэффициент продуктивности скважины PI (productivity index) определяется как дебит на единицу депрессии давления. Первичный коэффициент продуктивности вычисляется до того как фильтрация перейдет в квазистационарный или стационарный режим. В течение этого начального периода времени коэффициент продуктивности определяется как [28]
Если резервуар ограничен границами с постоянным давлением, такими как газовая шапка или базальтовые воды, фильтрация переходит в стационарный режим, после того как изменение давления достигнет границ с постоянным давлением. Дебит и давление во всех точках резервуара становятся постоянными, забойное давление так же стабилизируется. Выражение для коэффициента продуктивности примет вид
В случае ограниченного резервуара с непроницаемыми границами, когда изменение давления достигнет всех границ, фильтрация переходит в квазистационарный режим на достаточно продолжительное время. В течение этого периода давление падает с почти одинаковой скоростью во всех точках резервуара, включая контур скважины. Таким образом, разница между средним давлением в резервуаре и давлением на забое достигает постоянного значения и сохранятся таким в течение длительного времени. В определении квазистационарного режима используется среднее пластовое давление вместо первоначального давления в резервуаре, поэтому коэффициент продуктивности постоянен. Для квазистационарного режима он определяется выражением [28]
Интегральная характеристика процесса разработки - коэффициент продуктивности скважины
Контуром питания скважины является совокупность линий тока, которые не попадают ни в одну из скважин. В частности критические точки, в которых обе компоненты скорости обращаются в ноль, расположены на контуре питания. В силу двоякой периодичности и нечетности функции v (z, z) она обращается в нуль в точках полупериодов ui\/2, U2/2, (иі + ш і)І1. Для квадратной решетки других критических точек нет, но для ромбической есть еще одна, совпадающая с центром тяжести треугольника, образованного сторонами и диагональю ромба, рисунок 2.6
Критические точки на рисунке 2.6 отмечены желтыми крестиками или кружками с темнокоричневой каймой. Более светлые круги отображают добывающие скважины, размещенные в узлах решетки L, красным пунктиром изображены границы параллелограммов периодов, а синими сплошными линиями -приблизительные границы контуров питания, соседних с «основным» контуром питания, который изображен желтой линией.
Коэффициент продуктивности РІ играет важную роль в нефтедобыче и характеризует производительность скважины. Ещё в начале нефтедобывающей эры было замечено, что если резервуар ограничен и достаточно истощен, то отношение скорости притока к перепаду (депрессии) давления1 стабилизируется к постоянному значению [28; 80]. Это значение зависит только от гидродинамических характеристик резервуара и расположения скважин в нем. Р (t) Pw (t) где Q - дебит скважины, р - среднее давление в резервуаре и pw - давление в стволе скважины. Чем выше значение PI, тем больше дебит нефти при данной депрессии давления и тем меньше скважин требуется для разработки месторождения. Исходя из наилучшего значения коэффициента продуктивности, инженер может корректно оценить число скважин, необходимых для разработки залежи. Существует две идеализированные модели работы скважины, которые наиболее часто встречаются в инженерной практике: модель с постоянной скоростью притока Q и модель с постоянным забойным давлением pw. Для ограниченного и истощенного резервуара в обоих случаях значение PI стабилизируется и будет оставаться постоянным в течение длительного времени.
Перепад между средним давлением в резервуаре и давлением в стволе скважины. Неизменность коэффициента продуктивности со временем свидетельствует о наступлении квазистационарного режима фильтрации. Из условия (2.16), подразумевающего то, что во всех точках резервуара давление изменяется на одну и ту же величину, следует, что р (t) — pw (t) = const. Из этого получаем, что PI = const.
Одной из целей данной работы является создание строгого математического инструмента, позволяющего найти коэффициент продуктивности и проанализировать его зависимость от расположения скважин, найти оптимальное их расположение, соответствующее максимальному значению PL
Функция (2.56) является двоякопериодической. На рисунке 2.7 в качестве примера представлены линии тока для решетки добывающих скважин с параметрами ш\ = 1, бо 2 = Ехр(І7г/4), где сплошной линией обозначены контуры питания скважин. В силу двоякопериоличности интегрирование по области питания скважины может быть заменено интегрированием по базовой ячейке. За базовую ячейку возьмем параллелограмм с вершинами ± х і/2, ± х 2/2. На рисунке 2.7 базовые ячейки обозначены пунктирной линией. Те части области питания, которые не попадают в ячейку, заменяются соответствующими частями из соседних областей. где и г] вещественные. Тогда dxdy = Jd drj, при этом якобиан преобразования {ио\ио) = тА. Получившаяся область схематично изображена на рисунке 2.8. В силу того, площадь поперечного сечения скважины много меньше ее области питания (пг С А), примем упрощенную область интегрирования, у которой скважина будет лишь точкой в начале координат.
Случай расположения трех скважин в двоякопериодическом кластере
В отличие от двухскважинных систем, точки Z2 и z:i, при которых достигается максимальное значение коэффициента продуктивности PI, уже не будут критическими точками - точками полупериодов UJI/2, UJ2/2, {UJ\ + UJ2) /2, где v (z2, Z i) = 0 и v(z3, Z3) = 0. Условию (3.27) будут удовлетворять только три пары точек z и z%, а именно - пара (UJI/3, 2UJ\/3), пара ( /З, 2бо 2/3) и ((бо»і + UJ2) /3, 2 (бо і + бо 2) /3). В этом случае величины R12, Ru и i?23 будут равными. Следовательно, равными будут и коэффициентов формы каждой из трех скважин СА , С и О , которые можно вычислить по формуле
Для квадратной решетки при равных дебитах {Q\ = Q2 = Qz) и размещении второй и третьей скважины в точках экстремума величины PI (вдоль диагонали в точках (бо і + х 2) /3, 2 (о;і + х 2) /3) линии тока и линии равных значений величины скорости течения изображены на рисунке 3.12
Для сравнения на рисунке 3.13 изображен характер течения и линии равных значений величины скорости течения для квадратной решетки, когда вторая и третья скважины находится в критических точках ш\/2, W2/2 данного параллелограмма периодов. Из рисунка 3.13 видно, что размещение дополнительных
Характер течения скважин не в точках экстремума величины PI, а в критических точках ш\/2, UJ2/2 параллелограмма периодов меняет характер течения. Поскольку значения R\2 и Ліз оказываются разными, следовательно, разными оказываются как контуры питания, так и их коэффициенты формы С А 3.3.2 Характер течения в ромбической решетке
Аналогично случаю течения в квадратной решетке рассмотрим характер течения в ромбической решетке с углом 7г/3 при равных дебитах {Q\ = Q2 = Qz) и размещении второй и третьей скважины в точках экстремума величины PI (вдоль диагонали в точках {uj\ + UJ2) /3, 2 {uj\ + UJ2) /3). Линии тока и линии равных значений величины скорости течения в этом случае изображены на рисунке 3.14 Как видим, данное размещение скважин в ромбической решетке оптимально, т.к. сформированная новая решетка полностью эквивалентна исходной ромбической решетке с отношением диагоналей 1 : \/3, а все контуры питания одинаковы с максимальным значением коэффициента формы С А 31.548.
Характер течения и линии равных значений величины скорости течения для ромбической решетки, когда вторая и третья скважины находится в критических точках 6o i/2 и бо 2/2 данного параллелограмма периодов представлен на рисунке 3.15. Из этого рисунка видно, что для каждой скважины получается ромбический контур питания со значением коэффициента формы С А 26.493. Л
Поступая аналогичным образом, для четырех скважин, размещенных произвольным образом в двоякопериодиче ской решетке L, соотношение для коэффициента продуктивности четырехскважинной системы РІ при равных дебитах всех скважин Q\ = Q2 = Q2, = Q4 = Q можно записать в виде
Можно показать, что условие экстремума (3.35) при расположении первой скважины в узле решетки z = 0 будет выполняться в двух случаях - когда все скважины расположены на равных расстояниях вдоль диагонали параллелограмма периодов и, когда вторая, третья и четвертая скважины расположены в точках полупериодов UJI/2, W2/2 и (бо і + бо 2) /2. В случае оптимального размещения точек Z2, Z2, и 4 коэффициенты формы каждой из четырех скважин
Для квадратной решетки при равных дебитах всех четырех скважин Q\ = Q2 = Qz = Q4 = Q и размещении второй, третьей и четвертой скважины в точках экстремума величины PI (т.е. в точках полупериодов ш\/2, W2/2 и (бо і + бо 2) /2 или вдоль диагонали в точках {uj\ + 6J2) /4, {UJ\ + 6J2) /2 и З (ш\ + 6J2) /4) линии тока и линии равных значений величины скорости течения изображены на рисунках 3.16 и 3.17.
Из рисунка 3.16 видно, что размещение второй, третьей и четвертой скважины в точках полупериодов UJ\/2, UJ2/2 и {uj\ + 6J2) /2 не меняет характер контура питания каждой из скважин (а значит и коэффициента формы С А, который для квадратной решетки остается равным С А 30.881). Возрастание коэффициента продуктивности системы происходит только за счет сгущения решетки добывающих скважин. При расположении второй, третьей и четвертой скважины вдоль диагонали параллелограмма периодов в точках {uj\ + UJ2) /4, {uj\ + UJ2) /2 и 3 (о;і + UJ2) /4 происходит изменение контуров питания скважин от квадратных к прямоугольным с отношением сторон 1:2. Следовательно, коэффициент формы уменьшается до значения С А 21.836.
Для сравнения на рисунке 3.18 изображен характер течения и линии равных значений величины скорости течения для квадратной решетки, когда все четыре скважины расположены симметрично в центре параллелограмма периодов
Рисунок 3.18 показывает, что симметричное, но не оптимальное размещение четырех скважин в квадратной решетке меняет вид контура питания каждой из скважин и он вместо квадрата принимает форму прямоугольного треугольника. Величина коэффициента формы также меняется и он принимает значение С А « 21.918.
Для ромбической решетки при равных дебитах всех четырех скважин Qi = Q i = Qz = QA = Q и размещении второй, третьей и четвертой сква 90 жины в точках экстремума величины PI (т.е. в точках полупериодов а1/2, UJ2/2 и (а1 + ш2) /2 или вдоль диагонали в точках (а1 + ш2) /4, (а1 + ш2) /2 и 3 (а1 + UJ2) /4 данного параллелограмма периодов) линии тока и линии равных значений величины скорости течения изображены на рисунках 3.19 и 3.20.
Для сравнения на рисунке 3.20 представлено изменение характера течения в ромбической решетке, изображенного на рисунке 3.19, когда четвертая скважина из критической точки 4 = (бо і + 6J2) /2 смещается В критическую ТОЧКу Z4 = (ші + UJ2) /3.
Из рисунка 3.20 видно, что незначительное изменение расположения скважин в данной решетке приводит к существенному изменению характера течения. В результате получается достаточно сложный характер течения с разными контурами питания и, соответственно, разными значениями коэффициента формы СА.
Случай расположения п скважин в прямоугольном резервуаре с непроницаемыми границами
Вышеизложенный подход к моделированию разработки месторожденияй с помощью эллиптических функций основан на априорном задании параллелограмма периодов и координат расположения добывающих скважин в нем. Контур питания каждой из скважин и всего кластера в целом при этом может не оказаться прямолинейным и будет меняться в зависимости от величины дебитов скважин и их расположений в кластере. Однако, эллиптические функции Вейер-штрасса могут быть использованы и при моделировании разработки месторождений с заранее заданным контуром питания кластера в виде прямоугольника или прямоугольного треугольника. Методику построения функции давления и функции скорости в этом случае рассмотрим на примере резервуара с прямоугольным контуром питания.
