Содержание к диссертации
Введение
I. Постановка задачи. Метод расчета 25
1. Физическая постановка задачи и основные допущения 25
2. Модель сферического движения жидкости и газа при высокоскоростном сжатии 29
3. Модель сферического движения жидкости и газа при расширении и низкоскоростном сжатии 33
4. Основная модель несферического движения пузырька 35
5. Другие модели несферического движения пузырька 42
6. Начальные условия 44
7. Входные данные 44
8. Метод решения 45
9. Максимальные отклонения и искажения 52
10. Заключение по главе 1 54
II. Эволюция возмущений сферической формы пузырька в ходе его расширения-сжатия 55
11. Эволюция возмущения сферичности адиабатического пузырька без учета вязкости жидкости 56
12. Влияние вязкости жидкости
13. Влияние теплообмена на поверхности пузырька 88
14. Заключение по главе 2 90
III. Рост амплитуды возмущений сферичности пузырька на стадии сжатия 92
15. Зависимость возмущений сферичности пузырька от особенностей сферической составляющей движения, учитываемых в нулевом приближении 93
16. Зависимость возмущений сферичности пузырька от особенностей сферической составляющей движения, учитываемых в первом приближении 110
17. Заключение по главе 3 131
Заключение 135
Литература 137
- Модель сферического движения жидкости и газа при высокоскоростном сжатии
- Основная модель несферического движения пузырька
- Эволюция возмущения сферичности адиабатического пузырька без учета вязкости жидкости
- Зависимость возмущений сферичности пузырька от особенностей сферической составляющей движения, учитываемых в первом приближении
Введение к работе
Жидкости широко применяются для решения различных практических задач во многих отраслях народного хозяйства: теплоэнергетике, химии, нефтяной промышленности и т.д. Применение жидкостей, как правило, сопровождается возникновением в них пузырьков. Наличие пузырьков в жидкости может приводить к существенному изменению ее свойств, в том числе, полезному или нежелательному с прикладной точки зрения. Свойства жидкости с пузырьками в значительной степени зависят от того, насколько форма пузырьков остается близкой к сферической, особенно в тех случаях, когда пузырьки испытывают сильные расширения-сжатия.
Диссертация посвящена исследованию динамики несферического пузырька газа в жидкости на режимах его сильного расширения-сжатия при изменении давления жидкости по гармоническому закону. Исследования динамики несферического пузырька в жидкости были инициированы еще в начале прошлого столетия в связи с изучением подводных взрывов и кави-тационной эрозии. Интерес к этой области исследований усилился в связи с экспериментальным открытием в 1990 году явления периодической одно-пузырьковой сонолюминесценции (SBSL - single bubble sonoluminescence) - периодического испускания света микронным пузырьком газа в строго определенной фазе колебаний давления в стоячей акустической волне (L.A. Crum, D.F. Gaitan и др. [70]). Это перспективное с точки зрения приложений в науке и технике [61, 62] явление обладает рядом замечательных свойств, подробное обсуждение которых представлено в обзорных работах В.P. Barber'a и др. [50], T.J. Matula [99], М.А. Маргулиса [36], S.J. Putterman'a и К.P. Weninger'a [119]. Наиболее привлекательное свойство SBSL заключается в том, что максимальная температура в пузырьке может достигать 105К и выше [50,94,103,133]. Согласно [99] SBSL наблюдается при акустическом возбуждении на частотах ниже частоты линейного резонанса, что при среднем равновесном радиусе 1 — Юмкм составляет
10 — 50кГц. Диапазон амплитуд акустического поля, при которых наблюдается устойчивая однопузырьковая сонолюминесценция, довольно узок -примерно от 1.2 до 1.4 бар.
Одним из основных направлений исследований на режиме SBSL стало повышение степени сжатия газа в пузырьке. Ряд способов предложен в работах S. Hilgenfeldt'a и D. Lohse [76], W.C. Moss'a и др. [103], Р.И. Нигма-тулина и др. [105], В.А. Симоненко и др. [124], А.А. Аганина и М.А. Ильга-мова [47]. Простое увеличение амплитуды акустического воздействия оказывается для этого неприемлемым, поскольку выход за порог ~ 1.4 бар сопровождается нарушением условий устойчивости периодических колебаний пузырька. Причинами развития неустойчивости могут оказаться, например, диффузия газа через межфазную поверхность [63], протекание химических реакций в пузырьке [94,95]. Одним из важнейших условий устойчивости периодических колебаний пузырька в режиме SBSL является сохранение его сферической формы [57].
Нарушение условий устойчивости приводит либо к полному исчезновению (растворению) пузырька, либо к его разрушению (фрагментации) на несколько более мелких пузырьков. Однако и растворение, и фрагментация, как правило, имеют место не сразу же после выхода за порог устойчивости, а только после некоторого (иногда и очень большого) количества колебаний. Таким образом, нарушение условий устойчивости периодических колебаний не исключает возможности достижения при сильном акустическом воздействии значительного повышения интенсивности сонолюми-несценции в непериодическом режиме колебаний пузырька, например, при его однократном сверхсильном расширении-сжатии. Такие расширения-сжатия пузырька можно организовать с некоторой периодичностью. Теоретические оценки, полученные А.А. Аганиным и М.А. Ильгамовым [47] на основе сферически симметричных моделей, показали, что при значительно более сильном, чем в режиме устойчивой периодической SBSL, акустиче-
ском воздействии уровень достигаемых значений температуры и давления в пузырьке существенно повышается. Режим сильного расширения-сжатия пузырька подразумевался в экспериментальной установке, схема которой была предложена В.А. Симоненко и др. в [124]. Первая экспериментальная реализация, по существу, подобного режима описана в работе группы американских ученых во главе с R.P. Taleyarkhan'oM совместно с Р.И. Ниг-матулиным [126]. По утверждению ее авторов при ультразвуковом возбуждении кластера пузырьков в дейтерированном ацетоне наблюдался выход нейтронов и ядер трития, что является одним из характерных признаков протекания реакции термоядерного синтеза. Выполнение одного из условий, необходимых для реакции синтеза, а именно, образование плазмы в коллапсирующих пузырьках, подтверждено совсем недавно результатами экспериментов D.J. Flannigan'a и K.S. Suslick'a [68]. Однако вызванная работой [126] оживленная дискуссия [123] продолжается и в настоящее время. Некоторые сомнения критиков связаны с отсутствием оценок относительно сохранения сферичности формы пузырька в момент его экстремального сжатия (коллапса). Действительно, с точки зрения гипотезы о возникновении в пузырьке ударных волн и образовании в результате их фокусировки горячего ядра с ионизированной плазмой, параметры этого ядра в значительной мере будут определяться степенью сферичности коллапса. Поэтому изучение условий, при которых возмущения сферичности оставались бы малыми на протяжении всего процесса расширения-сжатия пузырька, является актуальным.
Обзор литературы. Первые теоретические исследования радиальных движений пузырька в безграничном объеме жидкости проводились на основе модели Рэлея-Плессета [120], [110]. В рамках этой модели расширение-сжатие газа в пузырьке полагается равномерным, а жидкость - несжимаемой или слабосжимаемой. Подробный обзор исследований, выполненных с применением этой модели, представлен в обзоре M.S. Plesset'a и
A. Prosperetti [112].
В классических работах С. Herring'a [74], L. Trilling'a [128], J.B. Keller'a и I.I. Kolodner'a [85}, F.R. Gilmore [71] и R.H. Cole [60] рассматривались вопросы приближенной теории сферически-симметричного движения пузырька в сжимаемой жидкости. Проблеме правильного учета влияния сжимаемости жидкости при радиальном движении пузырька посвящен еще целый ряд исследований W.E. Jahsman'a [84], H.G. Flynn'a [69], В.В. Рождественского [42], J.B. Keller'a и М. Miksis'a [86], G.J. Lastman'a и R.A. Wentzell'a [89], A. Prosperetti и Y. Hao [117]. Систематизированное изложение имеющихся моделей сферической динамики пузырька с акустической коррекцией можно найти в работе A. Prosperetti и A. Lezzi [118], в монографиях Р.И. Нигматулина [37,38], В.К. Кедринского [35].
Кроме учета сжимаемости жидкости модель Рэлея-Плессета развивалась и в других направлениях. В.Е. Noltingk и Е.А. Neppiras [108] применили политропический закон для описания изменения давления газа в пузырьке. В работе R. Lofstedt'a и др. [93] сравнивались модели идеального газа и газа Ван-дер-Ваальса в ходе сжатия пузырька. Влияние вязкости жидкости при сферическом движении пузырька исследовали Н. Poritsky [113], Е.И. Забабахин [31], В.В. Рождественский [42], В.К. Кедринский [35]. Задача о радиальном движении пузырька в большом ограниченном объеме вязкой несжимаемой жидкости рассматривалась в монографии В.К. Андреева [19], в которой также приведен обзор работ по схлопыванию пузырька вязкой жидкости. A. Prosperetti в работе [115] рассматривал тепловые эффекты. В монографиях Р.И. Нигматулина [37,38] рассматриваются вопросы и задачи, касающиеся механических и физико-механических процессов около пузырьков. В [39] Нигматулиным и др. предложена модель радиальных колебаний пузырька в ограниченном объеме жидкости. В отличие от других моделей при ее построении окружающая пузырек жидкость разбивается на две зоны. Принимается, что в ближней к пузырьку
зоне, которая составляет от 1 до 10 радиусов пузырька, жидкость несжимаема, а в дальней справедливо акустическое приближение. Другое отличие этой модели от аналогичных моделей состоит в том, что в ней учитываются не только волны, расходящиеся от пузырька, но и волны, отраженные от внешней поверхности жидкого объема. На основе этой модели в последующих работах Нигматулипа и др. [106,107] проведен анализ линейных и нелинейных периодических колебаний пузырька при гармоническом законе изменения давления на внешней границе жидкости. Исследовано влияние теплопроводности на колебания пузырька. В работе Ж.М. Сахабутдино-ва и А.Ж. Сахабутдинова [43] приведен вывод уравнения, являющегося обобщением уравнения Рэлея-Плессета на случай, когда занимаемая жидкостью область ограничена. В работе Н. Lin'a, B.D. Storey и A.J. Szeri [91] предположение об однородном сжатии газа в пузырьке модифицируется посредством приближенного учета пространственной неоднородности поля давления в пузырьке.
Проведенное в работе R. Lofstedt'a, В.P. Barber'a и S.J. Putterman'a [93] сравнение результатов расчетов и экспериментальных данных показывает, что на стадии расширения и большей части стадии сжатия модель Рэлея-Плессета правильно описывает радиальную динамику пузырька. Заметные расхождения теории и эксперимента возникают в самом конце стадии сжатия. Они проявляются, в частности, в занижении уровня расчетных температур по сравнению с экспериментальными данными. В [93] было высказано предположение, что причиной таких расхождений является возникновение в пузырьке ударных волн. Гипотеза о формировании сходящихся ударных волн на стадии сжатия пузырька при определенных параметрах возбуждения находит поддержку у многих исследователей [119]. Она позволяет естественно объяснить очень короткую продолжительность световых импульсов при SBSL, а именно, тем, что вспышки света возникают в результате фокусировки ударных воли в центре пузырька.
Правильность этой гипотезы подтвердили расчетами С.С. Wu и Р.Н. Roberts [133]. При этом в пузырьке осуществлялось интегрирование уравнений газовой динамики с уравнением состояния Ван-дер-Ваальса, жидкость полагалась елабосжимаемой, а радиальная скорость межфазной поверхности определялась согласно модели Рэлея-Плессета. Ту же методику использовали V.Q. Vuong и А.Т. Szeri [130]. В работе L. Kondic'a и др. [87] применен тот же подход для определения радиальной динамики пузырька, но уравнение состояния Ван-дер-Ваальса было дополнено слагаемыми, учитывающими вибрационные степени свободы, ионизацию и диссоциацию. М.С. Chi и D. Leung [59] проводили расчеты с уравнениями состояния Ван-дер-Ваальса, S. Srivasan'a [125] и W.C. Moss'a [102]. В работе V.Q. Yuong'a и др. [131] применялось широкодиапазонное трехчленное уравнение состояния для газа, включающее кроме "холодной" составляющей слагаемые, учитывающие движение ядер и электронов. В работе В.А. Симоненко и др. [40] поведение газа (воздуха) описывалось с использованием табличного уравнения состояния, учитывающего диссоциацию, ионизацию, межмолекулярное взаимодействие, модифицированного с целью более точного описания кривой "холодного" сжатия.
Согласно результатам С.С. Wu и Р.Н. Roberts'a [133] после отражения от центра пузырька расходящиеся ударные волны взаимодействуют с межфазной границей. В таких условиях предположение о малой сжимаемости жидкости является недостаточно точным. Поэтому для корректного моделирования схлопывания пузырька необходимо применять полную гидродинамическую модель не только для газа, но и для жидкости. Это было реализовано W.C. Moss'om и др. [101,102]. Для описания состояния газа использовалось уравнение, позволяющее учитывать процессы диссоциации, ионизации газа [102], для жидкости при больших давлениях применялось уравнение состояния F.H. Ree [121]. В работах А.А. Аганина [45], А.А. Аганина и М.А. Ильгамова [7-10,47], А.А. Аганина, Р.И. Нигматулина,
М.А. Ильгамова и И.Ш. Ахатова [18] уравнения газовой динамики интегрировались также в обеих средах. Для газа использовалось то же уравнение состояния, что и в [102], но с небольшой модификацией для обеспечения физичного поведения функции давления при комнатных температурах. Для жидкости (воды) было использовано уравнение Р.И. Нигматулина и Р.Х. Болотновой [104]. В этих работах в целях существенного снижения затрат компьютерного времени практически на всем периоде, за исключением финальной стадии схлопывания пузырька, совершенно оправданно применялась модель Рэлея-Плессета. Был изучен механизм образования и эволюции ударных волн в газовом пузырьке. Изучению динамики пузырька в жидкости с применением полной системы уравнений газовой динамики в жидкости и газе, а также сложных уравнений состояния, учитывающих процессы диссоциации и ионизации газа, на режимах больших и сверхбольших расширений-сжатий, характерных для ядерного излучения при акустической кавитации, посвящены работы И.Ш. Ахатова, О. Lindau, W. Lauterborn'a и др. [48], а также В.Б. Беляева и др. [20]. В работе [33] на основе результатов численного интегрирования полной системы трехмерных уравнений газовой динамики изучалось сильное сжатие газового эллипсоида вращения под действием внешней нагрузки ударного типа, а также динамика газового объема с отклонением формы от сферической под действием периодического давления.
Вопрос устойчивости сферической формы пузырька при его радиальных движениях в неограниченном объеме жидкости впервые рассматривался в связи с проблемой эволюции пузырьков, возникающих при подводных взрывах [60]. Причиной искажения сферической формы пузырька может быть начальное возмущение, наличие других пузырьков, действие массовых сил и т.д.. Задача о динамике несферического пузырька поддается аналитическому исследованию лишь в простейшей постановке без учета сжимаемости и вязкости жидкости, в предположении однород-
ности расширения-сжатия пузырька. В работе [41] А.Г. Петров в плоской постановке получил аналитическое выражение функции Лагранжа, описывающей движение деформирующейся полости. Широкий круг работ по динамике несферических пузырьков охвачен в обзорах О.В. Воинова и А.Г. Петрова [24], M.S. Plesset'a и A. Prosperetti [112], T.G. Leighton'a [90] и СЕ. Brennen'a [56]. В подавляющей части работ, рассмотренных в обзоре [112], используется подход, основанный на представлении поверхности пузырька в виде, комбинации поверхностных сферических гармоник. Например, в осесимметричной задаче контур пузырька представляется рядом по полиномам Лежандра. Коэффициенты разложения характеризуют отклонение геометрии поверхности пузырька от сферы, определяемое соответствующей гармоникой. Они входят в состав неизвестных, по отношению к которым ставится задача. Модуль коэффициента характеризует амплитуду отклонения от сферы, а знак - направленность отклонения: внутрь сферы или наружу в зависимости от свойств определяющей гармоники. Если отклонения малы, то в терминах коэффициентов разложения обычно используется линейная постановка задачи. В линейной теории сферические гармоники не связаны друг с другом, и эволюция определяемых ими возмущений описывается независимыми линейными дифференциальными уравнениями относительно коэффициентов разложения. При немалых отклонениях задача ставится как нелинейная.
В рамках описанного подхода в линейной постановке G. Birkhoff [54] показал, что коллапсирующие пузырьки по отношению к малым возмущениям сферической формы являются неустойчивыми, и что на этот результат не влияет поверхностное натяжение. В его работе [55] сформулирована и доказана теорема об устойчивости сферической поверхности пузырька в случае малых искажений. M.S. Plesset в работе [109] определил условия устойчивости сферической границы между двумя невязкими несмешиваемыми жидкостями при радиальном движении. M.S. Plesset и Т.Р. Mitchell [111] рас-
смотрели задачу устойчивости формы пузырька при расширении и схло-пывании в невязкой несжимаемой жидкости под действием постоянного скачка давления без учета и с учетом поверхностного натяжения. Установленный в работе [111] рост амплитуды возмущения сферической формы схлопывающегося пузырька в работе [23] упоминается как неустойчивость Биркгофа-Плессета. В работе А. ЕПег'а и L.A. Crum'a [64] сравниваются результаты теоретических и экспериментальных исследований устойчивости колебаний сферического пузырька в воде при гармоническом изменении давления окружающей жидкости с частотой 23.6 - 28.3 кГц. Задачу о схлопывании несферического пузырька в осесимметричной постановке численно решали R.B. Chapmen и M.S. Plesset [58]. В начальный момент задавалось искажение сферической формы пузырька, определяемое полиномом Лежандра второй степени. В работе В.К. Кедринского [34] приведено решение задачи о пульсациях тороидального пузырька в идеальной несжимаемой жидкости. D.Y. Hsieh [79,80], используя метод Лагранжа, получил известные уравнения линейной теории устойчивости сферически симметричного схлопывания пузырька. В монографиях Р.И. Нигматулина [37,38] проведен качественный анализ устойчивости сферической границы раздела в потоке без учета эффектов вязкости. В монографии В.В. Рождественского [42] рассматривались вопросы устойчивости сферической поверхности пузырька как поверхности раздела между двумя несмешиваемыми несжимаемыми невязкими жидкостями. A. Prosperetti [116] исследовал свободные несферические колебания пузырьков с учетом вязкости жидкости. Используемый подход основывался на применении преобразования Лапласа. В цикле работ О.В. Воинова исследования устойчивости сферической формы нелинейно пульсирующего пузырька при скачкообразном изменении внешнего давления основывались на решении дифференциального уравнения устойчивости на полупериоде пульсации. В его совместной статье с В.В. Пе-репелкиным [23] в коротковолновом приближении получена формула для
приращения амплитуды возмущения, найдены асимптотические формулы для скорости роста возмущений при пульсациях большой амплитуды. В работе [22] О.В. Воиновым рассматривалась динамика возмущений, обусловленных тепловыми флуктуациями. S.M. Yang, Z.C. Feng и L.G. Leal [135] исследовали динамический отклик пузырька на быстрые изменения распределения давления на его поверхности. T.J. Asaki и P.L. Marston [49] исследовали свободное затухание колебаний формы пузырьков, акустически запертых в воде. Р.Н. Roberts и С.С. Wu [122] рассмотрели затухание колебаний формы пузырька при учете вязкости жидкости согласно модели [114]. А.А. Аганин, М.А. Ильгамов и Д.Ю. Топорков [15] рассматривали свободное затухание малого начального искажения сферической формы газового пузырька при различных способах учета вязкости жидкости. В работе А.Н. Жарова и А.И. Григорьева [30] в линейной постановке исследованы колебания и устойчивость формы заряженного пузырька в вязкой несжимаемой жидкости по отношению к малым искажениям объема и формы. Получены аналитические асимптотические выражения для декрементов затухания осесимметричных колебаний формы пузырька в приближении малой и большой вязкости.
Вязкость жидкости играет важную роль во многих задачах динамики несферического пузырька. Для случая малых искажений сферической формы пузырька A. Prosperetti [114] предложил наиболее точный способ учета вязкости жидкости. Математически он выражается в виде системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающей динамику поля завихренности жидкости и амплитуды возмущения сферической формы пузырька. В связи со сложностями, возникающими при решении системы уравнений, предложенных A. Prosperetti, многие исследователи проводили анализ устойчивости сферической формы, используя различные упрощающие предположения. Так, в случае малой вязкости жидкости можно предположить, что влияние завихренности жидкости существенно лишь на по-
верхности пузырька. При аналогичных условиях Н. Lamb еще в 1932г. [88] получил выражения для декремента затухания малых гармонических колебаний формы пузырька с равновесным радиусом в слабовязкой жидкости. В работах М.Р. Brenner'a, S. Hilgenfeldt'a, D. Lohse и др. [57,77] предполагается, что влияние завихренности жидкости существенно в тонком слое конечной толщины на поверхности пузырька. Устойчивость коллапсиру-ющего пузырька в ограниченном объеме вязкой несжимаемой жидкости изучалась в работе G. Iooss'a, P. Laure и М. Rossi [83] с применением квазистатического приближения, т.е предположения, что радиальная динамика развивается медленно по сравнению с динамикой возмущения сферичности. В работе А.А. Аганина и М.А. Ильгамова [11] предложена простейшая модель учета вязкости при моделировании движения жидкости с цилиндрической полостью. Модель построена на основе линейных уравнений динамики вязкой жидкости. Предложенное уравнение для описания возмущенного движения эквивалентно уравнению, полученному в предположении потенциальности движения жидкости, но с введенным в [11] коэффициентом эффективной вязкости. В работе А.А. Аганина, М.А. Ильгамова и Д.Ю. Топоркова [15] рассматривается модель без учета завихренности жидкости. Вязкость жидкости учитывается только посредством граничного условия на поверхности пузырька. В работе [16] уточняется область применения приближенных способов описания влияния вязкости на затухание малых искажений сферической формы газового пузырька путем сравнения их результатов с результатами модели A. Prosperetti [114]. Предложен новый способ учета вязкости жидкости, применение которого оказывается удовлетворительным в более широком диапазоне изменения параметров задачи затухания малых искажений. В работе [21] О.В. Воиновым определено влияние малой вязкости жидкости на динамику возмущений при нелинейных пульсациях пузырька при скачкообразном изменении внешнего давления. В работе [32] сравниваются различные способы учета влияния
вязкости жидкости на малые искажения сферической формы пузырька при его сильном расширении-сжатии.
Значительная часть исследований по динамике несферического пузырька посвящена режиму периодической сонолюминесценции [119]. Основное внимание уделяется определению критериев и областей устойчивости сферической формы пузырька. S. Hilgenfeldt, D. Lohse и М.Р. Brenner [77] рассчитали фазовые диаграммы устойчивости сферической формы пузырька при периодической однопузырьковой сонолюминесценции с применением линейной по искажениям формы постановки задачи. Вязкость жидкости учитывалась упрощенно. В работе выделены следующие типы неустойчивости сферической формы пузырька:
- неустойчивость Рэлея-Тейлора [127], возникающая (при условии, что
содержимое пузырька является менее плотным, чем жидкость), когда уско
рение стенки пузырька положительно, то есть направлено в сторону жид
кости,
- неустойчивость, проявляющаяся на отскоках после коллапса,
(afterbounce instability),
- параметрическая неустойчивость, характеризующая суммарный рост
возмущения в течение нескольких радиальных колебаний.
В той же постановке, что и в [77], устойчивость формы сферического пузырька при колебаниях в режиме однопузырьковой сонолюминесценции изучалась в работах В.P. Barber'a, R.A. Hiller'a, R. Lofstedt'a, S.J. Putterman'a и K.R Weninger'a [50], S. Hilgenfeldt'a, M. Brenner'a, S. Grossmann'a и D. Lohse [75], C.C. Wu и P.H. Roberts'a [134], A. Prosperetti и Y. Hao [117]. В работе [73] Y. Нао и A. Prosperetti в линейной по искажениям сферической формы пузырька постановке задачи с учетом вязкости жидкости по [114], а также с учетом теплопроводности газа провели анализ устойчивости сферических колебаний газовых пузырьков в случае, рассмотренном экспериментально R.G. Holt'oM и D.F. Gaitan'oM [78].
Результаты расчетов удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. В работе Н. Lin'a, B.D. Storey и A.J. Szeri [92] при анализе устойчивости дополнительно учитывалось изменение плотности содержимого пузырька. А.А. Аганин, М.А. Ильгамов и др. в работе [4] исследовали изменение малых начальных искажений сферической поверхности пузырька при его сильном расширении-сжатии. Все параметры задачи соответствовали режиму периодической сонолюминесценции, за исключением амплитуды акустического поля, варьируемой от 1.5 до 5 бар.
Большое количество исследований по нелинейному взаимодействию поверхностных и радиальной мод для осциллирующего пузырька охвачено в обзоре работы Z.C. Feng и L.G. Leal [67]. Задачу о деформации пузырька при внезапном повышении давления в нелинейной постановке рассматривали Н.С. Yeh и W.J. Yang [136]. В [72] P. Hall и G. Seminara изучали нелинейную устойчивость газового пузырька в акустическом иоле. J.A. Tsamopoulos и R.A. Brown [129] рассмотрели свободные нелинейные осесимметричные колебания пузырьков в невязкой несжимаемой жидкости. M.S. Longuet - Higgins [96,97] рассматривал излучение радиальных колебаний невязкой несжимаемой жидкости, обусловленных несферическими колебаниями формы пузырька. Т.В. Benjamin [52] значительно упростил получение результатов [96,97], используя вириальные уравнения из своей работы [51]. Т.В. Benjamin и А.Т. Ellis [53] изучали перемещения пузырька в жидкости, облучаемой ультразвуком, обусловленные нелинейным взаимодействием между двумя возбужденными поверхностными гармониками. J.E.F. Williams и Y.P. Guo [132] в постановке без учета вязкости жидкости проанализировали изменение энергии в процессе нелинейного взаимодействия между отдельными поверхностными гармониками. Z.C. Feng и L.G. Leal [65] рассмотрели механизм передачи энергии резонансным взаимодействием между модами колебаний объема и формы пузырька. В их работе [66] изучались бифуркации и хаос в нелинейных колебаниях формы
и объема пузырька, возбуждающихся периодическим изменением давления жидкости. M.S. Longuet - Higgins [98] рассмотрел резонансные явления в нелинейных несферических колебаниях поверхности пузырька газа без учета и с упрощенным учетом вязкости жидкости. С.С. Mei и X. Zhou [100] изучали резонансное взаимодействие между радиальной модой и двумя поверхностными модами для пузырька, колеблющегося в воде, в случае, когда радиальная мода возбуждается звуковым возмущением. D. Zardi и G. Seminara [137] рассмотрели противоборство хаотических мод в колебаниях формы пульсирующего пузырька без учета вязкости жидкости. В работе А.А. Аганина и М.А. Ильгамова [12] приводится математическая постановка задачи динамики несферического (осесимметричного) пузырька в вязкой жидкости, в которой нелинейное взаимодействие между искажениями по сферическим поверхностным гармоникам учитывается до второго порядка малости. Вязкость жидкости учитывается на основе допущений [114]. В работе М.А. Ильгамова, Л.А. Косолаповой и В.Г. Малахова [82] основное внимание уделялось исследованию нелинейных эффектов в ходе колебаний несферического пузырька газа в вязкой несжимаемой жидкости в зависимости от формы и размера пузырька в начальный момент времени. В работе [14] показано, что на режимах, близких к режиму периодической сонолюминесценции, эллипсоидальные колебания ограниченной амплитуды могут иметь место и за границей линейно-устойчивых сферических колебаний.
Цель настоящей диссертации - выявление основных закономерностей эволюции возмущений сферической формы газового пузырька в процессе его сильного расширения-сжатия под воздействием сильного акустического поля; исследование влияния характеристик воздействия, свойств жидкости и газа на динамику возмущения.
Научная новизна. Проведено подробное исследование эволюции малого возмущения сферической формы газового пузырька в ходе его сильного
расширения-сжатия в жидкости. Изучено влияние амплитуды колебаний давления жидкости, длины волны возмущения, вязкости и сжимаемости жидкости, неоднородности давления газа в пузырьке, уравнений состояния газа и жидкости, колебаний несферической формы пузырька до начала расширения. Рассмотрен случай, когда все параметры задачи являются характерными для режима однопузырьковой сонолюминесценции, а амплитуда колебаний давления жидкости варьируется в более широких пределах (от 1.4 до 5 бар).
Представлена новая модель эволюции возмущения на стадии сжатия, в которой сферическая составляющая движения жидкости и газа описывается полной системой уравнений динамики сжимаемой жидкости с замыканием реалистичными уравнениями состояния, а эволюция возмущения сферической формы пузырька - уравнением с более точным учетом влияния градиентов скорости и давления газа и жидкости на поверхности пузырька. Проведено сравнение разных моделей сферической составляющей движения жидкости и газа, а также эволюции возмущения сферичности пузырька.
Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих семнадцать параграфов, заключения и списка литературы.
Во введении отмечена актуальность предмета диссертации. Дан обзор работ по задачам динамики сферических и несферических пузырьков. Определена цель работы. Отмечена ее научная новизна. Представлено краткое содержание разделов диссертации.
В первой главе сформулирована физическая и общая математическая постановка задачи динамики несферического газового пузырька в жидкости. Описаны используемые в работе модели сферической и несферической составляющих динамики пузырька. Приведен вывод нового уравнения эволюции малых возмущений сферической формы газового пузырька в жидкости на стадии сильного сжатия. Изложено содержание использованной
методики решения. Представлено сравнение результатов расчета методических задач с экспериментальными данными.
В 1 дана физическая постановка задачи. Приведена система уравнений динамики газа в пузырьке и окружающей жидкости, соответствующие граничные условия и общий вид уравнений состояния. Изложена идеология метода решения, основанного на разделении движения поверхности пузырька на радиальную составляющую (нулевое приближение) и ее малое несферическое возмущение (первое приближение).
В 2 выписана система уравнений газовой динамики, описывающих сферическое движение газа и жидкости. Приведены используемые в работе уравнения состояния газа (воздуха) и жидкости (воды).
В 3 описаны модели сферической составляющей движения пузырька, основанные на предположении о том, что скорость межфазной границы мала.
В 4 приведен вывод нового уравнения эволюции малых возмущений сферической формы газового пузырька в жидкости.
В 5 приведены модели, описывающие динамику возмущения в предположении малости радиальной скорости движения поверхности пузырька, а также при упрощенном учете вязкости жидкости.
В 6 сформулированы начальные условия для радиального движения и его возмущения.
В 7 описаны входные параметры задачи.
В 8 дано описание численных методик решения задачи. Приведено сравнение результатов расчета методических задач с экспериментальными данными.
В 9 изложена методика получения оценок максимальной величины возмущения.
Основные результаты первой главы приведены в 10.
Вторая глава посвящена изучению изменения малых возмущений сфе-
рической формы газового пузырька в ходе всего процесса его сильного расширения-сжатия. Используется широко распространенная модель, в которой эволюция радиуса пузырька описывается уравнением Рэлея-Плессета (с уравнением состояния Ван-дер-Ваальса), а эволюция малых возмущений сферической формы пузырька - уравнениями Просперетти (A. Prosperetti и их упрощениями. В этой модели газ считается гомоба-рическим, а жидкость возле пузырька - несжимаемой.
11 посвящен описанию эволюции возмущения без учета влияния вязкости жидкости. Установлено, что на стадии сжатия основное влияние на развитие возмущения оказывает только инерционное воздействие жидкости. Проведен анализ влияния начальной фазы изменения возмущения в момент начала расширения на характер изменения возмущения в процессе всего расширения-сжатия. Представлены результаты исследования влияния масштаба возмущения на его динамику. Получены зависимости максимальной по начальной фазе амплитуды возмущения и искажения сферической формы пузырька от амплитуды внешнего воздействия в некоторые характерные моменты процесса расширения-сжатия.
В 12 рассматривается влияние вязкости жидкости, и, в частности, ее завихренности, на динамику возмущения при расширении и сжатии пузырька. Показано, что вязкость жидкости значительно проявляется в начале стадии расширения пузырька. На стадии сжатия ее влияние мало и проявляется, в основном, посредством завихренности жидкости.
В 13 проведено сравнение результатов, полученных в двух случаях: без учета теплообмена на поверхности пузырька и в предположении, что пузырек при расширении и сжатии до начальных размеров остается изотермическим, а затем ведет себя как адиабатический. Показано, что при больших расширениях-сжатиях результаты в обоих случаях близки.
Основные результаты второй главы приведены в 14.
В третьей главе основное внимание уделяется исследованию эволюции
малых возмущений сферической формы пузырька на стадии сжатия. Здесь изучается влияние факторов, учитываемых в нулевом (уравнения состояния газа, сжимаемости жидкости, неоднородности давления газа в пузырьке и т.д.) и первом (плотности газа в пузырьке, градиента давления газа на поверхности пузырька и т.д.) приближениях. Модель эволюции возмущения сферической формы пузырька, описанная в 4, применяется впервые. Используемые в третьей главе модели отличаются от моделей предыдущей главы лишь описанием динамики пузырька на стадии сжатия.
В 15 рассматриваются варианты моделирования стадии сжатия с различными уравнениями состояния газа. Сравниваются решения, полученные с учетом сжимаемости жидкости и неоднородности газа в пузырьке, при полном пренебрежении этими факторами, а также с приближенным учетом сжимаемости жидкости. Показано, что полное пренебрежение эффектами сжимаемости жидкости и неоднородности газа приводит к снижению оценок искажения сферической формы пузырька на стадии сжатия. Приведены оценки погрешностей, возникающих при определении максимальных уровней искажений сферичности на стадии сжатия при упрощенном учете сжимаемости жидкости и в предположении однородности распределения давления в пузырьке.
В 16 изучается динамика возмущения при различных вариантах учета плотности газа в первом приближении. Показано, что для устранения нефизичного проявления неустойчивости Рэлея-Тейлора на стадии замедленного сжатия необходимо кроме плотности газа учитывать также градиент давления газа на поверхности пузырька. Приводятся результаты, полученные по основной модели настоящей работы без использования предположения о малости радиальной скорости поверхности пузырька. Установлено, что условия для проявления неустойчивости Рэлея-Тейлора возникают на стадии ускоренного, а не замедленного сжатия. Приведено сравнение оценок максимальных искажений сферической поверхности пузырька,
достигаемых к моменту его коллапса, полученных согласно предлагаемой модели и широко распространенной упрощенной модели.
Основные результаты третьей главы приведены в 17.
В заключении приведены основные результаты диссертации.
Результаты проведенных численных расчетов представлены в диссертации в виде рисунков и графиков.
Достоверность результатов обеспечивается корректностью постановки задачи, согласованием результатов расчета модельных задач с результатами расчетов других авторов и экспериментальными данными.
На защиту выносятся:
Новое уравнение эволюции малых возмущений сферической формы газового пузырька в жидкости на стадии сильного сжатия с более точным учетом влияния градиентов скорости и давления газа и жидкости на поверхности пузырька.
Выявленные качественные и количественные особенности эволюции малых начальных возмущений сферической формы пузырька при его сильном расширении-сжатии.
Установленные закономерности влияния параметров газа в пузырьке и окружающей жидкости на эволюцию малых возмущений сферической формы пузырька.
Полученные результаты анализа применимости распространенных приближенных моделей эволюции возмущения сферичности пузырька на стадии сжатия.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на итоговых научных конференциях Института механики и машиностроения Казанского научного центра РАН за 2002 - 2005гг.; VI Научной Конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 2002); Всероссийской школе-семинаре "Проблемы тепломассообмена и гидроди-
намики в машиностроении" (Казань, 2002); Всероссийском совещании по сверхсжатию пузырька (Уфа, 2002); V Международной научной школе-семинаре "Импульсные процессы в механике сплошных сред" (Николаев, 2003); Третьей всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения -2003" (Казань, 2003); Второй международной летней научной школе "Гидродинамика больших скоростей" (Чебоксары, 2004); XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004); IV Школе-семинаре молодых ученых и специалистов "Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении" (Казань, 2004); XII и XIV Международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 2003; Алушта, 2005).
По теме диссертации опубликовано 8 тезисов и 11 статей. Основное содержание диссертации отражено в работах [2-5,13,26-29,46,81].
В работах [4,13,26,28,81], которые послужили основой второй главы, соавторам принадлежит постановка задачи и метод решения. Автор принимал участие в разработке алгоритмов решения, составлении программ и провел численные расчеты. В работах [2,3,5,27,29,46] (основа третьей главы) автор участвовал в разработке моделей, метода решения. Автором написана часть соответствующих программ и проведены численные расчеты.
Автор выражает глубокую благодарность соавторам большинства своих работ научному руководителю доктору физико-математических наук А.А. Аганину и члену-корреспонденту РАН М.А. Ильгамову за регулярные консультации и полезные советы. Автор благодарит всех сотрудников лаборатории ВДСС ИММ КазНЦ РАН за поддержку и внимание.
Выполненные в работе исследования были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (проекты №№ 01-01-00171-а, 02-01-00100-а, 05-01-00415-а, ОЗ-ОІ-10845-з, 05-01-10598-з), Фондом научно-исследовательских и опытно-конструкторских разработок Республики Та-
тарстан (проекты ДОДО 05-5.5-208/2003(Ф), 05-5.4-397/2005(Ф)) Российской Академией Наук (программа 10002-251/ОЭМППУ-13/079-083/190003-773), федеральной целевой программой "Интеграция" (№ Б0020).
Модель сферического движения жидкости и газа при высокоскоростном сжатии
Газовый пузырек размером в несколько микрон находится в центре сферического объема жидкости, значительно превышающего объем пузырька (рис. 1). Поверхность пузырька совершает колебания относительно сферы с малой амплитудой. В произвольный момент времени і, в дальнейшем принимаемый за начальный t = О, на пузырек падает длинная (по сравнению с размером пузырька) сферическая волна. В результате этого давление Роо на удалении г = г (г - радиальная координата, отсчитываемая от центра пузырька) от поверхности пузырька, достаточно большом по сравнению с радиусом пузырька R, но все еще малом по сравнению с длиной волны, изменяется по закону
Здесь р - статическое давление жидкости, Ар, ш - амплитуда и частота колебаний. Под действием изменяющегося давления в жидкости пузырек сначала сильно расширяется, увеличиваясь в объеме в 103 и более раз, а затем еще более сильно сжимается, уменьшаясь в объеме в 106 и более раз. При этом центр пузырька остается неподвижным.
Предполагается, что движение газа и жидкости при расширении-сжатии пузырька описывается следующими уравнениями Здесь р - плотность, и - скорость, р - давление, т = 2/ле - тензор вязких напряжений, е - тензор скоростей деформаций, /І - динамическая вязкость, Е - полная энергия, отнесенная к единице объема, к - коэффициент теплопроводности, Т - температура. Нижний индекс t означает частную производную по времени.
Влияние вязкости жидкости учитывается в предположении, что жидкость является несжимаемой. При этом диссипация энергии за счет вязкого трения в жидкости не учитывается (поэтому в уравнении энергии слагаемые с г отсутствуют). Эти допущения обусловлены тем, что при расширении пузырька жидкость ведет себя практически как несжимаемая среда, а при сжатии влияние вязкости жидкости незначительно. Влияние вязкости газа в силу его малости не учитывается, то есть для газа в (1.1) - (1.3) полагается т = 0.
С учетом этого на поверхности пузырька предполагается выполнение следующих условий: кинематического а на внешней границе (г = Гоо)
При очень сильных сжатиях газа и жидкости необходимо учитывать эффекты диссоциации и ионизации. Эти эффекты учитываются посредством уравнений состояния, подробное описание которых приведено в следующем параграфе. Здесь -- радиус пузырька, Y/ (0, (р) - сферическая гармоника степени г порядка j. Радиус пузырька R характеризует его расширение-сжатие. Модуль коэффициента а определяет амплитуду отклонения от сферической формы пузырька в виде Y? (0,(р), а его знак - направление этого отклонения (наружу или внутрь пузырька, в зависимости от свойств конкретной гармоники). В дальнейшем коэффициент аг_, и отношение sij (t) = ciij (t)/R (t) называются, соответственно, отклонением от сферической формы и искажением сферической формы пузырька в виде Y? (в, р). Предполагается, что возмущение сферической формы пузырька мало по сравнению с его линейными размерами С учетом (1.12) описываемое уравнениями (1.1) - (1.11) движение жидкости и газа рассматривается как суперпозиция чисто сферического движения и его малого несферического возмущения (чисто несферического движения), обусловленного малыми возмущениями сферической формы пузырька. Для описания чисто сферического движения используется нулевое приближение задачи (1.1) - (1.11) по є, а для описания чисто несферического движения - первое приближение.
Применяются следующие обозначения: р = р + р(1\ р = р + р \ и = u + и 1) и т.д., где параметры без верхнего индекса относятся к чисто сферическому движению, а с верхним индексом (1) - к чисто несферическому движению.
Уравнения сферической динамики жидкости и газа. Граничные условия. Для получения уравнений сферической составляющей движения жидкости и газа и граничных условий в уравнениях (1.1) - (1.10) делается подстановка р = р, и = и, р = р, Т = Т. Кроме того, граничные условия (1.4) - (1.8) переносятся с поверхности пузырька на сферу г = R. В результате уравнения, описывающие чисто сферическое движение, имеют в сферических координатах следующий вид [8]
Основная модель несферического движения пузырька
Основной алгоритм расчета эволюции возмущения сферической поверхности пузырька в ходе его расширения-сжатия следующий. Сначала на стадии расширения пузырька и в начале стадии сжатия, где скорости изменения радиуса пузырька еще относительно невелики, эволюция отклонения от сферической формы CLi находится из уравнений (5.1) - (5.4) (или (5.6)), а входящие в них параметры сферической составляющей движения (радиус пузырька Я, скорость R и т.д.) - из уравнения Рэлея-Плессета (3.1). При этом уравнения (5.1) -(5.4) (или (5.6)) и (3.1) решаются совместно.
По мере роста скорости сжатия пузырька R наступает момент, когда нарушается одно из условий (3.4), где М?+ = М и 0.04. После этого момента до самого конца стадии сжатия эволюция отклонения щ находится из уравнений (4.19) - (4.20), (4.15) (или (5.5)), а входящие в них параметры сферической составляющей движения (радиус пузырька R, градиенты давления и скорости на поверхности пузырька р , uf и т.д.) - уравнений динамики газа и сжимаемой жидкости (2.1) - (2.3). При этом сначала решаются уравнения (2.1) - (2.3), а затем - уравнения (4.19) - (4.20), (4.15) (или (5.5)).
Расчет эволюции отклонения и радиуса пузырька при расширении и в начале сжатия. Эволюция отклонения от сферической формы щ и радиуса пузырька R на стадии расширения и в начале стадии сжатия определяется совместным численным решением уравнений (5.1) - (5.4) (или (5.6)) и уравнения (3.1). Используется методика работы [17], основанная на применении метода Дормана-Принса 8-го порядка точности [44].
Для применения метода Дормана-Принса уравнение в частных производных (5.2) аппроксимируется конечными разностями. При этом осуществляется замена переменных г = t и = R/r при г R. В новых переменных уравнение (5.2) имеет вид Интервал [0,1] разбивается на К равных отрезков, k+i — fc+A к = 1, К, Д = 1/К. Частные производные по пространству Qf, Q аппроксимируются центральными разностями
На рис. 3,4 представлено сравнение областей устойчивости сферической формы пузырька относительно ее длинноволновых осесимметричных возмущений при і = 2 (рис. 3) и 3 (рис. 4). Серая область соответствует области устойчивых сферических колебаний, полученной A. Prosperetti [73]. В экспериментах [78] определялась граница области устойчивых сферических колебаний. Экспериментальные данные обозначены на рисунке символами о. Символами + отмечены результаты методики, используемой и настоящей работе. Можно заключить, что в обоих случаях (при і = 2 и 3) используемая в настоящей работе методика дает удовлетворительное согласование как с численными результатами работы [73], так и с экспериментальными данными.
Расчет эволюции отклонения и радиуса пузырька при высокоскоростном сжатии. Как отмечено выше, при высокоскоростном сжатии пузырька, определяемым нарушением одного из условий, указанных в (3.4), эволюция отклонения аг- находится из уравнений (4.19) - (4.20), (4.15) (или (5.5)), а входящие в них параметры сферической составляющей движения (радиус пузырька І2, градиенты давления и скорости на поверхности пузырька р , uf и т.д.) - из уравнений динамики газа и сжимаемой жидкости (2.1) - (2.3). При этом сначала решаются уравнения (2.1) - (2.3), а затем - уравнения (4.19) - (4.20), (4.15) (или (5.5)).
Решение уравнений (2.1) - (2.3) находится по методике Аганина [1, 6-9,45], основанной на методе Годунова (распада разрыва) [25]. В расчетах настоящей работы используется подвижная сетка, в газе - равномерная, в жидкости - сгущающаяся к поверхности пузырька по геометрическому закону. Размер ячейки в жидкости, прилегающей к поверхности пузырька, на каждом новом временном слое определяется из условия равенства 1/4 размера ячейки однородной сетки в газе.
Изменение во времени параметров сферической составляющей движения (радиуса R, градиентов р , uf и т.д.), входящих в уравнения эволюции отклонения (4.19) - (4.20), (4.15) (или (5.5)), аппроксимируется сплайнами 3-го порядка по результатам численного решения уравнений (2.1) - (2.3). Градиенты р , uf определяются с использованием односторонних разностей первого порядка. Поскольку влияние вязкости на стадии сжатия пузырька мало, то вместо значения и+г используется его приближенное значение 6R/R2.
Для решения уравнений (4.19) - (4.20), (4.15) (или (5.5)) применяется методика расчета, основанная на методе Дормана-Принса 2-го порядка точности. При этом уравнение завихренности жидкости и другие, связанные с ней выражения, аппроксимируются также, как и в методике [17].
Эволюция возмущения сферичности адиабатического пузырька без учета вязкости жидкости
Эллипсоидальные возмущения сферической формы пузырька описываются отклонениями в виде сферической поверхностной гармоники степени і = 2, представляющей собой полином Лежандра 2-й степени. На рис. 7 для двух значений амплитуды внешнего возбуждения Ар/р = 1.5 (сплошные кривые) и 4 (пунктирные кривые) представлено изменение относительного отклонения 02/02 для начальной фазы /? = 7г/2, когда в начальный момент отклонение максимально, а скорость его изменения равна нулю. моментов времени tv+, tm, tv- и tc. Здесь tv+- момент, когда скорость расширения пузырька R принимает свое максимальное значение, а ускорение R меняет знак с плюса на минус, a tv-- момент, когда величина скорости сжатия пузырька R становится максимальной, а ускорение R меняет знак с минуса на плюс. Как отмечалось выше, tm - момент максимального расширения пузырька, tc - момент коллапса.
Безразмерный параметр Wj характеризует соотношение силы поверхностного натяжения и силы, обусловленной радиальным движением пузырька (пропорциональной R), а модуль параметра S; - силы, обусловленной наличием неравномерного радиального движения пузырька (пропорциональной R), и силы, пропорциональной R.
На рис. 8а для случая Ар/р = 1.5 приведено изменение амплитуды отклонения а2/а-2І на стадии расширения пузырька в виде функции от R/Rm (левая часть рисунка) и на стадии сжатия в виде функции от Rm/R (правая часть рисунка). На рис. 86 представлены соответствующие изменения безразмерных параметров W2 (пунктирная кривая) и $2І (штриховая кривая).
В начале расширения пузырька отклонение изменяется в виде затухающих колебаний с возрастающим периодом (рис. 8а). Колебания обусловлены преобладанием влияния поверхностного натяжения (рис. 86"), а их затухание - влиянием радиальной скорости расширения пузырька, подобным эффекту вязкости и пропорциональным R 0. По мере ускоренного роста радиуса пузырька поверхностное натяжение уменьшается пропорционально І?3, а влияние радиальной скорости уменьшается пропорционально R и растет пропорционально Я, поэтому значение параметра W2 уменьшается. Рост периода колебаний отклонения определяется, в основном, уменьшением силы поверхностного натяжения. Когда значение W2 приближается к 1, скорость изменения отклонения значительно уменьшается, и оно остается почти постоянным. Далее на стадии замедленного расширения влияние радиальной скорости ослабевает, и под влиянием возрастающего отрицательного радиального ускорения R 0 отклонение начинает медленно уменьшаться. Расширение пузырька завершается в момент tT иТП
Влияние поверхностного натяжения на стадии сжатия остается пренебрежимо малым по сравнению с влиянием параметров радиального движения. На стадии ускоренного сжатия сила, пропорциональная радиальной скорости поверхности, быстро увеличивается. Теперь она способствует росту отклонения. Действие силы, пропорциональной радиальному ускорению, здесь подобно действию поверхностного натяжения. В большей части стадии ускоренного сжатия модуль параметра остается близким к 1. При этом отклонение здесь совершает одно колебание с быстро возрастающей амплитудой и уменьшающимся периодом. Колебание отклонения обусловлено влиянием силы, пропорциональной R (подобной здесь поверхностному натяжению), а рост амплитуды колебаний обеспечивает сила, пропорциональная R. В окрестности момента tv-, где происходит смена знака R, и где, его значения близки к нулю, наблюдается быстрый монотонный рост отклонения под влиянием силы, пропорциональной R. Из-за растущего давления в пузырьке на очень коротком временном отрезке tv- t tc скорость сжатия R падает от своего максимального значения до нуля. При этом положительное значение R быстро увеличивается. Таким образом, монотонный рост отклонения на стадии замедленного сжатия поддерживается, в основном, силой, пропорциональной R 0. но рис. 7 и рис. 8, 9 с увеличением амплитуды внешнего воздействия значение параметра W2 на стадии ускоренного расширения уменьшается до единицы значительно быстрее. При этом уменьшаются как частота колебаний отклонения, так и их относительная продолжительность. При дальнейшем расширении воздействие радиальной скорости (подобное вязкому трению) в данном случае становится преобладающим по сравнению с поверхностным натяжением. Несферическое движение поверхности при этом почти затухает. Это, в свою очередь, приводит к уменьшению влияния радиальной скорости, пропорционального, согласно (11.1) скорости изменения отклонения. В этом случае уже на стадии ускоренного расширения (R 0) может проявиться пропорциональная величине отклонения сила, связанная с радиальным ускорением. Она обусловливает слабое нарастание отклонения (рис. 9а). В момент максимального расширения значение а а при Ар/р = 4 примерно в 2.5 раза превышает значение, соответствующее Ар/р = 1.5.
Зависимость возмущений сферичности пузырька от особенностей сферической составляющей движения, учитываемых в первом приближении
Видно, что лишь при і = 4,5 зависимости искажения остались качественно подобными соответствующим зависимостям отклонения. В случаях і = 2, 3 с менее сильным затуханием отклонения рост максимального радиуса при увеличении Ар/р либо компенсирует уменьшение степени затухания отклонения (г = 3, Ар/р 2), либо превышает его (г = 2), вызывая рост степени затухания искажения є\/єітт во всем интервале 1.4 Ар/р 5. Как и в случае с отклонениями, наименьшее затухание максимальных искажений при 1.4 Ар/р 5 наблюдается для г = 2: в 60 раз при малых Ар и в 110 раз - при больших. При Ар/р = 5 степень затухания максимальных искажений для і = 3, 4, 5 составляет 230, 500, 1400 раз, соответственно.
На рис. 18б приведены зависимости от Ар/р отношения максимального отклонения в момент коллапса (tc) к максимальному отклонению в момент максимального расширения (tm) а,{тс/щтт для разных значений г. Это отношение характеризует степень нарастания максимального отклонения на стадии сжатия пузырька. Согласно рис. 18а, в при і = 2, 3 во всем диапазоне 1.4 Ар/р 5 отношение а,ітс/аітт превышает аУщтт, то есть нарастание максимального отклонения при сжатии превышает его затухание при расширении. При і = 4, 5 в интервалах 1.6 Ар/р 1.85 и 1.7 Ар/р 3.5, соответственно, затухание при расширении оказывается больше, чем нарастание при сжатии. При малых Ар значения щтс/а{тт для г = 2 — 5 оказываются близкими, в частности, при Ар/р = 1.4 Щтс/Щтт Ю. С увеличением Ар значение (1(тс/а{тгп для і = 2 повышается до 38 при Ар/р = 5 по закону, близкому к линейному. В случае і = 3, 4, 5 в окрестности максимальных значений а/а{тт (рис. 18а) отношение аітс/а,ітт увеличивается значительно быстрее, чем в случае г = 2. При дальнейшем увеличении Ар значения агтс/агтт продолжают расти, но уже с меньшей скоростью, близкой к г = 2. При этом значения агтс/щтт для г = 4, 5 в 1.6 раз превышают значения, соответствующие г = 2, 3.
На рис. 18г, д для г = 2 — 5 представлены зависимости от Др/р отношений Щтс/а!- (г) и (д), характеризующих, соответственно, степень нарастания максимального отклонения и искажения в ходе всего расширения-сжатия пузырька от начального момента расширения t = 0 до момента максимального сжатия (коллапса) t = tc. Величины щтс/а и Єітс/є определяются, соответственно, соотношением степеней затухания максимальных отклонений и искажений при расширении и их нарастания при сжатии.
Наибольшие значения щтс/а соответствуют гармонике с номером і = 2. В этом случае затухание максимальных отклонений на стадии расширения является наименьшим. Значение а2шс/а2 монотонно возрастает от 1.6 при Ар/р = 1.4 до 20 - при Ар/р = 5. С увеличением і монотонность возрастания щтс/а нарушается. В области малых Ар отношение аг тс/а? при г = 3 — 5 убывает. При этом отклонение в момент коллапса оказывается меньше начального при і = 4 в интервале 1.6 Ар/р 1.85, а при і = 5 - в интервале 1.7 Др/р 3.5. В окрестности Ар/р « 1.5 при і = 3, Ар/р w 1.7 при і = 4 и Ар/р « 2.5 при і = 5 отношение ajmc/o начинает расти вследствие увеличения скорости роста a,-mc/a,-mm (рис. 18о). В дальнейшем рост щтс/а отчасти определяется уменьшением степени затухания максимального отклонения при расширении (рис. 18а). За исключением малой области в начале рассматриваемого диапазона изменения Др/р, где значения а{тс/а!- « 1 для всех і, с ростом номера гармоники і степень нарастания максимального отклонения в ходе расширения-сжатия пузырька уменьшается. В частности, при Ар/р = 5 она уменьшается с 20 для і = 2 до 9.4, 7, 3 для і = 3, 4, 5 соответственно.
Зависимости {тс/е качественно подобны щтс/а . При этом на всем интервале 1.4 Ар/р 5 для всех і максимальное искажение в момент коллапса превышает начальное значение. В окрестности Ар/р = 1.4 значение Єітс/є для всех і примерно равно 10. При Ар/р = 5 отношение Єітс/є уменьшается от 170 для г = 2 до 80, 61, 23 для і = 3, 4, 5 соответственно. Таким образом, степень нарастания искажения на стадии сжатия пузырька, пропорциональная кроме степени нарастания отклонения аітс/аітт отношению Rm/R составляет около 103 при Ар/р = 1.4 и около 104 при Ар/р = 5.
Для анализа влияния вязкости жидкости на возмущение сферической формы пузырька используются решения рассматриваемой задачи без учета вязкости (11.1), при точном учете ее влияния (5.1) - (5.3) (при qi = 0) и без учета вихревого движения жидкости. В последнем случае согласно (5.6) эволюция отклонения при qi = 0 будет описываться следующим уравнением
На рис. 19 представлены зависимости амплитуды относительного отклонения а»/с$ при (р = 7г/2 (а, б) и максимального по р относительного отклонения ciim/a!- (в, г) от R/Rm на стадии расширения и от Rm/R на стадии сжатия для случаев г — 2 (а, б) иг = 5 (б, г) при Др/р = 3.5. Результаты получены без учета вязкости по (11.1) - (I), а также с учетом вязкости согласно (12.1) - (II) и (5.1) - (5.3) - (III). В дальнейшем обозначения (I) - (III) будут использоваться и для других зависимостей, полученных с использованием соответствующего способа учета вязкости.
Из рис.19 следует, что в рассматриваемом случае результаты с частичным (II) и полным (III) учетом влияния вязкости жидкости согласуются между собой гораздо лучше, чем с результатами, полученными при полном пренебрежении эффектом вязкости жидкости (I). Вместе с тем, между зависимостями, соответствующими способам (II) и (III), имеется ряд различий, обусловленных влиянием завихренности жидкости.
Вязкость жидкости оказывает значительное демпфирующее влияние на отклонение. Особенно сильно оно проявляется в ходе затухающих колебаний в начале фазы расширения пузырька. Так, амплитуда колебаний отклонения при і = 2 в начале расширения (R/Rm 5 Ю-2) в случае Ар/р = 3.5 уменьшается без учета вязкости примерно в 1.6 раз, при учете вязкости согласно (II) - в 5 раз, а согласно (III) - примерно в 5.5 раз (рис. 19б). Демпфирующее влияние вязкости с ростом номера гармоники увеличивается пропорционально г2 (12.1). Так в случае г = 5 амплитуда колебаний на начальном отрезке R/Rm 5 10 2 при учете вязкости по моделям (II), (III) уменьшается в 90 и 250 раз соответственно (рис. 19г).
