Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Контакт цилиндра и полупространства при наличии смазки .. 16
1. Контакт цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства при наличии смазки.. 16
2. Контакт упругого цилиндра и жесткого полупространства при наличии смазки 54
3. Двумерный контакт упругого ролика и жесткого полупространства при наличии смазки.. 66
4. влияние тепловыделения и сжимаемости жидкости на толщину смазочной пленки . 89
Глава 2. кОнтакт упругих тел по узкой области.. 91
Глава 3. Слой жидкости между жестким валом и тонким упругим вкладышем, закрепленным в жестком корпусе.. 123
ГЛАВА 4. Нанесение покрытий по принципу ленточного подшипника.. 142
1. Математическая модель.. 144
2. Центральная зона . 152
3. Входная зона. 157
4. Выходная зона. 173
5. Определение неоднородности толщины наносимого покрытия. 182
6. Методы уменьшения неоднородности толщины наносимого покрытия . 185
Результаты и выводы 197
Приложение 1. Контакт упругих тел по узкой
Эллиптической области.. 199
Приложение 2. К вопросу о граничных условиях для
Уравнения рейнольдса. Течение жидкости со
Свободной поверхностью.. 205
Список литературы
- Контакт упругого цилиндра и жесткого полупространства при наличии смазки
- влияние тепловыделения и сжимаемости жидкости на толщину смазочной пленки
- Центральная зона
- Методы уменьшения неоднородности толщины наносимого покрытия
Введение к работе
Актуальность темы. Контактная гидродинамика – важная область гидродинамической теории смазки. Контактная гидродинамика является теоретической основой для расчета широкого класса узлов трения (опор качения и скольжения, шарниров, передач, уплотнений и др.).
В узлах трения (УТ) протекают сложные механические, физические и физико-химические процессы, связанные с взаимодействием поверхностей в относительном движении. Прежде всего, это процессы трения, изнашивания и смазки, которые широко распространены в природе и технике. Изучением многих из этих процессов занимается контактная гидродинамика.
Контактная гидродинамика имеет дело с течением смазочной жидкости в тонких слоях, разделяющих деформируемые тела, при больших нагрузках, градиентах скорости, температуры, малых временах процесса. В таких условиях материалы проявляют необычные свойства, о которых нет или мало числовых данных, качественных представлений, что ограничивает применение численных методов и вычислительных средств для исследования процессов, протекающих в узлах трения: точность, достигнутая применением численных методов, порой сводится на нет приближённым соответствием принятой модели реальному явлению.
Отсутствие понимания многих явлений в УТ, необходимость учета большого количества факторов, труднодоступность области контакта сильно осложняют не только теоретическое, но и экспериментальное исследование узлов трения. Многофакторность, отсутствие достаточного количества надежных критериев подобия и установленных закономерностей не позволяют адекватно переносить экспериментальные зависимости с одного узла трения на другой, а в рамках фиксированного УТ – с одного режима работа на другой.
Существующие инженерные методики расчета УТ, как правило, основаны на простейших геометрических и механических моделях и
используют различные эмпирические и полуэмпирические зависимости, диапазоны применимости которых либо очень ограничены, либо вовсе неизвестны. Поэтому этих методик совершенно недостаточно для расчета многих современных и, тем более, перспективных узлов трения.
Выход из данной ситуации видится в широком использовании комплексного (системного) подхода и математическом моделировании узлов трения. Весьма эффективными и целесообразными при моделировании узлов трения и других сложных объектов оказываются качественные, асимптотические и другие приближенные методы. Они помогают заметно продвинуться в понимании закономерностей явлений, наблюдаемых в узлах трения; выделить характерные режимы работы УТ, основные процессы, протекающие в них, и критерии подобия, их определяющие; получить приближенные функциональные зависимости, связывающие рабочие характеристики узла с условиями его эксплуатации.
Целью работы является разработка приближенных методов решения задач контактной гидродинамики, развитие инженерных методик расчета и оптимизации узлов трения на основе качественного и асимптотического анализа процессов, протекающих в УТ: течения вязкой несжимаемой жидкости в тонких слоях, разделяющих деформируемые тела; контактного взаимодействия упругих тел по узкой области.
Научная новизна.
1. Получено согласованное по давлению и толщине смазочной пленки приближенное решение задачи о тяжело нагруженном одномерном гидродинамическом контакте цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства. Обоснована диаграмма типа Джонсона асимптотических режимов обильной смазки гидродинамического контакта цилиндра с упругим покрытием и жесткого основания. Найдены асимптотические диапазоны применимости ряда формул для расчета толщины смазочной пленки.
2. Получена асимптотическая формула для центральной толщины
смазочной пленки в случае обильной изовязкой упругогидродинамической
смазки тяжело нагруженных эллиптических контактов.
-
Предложен оригинальный вывод уравнения, описывающего контакт упругих тел по узкой области.
-
Получены приближенные соотношения для определения несущей способности смазочной пленки радиального гидродинамического подшипника скольжения с частичным углом охвата в случае достаточно жесткого упругого вкладыша.
-
Обоснован метод гашения пульсаций выходного расхода с помощью свободно поворачивающейся пластинки при гидродинамическом нанесении покрытий на гибкую подложку (ленту) по методу ленточного подшипника.
Практическая ценность.
-
Получены формулы для давления, толщины и формы смазочной пленки в тяжело нагруженном одномерном гидродинамическом контакте цилиндра с упругим покрытием и жесткого основания. Построены диаграммы типа Джонсона асимптотических режимов обильной смазки гидродинамического контакта цилиндра и жесткого основания. Указаны диапазоны применимости ряда формул для расчета толщины смазочной пленки.
-
Получена асимптотическая формула для центральной толщины смазочной пленки в случае обильной изовязкой упругогидродинамической смазки тяжело нагруженных эллиптических контактов.
-
Предложена эффективная методика расчета распределения давления в контакте упругих тел по узкой области, позволяющая оптимизировать форму контактирующих тел (например, выбирать параметры двухрадиусной образующей профилированного ролика в роликовом подшипнике). Получены приближенные формулы для интегральных характеристик
контакта ролика с кольцами роликового подшипника, которые могут быть использованы при силовом расчете роликового подшипника.
4. Предложена формула для подбора податливости упругого
достаточно жесткого вкладыша радиального гидродинамического
подшипника скольжения с частичным углом охвата. Получена оценка
толщины смазочной пленки на закритических режимах нагружения
подшипника.
-
Получена оценка характерного размера свободно поворачивающейся пластинки для эффективного разглаживания неоднородностей при гидродинамическом нанесении покрытий на гибкую подложку (ленту) по методу ленточного подшипника. Получена оценка критического угла схода ленты.
-
Результаты работы вошли в учебные пособия [1, 2].
Основные положения, выносимые на защиту.
-
Приближенное решение задачи о тяжело нагруженном одномерном гидродинамическом контакте цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства. Обоснование диаграммы типа Джонсона асимптотических режимов обильной смазки гидродинамического контакта цилиндра с упругим покрытием и жесткого основания. Асимптотические диапазоны применимости ряда формул для расчета толщины смазочной пленки.
-
Асимптотическое выражение для центральной толщины смазочной пленки в случае обильной изовязкой упругогидродинамической смазки тяжело нагруженных эллиптических контактов.
-
Оригинальный вывод уравнения, описывающего контакт упругих тел по узкой области. Численный метод решения этого уравнения с помощью полиномов Лежандра. Приближенные формулы для интегральных характеристик контакта ролика и колец радиального роликового подшипника при наличии перекоса.
-
Асимптотические режимы смазки тяжело нагруженного радиального гидродинамического подшипника скольжения с частичным углом охвата в случае достаточно жесткого упругого вкладыша. Качественное и асимптотическое обоснование режима посадки вала на упругий вкладыш при приближении нагрузки к предельной несущей способности подшипника.
-
Обоснование метода разглаживания неоднородностей с помощью свободно поворачивающейся пластинки при гидродинамическом нанесении покрытий на гибкую подложку (ленту) по методу ленточного подшипника. Приближенные выражения, связывающие неоднородность толщины наносимого покрытия с нестабильностью внешних факторов.
Обоснованность и достоверность.
Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается использованием математических моделей, корректно описывающих рассматриваемые процессы, математической обоснованностью применяемых качественных и асимптотических методов анализа и вычислительных процедур, сравнением приближенных расчетов по асимптотической теории с результатами численных расчетов и, в свою очередь, сопоставлением результатов численного анализа с точными решениями, тестовыми задачами и экспериментальными данными.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всесоюзной научно–технической конференции "Обеспечение надёжности узлов трения машин" (г. Ворошиловград, 1988); на III Международной научно-технической конференции "Авиадвигатели ХХI века" (г. Москва, ЦИАМ, декабрь 2010); на XXIII научно-технической конференции по аэродинамике (ЦАГИ, п. Володарского, март 2012); на 12, 13, 15, 53, 54, 55 научных конференциях Московского физико-технического института; на II Всесоюзном семинаре «Гидродинамика нанесения полимерных покрытий» (г. Переславль-Залесский, 1989); на научном семинаре ИМСС УрО РАН
(г. Пермь, январь 2011); на Международном авиационно-космическом научно-гуманитарном семинаре имени С.М. Белоцерковского (г. Москва, 17 февраля 2011 года); на научном семинаре по механике сплошной среды имени Л.А. Галина (ИПМех РАН, г. Москва, 11 марта 2011 года); на научном семинаре кафедры физической механики МФТИ (июнь 2011); на научных семинарах кафедры высшей математики МФТИ.
Публикации. По результатам диссертации опубликовано 23 печатные работы, из них 4 работы [16, 17, 22, 23] в рецензируемых научных журналах, входящих в перечень ВАК.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, выводов, двух приложений, списка литературы из 90 наименований. Объем диссертации составляет 225 страниц. Работа содержит 40 рисунков.
Контакт упругого цилиндра и жесткого полупространства при наличии смазки
Контактная гидродинамика имеет дело с течением смазочной жидкости в тонких слоях, разделяющих деформируемые тела, при больших нагрузках, градиентах скорости, температуры, малых временах процесса. В таких условиях материалы проявляют необычные свойства, о которых нет или мало числовых данных, качественных представлений. Топография и свойства поверхностей, внешняя среда и малые химические добавки в смазочный материал сильно влияют на характер взаимодействия поверхностей (малые отклонения вызывают большие изменения). Разнообразие и взаимное влияние процессов, происходящих в УТ, требуют одновременного учета большого количества факторов. Все это существенно усложняет анализ явлений, затрудняет развитие контактной гидродинамика как науки и получение на ее основе полезных прикладных результатов, ограничивает применение численных методов и вычислительных средств: точность, достигнутая применением численных методов, порой сводится на нет приближённым соответствием принятой модели реальному явлению.
Отсутствие понимания многих явлений в УТ, необходимость учета большого количества факторов, труднодоступность области контакта сильно осложняют не только теоретическое, но и экспериментальное исследование узлов трения. Натурный (промышленный) эксперимент в условиях, максимально приближенных к условиям эксплуатации, стендовые испытания часто преобладают над физическим и модельным экспериментами. Многофакторность, отсутствие достаточного количества надежных критериев подобия и установленных закономерностей не позволяют адекватно переносить экспериментальные зависимости с одного узла трения на другой, а в рамках фиксированного УТ – с одного режима работа на другой. Существующие инженерные методики расчета УТ, как правило, основаны на простейших геометрических и механических моделях и используют различные эмпирические и полуэмпирические зависимости, диапазоны применимости которых либо очень ограничены, либо вовсе неизвестны. Поэтому этих методик совершенно недостаточно для расчета многих современных и, тем более, перспективных узлов трения.
Положение в теоретической, экспериментальной и особенно прикладной контактной гидродинамике усугубляется быстротой смены поколений УТ, внедрением новых принципов, изобретательских и конструкторских разработок, постоянным и все возрастающим ужесточением требований, предъявляемых к УТ, и условий их эксплуатации (вплоть до экстремальных). Выход из данной ситуации видится в широком использовании комплексного (системного) подхода и математическом моделировании узлов трения.
Узел трения – сложный объект, состоящий из взаимодействующих подобъектов (частей), каждый из которых, взятый отдельно, находится в некоторых условиях и проявляется своими характеристиками. Математическое описание подобъекта сводится к заданию оператора, связывающего условия и характеристики. Взаимодействие подобъектов означает, что некоторые характеристики одних (характеристики взаимодействия) являются условиями для других. Из операторов, условий и характеристик отдельных подобъектов формируются (агрегируются) оператор, (входные) условия и (выходные) характеристики, определяющие функционирование сложного объекта как целого и позволяющие описывать взаимодействие данного объекта с другими.
Математическое моделирование сложных объектов (систем), таким образом, включает следующие основные этапы: 1) разбиение сложного объекта (системы) на подобъекты (подсистемы) – анализ; 2) определение условий и характеристик для каждого из выделенных подобъектов, установление (задание) количественной связи между ними; 3) определение характеристик взаимодействия, моделирование взаимодействия различных подобъектов; 4) "сборка" действующей модели объекта (системы) – синтез, агрегирование его входных условий и выходных характеристик; 5) исследование поведения сложного объекта (системы) на основе его математической модели.
В зависимости от поставленной задачи (оценка эффективности новых изобретений и конструкций, расчет эксплуатационных характеристик УТ, учет влияния на них изменения тех или иных внешних условий, оптимальный выбор параметров узла, диагностика состояния УТ) требуются математические модели разного уровня и назначения. Уровень математической модели определяется полнотой и детальностью разбиения сложного объекта на подобъекты; адекватностью, подробностью и точностью описания как отдельных подобъектов, так и механизма взаимодействия их между собой. Использование математических моделей разного уровня превращает математическое моделирование в универсальное, гибкое, мобильное и экономичное средство исследования сложных объектов.
влияние тепловыделения и сжимаемости жидкости на толщину смазочной пленки
Применяя последнюю оценку к условию нормировки (1.12.) и учитывая неравенства (1.14.), получим W Wa = 2/af /(3CR), (1-19.) (2/а/— c)(Ja/+ с) 4д , /а/ д, (1.2U.) где 4 = V3CWR/2 - полуширина области сухого контакта цилиндра с полупространством. Таким образом, ширина области гидродинамического контакта по крайней мере не меньше полуширины области сухого контакта (при прочих равных условиях). Заметим также, что с - Ь, при а -Ь,-0 (режим скудной смазки).
Из неравенства (1.19.) следует, что при фиксированном положении входной границы х = а 0 области УГД-контакта смазочная пленка будет разделять основание и цилиндр лишь в ограниченном диапазоне нагрузок на единицу длины цилиндра: W Wa. В частности, такая ситуация наблюдается, если цилиндр (вал) только вращается вокруг своей оси, но не движется относительно основания (U = 0, U0= R/2), а основание при этом
представляет собой не полупространство, а четверть пространства, смещенное влево относительно оси цилиндра (упрощенная модель радиального гидродинамического подшипника скольжения с частичным углом охвата). В этом случае, очевидно, входная граница х = а 0 области УГД-контакта будет располагаться на передней (входной) кромке основания. Смазочная пленка будет надежно разделять цилиндр и четверть пространства лишь при выполнении условия (1.19.). Из неравенства (1.15.), выражения (1.11.) для h(x), граничных условий (1.8.) следует, что если фиксировано а 0, то при h(a) +0: h(x) +0, р(х) (а2 - x2)/(2CR) - 0 равномерно на (а, -/а/). Здесь учтено, что р(х) = 0 при х с. Тогда из условия нормировки (1.12.) вытекает: WWa-0 при Л(а)+0. Происходит «посадка» вала (цилиндра) с упругим покрытием на четверть пространства. При нагрузках W, превышающих Wa, поверхность вала приходит в соприкосновение с передней кромкой основания и тем самым перекрывается доступ смазочного материала в область УГД-контакта. Реализуется почти сухой контакт вала и основания: поверхности вала и основания разделяет очень тоненькая смазочная пленка, толщина которой определяется радиусом закругления передней кромки основания.
Из проведенного качественного анализа системы (1.8.) - (1.12.), (1.4.) также следует, что градиент давления удовлетворяет неравенству: С Видно, что в случае скудной смазки (h(a) -y120U0RC//a/) толщина смазочной пленки оказывается практически постоянной во всей области гидродинамического контакта: /h(x) - Д0// h(x) 1, х (а, с). Изучив поведение давления и толщины смазочной пленки внутри области упруго-гидродинамического контакта цилиндра и полупространства на качественном уровне, перейдем к асимптотическому анализу системы (1.8.) - (1.12.), (1.4.). Практический интерес представляет случай больших нагрузок W на единицу длины цилиндра. При этом ограничимся рассмотрением режима обильной подачи смазочного материала в контакт (/а/» с, хотя достаточно потребовать, чтобы h{a) » Д,).
Исследуем детально выделенные ситуации. Начнем со второй, определяемой условиями (1.27.). Течение жидкости между цилиндром и полупространством в этом случае можно естественным образом разбить на несколько характерных участков (рис. 1.4, пунктир соответствует ситуации V0«\, Q0«\), каждый из которых имеет собственные отличительные черты. Проведем последовательный анализ каждого из этих участков, предварительно заметив, что из условий (1.27.), как будет видно из дальнейшего, вытекает h0 1. о Рис. 1.4. Характерные участки области УГД-контакта. У ч а с т о к І: х -с, х + с = 0(1). В главном приближении наблюдается течение несжимаемой жидкости постоянной вязкости с нулевым расходом (h0 = О) между жестким цилиндром и полупространством.
Безразмерная толщина h пленки жидкости порядка единицы а безразмерное давление р мало (порядка V0). Введем на участке I новое безразмерное давление p1 = p/V0 (р1 = 0(1)). С учетом того, что К«1, V0«l, Q0JVQ «1 и h = 0(1), получим 2 dpI 1 dx h Откуда h = x — с , PJ(-OO) = 0. (1.29.) pI Ac In x-\- с x— с ex x1 -с1) x —c, х + с = 0(1). (1.30.) Видно, что на участке I давление монотонно возрастает, а толщина смазочной пленки монотонно падает (что согласуется результатами качественного анализа). Из соотношений (1.29.), (1.30.) найдем асимптотические выражения для h и р при х —» -с - 0: , , V() п -2с(с + х), р — . (1.31.) Ас (х + с) Полагая в них формально л = -с-0, получаем Л = +0, р = +оо. Этот результат говорит о том, что вблизи х = -с система (1.29.) неверна, поскольку перестают быть справедливыми предположения, при которых она была получена. У ч а с т ок II: /х + с/« I. Характерные размеры участка II определим чуть позже. На этом участке давление достигает той величины, когда начинают проявляться свойства упругого покрытия цилиндра. Кроме того, течение жидкости на этом участке уже нельзя считать безрасходным, поскольку толщина h смазочной пленки становится сравниваемой с ее расходным значением Д,. Из (1.21.), (1.22.) и условий (1.27.) следует, что на участке II h, р и (х + с) имеют один и тот же порядок -JVQ . Также h0 = O(-JV0). Зависимость вязкости от давления еще не проявляется, что соответствует малости (?0Л/К1
Центральная зона
Представленная выше асимптотическая картина гидродинамического контакта бесконечного упругого цилиндра и жесткого полупространства может быть обобщена на случай контакта упругих цилиндров конечной длины (роликов) при наличии смазки.
В изотермическом приближении стационарная задача о контакте упругого ролика и жесткого полупространства при наличии смазочной пленки вязкой несжимаемой жидкости, разделяющей почти параллельные поверхности контактирующих тел, имеет следующий вид [39]: область гидродинамического контакта ролика и полупространства; Э_ = {(х, у): х= а(у)} и Э+ = {(х, у): х= с(у)} - соответственно входная и выходная границы области гидродинамического контакта; Э = Э_ U Э+; п - внешняя нормаль к границе Э; сближение контактирующих тел (относительное нормальное перемещение точек этих тел, расположенных достаточно далеко от области контакта); F{x,y) - зазор между соприкасающимися недеформированными телами в отсутствие смазочной пленки, определяемый геометрией этих тел (формой ролика); F - нагрузка, прижимающая ролик к полупространству. Ось у по прежнему направлена вдоль оси ролика, а ось х - в направлении, противоположном направлению качения ролика. Если профиль ролика имеет однорадиусную образующую, то в отсутствие перекоса
Таким образом, изотермическая двумерная стационарная упруго-гидродинамическая задача сводится к совместному решению двумерного уравнения Рейнольдса (1.98.) (ср. с (1.8.)) и интегрального уравнения теории упругости (1.99.) (ср. с (1.79.)) с учетом выражения (1.100.), граничных условий (1.101.) (ср. с. (1.9.), (1.10.)) и условия нормировки (1.102.) (ср. с. (1.12.)).
В интересующем нас случае тяжело нагруженного упруго-гидродинамического контакта ролика и полупространства центральная (несущая) зона области контакта приближенно (по форме и размерам) соответствует области сухого упругого контакта (рис. 1.8). Распределение давления в центральной зоне также в главном приближении определяется условиями сухого контакта упругого ролика и полупространства. При этом в каждом сечении центральной зоны плоскостью, перпендикулярной оси ролика (или оси у), наблюдается (в главном приближении) чисто сдвиговое течение, толщина смазочной пленки практически постоянна: h(x, у) = h(0, у) = hc(y), много меньше упругих перемещений поверхности ролика и крайне медленно уменьшается (возрастает) с увеличением (уменьшением) погонной нагрузки в сечении. Рис. 1.8. Область сухого контакта упругих тел.
Толщина смазочной пленки формируется в узкой входной зоне, расположенной вблизи входной границы области сухого упругого контакта, а в выходной зоне происходит некоторое утончение пленки. При этом, как показано М.А. Галаховым и В.П. Ковалевым [38, 39], течение во входной (выходной) зоне, нужно рассматривать в сечении, проведенном по нормали к входной (выходной) границе области сухого упругого контакта (рис. 1.8), и на эту же нормаль проектируется скорость качения. В каждом таком сечении во входной (выходной) зоне рассматриваемая двумерная упруго-гидродинамическая задача сводится к одномерной задаче о линейном контакте бесконечных упругих цилиндров при наличии смазки.
Следовательно, вблизи границы области сухого упругого контакта нужно переходить к новой прямоугольной системе координат x1 y1, повернутой на угол относительно системы xy так, чтобы ось x1 была направлена по нормали к границе контакта (рис. 1.8).
Если профиль ролика имеет однорадиусную образующую, то в соответствии с теорией Герца границей области сухого упругого контакта ролика и полупространства является эллипс [40], а давление p(x, y) внутри области контакта распределено согласно полуэллипсоидальному закону (ср. с (1.87.)) Отметим, что согласно теории Герца радиус R профиля ролика и радиус Rx ролика в срединном сечении, перпендикулярном оси ролика, связаны с полуосями Ь0 и а0 эллипса контакта соотношениями:
Поскольку в случае тяжело нагруженного упруго-гидродинамического контакта в каждом сечении входной зоны, проведенном по нормали к входной границе области сухого упругого контакта, получаем одномерную задачу, то на режиме обильной пьезовязкой смазки упругих роликов с однорадиусной образующей (режим PVE):
Как известно, зазор в эллиптическом контакте при наличии смазки имеет подковообразную форму с характерными сужениями в выходной и боковых зонах, причем для кругового точечного контакта (Ь0 = а0) на режиме PVE неравномерность зазора проявляется сильнее. Формулы (1.111.), (1.113.) также дают уменьшение толщины пленки hc{y) при приближении у к ± (а0 - 0), причем, поскольку в этом случае cos —» 0, то hc{y) и по формуле (1.111.), и по формуле (1.113.) обращается в нуль при у=±а0, и в этих точках поверхности смыкаются. Это противоречит экспериментам [48] и результатам [66] численного решения задачи об упруго-гидродинамической смазке эллиптических контактов и вызвано тем, что в боковых зонах, где /cos/ мал, нельзя использовать изложенный выше метод сечений. В боковых зонах нужно решать существенно двумерную упруго-гидродинамическую задачу.
Методы уменьшения неоднородности толщины наносимого покрытия
Если подставить выражение (3.26.) для Л() в (3.24.), то полученная эпюра давления не будет одновременно удовлетворять граничным условиям (3.5.), (3.6.) ни при каких значениях + и , согласующихся с неравенствами (3.10.). Это означает, что вблизи выходной границы + существует погранслой, внутри которого выражение (3.26.) перестает быть справедливым. Угловой размер погранслоя имеет порядок tf/(V03) «1 (согласно условию (3.23.)). Такой же порядок имеют (+ - г?) и . Вводя новую переменную
Видно, что внутри погранслоя толщина Л() возрастает от hmin = 2h0 - h_ h0 до h0 h_ (что вполне согласуется с результатами качественного анализа). Давление при этом монотонно падает, обращаясь при = + в нуль вместе со своей производной (как того требуют граничные условия (3.5.) и (3.6.)).
Из решений (3.26.) и (3.27.) (соответственно, внешнего и внутреннего) и с учетом выражения (3.25.) сконструируем составное решение, равномерно Таким образом, из анализа (качественного и асимптотического) системы (3.1.) - (3.6.) в случае 0 г? /2 (выходной сектор вкладыша больше входного) следует, что при нагрузках на единицу длины вала, больших критической, подшипник скольжения работает в режиме сухого трения поверхностей вала и вкладыша. На самом же деле реализуется режим почти сухого трения: поверхности вала и вкладыша разделяет очень тоненькая смазочная пленка, толщина которой определяется радиусом закругления передней кромки вкладыша. Если вкладыш достаточно жесткий (V0 «1), радиус закругления г его передней кромки удовлетворяет условиям « г « R, а упругая деформация передней кромки порядка , Перейдем к рассмотрению режимов смазки подшипника скольжения при докритических нагрузках в практически важном случае достаточно жесткого вкладыша (V0 «1), по-прежнему полагая, что выходной сектор вкладыша больше входного (0 -д /2).
При небольших нагрузках на единицу длины вала выходная граница смазочной пленки совпадает с задней кромкой вкладыша (+=). С увеличением погонной нагрузки выходная граница, кавитируя, отходит влево от задней кромки (-г9 + ). Одновременно падает минимальная толщина hmin смазочной пленки и возрастает её клиновидность, обеспечивая требуемую несущую способность.
Если нагрузка на единицу длины вала значительна (коэффициент нагруженности В0 = W2/(60R ) »1), но упругие перемещения поверхности вкладыша ещё малы (Лтіп/ж »1, где w = Ср., = bk /(2R2) и 132 p.t =3W/(4bt) - максимальные относительное упругое сближение и давление, характеризующие сухой контакт вала и упругого вкладыша при условии, что полуширина области сухого упругого контакта k =\]3CWR2/(2) много меньше радиуса вала (k«R, щ, «)), то минимальная тощина смазочной пленки /zmin определяется из решения задачи о качении жесткого бесконечного цилиндра радиуса R2/ по слою жидкости постоянной вязкости, нанесенной на жёсткое полупространство (см. [39]): что соответствует режиму изовязкой смазки жестких тел (режим IVR) по классификации Джонсона [81]. При этом из условия hmin/w = 0,623 V0(B0V0) 5 3 »1 следует, что коэффициент нагруженности
По достижении нагрузкой значений, когда становится заметной упругая деформация вкладыша (режим изовязкой смазки жестких тел с упругим покрытием - режим IVEC: \), выходная граница пленки начинает выдавливаться обратно к задней кромке. Минимальная толщина смазочной пленки на этом этапе падает существенно медленнее с увеличением нагрузки, чем, если бы вкладыш был абсолютно жестким (V0 = 0).
На этом участке в главном приближении наблюдается безрасходное (Д = 0) течение смазочной жидкости между жестким валом и вкладышем. Толщина h смазочной пленки порядка , а давление р порядка piН) (см. выражение (3.22.)). Введем на участке I безразмерное давление pY - р/ ріщ и безразмерную толщину Д = Д/. С учетом того, что Д « А, «1, получим 1 Д=1-со8, є(—г?,—), (3.39.) Фт — 1 d Д2 PiL= -& = 0 (3.40.) Видно, что на участке I давление монотонно возрастает, а толщина смазочного слоя монотонно падает (что согласуется с результатами качественного анализа). Из соотношений (3.39.), (3.40.) найдем асимптотические выражения для h и р при —» - - 0 : /? = -л2-1( + ), р--р,(Н)/2-1)( + )]. У ч а с т о к II: / + J= 0(- /ї ) - переходный слой, внутри которого уравнение Рейнольдса (3.1.) преобразуется в уравнение сухого контакта упругого вкладыша и абсолютно жесткого вала. На этом участке давление р имеет порядок yJVU/C, толщина h=0{ jV )) и становится сравнимой со своим расходным значением Д. Поэтому течение жидкости уже нельзя считать безрасходным. Проводя замену
Похожие диссертации на Асимптотические методы в контактной гидродинамике
