Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Физико-математическая модель полого катода 21
1.1. Современное состояние теоретических разработок по дуговым полым катодам 21
1.2. Физические процессы, определяющие тепловое состояние катода. Постановка задачи 25
1.3. Математическая модель состояния катодной стенки
1.3.1. Тепловой баланс катодной стенки 27
1.3.2. Условие непрерывности тока в катодной стенке 37
1.3.3. Модель электронного тока на поверхности катода 41
Выводы к главе I 42
Глава II. Исследование особенностей ионизационно-рекомбинационных процессов в плазме активной зоны полого катода 44
2.1. Современное состояние теоретических исследований 44
2.2. Особенности состояния плазмы активной зоны полого катода 46
2.3. Основные ударно-радиационные процессы и скорости их протекания 49
2.4. Квазиводородоподобная модель квантовых переходов
2.4.1. Эффективные сечения ударно-радиационных процессов 56
2.4.2. Метод учета выхода излучения в квазиводородном приближении 58
2.5. Представление системы кинетических уравнений в безразмерном виде 60
2.5.1. Метод решения 64
2.5.2. Условие замыкания системы кинетических уравнений 66
2.6. Применение квазиводородоподобной модели к расчету скорости ионизации плазмы активной зоны полого катода 68
Выводы к главе II
Глава III. Физико-математическая модель внутреннего положительного столба плазмы полого катода 74
3.1. Современное состояние теоретических исследований 74
3.2. Уравнение энергии для электронов. Определение потерь энергии электронами в неупругих столкновениях 76
3.3. Модель ионного тока на катод 85
3.4. Уравнения баланса числа частиц в активной зоне полого катода 89
3.5. Уравнение движения плазмообразующего газа 95
Выводы к главе III 101
Глава ІV. Особенности алгоритма расчета параметров полого катода в дуговом режиме 103
4.1. Метод совместного расчета температуры стенки канала катода и прикатодного скачка потенциала 106
4.1.1. Особенности краевой задачи. Построение характеристического уравнения 107
4.1.2. Выполнение закона сохранения при построении итерационного процесса 110
4.1.3. Вывод расчетной формулы прикатодного скачка потенциала 112
4.1.4. Алгоритм решения задачи о тепловом состоянии катода. Метод демпфирующего параметра 113
4.2. Метод расчета параметров плазмы внутреннего положительно столба разряда 116
4.2.1. Метод расчета температуры электронов 118
4.2.2. Построение начального приближения для температуры электронов и степени ионизации плазмы 120
4.2.3. Алгоритм определения параметров плазмы активной зоны полого катода 122
4.3. Общий метод расчета интегральных и локальных параметров полого катода в дуговом режиме 124
Выводы к главе IV 125
Глава V. Результаты моделирования 128
Выводы к главе V 140
Заключение 141
Литература
- Физические процессы, определяющие тепловое состояние катода. Постановка задачи
- Основные ударно-радиационные процессы и скорости их протекания
- Уравнение энергии для электронов. Определение потерь энергии электронами в неупругих столкновениях
- Выполнение закона сохранения при построении итерационного процесса
Введение к работе
В настоящее время при решении разнообразных научных и инженерных задач широко используются одноканальные и многоканальные полые катоды Преимущество полых катодов в том, что они позволяют получать достаточно чистую и плотную плазму с малой долей примеси катодного материала, к тому же, полые катоды относительно долговечны Устройства с полыми катодами применяются при сварке и плавке материалов, в составе МГД генераторов, в газоразрядных лазерах, плазменных ускорителях, в ионных двигателях, в составе стационарных плазменных двигателей или магнитоплазменных двигателей С ростом потребностей космической техники необходимый ресурс работы двигателя должен достигать десятков тысяч часов, а ресурс плазменных устройств определяется главным образом стойкостью электродов В связи с такими требованиями к времени работы двигателя стендовые испытания чересчур усложняются и удлиняются
Математическое моделирование процессов, протекающих в катодном узле, дает возможность прогнозировать ресурс работы двигателя, а также получать необходимую информацию о характеристиках устройства в широком диапазоне рабочих режимов В таком случае появляется возможность совершенствовать конструкцию и оптимизировать параметры, определяющие условия работы катода Более того, математическое моделирование позволяет получать характеристики малодоступные или недоступные экспериментальному изучению Но для того, чтобы осуществлять такое многофакторное моделирование, необходимы дополнительные исследования всего комплекса процессов и в плазме внутреннего столба разряда, и в катодной стенке и на границе плазмы с катодом
Актуальность Число фундаментальных теоретических исследований в области полых катодов существенно меньше, чем экспериментальных Связано это с объективными трудностями объединения в модели целого ряда сложных явлений Хотя большинство экспериментальных работ, в той или иной степени, содержит элементы теоретической проработки полученных данных, но обычно рассматриваются отдельные группы процессов К тому же, обычно работы привязаны к конкретным конструкциям катодов или к конкретным техническим условиям Даже наиболее развитые теоретические модели в качестве исходных данных берут экспериментально измеренные распределения
Возможность создания полной модели, объединяющей все процессы в полом катоде, показана в работе Павлов АЮ, Докукин МЮ, Хвесюк ВИ Результаты расчета параметров разряда в дуговом полом катоде Тез докл 11-ой Всесоюзной конференции по генераторам низкотемпературной плазмы, Новосибирск, 1989 - Новосибирск ИТСО АН СССР - 1989 - ч 2
Рассмотрена неравновесная аргоновая плазма внутреннего положительного столба разряда В рамках квазиводородоподобной модели атома аргона рассчитаны заселенности уровней и получено аналитическое выражение для коэффициента скорости ионизации-рекомбинации
Сформулирована самосогласованная физико-математическая модель внутреннего положительного столба разряда Модель включает уравнение баланса энергии электронов, баланс числа заряженных частиц в активной зоне (сохранение заряда), соотношение для плотности ионного тока, уравнение течения ионизованного газа (трехкомпонентная смесь) Модель предполагает известными температуру стенки, плотность тока эмиссии и прикатодное падение напряжения Результаты предварительного исследования распределения атомов плазмообразующего газа по состояниям позволили оценить потери энергии электронами в неупругих столкновениях Структура модели позволяет варьировать соотношения для коэффициента скорости ионизации-рекомбинации, электропроводности и вязкости плазмы
Проанализированы математические особенности записанных систем уравнений Выбран метод и разработан алгоритм совместного решения системы уравнений состояния плазмы и катодной стенки Создан программный комплекс, реализующий алгоритм
Выполнено моделирование рабочих режимов классических одноканальных полых катодов в широком диапазоне входных параметров (геометрические размеры, расход плазмообразующего газа, сила тока разряда) Исследована зависимость характеристик катодов от материала катода (тугоплавкие металлы и материалы с пониженной работой выхода), а также от плазмообразующего вещества (аргон, водород, литий) В целом, по всем моделируемым параметрам погрешность расчета не превышает 20%
Список публикаций по теме диссертации.
Ваулин Е П. Воропаев НБ, Кирюшкина MB Исследование параметров сильноточного полого катода Сб научн тр Процессы переноса в пристеночных слоях ионизованных газов/МАИ/Отв ред ФА Николаев -М МАИ, 1989 -с 4-14
Ваулин Е П, Воропаев НБ, Кирюшкина MB Численное исследование системы уравнений теории сильноточных полых катодов Сб научн тр Исследования в области физики газа, плазмы и твердого тела. - деп ВИНИТИ - № 5100 - В 89 -с 20 -25
Ваулин ЕП, Иванова ЕА, Кирюшкина MB, Филатова ЕЛ Численное исследование масштабов параметров состояния и эрозии полого катода Сб научн тр Прикладная математика и физика - деп ВИНИТИ - № 2665 - В 90
Vaulin E P, Kirushhna M V, Voropaev NB Theory and method of calculation of the integral and local parameters of hollow cathodes// Proc 2nd German-Russia Conf on Electric Propulsion Engines and Their Technical Applications, Russia, Moscow, 16-21 July -1993 -A6-8
Vaidin EP, Kirushhna MV, Tikhonov VB, Filatova EA Calculation of hollow cathodes erosion// Proc 2nd German -Russia Conf on Electric Propulsion Engines and Their Technical Applications, Russia, Moscow, 16-21 July 1993 -A 6-7
Vaulin E P, Kirushhna M V, Latyshev L A, Tikhonov VB, Filatova EA Engmeenng methods of hollow cathode calculation// Proc 23 Intern Electric Propulsion Conf, USA, Seattle, 13-16 Sept 1993 -IEPC-93-019
Vaulin EP, Kirushhna MV, Gutikova NV Investigation of physical processes in hollow cathodes by the mathematical modeling method// Proc 1st Intern Conf on Noneqmhbnum Processes in Nozzles and Jets, Russia, Moscow, 26-30 June, 1995 -p 155
Ваулин ЕП, Гутикова НВ, Кирюшкина MB Исследование процессов в полых катодах методом интегральных уравнений/Математическое моделирование - 1996 - т 8 - Х 6 -с 95-102
Vaulin ЕР, Kirushhna М V, Obukhov VA, Scortecci F Mathematical modeling of arc hollow cathodes//Works of 32nd Joint Propulsion Conf, USA, 1996//AIAA paper -1996 -№96-3184
Ваулин ЕП, Кирюшкина MB, Лаеримов ПВ, Обухов В А Теоретическое исследование процессов массообмена в полом катоде//Тез докл Юбилейного международного симпозиума 'Актуальные проблемы механики сплошных и сыпучих сред", Россия, Москва -1997 -с 75
Ваулин Е П, Обухов В А, Черкасова MB Течение плазмы и энергообмен в полом катоде// Авиационно-космическая техника и технология —Харьков, ХАИ -2006 -Хз 10(36) -с 56-60
Черкасова MB, Скороход ЕП, Ваулин ЕП Исследование особенностей ионизационно-рекомбинационных процессов в активной зоне полого катода методом численного эксперимента/ЛГез докл VII Международного симпозиума по радиационной плазмодинамике, Москва - 2006 - с 225
Черкасова MB Моделирование течения плазмы и теплообмена в многоканальных полых катодах//Тез докл XV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2007), Алушта - 2007 - с 505-508
Множительный центр МАИ (ГТУ) Заказ от^б .09 200^-г Тираж^/j-экз
Физические процессы, определяющие тепловое состояние катода. Постановка задачи
Распределение температуры по длине катода без магнитного поля [23]. вывод о глубине проникновения плазмы в канал весьма сложно, но вывод о наименьшем размере активной зоны справедлив. Исследования влияния внешних параметров разряда на размер активной зоны полого катода проводились в [14,15]. Размер активной зоны уменьшается при увеличении расхода прокачиваемого газа, а также при увеличении давления внешней среды от 1 до 100 Па, когда зона привязки разряда "выходит" из полости на торцевую и внешнюю поверхности катода. Подобным же образом, при снижении массового расхода зона растет, и максимум температуры становится менее выраженным, а при отсутствии прокачки газа устанавливается монотонное распределение температуры с максимумом на свободном торце катода. Размер активной зоны слабо увеличивается при росте диаметра катода [6,7]. По вопросу о механизме эмиссии электронов высказывались разные мнения [4,20,24]. Но, поскольку температура стенок катода в автономном режиме достаточно высока, то все авторы сошлись на том, что в этом случае основным механизмом переноса электронов из твердого тела в плазму является термоэмиссия, что и предопределяет выбор материалов для полых катодов. Для катодов из материалов с низкой работой выхода, при малых плотностях тока разряда, для поддержания электронной эмиссии на должном уровне нужен специальный подогрев катода внешним источником. Поскольку полный ток на границе плазма-катод складывается из тока эмиттированных электронов, тока ионов из плазмы и тока обратных электронов из плазмы, то определение величины тока эмиссии в экспериментах связано с оценкой доли ионного тока. При анализе экспериментальных данных эту величину обычно определяют из баланса энергии для стенки катода [4]. Достоверность такого метода невысока, так как уравнение баланса содержит ряд параметров, определяемых с низкой точностью. В [16] была предложена методика прямого измерения ионного тока на стенку: ионный ток вытягивался на коллектор через отверстие в стенке катода. Однако, параметры плазмы, заполняющей отверстие, могут отличаться от параметров плазмы, граничащей со стенкой катода. Еще одна методика оценки эмиссионного тока связана с определением температуры внутренней поверхности канала катода [13]. По полученной температуре рассчитывается распределение плотности тока эмиссии по уравнению Ричардсона, учитывают поправки на ионный и обратный электронный токи и полученное интегрированием полного тока по всей стенке значение сравнивают с измеренным значением тока из полого катода. Сравнение, к сожалению, нельзя провести с высокой точностью, поскольку малые ошибки в определении температуры катода приводят к большим погрешностям в плотности, тока эмиссии. Тем не менее, в большинстве работ сделан вывод о том, что в пределах точности эксперимента плотность тока эмиссии подчиняется уравнению Ричардсона. В особых условиях работы (импульсный режим, условия ионных двигателей) могут играть заметную роль и другие механизмы эмиссии [18].
Отсутствие подробных данных о параметрах плазмы в канале полого катода связано с техническими трудностями проведения локальной диагностики в узких каналах с высокой температурой стенки, кроме того, и сами размеры плазменной области малы. По этой причине достоверно известны лишь значения параметров на выходе из полого катода (на торцевом срезе, обращенном к аноду). Только в отдельных работах приводятся данные о распределениях параметров плазмы внутреннего столба разряда [17-19,25-28].
И лишь для пленочных полых катодов проведены тщательные измерения параметров плазмы в полости. Такие катоды работают в атмосфере паров щелочных металлов или при наличии их малой добавки к основному плазмообразующему веществу. Атомы щелочного металла адсорбируются на поверхности катода, образуя пленку. В работе [24] на основании зондовых и спектроскопических измерений получены некоторые сведения о характере распределения электронов по энергиям и сделаны оценки распределения плотности ионного тока вдоль стенки канала катода. На осно?ании экспериментальных данных показано, что функции распределения электронов во внешнем столбе плазмы существенно неравновесны и не могут быть аппроксимированы максвелловским распределением.
В то же время, в работах [26,27] измерения, выполненные с помощью зонда Ленгмюра внутри канала, показали равновесность распределения электронов. На рис. 6 и 7 приведены полученные таким образом распределения концентрации электронов и их температуры во внутреннем и во внешнем столбе разряда. На графиках отмечены места (штриховые), где не удалось провести измерения или были получены странные выбросы. На рис 8 А приведена зависимость концентрации электронов от тока разряда. Измерения показали, что размер активной зоны уменьшается с ростом расхода газа, что подтверждается измерениями максимума температуры.
Основные ударно-радиационные процессы и скорости их протекания
При формировании физико-математической модели, описывающей состояние плазмы, важное место занимает определение концентраций заряженных и нейтральных частиц. В общем случае концентрация частиц в частично ионизованной плазме зависит от кинетики процессов ионизации и рекомбинации, на скорости которых влияют протекающие в плазме столкновительные, радиационные и диффузионные процессы. В установлении квазиравновесия, вместе с прямой ионизацией и рекомбинацией, важную роль играют и ступенчатые процессы.
Для решения многих задач стационарной низкотемпературной плазмы уравнение кинетики записывают для скорости изменения числа электронов в виде = P Ne-Na-a-N], (24} at где dNe/dt - скорость рождения и гибели заряженных частиц, обусловленная приходом или уходом частиц вследствие диффузии, ft - коэффициент ионизации, а - коэффициент рекомбинации. Вычисление коэффициентов аи само по себе является сложной задачей, так как приходится решать систему уравнений баланса для заселенностей основного и возбужденных состояний, записанных с учетом элементарных процессов, вызывающих заселение или обеднение каждого уровня. К основным элементарным процессам относятся: возбуждение и тушение электронным ударом, ионизация электронным ударом, тройная рекомбинация, возбуждение и тушение уровня при столкновении с атомом в основном состоянии, ионизация в атомных столкновениях, трехчастичная рекомбинация с участием атома, ассоциативная ионизация и диссоциативная рекомбинация, спонтанные радиационные переходы, радиационная рекомбинация и фотоионизация. Система уравнений для определения населенностей уровней является достаточно сложной по причине бесконечного числа возбужденных состояний атома и большого числа рассматриваемых процессов. Поэтому используется ряд упрощенных методов определения величин а и р.
Для стационарной низкотемпературной плазмы активной зоны полого катода характерен набор факторов, вызывающих отклонение распределения по состояниям от равновесного. Выход излучения из плазменного объема, градиенты температур и концентраций на стенке и во фронте ионизации, генерация заряженных частиц под действием внешнего источника могут изменять населенность возбужденных состояний и степень ионизации плазмы [40]. Плазма активной зоны полого катода является неизотермической. Температура электронов примерно в 10 раз превышает температуру атомов. В плазму с катодной стенки впрыскивается пучок электронов эмиссии, ускоренных прикатодным скачком потенциала. Энергия электронов при этом может быть достаточно велика для возбуждения и ионизации атомов, вплоть до ионизации из основного состояния.
На экспериментальной установке МАИ проводились исследования распределения атомов по возбужденным состояниям в потоке чистого аргона на торцевом срезе катода [41]. Условия эксперимента: массовый расход газа G = 0,17 г/с, напряжение разряда U = 14,5 В, давление в вакуумной камере Р0 = 1 мм.рт.ст и скорость истечения газа og « 2 км/с. Заселенность нижних уровней аргона 4s определялась методом поглощения, а верхних 4р, 4d, 5р и 6s - методом абсолютных интенсивностей. Полученные результаты представлены на рис. 13 А). Концентрация атомов в основном состоянии по расходу газа и скорости истечения оценивается как vVj=10 1/см . В рассматриваемом случае имеет место неравновесное распределение атомов по состояниям -верхние уровни существенно перезаселены. На рис 13 В) показаны оценочные температуры электронов, полученные по различным группам атомов. Очевидно, что состояния не образуют единого вектора. А) В)
Следовательно, необходим метод моделирования неравновесных состояний ионизованных газов, включая газы с достаточно сложной электронной структурой. Метод должен обладать максимально возможной универсальностью для широкого класса неравновесных условий и атомных систем, а также должен обеспечивать как можно более полное описание квантовых состояний. При этом приходится решать проблему определения скоростей ударно-радиационных процессов с учетом всех квантовых состояний, вплоть до границы снижения потенциала ионизации многоэлектронных атомов. Еще одна проблема состоит в определении потоков числа частиц, энергии и заряда в неравновесных условиях при наличии интенсивных неупругих столкновений. При построении модели предполагается локальное максвелловское распределение для электронов, а также квазинейтральность и неизотермичность плазмы.
Уравнение энергии для электронов. Определение потерь энергии электронами в неупругих столкновениях
Процессы, определяющие состояние плазмы активной зоны полого катода, рассмотрены в главе II. В этой главе будут рассмотрены оставшиеся аспекты: течение плазмообразующего вещества, балансы частиц и энергии в плазме, модель ионного тока на катод.
Изучению процессов в полости посвящено достаточно большое количество работ. Течение газа рассматривается, например, в работах [4,5,8]. Постановка задачи сводится к записи уравнения течения газа в цилиндрической трубе. Вид уравнения зависит от режима течения и определяется безразмерным критерием Кнудсена Кп = (Л)/2г, (X)- средняя длина свободного пробега частиц, г радиус катода. Для вязкостного режима течения Кп « 1 [62], и тогда расход газа 256 L7] G - расход газа; L - длина катода; Р0- давление газа на входе в полость; P(z)- текущее давление в произвольном сечении канала; ц - динамическая вязкость, d - диаметр канала. При 0,01 JK 2 0,33 реализуется переходный между вязкостным и свободномолекулярным режим течения газа. В этом случае используют экспериментальную зависимость, предложенную Кнудсеном [5,62] G = - -[PO2-P2(Z)]+\94Z 256LnV J T - температура газа, М - молекулярная масса, z - экспериментальный 1 + 1,25-f коэффициент z = Y , d- диаметр полости. Давление окружающей среды не учитывается, так как давление на торцевом срезе полого катода, обычно, существенно выше.
Применение перечисленных формул не совсем корректно по ряду причин: 1) течение газа идет с теплообменом, а относительно небольшой нагрев приводит к заметной разности давлений на входе и выходе; 2) вязкость газа существенно зависит от температуры; 3) газ претерпевает фазовое превращение (переход к плазме); 4) в активной зоне полого катода температура электронов значительно выше температуры стенки, а также на течение плазмы влияет электрическое поле. Поэтому использование предложенных формул дает весьма приблизительные оценки по распределению давления в полости. Эксперимент и теория расходятся в 2 и более раз [4,31].
Явление избыточного давления в полом катоде объясняется возникновением подпора давления за счет электронного давления в активной зоне. В работах [30,63] авторы показывают, что давление газа в торцевом сечении катода почти совпадает с электронным давлением, хотя в [63] в качестве электронной температуры принята величина равная прикатодному скачку потенциала (12 В), а в [30] электронная температура принята равной 22500 К, что существенно ниже первого значения, а разные уровни электронной температуры определяют совершенно разные механизмы возбуждения и ионизации газа. Поэтому, в дальнейшем, при записи уравнений модели необходимо учесть определяющую роль электронного давления в пределах активной зоны полого катода.
Камнем преткновения мешающим замкнуть модель является условие формирования активной зоны полого катода. Авторы вводили различные дополнительные гипотезы относительно факторов, определяющих формирование зоны. Координату, соответствующую началу активной зоны, предлагалось выбирать из условия достижения определенного значения давления газа, или определенной плотности нейтрального газа, или определенных значений тока электронной эмиссии [8,29,63,64]. Наиболее естественно и логично предположение, что активная зона не является ограниченной областью с особыми свойствами, а существование максимума температуры обусловлено процессами теплопроводности и теплопередачи при взаимодействии плазмы со стенкой [5]. Однако возможный механизм такого процесса авторами не рассмотрен.
Таким образом, остался еще ряд вопросов, требующих дальнейшей теоретической проработки.
Уравнение энергии для электронов. Определение потерь энергии электронами в неупругих столкновениях. Воспользуемся достаточно простой формой записи уравнения энергии электронов, предложенной в [65] где йе - средняя кинетическая энергия электронов, (je Е) - джоулев разогрев d{Ne-ue) электронного газа, — — —— - определяется процессами переноса, dt (d(Ne-ue))e (d{Ne-ue))ev _v_e—е/ _±_е—є/ _ СКОрОСТИ изменения энергии электронного газа dt )у \ dt )н за счет упругих и неупругих столкновений электронов с атомами в различных квантовых состояниях.
Наиболее сложным является вопрос определения скорости потерь энергии электронами в неупругих столкновениях (в ударно-радиационных процессах). Возможные типы процессов подробно рассмотрены в п.2.3. Далее будет записана скорость поглощения или выделения энергии в этих определяющих процессах. При записи уравнений используются константы, коэффициенты и сечения процессов, определенные в главе 2.
Потери энергии электронным газом, прежде всего, происходят зг. счет актов ионизации атомов в состоянии [и]. Эти потери определяются энергией ионизации и скоростью ионизации электронным ударом Гд{Ме-йе)Х „ (dNa\e ==-„ dt [п]-[с] V dt J[n]-[c) Представим эту величину в безразмерном виде: і (d{Ne-ue) dt W R Y „ ( D\2 = -R J[n]-[c) Ne. Тогда суммарная безразмерная скорость потерь g+ энергии электронным газом за счет актов ионизации изо всех состояний находится ( v\ 1 (dJN.-u,)) W0l AJHC] = -R-Zg» R і g\ \Enj V(xn)-c„. Скорость увеличения энергии электронного газа за счет актов трехчастичной рекомбинации определяется скоростью трехчастичной рекомбинации, а также энергией ионизации dt d{Ne-uJ J[c)-[n] = . V dt )[с]_[п] w„ или в безразмерном виде: = R У[с]-[«] g\ 1 fd{Ne-ue))e _р gn (R dt
Выполнение закона сохранения при построении итерационного процесса
При построении полной моделей состояния стенки катода и пЛазмы внутреннего столба разряда в основу были положены определенные физические представления (главы I, II и III), с которыми и связан круг возможностей этих моделей. Математическая модель, в принципе, способна отразить только перенесенные на ее язык физические явления. Существенным фактором является адекватность переноса физической структуры задачи на математический язык. Результат переноса и определяет математическую специфику задачи. Далее исследование приобретает чисто математический характер.
Выбор метода решения не может быть успешно осуществлен без понимания физической и математической взаимосвязи уравнений рассматриваемой задачи. В самом деле, если подходить к математической модели как к формализованному физическому объекту, то становится ясным, что процесс математического моделирования должен иметь некоторую аналогию с реальными физическими процессами. Конечно, это относится к объектам высокой степени сложности, для которых применение прямых аналитических методов сильно ограничено.
Следует отметить, что предлагаемая постановка рассматриваемой задачи является некорректной в классическом смысле. Эта некорректность обусловлена физической сущностью задачи, так как единая модель должна описывать процессы в принципиально разных областях разряда: в области течения нейтрального газа (темновая зона), во фронте ионизации и в плазменной области (активная зона) внутри полого катода. Модель включает в себя существенно нелинейные, самосогласованные дифференциальные и интегральные уравнения. Все это создает дополнительные трудности при решении задачи и накладывает ограничения на выбор метода решения.
Прямые методы решения нелинейных уравнений обычно осуществимы лишь для систем из небольшого числа уравнений частного вида. Поэтому для решения рассматриваемой сложной нелинейной задачи выбор итерационного метода представляется вполне естественным. Правда, с анализом итерационных процессов связаны три основные проблемы. Первая проблема состоит в установлении факта, что итерации определены корректно. Вторая, наиболее важная и сложная, связана со сходимостью итераций и доказательством того, что предельная точка итерационного процесса является решением рассматриваемой задачи. Третья проблема состоит в повышении скорости сходимости итераций и уменьшении их количества.
К сожалению, нет аналитических результатов исследования всех трех перечисленных проблем для нелинейных задач. Особую сложность представляют нелинейные задачи, уравнения которых принадлежат к разным классам и являются самосогласованными, что и имеет место в рассматриваемой модели. Кроме того, на решения наложены дополнительные ограничения в интегральной форме (типа законов сохранения). В таких случаях необходимы обширные расчеты с варьированием параметров задачи и начальных условий чтобы проникнуть в суть поведения итерационного процесса. Кроме того, нет достаточной информации о влиянии разного рода вычислительных ошибок. Для такого вида задач отсутствуют теоретические результаты по исследованию погрешности аппроксимации, устойчивости сходимости и точности. Поэтому необходимый анализ проводится с помощью вычислительных экспериментов.
Метод решения должен иметь достаточно высокую степень точности, поскольку нелинейность поставленной задачи может привести к обнаружению новых физических эффектов, и метод должен обладать способностью разрешения нелинейных явлений.
Из вышеизложенного следует, что при решении поставленной задачи мы не имеем возможности воспользоваться какими-либо общетеоретическими рекомендациями по организации итерационного процесса. Поэтому метод расчета будет строиться исключительно на основе численных экспериментов, и анализ работоспособности метода также будет проведен численно. Проверка результатов расчета должна опираться на данные физических экспериментов. Только хорошая степень соответствия расчетных и экспериментальных данных может стать доказательством пригодности предлагаемой модели к практическому использованию. Метод численного математического моделирования в сочетании экспериментальной проверкой является мощным средством теоретического анализа и позволит выявить моменты несоответствия физико-математической модели реальным физическим процессам, а значит скорректировать рассматриваемую модель.
В данной главе дается описание итерационного метода решения задачи расчета параметров полого катода в дуговом режиме, построенного с учетом изложенных требований [77,81,84].
