Содержание к диссертации
Введение
Глава 1, Теории упругих сред с микроструктурой
1.1. Основные работы по теориям упругости, учитывающим дополнительные независимые степени свободы частиц 13
1.2. Двойные силы, тензор двойных напряжений 16
1.3. Линейная теория упругости с микроструктурой Миндлина 20
Глава 2. Волновые движения в неограниченном градиентно-упругом пространстве с поверхностной энергией
2.1. Математическая модель градиентно-упругой среды с поверхностной энергией. Уравнения движения и граничные условия 31
2.2. Монохроматические волновые движения в безграничной среде 35
2.3. Экспериментальные исследования продольных волн 42
Глава 3. Распространение волн при наличии граничных поверхностей
3.1. Поверхностная волна Релея 46
3.2. Поверхностная SH-волна 52
3.3. Антиплоская волна в слое 55
3.4 Сравнение фазовых скоростей различных типов волн . 63
Глава 4. Распространение нелинейных волн
4.1. Влияние геометрической нелинейности 66
4.2. Продольные стационарные волны 66
4.3. Сдвиговые стационарные волны 78
4.4 Самомодуляция квазигармонической SH - поверхностной волны 85
Заключение 95
Литература 97
- Двойные силы, тензор двойных напряжений
- Линейная теория упругости с микроструктурой Миндлина
- Монохроматические волновые движения в безграничной среде
- Поверхностная SH-волна
Введение к работе
Актуальность. Классическая теория упругости дает удовлетворительные решения довольно широкого класса задач. Результаты этой теории обычно хорошо соответствуют экспериментам при напряжениях, меньших предела упругости материала. Значительное различие между теорией и экспериментом возникают в тех случаях, когда существенными являются градиенты напряжений, например при концентрации напряжений вокруг отверстий и выточек.
В рамках классической теории упругости невозможно объяснить, например, дисперсию упругих волн, существование антиплоских поверхностных волн, несмотря на их экспериментальное доказательство.
Идеализированная модель классической теории не учитывает реальную зернистость материалов. Расхождения между экспериментом и теорией наблюдается при получении реакции тела на воздействие, характерный размер которого имеет порядок размера зерна. Примером внешнего физического воздействия могут служить волны с большими частотами (или с малыми длинами волн), примером сред- кристаллы, поликристаллические металлы, высокие полимеры.
В настоящее время интенсивно развиваются модели упругих сред с микроструктурой, которые являются естественными обобщениями классической теории упругости [7,29,41,51,55,61,75]. Элементами микроструктуры служат частицы зернистого материала. Попытки учесть процессы, происходящие внутри частиц среды, взаимодействие с соседними частицами тела приводят к сближению механики сплошных сред с физикой.
В физике твердого тела, главным образом в материаловедении, получила признание концепция структурных уровней деформации [7,55]. Согласно этой концепции каждая точка твердого тела представляет собой сложную систему взаимодействующих структур более низкого структурного уровня.
Теории континуумов с микроструктурой по своим гипотезам занимают промежуточное положение между классической теорией упругости и физикой твердого тела, стоящей на позиции существования структурных уровней. Материальная точка в континууме с микроструктурой имеет "разумную" степень сложности, что позволяет описывать и структуру материала (это не доступно для теории упругости), и волны деформации (это не доступно для материаловедения).
Обратим внимание на основную идею теории упругости о постоянстве массовой плотности, которая очевидно нарушается, если принять во внимание прерывистую зернистую и молекулярную природу реальных материалов. Наблюдается зависимость локальных плотностей от выбранного объема усреднения, если он меньше или соизмерим с размером частиц среды. При этом законы движения и исходные аксиомы справедливы для сколь угодно малой части тела.
Сложное взаимодействие частиц в классической механике передается лишь через усилия. Подробный анализ передачи усилий между отдельными зернами в материале является серьезной проблемой. Теории сред с микроструктурой построены на модели тела в виде сплошной среды, имеющей ряд необычных на первый взгляд свойств. Во-первых, структурные элементы такой среды обладают дополнительными степенями свободы. Во-вторых, взаимодействие двух частей тела, соприкасающихся по малому элементу поверхности, характеризуется не только усилиями, как в классической теории упругости, но и двойными силами, антисимметричная часть которых равна моменту.
Наиболее общие и полные теории сред с микроструктурой были представлены в работах Р.Д. Миндлина [63] и А.К. Эрингена [49]. Последний из них получил нелинейные тензоры, характеризующие деформирование макроэлемента, однако дальнейшее рассмотрение, проведенное в его работах, допускает лишь собственные вращения микроэлементов. На данный момент наибольший интерес вызывает линейная теория упругости с микроструктурой Р.Д. Миндлина, в которой микроэлементы могут не только вращаться, но и линейно деформироваться. Существенным недостатком этой теории является то, что уравнения движения содержат большое количество упругих констант, подлежащих экспериментальному определению.
Теория градиентной упругости с поверхностной энергией, предложенная Я. Вардолакисом и X. Георгиадисом [74], основывается на линейной теории упругости Р.Д. Миндлина. Выбранный ими вид функции потенциальной энергии содержит, кроме классических компонент, дополнительные слагаемые: градиент деформации и поверхностную энергию. Теория Я. Вардолакиса и X. Георгиадиса уже дает результаты, согласующиеся с реально наблюдаемыми явлениями, и представляет интерес для изучения.
Теория, предложенная Я. Вардолакисом и X. Георгиадисом, как и другие теории, учитывающие микроструктуру и строящиеся на базе классической теории упругости, содержат ее в качестве предельного частного случая.
В механике сплошной среды большую роль играет использование волновых представлений для описания и исследования напряженно-деформированного состояния, структуры и свойств твердых тел.
Данная работа направлена на изучение периодических во времени движений в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией.
В настоящей работе исследуются различные типы волн в гради енто-у пругом пространстве, неограниченном и ограниченном поверхностями. В рамках градиентной теории упругости с поверхностной энергией показано существование SH- поверхностной волны, которую в классической теории упругости описать невозможно. Анализируется влияние микроструктуры на волновые процессы, а также исследуется влияние геометрической нелинейности на продольные, сдвиговые и SH- поверхностные волны.
Цель работы состоит в изучении дисперсионных зависимостей и нелинейных эффектов, появляющихся при распространении различных типов волн в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией.
Научная новизна. В диссертации получила развитие теория градиентной упругости с поверхностной энергией. Получено уравнение движения. Исследованы монохроматические продольные и сдвиговые волны, поверхностные волны Релея, SH- поверхностные волны и SH-волны в слое.
Изучены нелинейные эффекты, которые возникают при распространении продольных, сдвиговых и SH-поверхностных волн в исследуемой модели среды.
Показано, что градиентно-упругая модель среды с поверхностной энергией дает результаты, согласующиеся с экспериментальными данными, но не описывающиеся как классической теорией упругости, так и существующими теориями, учитывающими микроструктуру.
Практическая ценность. Построение математической модели для сред, обладающих зернистым строением, необходимо при исследовании реакции материалов на внешние воздействия, характерный размер которых соизмерим с размером зерна.
Полученные результаты могут найти применение в неразрушающем контроле при исследовании высокочастотными волнами строительных материалов и конструкций на наличие дефектов, а также их формы, объема и ориентации; акустоэлектронике, при изучении высокочастотных волн в твердых телах.
Достоверность. Достоверность результатов диссертации определяется тем, что в низкочастотном приближении наблюдается соответствие дисперсионных зависимостей волн, распространяющихся в исследуемой модели среды и в классической теории упругости. Также наблюдается хорошее соответствие с известными экспериментальными данными.
На защиту выносятся следующие основные положения работы:
Математическая модель градиентно-упругой среды с поверхностной энергией (уравнения в перемещениях).
Описание и исследование продольных и сдвиговых упругих волн и им соответствующих затухающих возмущений в неограниченном градиентно-упругом пространстве.
Результаты исследования релеевских, SH- поверхностных волн и антиплоских волн в слое из градиентно-упругого материала. Определение области существования SH- поверхностных волн.
Результаты исследования влияния геометрической нелинейности на монохроматические волны и SH- поверхностные волны, распространяющиеся в градиентно-упругой среде.
Основные результаты диссертации были получены при выполнении работы по:
Комплексной программе Российской Академии наук, раздел II «Машиностроение» по теме: «Разработка методов диагностики напряженно-деформированного состояния, структуры и свойств материалов и элементов конструкций, основанных на применении эффектов нелинейной акустики» (2001-2003г.г., научн. рук., проф. Ерофеев В.И.);
Плану основных заданий Нф ИМАШ РАН 2004-2005г.г. по теме: «Волны деформации в структурно-неоднородных материалах и элементах конструкций» (научн. рук., проф. Ерофеев В.И., проф. Потапов А.И.);
Грантам РФФИ: «Нелинейные акустические волны в твердых телах с дислокациями» (2000-2002г.г., №00-02-17337, рук. проф. Ерофеев В.И.); «Нелинейные акустические волны в неоднородных, поврежденных и структурированных средах. Теория. Эксперимент. Приложения.» (2003-2005г.г., №03-02-16924, рук. проф. Ерофеев В.И.).
Федеральной целевой программе «Интеграция»: «Экспериментальное исследование и математическое моделирование деформации и разрушения новых материалов и прогнозирование ресурса конструкций» (рук, проф. Баженов В.Г.),
Работа была поддержана стипендией Ученого Совета ННГУ в 2002-2003уч.г.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации докладывались на Международной научно-технической конференции «Испытания материалов и конструкций» (Н. Новгород, Нф ИМАШ РАН, 2000); на Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001); на XXX Международной научной школе «Актуальные проблемы механики» (С. Петербург, ИПМаш РАН, 2002); на XVI Международном симпозиуме по нелинейной акустике (Москва, МГУ, 2002); на Нижегородской акустической научной сессии (ННГУ, 2002); на Международном симпозиуме «Актуальные проблемы нелинейной волновой физике» (Москва-Н.Новгород, ИПФ РАН, 2003); на X Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, МАИ, 2004).
Публикации. Основные положения диссертации содержатся в работах [4,10-18,38,53,54].
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 103 стр, диссертация содержит 29 рисунков. Список литературы состоит из 76 наименований.
Краткое содержание.
Во Введении сформулированы поставленные цели, отмечена их актуальность.
В Первой главе описаны основные направления развития континуальных теорий упругости, учитывающих микроструктуру; дается описание двойных сил и показывается необходимость их введения в механику сплошных сред; изложена линейная теория упругости Миндлина.
В пЛ.1 приведена краткая история развития теорий упругости, учитывающих микроструктуру; представлен обзор литературы по данному направлению.
В п.1.2 дается определение двойных сил и им соответствующих двойных напряжений; показаны все возможные направления действия двойных сил; проводится сравнение поля напряжений, вызванных их действием и электрического поля, порожденного диполем; показано появление двойных сил при учете квадратичных слагаемых в разложении в ряд Тейлора перемещения в окрестности некоторой точки.
В п. 1.3 представлена структурно-феменологическая модель среды Миндлина; дана геометрическая интерпретация микродисторсии, относительной дисторсии, градиента микродисторсии и двойных напряжений; получены уравнения движения и граничные условия в напряжениях.
Во Второй главе описана градиентно-упругая среда с поверхностной энергией и показано ее отношение к среде Миндлина; получены уравнения движения и граничные условия; исследованы монохроматические продольные и сдвиговые волновые движения.
В п.2.1 представлены основные гипотезы градиентно-упругой среды с поверхностной энергией; получены уравнения динамики в напряжениях и перемещениях.
В п.2.2 показано, что в градиентно-упругой среде с поверхностной энергией могут распространяться не только продольные и сдвиговые волны, как в классической теории упругости, но и соответствующие затухающие в ожидаемом направлении распространения периодичные во времени возмущения; проанализированы их дисперсионные свойства.
В п.2.3 представлены дисперсионные зависимости продольных волн, полученных экспериментально. Показано, что исследуемая модель среды позволяет описывать дисперсию продольной волны и правильно указывает высокочастотную асимптотику.
В Третьей главе исследуются волны, которые распространяются в полупространстве и слое вдоль поверхностей, ограничивающих эти среды.
В п.3.1 описана поверхностная волна Релея; получено и проанализировано дисперсионное уравнение; построены дисперсионные кривые.
В п.3.2 доказано существование поверхностной антиплоской сдвиговой волны; проанализированы дисперсионные характеристики.
В п.3.3 исследуется антиплоская волна в слое; найдено дисперсионное уравнение; исследованы дисперсионные кривые в зависимости от толщины слоя и определены на них точки ветвления.
В п.3.4 подведены итоги по третьей главе, проводится сравнение асимптотических значений фазовых скоростей различных типов волн, исследованных во второй и третьей главах.
Четвертая глава направлена на исследование влияния геометрической нелинейности на продольную, сдвиговую и поверхностную антиплоскую волны.
В п.4.1 дается определение геометрической нелинейности, приведены выражения для напряжений Коши и двойных напряжений.
В п.4.2 получено нелинейное уравнение, описывающее продольные движения; исследуются стационарные волны, которые появляются под влиянием дисперсии и нелинейности; показано, что при нулевом значении параметра, отвечающего за поверхностную энергию, в зависимости от стационарной скорости могут распространяться классические, аномальные солитоны или кноидальные волны.
В п.4.3 исследуются нелинейные сдвиговые движения; показано, что стационарные кноидальные волны могут существовать только в определенном интервале скоростей и при нулевом значении параметра, отвечающего за поверхностную энергию.
В п.4.4 исследуются нелинейные антиплоские сдвиговые поверхностные волны; показано, что в нелинейном приближении в определенном диапазоне частот достаточно учитывать наибольшую из двух составляющих решения линейной задачи, что позволяет найти решение нелинейной задачи, исследовать модуляционную неустойчивость волн, приводящую к их самомодуляции и образованию стационарных волн огибающих.
Двойные силы, тензор двойных напряжений
Двойные силы описаны, например, в [28,43]. Допустим, что в пространстве выбрана декартова система координат Ох х2х . Рассмотрим действие двух сил, одна из которых интенсивности Р\\/h приложена в точке \h/2,0,0) и направлена по оси xl, а вторая той же интенсивности, но противоположно направленная приложена в точке (— h/2,0,0). Переходя к пределу при h— 0, получим так называемую двойную силу /]] без момента. Аналогично определяются двойные силы Р22 и зз Если в точке (Л/2 ДО) приложим силу Pl2/h, направленную по оси х2 а в точке (-Й/2Д0)- силу Pl2/h, действующую в отрицательном направлении оси х2 и устремим h к нулю, то получим двойную силу Р12 с моментом. Двойная сила Р21 состоит из двух сил интенсивности P2\/h каждая, приложенных в точках (0,й/2,0) и (0-А/2,0), направленных в положительном и отрицательном направлениях оси ЛГ]5 соответственно. Антисимметричной части двух двойных сил с моментом одной и той же интенсивности і2 и 21 соответствует сосредоточенный момент, направленный в положительном направлении оси х-$- Аналогично можно определить остальные четыре двойных силы с моментом.
В классической теории упругости обычные силы, под действием которых происходит перемещение точек среды, имеют по три компоненты. Двойные силы имеют девять компонент Pjk \i,j \,2,Ъ), где первый индекс дает ориентацию плеча рычага между силами, а второй индекс дает ориентацию сил. В каждой точке среды, кроме девяти компонент напряжений, появляется двадцать семь компонент двойных напряжений /л к, которые интерпретируются как двойные силы на единицу площади. Первый индекс обозначает нормаль к поверхности, на которую действует компонента, второй и третий индексы имеют такой же смысл, как два индекса в Р]к. На поверхности с положительным направлением ее внешней нормали сила на положительном конце плеча рычага действует в положительном направлении («положительным» считается положительное направление координатных осей, параллельных плечу рычага и силы). На поверхности с отрицательным направлением внешней нормали направления сил обратны. В таблице 1.2.1 показаны схематично направления действия двойных сил на поверхности с положительным и отрицательным направлениями нормали.
Рассмотрим взаимодействие двух частей тела, соприкасающихся по бесконечно малому элементу поверхности. Принимая во внимание непрерывность среды, перемещение в окрестности некоторой точки можно разложить в ряд Тейлора с/, = и? + эи V dxJ Jo X; + — J d U f ъ2тт \ v J K /o xjxk+.... (1.2.1) В классической теории упругости предполагается линейный характер перемещений в окрестности точки. Взаимодействие двух частей тела в этом случае передается через усилия. Допустим, мы хотим учесть квадратичные слагаемые в (1.2.1). При описании взаимодействия двух частей тела одних усилий будет недостаточно. Естественно предположить, что наряду с обычными силами, нужно учитывать двойные силы. Если далее уточнять (1.2.1), то появляются тройные силы и т.д. Этой точки зрения придерживаются Р.А. Тупин [71], Р.Д. Миндлин [63]. Приведем некоторые аргументы к вышесказанному. Пусть Uj (х) обозначает перемещение в неограниченном пространстве, вызванное действием сосредоточенной силы, направленной параллельно оси х-.
Проведем следующее сравнение. Поставим в соответствие источнику сосредоточенной силы, приложенной в начале координат и действующей в направлении jq, электрический заряд, помещенный также в начале координат.
Если в начале координат действует двойная сила Рп и параллельно в той же точке помещен электрический диполь с осью, параллельной также оси д , то величина электрического поля и поля напряжений будут вести себя асимптотически как l/jq . Диполь в электродинамике порождает электрическую двойную силу. Заметим, что диполи в электродинамике используются широко. Поэтому введение двойных сил в механику сплошной среды является естественным обобщением классической теории. Получается, что в классической теории упругости все напряжения, связанные с двойными, тройными и т.д. силами, самоуравновешены. При учете источника механического момента самоуравновешенными будут симметричная часть по последним двум индексам двойных напряжений и все напряжения, связанные с п-кратными силами (п 2). Если имеется источник двойной силы, отличный от момента, то самоуравновешенными будут уже только п-кратные напряжения при п 2.
За счет рассмотрения микроструктуры изменяется характер перемещения частиц в окрестности некоторой точки. Элементарной частице разрешили линейно деформироваться. Линейная деформация линейно деформируемых частиц и порождает квадратичные слагаемые в (1.2.1).
Данное направление развития механики сплошной среды имеет большие перспективы. Оно порождает широкий класс задач: пересмотр ранее поставленных и решаемых проблем и постановка новых задач, недоступных решению с позиций классической теории упругости. Видимо пройдет не одно десятилетие, прежде чем возникнет окончательный внутренне непротиворечивый вариант теории упругости нового поколения.
Линейная теория упругости с микроструктурой Миндлина
Данный раздел является изложением [63]. В теории Миндлина вводится понятие единичной ячейки (микросреды), которая может быть интерпретирована как периодическая структура кристаллической решётки, молекула полимера, кристалл поликристалла или зерно зернистого материала. Рассматривается материальный объем Q, ограниченный поверхностью S. Вводятся Xh / = 1,2,3- прямоугольные материальные компоненты радиуса-вектора начального положения материальной точки объема О. и xt- компоненты в той же прямоугольной системе конечного положения. Перемещение материальной точки характеризуется вектором U, компоненты которого определяется следующим образом U xt-Xi. (1-3.1) Предполагается, что в каждую материальную точку вложен микрообъем Q , микроперемещения в котором определяются вектором U с компонентами Щ = х\ - Х\, (1-3.2) где Х\ и х[- компоненты начального и конечного положения радиус-векторов, отнесенные к осям с началом в частице, параллельным х(, которые движутся поступательно вместе с перемещениями U. Вводится понятие макро сі/,- dUt — . — - = 3,2/ Uj=Uj(xitt) 8Xt dxf и микродисторсии —- я —- = w;., и , = u Ax xUt), ex; dx t г J J л l l h считая абсолютне значения градиента перемещений малыми по сравнению с единицей. Макроперемещения, как и в классической теории упругости, определяются через макрокоординаты xt и время
Однако микроперемещения зависят еще и от микрокоординаты х[. В данной теории предполагается линейный характер деформирования микроэлемента, степень которого определяется макрокоординатой xi где у/ - тензор микродисторсии. Таким образом, микродисторсия ц/і} однородна в микросреде и изменяется при переходе от одного элемента к другому. В макроконтинууме появляется отклик от деформации структурного элемента. Симметричная часть фш\ микродисторсии представляет собой микродеформацию, а антисимметричная часть Wun -микровращение. Компоненты микродисторсии \{/ц пропорциональны компонентам перемещения концов деформируемых направляющих Дж.Л. Эриксена и К.А. Трусдела [48]. Микровращения являются компонентами вращения триэдра Коссера [46]. Определяется обычная деформация (макродеформация) соотношением ,, = ІК+а//,) 0-3.4) Поскольку деформации макрообъема и составляющих его структурных элементов различны, то вводится тензор относительной дисторсии (разность между градиентом макроперемещений и микродисторсиеЙ) yy=diUj-r (1.3.5) который характеризует степень этого различия. Также вводится градиент микродисторсии (макроградиент микродисторсии) соотношением Xijk=dijk (L3-6) который показывает степень изменения микродисторсии при переходе от одного элемента к другому. Миндлин представляет единичную ячейку в форме параллелепипеда. Выбранный вид элемента микроструктуры влияет на второе слагаемое в последнем выражении для плотности кинетической энергии.
Уравнения (1.3.20) содержат линейные уравнения континуума Коссера [46]. Их можно получить, если предположить, что микродеформация отсутствует y/(ij)=- Тогда а —т и / -/ =0.
Антисимметричная часть двойных напряжений по последним двум индексам будет соответствовать моментным напряжениям Коссера. Антисимметричную часть тензора относительных напряжений следует рассматривать как антисимметричную часть несимметричного напряжения Тц.
Линейный вариант уравнений теории моментных напряжений [1,57,62,65,66] при малых частотах и больших длинах волн, а также обобщение теории моментных напряжений Ту пина [72] также можно получить из уравнений движений теории Миндлина.
Для анизотропного тела функция плотности потенциальной энергии (1.3.11) будет содержать 903 независимые константы (модули упругости). В случае центрально симметричного изотропного материала число независимых коэффициентов сокращается до 18. Предполагая среду микрооднородной, т.е. при слиянии микросреды с макросредой, число модулей упругости сокращается еще на 5 единиц. При сделанных допущениях 13 независимых констант, появляющихся в уравнениях теории Миндлина, затрудняют ее исследование.
Монохроматические волновые движения в безграничной среде
Действительный корень уравнения (2.2.3) соответствует распространяющейся моде, переносящей энергию. Нераспространяющейся моде соответствует мнимый корень. Будем называть ее затухающим возмущением. На рис.2.2,1,й представлены дисперсионные зависимости частоты от волнового числа в нормированных координатах справа для волнового движения, а слева- для затухающего возмущения; зависимости нормированной фазовой скорости от нормированной частоты представлены на рис.2.2.1, Ь при различных значениях v (кривая 1 - V = 0.1, кривая 2- V = 0.25, кривая 3- v = 0.4). Асимптоты изображены штриховыми прямыми. На рис.2.2.2, а представлены зависимости нормированной частоты от нормированных волновых чисел для волны справа и затухающего возмущения слева, а на рис.2.2.2, b - зависимости нормированной фазовой скорости от нормированной частоты. Дисперсионное уравнение для продольной волны в нормированных величинах зависит лишь от коэффициента Пуассона, необходимого для разрешения этого уравнения. Характер дисперсионной кривой при разных значениях v не изменяется, однако при его увеличении возрастает отношение фазовых скоростей продольной и поперечной волн.
Заметим, что в уравнении движения в перемещениях (2.1.12) нет слагаемых с параметром Ь. Скорости продольных и сдвиговых волн также не зависят от данного параметра, т.е. дополнительное слагаемое в выражении плотности потенциальной энергии, отвечающее за поверхностную энергию, не влияет на распространение объемных волн в исследуемой модели среды.
Имеется ряд работ, посвященных экспериментальному изучению дисперсии продольных упругих волн в конструкционных материалах.
Например, в [21] представлены измерения скорости продольных волн в широком диапазоне частот (от 1 до 70МГц). Для алюминиевого сплава Діб (рис.2.3.1, кривая 1) наблюдается уменьшение скорости продольной волны во всем диапазоне частот, для стали 12Х18Н10Т (рис.2.3.1, кривая 4) наблюдается уменьшение скорости в диапазоне частот от 1 до 10МГц, а при частотах, больших 25 МГц, измерения не проводились из-за сильного затухания волн в этом материале. Для стали 40X13 (рис.2.3.1, кривая 3) при частотах 1-20 МГц скорость волны уменьшается, а в дальнейшем она практически постоянна. Для плавленого кварца (рис.2.3.1, кривая 2) скорость продольной волны практически постоянна во всем исследуемом диапазоне частот.
В работе [69] экспериментально исследована дисперсия продольных волн, распространяющихся в волокнистом боро-эпоксидном композите. Показано, что для частот, превышающих 5 МГц, наблюдается заметное уменьшение скорости продольной волны, распространяющейся в направлении армирующих волокон (рис.2.3.2). Для волны, распространяющейся перпендикулярно волокнам, также скорость падает с частотой на частотах выше 5 МГц (рис.2.3.3). Затухание оказалось сильнее, чем в предыдущем случае, и при частотах выше 10 МГц измерения были затруднительны.
Классическая теория упругости не позволяет описать дисперсию продольной волны и утверждает, что ее фазовая скорость равна С/ во всем частотном диапазоне [30]. Известная модель Коссера [7] наделяет каждую материальную точку среды свойствами твердого тела и, следовательно, кроме продольных и сдвиговых волн, признает возможность существования ротационных волновых движений. Однако дисперсию продольных волн она описать не может.
Моментная теория упругости (модель Леру) [7] позволяет описать дисперсию продольной и сдвиговой упругих волн, но фазовые скорости этих волн будут увеличиваться с ростом частоты. Такая ситуация наблюдается для некоторых геологических пород [3] (рис.2.3.4, кривые расположены тем выше, чем больше содержание воды в порах), для зернистого вольфрамо-эпоксидного композита [9], для стекла К8 при частотах, превышающих 30 МГц [21].
Для того, чтобы расширить применимость среды Леру и на материалы, для которых скорость продольной волны уменьшается с частотой, в [7] в модель был введен поправочный коэффициент, правда, без какого-либо теоретического обоснования. Но и в этом случае модель Леру, описывая дисперсию, приводит к отсутствию асимптотического значения фазовой скорости при .
Таким образом, преимущество рассматриваемой модели градиентно-упругой среды по сравнению с классической теорией упругости, моделями Коссера и Леру, заключается в том, что она позволяет описать дисперсию продольной упругой волны и правильно указывает высокочастотную асимптотику.
Поверхностная SH-волна
Будем рассматривать антиплоские сдвиговые (т.е. горизонтально поляризованные или SH) поверхностные движения в градиентно-упругом полупространстве с поверхностной энергией. Впервые этот тип волн в исследуемой модели среды рассматривался Я. Вардолакисом и X. Георгиадисом [74].
Для данной задачи дополнительное слагаемое в выражении плотности потенциальной энергии позволяет теоретически доказать существование SH- поверхностных волн в случае однородной среды, занимающей полупространство. Экспериментально эти волны наблюдаются, например, в кристаллоакустике [22], однако в рамках классической теории упругости они не могут быть описаны. Рассматриваемый случай - подтверждение влияния слагаемого в выражении плотности потенциальной энергии, отвечающего за поверхностную энергию.
Подставляя (3.3,2) в уравнение движения, получим линейную однородную систему четырех уравнений, решение которой существует при условии обращения в нуль определителя матрицы, составленной из коэффициентов при амплитудных функциях A,B,D и Е Раскрывая определитель и вводя нормированные величины (3.1.7), придем к следующему дисперсионному уравнению, записанному в нормированных переменных.
Анализ уравнения (3.3.7) методами вычислительной математики показал, что оно имеет решение только при п 0. Каждому значению п соответствует определенная дисперсионная ветвь. Будем говорить, что п соответствует (и + 1)-ая дисперсионная кривая. Хотя переход от уравнения (3.3.3) к уравнению (3.3.7) показан в области действительных волновых чисел, последней дисперсионной зависимостью при построении графиков можно пользоваться и в области мнимых kd . При практических вычислениях, нормированные волновые характеристики, полученные из уравнений (3.3.3) и (3.3.7), отличались друг от друга не более чем на Ю-4. Чисто теоретически, критической (где не следует пользоваться уравнением (3.3.7)) должна являться область, окаймляющая нулевую моду в области мнимых волновых чисел. Асимптотическое значение фазовой скорости SH - волны в слое совпадает с асимптотическим значением фазовой скорости SH поверхностной волны и равно С = = 1. Число дисперсионных кривых, исходящих из оси СОд = О в области мнимых волновых чисел, конечно и увеличивается с толщиной слоя.
Заметим, что наряду с найденными, есть еще точки ветвления. Как уже отмечалось, дисперсионные кривые, кроме нулевых, описываются соотношением (3,3.8), причем каждому значению п соответствует определенная ветвь. Берут начало эти кривые на оси C0d=0 из точек Kd, записанных в (3.3.6). Если выполняется следующее равенство то m-ая и (т+1)-ая ветви выходят из одной точки. Так образуется точка ветвления на оси со и — 0. При любом фиксированном значении параметра bd существует бесконечный ряд толщин слоя, при которых точка Kd — д/1 - Ъд будет точкой ветвления. При фиксированной толщине слоя существует ряд значений параметра Ья-, при которых появляются точки ветвления.
