Содержание к диссертации
Введение
1 Аналитическое исследование 10
1.1 Основные сведения о баромембранных процессах 10
1.2 Конструкция мембранных установок 16
1.3 Математические модели течения жидкости в каналах мембранных установок 20
1.4 Выводы 32
2 Пространственная гидродинамика мембранных установок З 3
2.1 Математическая формулировка задачи 33
2.2 Гидродинамика в мембранных каналах при высоких значениях числа Рейнольдса 3 5
2.3 Гидродинамика в мембранных каналах при низких значениях числа Рейнольдса 41
2.4 Анализ обобщенных решений для каналов мембранных установок
2.4.1 Анализ известных решений двумерных задач 43
2.4.2 Анализ обобщенных решений задачи пространственного течения в каналах мембранных установок 48
2.5 Выводы 63
3 Трехмерные течения в каналах мембранных установок квадратного и прямоугольного поперечного сечения 65
3.1 Постановка задачи 65
3.2 Анализ зависимости давления от координат 70
3.2.1 Случай "исчезающей вязкости 70
3.2.2 Случай "большой вязкости" 70
3.3 Анализ структуры течения жидкости для каналов мембранных установок квадратного поперечного сечения 76
3.3.1 Случай "исчезающей вязкости" 76
3.3.2 Случай "большой вязкости" 79
3.4 Исследование гидродинамики мембранных каналов квадратного поперечного сечения 81
3.4.1 Анализ зависимости кинематики течения от координат 81
3.4.2 Возможный алгоритм построения общего решения 86
3.4.3 Пример построения осесимметричного решения 87
3.5 Моделирование течений в мембранных установках прямоугольного поперечного сечения 90
3.6 Методика расчета средней скорости, массового расхода и перепада давления среды в мембранном канале 99
3.7 Пример использования методики расчета средней скорости, массового расхода и перепада давления потока по каналу в аппарате с фильтрующими элементами 103
3.7 Выводы 106
Заключение 108
Список литературы 110
- Математические модели течения жидкости в каналах мембранных установок
- Гидродинамика в мембранных каналах при низких значениях числа Рейнольдса
- Случай "исчезающей вязкости
- Пример построения осесимметричного решения
Введение к работе
Актуальность темы. Процессы разделения жидких систем играют важную роль во многих отраслях народного хозяйства. Для осуществления этих процессов применяют такие методы как перегонку и ректификацию, экстракцию и адсорбцию. Однако наиболее универсальным методом разделения является разделение с использованием полупроницаемых мембран (мембранные методы).
В химической и нефтехимической промышленности мембранные методы применяют для разделения азеотропных смесей, очистки и концентрирования растворов, очистки или выделения высокомолекулярных соединений из растворов, содержащих низкомолекулярные компоненты, и т.п.; в биотехнологии и медицинской промышленности - для выделения и очистки биологически активных веществ, вакцин, ферментов и т.п.; в пищевой промышленности - для концентрирования фруктовых и овощных соков, молока, получения высококачественного сахара и т.п. Наиболее широкое применение мембранные процессы находят при обработке воды и водных растворов, очистке сточных вод.
Расчеты и накопленный большой фактический материал показывают, что применение полупроницаемых мембран дает значительный экономический эффект в сложившихся традиционных производствах, открывает широкие возможности для создания принципиально новых, простых, малоэнергоемких технологических схем.
Таким образом, несомненные достоинства и универсальность методов мембранного разделения (малая энергоемкость, компактность, простота аппаратурного оформления, экологическая чистота) ставят их вне конкуренции при использовании в промышленном производстве для разделения, очистки и концентрирования растворов органических или минеральных веществ.
Разнообразие технологических задач, которые можно решить с использованием полупроницаемых мембран, требует создания широкого спектра аппаратов мембранного разделения оптимальной конструкции.
5 Физически обоснованные методы расчета процессов разделения в таких аппаратах должны опираться на результаты исследования закономерностей движения жидкой среды и частиц примеси. В ряде случаев надежные сведения о протекании процесса разделения можно получить путем непосредственного измерения. В общем же, в силу достаточно малых поперечных размеров модулей мембранных аппаратов такой метод определения скорости жидкой среды внутри канала трудоемок и не всегда обеспечивает необходимую точность. Поэтому более целесообразно и экономически оправдано математическое моделирование полей гидродинамических переменных в каналах мембранных установок.
Целью работы является математическое описание пространственных течений жидкости в мембранных каналах прямоугольного поперечного сечения. Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:
Разработать модели и алгоритмы для описания гидродинамических процессов в мембранных каналах.
Аналитически и численно исследовать гидродинамические характеристик течений в модулях мембранных аппаратов.
Разработать методику расчета скорости жидкости в каналах мембранных элементов, а также массового расхода и перепада давления потока по каналу.
О важности исследуемой проблематики свидетельствует тот факт, что вопросы, затрагиваемые в диссертационной работе, входят в "Перечень приоритетных направлений фундаментальных исследований в России", по следующим пунктам:
2.2. Информатика;
2.2.2. Математическое моделирование, методы вычислительной и прикладной математики и их применение в фундаментальных исследованиях в различных областях знания.
Данная работа выполнялась в рамках темы госбюджетного финансирования "Математическое моделирование сложных систем в наукоёмких технологиях" (№ Государственной регистрации 01970002259).
Работа состоит из трех глав, в каждой из которых решается отдельная часть поставленной задачи.
В первой главе рассматриваются различные математические модели, описывающие течения жидкости в каналах мембранных установок, которые представляют собой каналы со вдувом, а также способы получения дискретного аналога исходного дифференциального уравнения и методы его решения. Данная глава содержит обзор работ, посвященных исследуемой проблеме.
Течения жидкости описываются системой дифференциальных уравнений Навье-Стокса.
По используемому математическому аппарату методы ее решения делят на две группы: аналитические и численные. Аналитические методы решения дифференциальных уравнений, описывающих задачи гидродинамики приведены в работах Дж. Бэтчелора, С. Бермана, С. Юаня, А.Б. Финкельштейна, Г.Ф. Теленина, Л.Д. Шитовой, В.М. Ерошенко, Л.И. Зайчика, И.Л. Краснова, Х.С.Карслоу и ряде других. С помощью численных методов могут быть получены решения гораздо более сложных и важных задач. Различные численные методы решения задач гидродинамики описаны в работах С. Патанкара, Р.Д. Рихтмайера, X. Мортона, Р.В. Мак-Кормака, А.А. Самарского, Ю.Т. Попова, Д. Коннора, К. Бреббиа, Д. Каханера, К. Моулера, С. Нэша, А. Моулта, Д. Сполдинга, Н. Маркатоса, К. Флетчера, В.В. Русанова и др. Примеры численного исследования приведены в работах Б. Салветата, Б.Я. Бендерского, Ф.Ф. Спиридонова, В.А. Тененева, А.С. Лебедева и ряде других. Однако в большинстве случаев рассмотренные методы применимы к решению одно- и двухмерных задач. Самыми универсальными, дающими наиболее полную информацию о параметрах течения являются трехмерные модели, однако, ввиду высокой сложности их практической реализации, а также больших временных затрат и вычислительных ресурсов, необходимых для
7 проведения расчетов, их применение до настоящего времени является ограниченным. Число публикаций, посвященных применению аналитических методов расчета трехмерных течений в мембранных каналах также невелико, по сравнению с работами, описывающими те или иные упрощенные двумерные модели. Таким образом, представляется важным создание трехмерных моделей течений, которые были бы эффективны для исследования гидродинамики в каналах мембранных установок.
Во второй главе рассмотрены особенности решения пространственных задач гидродинамики каналов мембранных установок.
Для случая предельно высоких значений числа Рейнольдса (i?e—»оо) сформулирована автомодельная задача, получена определяющая система дифференциальных уравнений в частных производных, записанная в дивергентном виде. Эта система может решаться численными методами.
Сформулирована задача определения характерного неизвестного параметра с. Получено интегрально-дифференциальное уравнение, описывающее поведение обобщенного решения. Это уравнение сведено к нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению, интегрирование которого позволило получить выражение для отыскания значения с в общем случае.
В случае предельно низких значений числа Рейнольдса (Re —» 0) сформулирована автомодельная задача, получена определяющая система дифференциальных уравнений в частных производных. Показано, что кинематика движения (и, v, W) не зависит от вязкости /и, а динамика - зависит. На основе сравнения искомого решения трехмерной задачи с известными двумерными введены обобщенные координаты (
8 нелинейное дифференциальное уравнение, которое может быть исследовано с помощью алгоритма Регирера [37] или методом, изложенным в работе [38].
В третьей главе исследованы трехмерные течения жидкости в каналах мембранных установок прямоугольного и квадратного поперечного сечений на основе уравнений гидродинамики. В случае предельно низких значений числа Рейнольдса (Re-^О) найдены решения задачи, используя метод разделения переменных. При этом использовались соображения о симметрии решения по переменным.
Найдена зависимость для поперечной составляющей давления внутри канала:
Рх (х, У) = />, О, у) + р7 (х, у), где Р\(х,у)- давление при малых числах Рейнольдса (Re —» 0), р*(х,у) - при больших (У?е-»оо). Причем Р\(х,у) = 0 при Re —> оо и р(х,у) = 0 при Re->Q. Показано, что р](х,у) = —-лГ , P?(x,y) = -(ul + v*), где щ, Re 2 V 2 2v ' v0- компоненты вектора скорости вдоль осей х, у при Re —» 0, ию, vm~ при Re —> со .
С целью анализа кинематической структуры течения рассмотрена его часть в окрестности угла для канала квадратного поперечного сечения. Построенные картины изолиний W=const двух рассмотренных режимов течения при Re —> оо и Re —> 0 качественно похожи. Кроме того, если вблизи начала координат форма изолиний близка к очертаниям угла, то по мере удаления контуры продольной компоненты вектора скорости W=const более напоминают дуги окружностей. Поэтому можно сделать вывод, что вблизи центра канала течение стремиться к осесимметричному.
Для случая предельно низких значений числа Рейнольдса (Re —> 0) на примере круглого канала описан алгоритм получения решения "нулевого приближения" и его последующего уточнения. Работоспособность алгоритма уточнения при получении осесимметричного решения показывает, что с его
9 помощью могут быть получены и соответствующие решения пространственной задачи.
Также в случае предельно низких значений числа Рейнольдса (Re -> 0) сформулирована автомодельная задача, получена определяющая система дифференциальных уравнений в частных производных. Найдены решения задачи, используя метод разделения переменных. При этом использовались соображения о симметрии решения по переменным. Решениями задачи являются функции X = cos —х, 7 = cos — у. 2 2
Также найдено приближенное решение в виде: Х*\-х\ К«1-/, хє[0,і], у є [0,1].
Для случая предельно низких значений числа Рейнольдса решена задача движения жидкости в мембранном канале методом последовательных смещений и построены картины изолиний для составляющих вектора скорости. Также исследовано течение жидкости в дренажном канале мембранной установки, образующая которой является прямой линией, а поперечное сечение представляет собой прямоугольник. В ходе эксперимента были проведены расчеты на последовательности сеток, которые показали хорошую аппроксимационную и итерационную сходимость. Выявлено, что линейные размеры дренажного канала мембранной установки прямоугольного поперечного сечения не оказывают влияния на распределение скорости во внешней части мембранного канала и структура течения качественно одинакова.
В заключении перечислены основные результаты работы и представлены выводы, следующие из этих результатов.
Математические модели течения жидкости в каналах мембранных установок
Экспериментальные и теоретические исследования Ю.И. Дытнерского, И.О. Протодьяконова, Н.А. Марцулевича, Н.Н. Смирнова, Ю.Г. Чеснокова, СВ. Полякова, Е.Д. Максимова и других ученых подтверждают то, что на характеристики процессов разделения особое влияние оказывает гидродинамика в напорных каналах мембранных установок, которые являются каналами со вдувом. Наиболее достоверные сведения об условиях протекания интересующих процессов могут быть получены путем непосредственных измерений. Хотя ряд исследований [24, 25] посвящен экспериментальному исследованию течений в каналах со вдувом, проведение натурных экспериментов не всегда может дать требуемую информацию, поскольку методы измерений являются несовершенными, и, кроме того, прямые измерения интересующих параметров в нужных точках исследуемой области не всегда представляются возможными. К числу причин, затрудняющих проведение измерений можно отнести малые размеры модулей мембранных аппаратов, конструктивную невозможность установки датчиков, скоротечность протекания процессов. Поскольку полномасштабные эксперименты зачастую технически либо экономически невозможны, возникает необходимость в комплексном физико-математическом моделировании полей гидродинамических переменных в напорном канале мембранной установки.
Комплексное физико-математическое моделирование процессов в мембранных установках включает в себя ряд этапов: 1. Разработку физической модели, в которой должны быть перечислены основные явления, происходящие в мембранном канале, и сформулированы упрощающие допущения; 2. Разработку математической модели, которая представляет собой запись физической модели набором математических средств - алгебраическими или дифференциальными уравнениями с граничными и начальными условиями;
3. Разработку метода решения полученных уравнений, который, в зависимости от сложности поставленной задачи может быть либо аналитическим, либо численным [26].
Математическое описание движения жидкой среды общими дифференциальными уравнениями, учитывающими все физические свойства, присущие этой среде, оказывается весьма сложной задачей. Если даже ограничится учетом вязкости и сжимаемости, то и тогда уравнения движения, выражающие основные законы механики, достаточно сложны и не удалось разработать общих аналитических методов их решения. Поэтому в гидродинамике широко используют упрощенные модели среды и отдельных явлений [27].
Под моделью реальной среды понимают такую гипотетическую среду, в которой учтены только некоторые из физических свойств, существенные для определенного круга явлений и задач. Другие малосущественные свойства среды в модели игнорируются.
Одной из основных в гидродинамике является модель несжимаемой идеальной (или невязкой) жидкости. Так называется гипотетическая сплошная среда, лишенная вязкости и полностью несжимаемая. Игнорирование свойств вязкости и сжимаемости сильно упрощает математическое описание движения жидкости и позволяет получить многие решения в конечном замкнутом виде. Несмотря на значительную степень идеализации среды, теория несжимаемой невязкой жидкости дает ряд не только качественно, но и количественно подтверждаемых опытом результатов, полезных для практических приложений. Но не менее существенное значение этой теории состоит в том, что она является базой для других моделей, более полно учитывающих свойства реальных сред. Более полно свойства реальной жидкости учитываются в модели вязкой несжимаемой жидкости, которая представляет собой среду, обладающую вязкостью, но абсолютно несжимаемую. Теория вязкой несжимаемой жидкости лишь в ограниченном числе случаев с простейшими граничными условиями позволяет получить точные решения полных уравнений движения [26]. Наибольшее значение в этой теории имеют приближенные уравнения и их решения. Такие уравнения получают путем отбрасывания в полных уравнениях движения тех членов, которые мало влияют на соответствие теоретических решений опыту. Решение приближенных уравнений могут быть как точными, так и приближенными [28].
Существуют и другие модели несжимаемых жидкостей, но мы остановимся на применении рассмотренных моделей к задачам течения жидкостей в мембранных каналах.
Целью при исследовании течений жидкости в мембранном канале обычно является определение давления и составляющих вектора скорости в каждой точке рассматриваемого канала. Искомыми величинами могут также являться температура, концентрации соответствующих химических компонентов или иные физические параметры, однако основным определяющим фактором будут оставаться скорость и давление несущей среды.
Гидродинамика в мембранных каналах при низких значениях числа Рейнольдса
К сожалению, метод решения в переменных функция тока - вихрь наряду с достоинствами имеет и серьезные недостатки. Условия для вихря на стенке задать трудно, и это часто затрудняет получение сходящегося решения. Кроме того, давление, исключение которого из формулировки задачи упрощает ее постановку, зачастую является конечным результатом решения или промежуточным результатом, необходимым для расчета плотности и других свойств жидкости. В результате трудности, возникающие при определении поля давления по полю вихря, значительно снижают преимущества использования переменных у/ - со. Основным же недостатком данного подхода является невозможность использовать его в случае трехмерных задач, для которых не существует функции тока. В работе [30] показано, как такой алгоритм можно применять для расчета параметров квазитрехмерных течений, например, течений в круглом канале, имеющем продольные щели, поток в которых ведет себя в основном как двухмерный, а трехмерность проявляется только в области щелей. В случае полностью трехмерного течения при введения вихря в качестве независимой переменной формулировка задачи будет включать в себя шесть независимых переменных - три составляющие вихря и три составляющие вектора потенциала скорости, в результате чего задача получается сложнее, чем при использовании трех составляющих скорости и давления. Кроме того, формулировка задачи с помощью вектора вихря и вектора потенциала скорости менее наглядна, чем при использовании естественных переменных.
Другой метод расчета представлен в работах [30, 41, 42]. В [41] показано, что расчет ламинарного течения в канале с распределенным вдувом приближенно сводится к решению нелинейного интегро-дифференциального уравнения где Fb = Fb(Z) - зависимость относительной площади поперечного сечения канала Fb = Fb /Fb (0) от величины приведенной боковой поверхности канала (до данного сечения), безразмерное давление в данном сечении канала, Z = (р{ ) - искомая функция, дающая связь между безразмерным давлением и приведенной боковой поверхностью или длиной канала. Показано, что при постоянной скорости вдува возможно получение аналитического решения для некоторых типов каналов. Интересные результаты приведены также в работах [30, 43]. В них приведено аналитическое решение уравнения (1.27) для цилиндрического канала при сложной зависимости скорости вдува от искомого параметра -распределения давления. Зависимость представлена в общем виде формулой
Решение получено при различных значениях параметров а, /? и п. Такой метод расчета, основанный на модели слоистой гидравлики, хорошо подходит для решения двухмерных задач при условии, что поперечный градиент давления много меньше продольного градиента, и им можно пренебречь. В реальных условиях данное ограничение выполняется не всегда. Зачастую процессы, интересные с практической точки зрения протекают в пространственных областях сложной формы, и двухмерные схемы не подходят для их расчета.
Вследствие большого разнообразия геометрических параметров расчетной области и граничных условий широкое применение находят численные методы расчета, которые свободны от ограничений, присущих аналитическим методам, и являются наиболее универсальными средствами моделирования. Методам численного моделирования посвящены работы [44-54].
1. Получение информации о протекании физических процессов в каналах мембранных установок путем натурных экспериментов экономически дорого, непосредственные измерения затруднены, а в ряде случаев оказываются физически невозможны.
2. Наиболее подходящими средствами математического моделирования течений в каналах мембранных установок являются аналитические и численные методы расчета.
3. Большое влияние на характеристики процесса мембранного разделения оказывает гидродинамика в каналах модуля.
4. Самыми универсальными, дающими наиболее полную информацию о параметрах течения являются трехмерные модели, однако, ввиду высокой сложности их практической реализации, а также больших временных затрат и вычислительных ресурсов, необходимых для проведения расчетов, их применение до настоящего времени является ограниченным. Число публикаций, посвященных применению аналитических методов расчета трехмерных течений в мембранных каналах также невелико, по сравнению с работами, описывающими те или иные упрощенные двумерные модели.
Задачи о течениях в плоских и осесимметричных каналах с пористыми стенками являются двумерными. В ходе исследований двумерных задач получены автомодельные решения (см., например, [57, 58, 68]). В связи с необходимостью интенсификации процессов очистки жидкостей от примесей возникает потребность в применении мембранных каналов неосесимметричной формы. Гидродинамика таких каналов является пространственной -трехмерной. В общем случае она описывается с помощью системы уравнений, включающей в себя закон сохранения массы (уравнение неразрывности) и уравнений Навье - Стокса с соответствующими начальными и граничными условиями.
Будем полагать, что движение жидкости в канале произвольной формы с проницаемыми стенками является квазистационарным и описывается полной системой уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости при соответствующих начальных и граничных условиях. Качественный и количественный анализ этой системы невозможен ввиду ее сложности. Однако, при некоторых допущениях эта задача может быть упрощена и решена [71].
Примем допущения: 1) движение жидкости является стационарным; 2) плотность и вязкость жидкости являются величинами постоянными; 3) движение жидкости имеет место в призматическом канале произвольного поперечного сечения, ось oz выбранной системы совпадает с гидравлической осью канала (рис 2.1).
Случай "исчезающей вязкости
При использовании конкретной мембраны эффективность фильтрации зависит от ряда факторов, одним из которых является величина рабочей поверхности мембраны в единице объема аппарата. С точки зрения величины удельной рабочей поверхности, как отмечалось в главе 1, на практике отдается предпочтение аппаратам с полыми волокнами и аппаратам кассетного типа, представляющим собой каскад мембранных модулей [17].
Кроме того, один из способов увеличения площади поверхности разделения состоит в использовании мембранных каналов со сложной формой образующей, отличных от круговых цилиндрических и плоских призматических. Например, в работе [57] рассмотрены плоские и осесимметричные каналы с волнистой формой образующей проницаемой границы двух типов: составленной из прямолинейных участков, образующих друг с другом углы и синусоидой. В работе исследованы особенности течений в таких каналах (при наличии ребер жесткости в точках перегиба или без них) при различных значениях геометрических и физических параметров. В ходе эксперимента было доказано, что форма границы оказывает существенное влияние на структуру течения в канале, так как профиль скорости отличается от теоретического. Решение поставленных задач получено численным моделированием с применением различных методов. Проводится сравнительный анализ приближенных численных решений с результатами, полученными для однокомпонентных систем Берманом [57] на пористых параллельных пластинах и Юанем и Финкельштейном [58] на пористых трубках, поток пермеата через которые остается постоянным.
Полученные в ходе численного исследования [84] результаты позволяют сделать следующие выводы: 1. Структура исследуемого течения существенно отличается от структуры течения в канале с прямолинейной формой образующей. Наиболее значимым параметром является амплитуда волны h, при увеличении которой структура течения все больше отличается от автомодельной [57-58], при этом наибольшее отличие наблюдается в зоне, непосредственно прилегающей к проницаемой границе. При h=0 результаты расчета совпадают с [59-60]. Таким образом, при расчете описанных выше каналов точные решения [57-58] применимы лишь в приосевой зоне канала; 2. Величина параметра Re (числа Рейнольдса) слабо влияет на структуру течения; 3. Решения для плоского и осесимметричного канала с волнистой формой проницаемой границы в виде синусоиды и составленной из прямолинейных участков, образующих друг с другом углы качественно себя ведут одинаково, однако количественные характеристики различны; 4. Наличие в канале ребер жесткости качественно не влияет на структуру течения. Устройства мембранных аппаратов содержат канал с проницаемыми стенками, помещенный в дренажное пространство, сечение которого сравнимо по размерам с сечением канала. С целью увеличения площади поверхности разделения целесообразно использование мембранных каналов, отличных от плоских призматических и круглых цилиндрических. Проектирование мембранных аппаратов требует, в первую очередь, знания распределения давления и скоростей жидкой среды в напорном канале, так как от этого в конечном итоге зависит производительность всей установки [10]. ту В связи с этим рассмотрим течения в каналах, ъ і р- образующая которых является прямой линией, а ч а поперечное сечение представляет собой прямоу s гольник (рис. 3.1). Течения образованы подачей
Рис. 3.1 Схема мембранного жидкости со скоростью q+ - const через стенки канала прямоугольного поперечного сечения каналов. Без ущерба общности будем считать С целью анализа кинематической структуры течения рассмотрим его часть в окрестности угла А для канала квадратного поперечного сечения (рис. 3.2). Для этого введем новую систему координат, расположив угол в ее начале. Предполагается, что в окрестности угла есть бесконечно малое скругление. Нетрудно видеть, что решение системы (3.4) зависит от величины числа Рейнольдса. Рассмотрим два возможных предельных
Пример построения осесимметричного решения
1. Исследованы трехмерные течения жидкости в каналах мембранных установок прямоугольного и квадратного поперечного сечений на основе уравнений гидродинамики. В случае предельно низких значений числа Рейнольдса (Re —»0) сформулирована автомодельная задача, получена определяющая система дифференциальных уравнений в частных производных. Показано, что кинематика движения не зависит от числа Рейнольдса, а динамика - зависит. Найдены решения задачи, используя метод разделения переменных. При этом использовались соображения о симметрии решения по переменным. 2. В случае предельно высоких значений числа Рейнольдса (Re — х ) показано, что динамика не зависит от числа Рейнольдса. 3. Найдена зависимость для распределения давления по мембранному каналу. 4. С целью анализа кинематической структуры течения рассмотрена его часть в окрестности угла для канала квадратного поперечного сечения. Построенные картины изолиний W=const двух рассмотренных режимов течения при Re — оо и Re — 0 качественно похожи. Кроме того, если вблизи начала координат форма изолиний близка к очертаниям угла, то по мере удаления контуры продольной компоненты вектора скорости W=const более напоминают дуги окружностей. Поэтому можно предполагать, что вблизи центра канала течение стремиться к осесимметричному. 5. В случае предельно низких значений числа Рейнольдса (Re — 0) сформулирована автомодельная задача, получена определяющая система дифференциальных уравнений в частных производных. Найдены решения задачи, используя метод разделения переменных. При этом использовались соображения о симметрии решения по переменным. Решениями задачи являются функции X = cos —x,Y = cos —у . Также найдено приближенное решение в виде: 6. Для случая предельно низких значений числа Рейнольдса (Re — 0) на примере круглого канала описан алгоритм получения решения "нулевого приближения" и его последующего уточнения. 7. Для случая предельно низких значений числа Рейнольдса решена задача движения жидкости в напорном канале методом последовательных смещений (или ускоренным методом Либмана) и построены картины изолиний для составляющих вектора скорости. Также исследовано течение жидкости в дренажном канале мембранной установки, образующая которой является прямой линией, а поперечное сечение представляет собой прямоугольник. В ходе эксперимента было обнаружено, что линейные размеры напорного канала мембранной установки прямоугольного поперечного сечения не оказывают влияния на распределение скорости во внешней части мембранного канала и структура течения качественно одинакова. Изменение размеров сетки влияет на время решения задачи, на форму линий тока не влияет. 8. Разработана методика расчета средней скорости, массового расхода и перепада давления среды в мембранном канале и приведен пример их расчета для реально действующего аппарата.
Основные результаты проведенных исследований состоят в следующем. 1. Рассмотрены особенности решения пространственных задач гидродинамики каналов мембранных установок. Исследована трехмерная структура потоков рабочей среды в каналах мембранных установок, позволяющая оптимизировать геометрические и расходные характеристики мембранных каналов. 2. Для случая предельно высоких значений числа Рейнольдса (Re — а ) сформулирована автомодельная задача и найдено ее решение в аналитическом виде. В процессе решения определен характерный для мембранных каналов параметр, позволяющий установить взаимосвязь между потоками в проницаемых и непроницаемых каналах. Найденное аналитическое решение хорошо согласуется с известными зависимостями для плоского и осесимметричного каналов. 3. С помощью обобщенных координат в случае предельно высоких значений числа Рейнольдса (7?е—»оо) получено автомодельное решение. Показано, что известные решения для плоского и осесимметричного каналов являются частными случаями этого решения. 4. Исследованы трехмерные течения жидкости в каналах мембранных установок прямоугольного и квадратного поперечного сечений на основе уравнений гидродинамики. В случае предельно низких значений числа Рейнольдса (Re — 0) найдены решения задачи, используя метод разделения переменных. 5. Проведен анализ кинематической структуры течения для канала квадратного поперечного сечения. Показано, что вязкие силы действуют вблизи угла канала. Ядро течения является практически осесимметричным. 6. Для случая предельно низких значений числа Рейнольдса численными методами решена задача движения жидкости в дренажном канале мембранной установки. Изучена структура течения - построены картины изолиний для составляющих вектора скорости. 7. Исследовано течение жидкости в напорном канале мембранной установки, образующая которой является прямой линией, а поперечное сечение представляет собой прямоугольник. Показано, что геометрические размеры канала не влияют на структуру течения. 8. Получена зависимость для распределения давления в мембранных каналах. 9. На основе исследований гидродинамики потоков разработана методика, позволяющая рассчитать среднюю скорость, массовый расход и перепад давления среды в мембранном канале и приведен пример их расчета для реально действующего аппарата. Результаты теоретических исследований могут быть использованы для моделирования гидродинамических процессов в модулях мембранных аппаратов, при проектировании мембранной аппаратуры с целью оптимизации рассмотренных технологических процессов.
