Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Поперечный удар брусом 15
1. Система уравнений плоского движения нити Динамические и кинематические условия на фронтах разрывов ... 15
2. Удар по нити прямоугольным брусом. 23
3. Взаимодействие продольных волн. 31
4. Взаимодействие продольных и поперечных волн.- 34
5. Удар по нити брусом при нэличии трения.. 39
6. Экспериментальные исследования. 47
Глава II. Распространение волн в канатах. поперечный удар по канату .. 59
1. Система уравнений плоского движения каната 59
2. Определение характеристики системы (2.1.8) - (2.I.I0) 62
3. Разрывы на характеристиках 70
4. Условия вдоль характеристик.. 73
5. Линейная постановка. Задача о поперечном ударе по канату. Автомодельные решения 76
6. Продольное движение каната 80
7. Форма колебаний каната. 82
8. Решение задечи о продольном удере по полубесконечной длины.Линейная постановка 83
Глава III. Продольный и поперечный удар точкой по канату. Ввдение . 88
1. Распространение сильных разрывов в канате. Продольный удар по канату телом, движущимся с постоянной скоростью 88
2. Отражение продольно-крутильных волн от жестко закрепленной границы 94
3. Взаимодействие продольно-крутильных волн на участках каната 97
4. Поперечный удар по линейно-упругому канату бесконечной длины 101
5. Исследование зависимости параметров движения каната от угла свивки 112
Заключение 118
Литература 120
- Система уравнений плоского движения нити Динамические и кинематические условия на фронтах разрывов
- Определение характеристики системы (2.1.8) - (2.I.I0)
- Решение задечи о продольном удере по полубесконечной длины.Линейная постановка
- Поперечный удар по линейно-упругому канату бесконечной длины
Введение к работе
В литературе гибкой нитью или нитью принято называть тонкий стержень, способный оказывать сопротивление только на растяжение, ось которого может принимать любую форму [l""3j . Нить, наделенную крутильной жесткостью, а также способностью раскручиваться при растяжении и удлиняться при раскручивании называют естественно закрученной нитью или канатом [4-5 J . Канат, обладающий свойством сопротивляться изгибу (проволочный канат), условно называют стальным канатом [5-юЗ .
Областью, где нить нашла свое массовое применение, можно считать текстильную промышленность. Нить широко используется в электро- и радиотехнике в форме различных кабелей в качестве электропроводников, в космической и авиационной технике в качестве различных сосудов и баллонов минимальной массы, тормозных устройств, в горной промышленности и в строительной технике в форме каната или стального каната в качестве основного элемента подъемных устройств и т.д.
Канаты изготовляются из дорогостоящих материалов, таких как медные, стальные и алюминиевые проволоки, хлопчатобумажные и химические волокна. Канаты часто используются в критических условиях, например, в горной и авиационной промышленности. Длина канатов, используемых в шахтных подъемах, достигает 3000 м, а вес каната - 100 т. [4-51 . Обрывы и разрушение канатов часто приводят к полной остановке цехов и агрегатов шахтных, горных, текстильных промышленностей.
Исследование динамики каната представляет важный практический интерес на пути экономного использования металлов, хлопчатобумажных, химических материалов страны,обеспечения бесперебой-
-5-ной, безопасной и длительной работы агрегатов шахтной, горной,
текстильной промышленности и т.д.
Канат является сложной конструкцией, его интегральные физико-механические характеристики, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями [4,6-9], существенно отличаются от соответствующих характеристик тонкого сплошного стержня или нити. Например, канат обладает значительно меньшей продольной, крутильной и изгибной жестностью, а интенсивность процессов рассеивания энергии при деформациях в канвтах в десятки раз выше, чем в сплошных стержнях [4,5, ІО-ІЗ].
Основы теории статики различных систем и конструкций даны в работах [І4-І5]. Работы [5,16, 17] посвящены статике канвтам и разработке методов решения различных задач статики каната.
Исследования по динамике [8,10-13,57-70] канатов условно можно разделить на три этапа. Первый этап - исследование механических свойств канатов и напряжений в упругих нитях постоянных длин, второй этап - исследование динамики нитей переменной длины с учетом ее физико-механических свойств, третий этап - исследование, направленное на создание общей теории динамики каната.
Исследования первого и второго этвпа в основном обобщаются в работах академиков А.Н.Динника, Г.Н.Савина \Ч-5].
На основе многих экспериментальных данных А.Н.Динник [4»18-20] установил, что канат в первом приближении можно считать упругой гибкой нитью, наделенной соответствующими физико-механическими характеристиками.
Моделирование и создание математических методов определения напряженного состояния канатов является одной из важных задач механики. Первые основополагающие результаты по созданию математических моделей каната получены в работах [18-20,5J.
На основе экспериментальных исследований задачи простого растяжения каната получена приближенная формула для определения на-пряжения растяжения в L -ой проволоке стального спирального каната в следующем виде 57-58/
COS V/
= Т;
Ц— ' ZFC COS* С і
где р - площадь поперечного сечения / -ой проволоки, Т -осевое усилие в канате, н" - угол свивки I -ой проволоки в канат.
Для каната двойной свивки
m C0sx*i ео$А:
« = / «г- г. ЛЛг-2 /, „Го*
где уОу - угол свивки ^ -ой пряди в канат. Дальнейшие обобщения теории канатов и гибких нитей и учет основного свойства каната - раскручиваться при продольном растяжении - привели ^4j к созданию новой математической модели каната: не вполне упругой естественно закрученной нити [*4,I0 J. Г.Н.Савиным L4,I0J для упругих канатов сплошного поперечного сечения получены уравнения
Г\$хЬ) = —~ EF + L KEF (a)
где 1/(st t) = ///S, t) + U '(5,1)
u'Csb)-- K9fs,t)
К - коэффициент (радиус) раскрутки, и' (St t) - удлинение нити от раскручивания на угол 6(S)~i) М($іІ) момент раскрутки поперечного сечения каната, P(Sit) продольное усилие, fF и 8 - продольная и крутильная жесткости нити.
В работах U,8,10-11,21 J даны способы экспериментального
...-'../
определения коэффициентов F і В и К . Общвя теория создания математических моделей различных сред изложена в работах [22-28].
Как показели многочисленные экспериментальные и теоретические исследования [4-Іі], при силовом расчете канате, кроме его физико-механических свойств, необходимо учитывать геометрическое постероение стальных канатов. М.Ф.Глушко [4-?] не основании уравнений Кирхгофа для тонких стержней впервые получил общие уравнения строительной механики стального квната при произвольно действующей на него нагрузке. Модель стального каната, учитывающая его геометрическое построение, полученная М.Ф.Глушко и имеет вид:
(в)
Способы экспериментального определения обобщенных коэффициентов Л % В и С существенно отличаются от способов определения коэффициентов Ер у 3 и fi( , входящих в уравнения (а) и (б).
Влияние крутильных колебаний открывает ряд существенно новых эффектов в динамике каната по сравнению с его моделью в ви-
- p- .
де сплошной нити [4,29,30 J .
Кроме механических воздействий на прямую ветвь, канат испытывает изгиб на блоках и барабанах. Возникающие при этом из-гибные напряжения в некоторых случаях играют решающую роль в разрушении каната. В наиболее общей постановке вопрос изгибных напряжений рассмотрен в работах [5,3]>33] .
Большую роль в работе каната играют внутренние силы трения. Их влияние, как диссипативных сил, приводит к тому, что в отличие от идеально упругой системы многие процессы в канате, связанные с относительным смещением его элементов, носят необратимый характер 4-5 ] .
Работы, посвященные изучению динамики каната с учетом всех явлений, возникающих в нем, носят только описательный характер ([а] стр.13 ) . Большую роль в инженерной практике играет расчет каната на прочность, долговечность, гибкость и т.д., которые пока строятся на чисто эмпирических данных (см. там же). Теория изучения динамики нитей и канатов продолжает развиваться в различных направлениях ["4-5 ] .
Одним из эффективных методов изучения динамики канатов является теория распространения волн. Основы теории распространения волн в различных средах и математические методы решения уравнения волновых процессов даны в работах (4,4,5,27-28, 34-37 J. Основополагающие результаты в области теории распространения волн в гибких нитях и канатах принадлежат Х.А.Рахматулину [2, 38-421 , его ученикам и последователям 42-50] .
Теоретически и экспериментально доказано, что при динамических воздействиях в нитях могут возникать поперечные волны сильного разрыва, на фронтах которых деформация и натяжение не терпят разрыва [2,44-47,51,52] . Это утверждение позволило раз-
работать методы решения ряда теоретических и практических зв-дач динамики нити и канате [2, 53-57].
Метод поперечного удара [2J позволил разработать схему построения динамической диаграммы "натяжение-деформация" [2,55, 58-59], установить эффект вязко-упругих свойств материала нитики Г54_), временной релаксации параметров движения [53J и широко применяется в теориях тонких стержней, оболочек, мембраны [г] и т.д.
Работа [во] посвящена исследованию решения дифференциальных уравнений движения нити при поперечном ударе. Из полученного в этой работе решения автомодельной задачи следует, что часть нити в каждый момент времени имеет прямолинейную форму и постоянную деформацию. То есть, если по нити произвести поперечный удар точкой, движущейся с постоянной скоростью (постоянные граничные условия), то возмущенные участки нити будут иметь прямолинейную форму и постоянную деформацию. В работе f6lJ рассматривается задача о поперечном ударе точкой, движущейся с постоянной скоростью по гибкой, натянутой первоначально нити. Предполагается, что на участке касания нити и ударяющей точки (конечного размера) происходит скольжение нити и имеет место трение между нитью и поверхностью точки. В качестве уравнения связи натяжения слева и справа от точки удара принимается уравнение Эйлера для натяжения нити, переброшенной через шкив. Работы [62-65J посвящены решению задачи о поперечном ударе по нити твердым телом заданной формы (клин, тупой клин, цилиндр, ко-
НУ)'
Настоящая работа состоит из введения, трех основных глав и
заключения.
В первой главе данной работы на основе теории распространен
- 10 -ния волн в нитях решаются задачи об ударе брусом по гибкой упругой нити бесконечной длины. В первом параграфе выписываются динамические и кинематические условия, имеющие место на фронтах продольных и поперечных волн[2, 27, 44-41-Динамические и кинематические условия с помощью несложных преобразований приводятся к наиболее простому виду Г45, 56-573 . Во втором параграфе рассматривается задача об ударе прямоугольным брусом по гибкой упругой растянутой первоначально нити бесконечной длины [бб] . В последующих параграфах рассматриваются случаи взаимодействия продольных и продольно-поперечных волн на отрезках нити, косого удара со скольжением бруса; нормального удара без скольжения и случаи, когда нить на участке прилегания к брусу не движется относительно бруса (точечный удар).
В пятом параграфе первой главы рассматривается задача об ударе по гибкой нити брусом, движущимся с постоянной скоростью, имеющим закругленные участки в концах [67-68І. Предполагается, что в закругленных участках бруса на нить действуют распределенные силы давления и трения. Силы давления и трения связаны между собой законом Кулона, а натяжения - уравнением Эйлера (для натяжения нити переброшенной через шкив) [2,613 .
Полученные решения задач иллюстрируются числовыми и экспериментальными данными. Эксперименты проводились над стальными проволоками и резиновыми шнурами. Как известно [48, 55, 26, 28j , к резиновым шнурам теорию упругой нити можно применять только при очень малом диапазоне скорости удара (примерно 25-30 м/сек). В данной работе эксперименты над резиновым шнуром проводились для измерения и фотографирования возможного изменения угла излома нити, возникающего в результате взаимодействия продольных и поперечных
- и -
волн. Приведенные в этой главе числовые и экспериментальные данные, соответствующие резиновому шнуру, служат подтверждением эффекта разрыва параметров движения нити, возникающего при взаимодействии продольных и поперечных волн.
В этой же главе приводятся приближенные формулы вычисления деформации и угла излома при ударе брусом по упругой нити и сравнение их с приближенными формулами при точечном ударе I2,617 . Схема решения задачи (изложенная в данной работе) об ударе брусом по гибкой нити при наличии трения может послужить новым способом определения динамического коэффициента трения.
Основополагающие результаты в области исследования волновых процессов в канатах принадлежат Г.Н.Савину [4,8,11,60,70] . На основе экспериментальных исследований им впервые установлено, что при продольном растяжении в канатах могут распространяться две продольно-крутильные волны, распространяющиеся с двумя различными скоростями [4,81 . М.Ф.Глушко [5,6,71-72"] доказал возможность распространения двух продольно-крутильных волн в стальных канатах и объяснил природу этих волн. Как следует из [ 4 ] , продольно-крутильная волна, распространяющаяся вдоль каната^большой скоростью, является волной растяжения с раскру~ чиванием или, наоборот, волной сжатия с закручиванием, а волна распространяющаяся с меньшей скоростью, соответственно является волной растяжения с раскручиванием или, наоборот, волной ежа- ' тия с закручиванием. Работы [5,72~75І посвящены обобщению теории распространения волн в канатах и решению различных задач. Рассматриваются различные модели каната [4-5,77-78^] .
Одной из задач, стоящих на пути развития теории динамики канатов, является определение их обобщенных коэффициентов [4,5,6,10} . Существуют различные теоретические и эксперимен-
тальные методы определения этих коэффициентов [4-5,6-10 ~] .
Однако эти методы строятся на весьма приближенных основах [4,5 J . Сильно колеблются литературные данные о значении скорости распространения продольно-крутильных волн [5 J . Определенного успеха в этой области можно добиться с помощью метода поперечного удара. Как известно [23 , метод поперечного удара позволяет получить экспериментальные значения скорости удара и угла излома. С помощью этого метода можно проверить значения обобщенных коэффициентов и скорости продольно-крутильных волн определяемых другими методами.
Вторая глава настоящей работы посвящена исследованию волновых процессов, возникающих в канатах при поперечном ударе. Как известно [2,75] , система дифференциальных уравнений, описывающих плоское движение каната, существенно отличается от системы дифференциальных уравнений плоского движения нити. Существенно отличается и уравнение связи между напряжением и деформацией [2,4,5,777 . Поэтому результаты, полученные для нити в работах [2,43-47] , не являются очевидными в случае каната..
В первых параграфах второй главы настоящей работы выписывается полная система дифференциальных уравнений, описывающая плоское движение каната, исследуется ее характеристики и условия вдоль этих характеристик. Предполагается, что натяжение и крутящий момент нелинейно зависят от деформации, растяжения и кручения. Приводится доказательство того, что на фронтах поперечных волн, могущих распространяться вдоль каната, деформации, растяжение и кручение не терпят разрыва. Выражения для скорости распространения продольных и поперечных волн имеют такой же вид, как и в случае гибкой нити. Характеристики,условие вдоль характеристик системы уравнений плоского движения каната иссле-
- ІЗ -
дуются искусственным способом, который можно назвать обобщением способа определения характеристики и условия вдоль характеристики, предложенного Х.А.Рахматулиным (см. [2І стрі8-9 и[38І стр.7-8 ). Приводятся решения автомодельной задачи.
Третья глава настоящей работы посвящена исследованию одномерного (продольно-крутильного) движения каната. Предполагается, что натяжение и крутящий момент линейно зависят от деформации (растяжения и кручения) [4, 5, б]. Рассматривается нестационарная задача о продольном ударе по канату бесконечной длины граничная задача, стационарная задача - удар с постоянной скоростью, случаи отражения продольно-крутильных волн от жестко закрепленного конца, продольный удар по канату конечной длины и взаимодействие продольно-крутильных волн на участках каната конечной длины.
В последнем парграфе третьей главы рассматриваются задачи о поперечном ударе точкой (движущейся с постоянной скоростью) по канату бесконечной длины. Рассматривается случай, когда скольжение каната в точке удара отсутствует и когда скольжение имеет место. В первом случае предполагается, что в точке удара касательная составляющая скорости и скорость кручения поперечных сечений каната равны нулю, то есть жестко закрепленная граница, а во втором случае предполагается, что в точке удара каната крутящий момент равен нулю [4, 5, 7, 5І. Приводятся результаты экспериментальных исследований.
Целью проведенных экспериментов являются исследования, изменения параметров движения каната в зависимости от угла свивки проволок в канат. Эксперименту подвергались: различные спиральные канаты [И отличающиеся только углами свивки проволок
- н -
в канат, стальные проволоки расплетенные из рассматриваемых канатов. Приводятся основные выводы, полученные в результате теоретических и экспериментальных исследований.
Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую признательность своему научному руководителю академику АН УзССР Х.А.Рахматулину за руководство диссертацией и постоянное внимание и доценту Максимову В.Ф. за ознакомление с диссертацией и ценные советы. Автор благодарен также М.П.Фолунину, Г.С.Ульянову, А.Ф.Мосину - сотрудникам НИИ механики МГУ за оказанную ими помощь в проведении экспериментов.
І ГМВА
На основе теории распространения сильных разрывов в нитях и канатах [3,чъ J решаются задачи об ударе брусом по гибкой упругой нити бесконечной длины. Рассматриваются случаи взаимодействия продольных и поперечных волн на отрезках нити, случаи удара брусом по нити без трения, случаи удара, когда на концах бруса имеет место трение между нитью и поверхностью бруса, случаи косого удара со скольжением бруса и нормального удара без скольжения. Решения рассмотренных задач иллюстрируются числовыми и экспериментальными данными. Получены приближенные формулы вычисления деформации и утла излома при ударе брусом по упругой нити и сравнение их с известными Ц/5,61] приближенными формулами при точечном ударе. В первом параграфе приводится полная система дифференциальных уравнений описывающих движение гибкой нити при поперечном ударе [&,Si] . Выписываются динамические и кинематические условия [ц^ 66J» имеющие место на фронтах разрывов
I. Система уравнений плоского движения нити. Динамические и кинематические условия на фронтах разрывов.
Полная система дифференциальных уравнений, описывающих плоское движение нити имеет вид:
Л^щЪа**) ал.»
(I.I.2)
j>02^-= Э- (TS/Л^ (I.I.2)
(<+i)U>S
Ч-Чи) (1.1,5)
Здесь XC^xt) и #(Sjt) - смещения, соответственно, вдоль осей ^ и ^ , tTtSti) - натяжение, fcj j -деформация, j^ - начальная линейная плотность нити, (^/^, ?У -угол между осью ОХ и касвтельной к нити в рассматриваемой точке, - лагранжевэ координата, ^ - время. Предполагается, что ось О Х- направлена вдоль натянутой первоначально прямолинейной нити, а ось Ojj перпендикулярно к последней.
Система уравнений (I.I.I) - (I.I.5) является гиперболической системой и приводится к системе двух волновых уравнений Ґ2, 51J относительно неизвестных X($i~t) и &($})
Разрешив эту систему [2, 5lJ, можно показать, что вдоль нити в каждый момент времени распространяются продольные волны, движущиеся относительно частицы со скоростью равной местной скорости звука - CL и поперечные волны, движущиеся со скоростью z=. і y(l+ fcj CL . На фронтах поперечных волн терпят разрывы только касательные к нитики и скорости частиц, а на фронтах продольных волн все параметры движения кроме касательной к нити. Нить в каждый момент времени (при поперечном ударе) имеет форму, показанную на рис. І.І. Если удар по упру-
гой нити произвести телом, движущимся с постоянной скоростью, то возмущенные области нити будут областями постоянных параметров [51, 61] .
Пусть точечный удар произведен по упругой, растяжимой, бесконечно длинной, гибкой, натянутой первоначально нити (рис.І.І).
Область 0 - участок нити расположенный перед фронтом продольной волны О-о , соответствует первоначальному состоянию, а области L и - участки, расположенные соответственно между точками С , /) и Л> ,8 (рис.І.І), являются возмущенными областями . Параметрам движения нити в областях О , 1 и Я- присвоим соответственно индексы 0,1 и 2. Динамические и кинематические условия и условия сохранения массы [28J при переходе частицы нити фронта продольной волны имеют вид:
ic-A = -aU^-St) (і.і.б)
Т.-Ті-Л (Zi- йо)(Іо- St і) Сі.і.7)
/,(r.-Qt)= А(4-во) (ІЛ,8)
Здесь и в дальнейшем точки над $ и U означают производные по . Эти уравнения совместно с уравнением Т ~ образуют систему относительно неизвестных Ji} і Ті t flj . Если область 0 является невозмущенной областью, т.е. 0 = jPc х Е0^=0, то система (1,1,6) - (1,1.8) принимает вид:
=-Q' ^ (I.I.9)
?,= &№-&)& (І.ІЛо,
Рассмотрим условия на фронте поперечной волны > . Пусть за время CL-t поперечная волна X) переходит в точку /D/ (рис.1.2). За это же время частица нити в точке /О переходит в точку F и уравнения изменения количества движения принимают вид:
Я(Ґ+2,) (v&wfi -4) = % (/-cos?) —
j(e'+Xt) Y^Sfi = Г, Зі'яув (ил,
Здесь Z> - Эйлерова скорость поперечного разрыва, которая выражается через лагранжеву скорость - о соотношением [г% 45 J:
%'+х, = 0+ь)4
(1,1.14)
Очевидно (см.рис.1.2)
VCOSfi ? (Ґ-* X/) SM
Подставив (І.1.14) в уравнение (І.І.ІЗ), получим
Используя уравнения (І.І.14) - (І.І.15) и учитывая, что
.=. VSinA _ , Jf s YC&S& из системы уравнений (I.I.12) - (І.І.ІЗ), получим
я^-Яі- a. Ahif)i} ({-cosy) (Ілле)
(I.I.I7)
Уравнения (I.I.9) и (I.I.16) - (I.I.17) можно рассматривать как систему относительно трех неизвестных, например, скоростей Д./ * JLq « ^2
Пусть вдоль нити вправо распространяются продольная волна В (рис.1.2 а) и поперечная водна fi , а влево продольная волна X) и поперечная волна С . Динамические и кинематические условия на фронтах этих волн будут иметь вид:
на фронте продольной волны В ;
iz- ,= -0(0 (z-
І -'/=- а* (**-*<) &'" у ал.»)
на фронте продольной волны А) ;
^ / (І.І.20)
Х^-Х5 = Q„ (у-ss) COS Xx
на фронте поперечной волны А ;
Я,-%і* а)ІЇ****ЇЇг. (toSYt-CVSX) (I.I.22)
(I.I.23)
на фронте поперечной волны С ;
$r3=Q.Jhuj7t(do$h-&>sX4) (ІЛ;
24)
-20' -
Уравнения (І.І.9), (I.I.16) - (I.1.25) в дальнейшем будут использованы при решении различных задач.
Схему движения нити изображенную на рис.1.2.а можно осуществить: например, рассмотрим нить закрепленную в точках М и /V (рис. 1.2.6) и удерживаемую в точке К . Если в момент ^. с? отпустить нить (снять силы реакции в точке ЛҐ ), то нить будет двигаться по изображенной на рис. 1.2.а схеме.
о' а0 ї
а0 о
Рид .1.1
С
Р&с .1.2
^ X
$
2,
В
Pftc.I,2.a
Pfcc.I.2.6
-24 - 2. Удар по нити прямоугольным брусом.
Рассматривается косой удар с постоянной скоростью прямо-т угольным брусом. Пусть бесконечно длинная линейно-упругая растяжимая нить налетает на абсолютно гладкую поверхность прямоугольного бруса (рис. 1.3) со скоростью Vo , составляющей угол В0 с нормалью к брусу.
Рассматривается схема взаимодействия при условии контакта нити с брусом по всей его длине и возможности скольжения её вдоль бруса без трения.
В результате удара в нити возникают четыре продольные вол-
ны С, C'f '; Е" f две поперечные волны />, А и два
стационарных разрыва на концах бруса Я и В . Относительно стационарных разрывов А ж В происходит движение нити как через неподвижные блоки.
Указанными волнами и стационарными разрывами нить разбивается на девять областей, постоянных параметров. Области О и 0 соответствуют начальному движению нити со скоростью \/о без деформации. Вобласти ^ нить не деформирована и имеет относительную скорость Vo St,n,A0 вдоль бруса. Области й. и Я' являются областями чисто продольного движения, то есть скорость нити направлена вдоль отрезков 8<0 и #&' . В областях { и і нормальная к нити составляющая скорости такая же, как и в областях О и 0* , при переходе через продольные волны С и меняются только касательные к нити составляющие скорости. Описанная картина движения осуществляется до момента взаимодействия волн Е и В , то есть до момента — / &о . Взаимодействие этих волн может произойти в середине отрезка ft В только в случае нормального по-
С
Vі V
Рис. 1.3.
- 26 -перечного удара при Я = О . Как известно, на поперечных волнах /0 и /)' деформация не терпит разрывов, так же как и в стационарных разрывах $ и 3 в силу отсутствия трения. Следовательно, в областях 4, Si ж 3 одинаковая деформация і так же, как и в областях 1 '^ SL ? 3 одинаковая ^ . Уравнения (I.I.9), (I.I.I6) - (I.I.I7) принимают вид:
^- Vi C0$>JBo (1.2.2)
(1.2.3)
*2 ~ *i^&o/(Mt)l\ (i - COS (f)
fa- Vi^OafO+li^ Slnif (1.2.4)
Знак минус в правой части уравнения (1.2.4) означает, что ось ОУ направлена вверх. На фронте продольной волны имеем
%3= К SU/&0^ao± (1-2.5)
В точке В равны касательные к нити составляющие скорости в областях ft и 3 , а нормальные составляющие равны нулю. Следовательно в точке В
dz = cte со$> tf (1.2.6)
&= #3 Slntf (1.2.7)
Система уравнений (I.2.I) - (1.2.7) является замкнутой относительно неизвестных Xt f %д, tt3 , у , ^ , ^ и ^
Исключая скорости, получаем систему двух уравнений для неизвестных if и ^ :
Последние два уравнения легко привести к следующему виду:
COS (Р = ^ Stri/So* J і - g/ (1.2.8)
VoSinfo+Ai + di.
ЗіП If- V* COS ft о (1.2.9)
Здесь \/0 = Vi /OL0
Возведя в квадрат (1.2.8) - (1.2.9) и складывая, получим уравнение для определения деформации ^ которое необходимо решать численно. С другой стороны можно выразить ± и V0 через угол if , что удобно для численного расчета. Действительно, из уравнения (1.2.9), получим
1 SU (f
Из уравнения (1.2.8), используя уравнения (1.2.10), получим
\ . f - 7.М(У+/Г.) (І.2.Ц)
Перемножая уравнения (1.2.10) и (1.2.II), найдем
с _ ^У^д,- ScrifSCnpa) cos С ?+/$*)
j— - — — (1.2.12)
Вычитая уравнение (1.2.10) из уравнения (1.2.II), будем иметь
= IZ ^Д Г/ -JEUfl (I.2.I3)
Из уравнения (1.2.12) - (1.2.13) окончательно имеем
Vo ~ — — г (I.2.I4)
^ C0S(f+j30) [№уво - Serif. Ляд,)
t~ **Ьа-ш?)* (іллб)
Расчеты удобно вести обратным методом, задавая ft и определяя j_ и соответствующую скорость удара ]/0 Параметры движения нити в областях , % и 3 получаются заменой угла у50 на —J$0 .
7/= шь.а-м?) *<"?_ . а.2.16)
p/_ frs^_lAz ws ?)_ _„__ (I.2.I7)
При нормальном точечном ударе С Зо = О) полученные решения принимают вид:
v тш?— ("-I8)
І1~ <, cosy (I-2,I9)
Решение для точечного удара по нити без трения L ^ J получается как частный случай из приведенного решения удара брусом по нити. В этом случае исчезают области 3 » ^/ и Sf » а условие в точке удара есть равенства касательных к нити соответ-ствующих скорости, причем деформации левой и правой частей нити от точки удара одинаковы. Напишем это решение, обозначая индексом z параметры нити при точечном ударе:
Ve=
At1+4)
[4-e+fif]№fr(fi+tty*ft Wl+Ctj*$)
f=~M (1.2.21)
где jt и Ті- " У?ш излома сооветственно справа и слева от точки удара.
- (*+*) (1.2.21)
Здесь
Si'nfe+ sin if.
- зо -
При нормальном точечном ударе эти решения принимают вид:
У0- (<- MS ft) -Г^УУ ц.2.23)
і- f/-0S
VB fi- eos
,= _Lf TtJ (1.2.24)
Sill ft.
В случае нормального точечного удара и малых деформаций Рахматулиным в работе Х J получено следующее приближение
В случае нормального удара брусом легко получить
Следовательно, деформация при нормальном ударе брусом в этом
приближении меньше, чем при точечном ударе в vy раз, а
угол больше в ]/~$Г раз. В конце первой главы приводится иллюстрация полученных решений числовыми и экспериментальными данными.
- 31- 3. Взаимодействие продольных волн.
Указанная во втором параграфе схема движения нити имеет место до тех пор, пока идущие друг к другу на встречу продольные волны и не встретятся. До встречи продольных волн Е и г на фронтах этих волн имеют место следующие кинематические соотношения:
на В
%3- Vo3Ln/50 -f aoi (I.3.I)
на t
хъ = Vo sin^0 - a* s± и-3-2)
В результате взаимодействия продольных волн Е и г возникают отраженные продольные волны г и F (рис. 1.4), распространяющиеся от места встречи в противоположных направлениях. После взаимодействия продольных волн Еж Е область */ исчезает и образуется область 5 (рис.1.4).
Очевидно, на фронтах отраженных продольных волн F и F имеют место соответственно следующие уравнения:
ds = К з/узр +а01-алг + а.1 (1'3*3)
02s = Vo Stnp.-йЛі_+ Q, lz-й0 ± (1.3.4)
где через ^ и 2і обозначены деформации, соответственно, областях S~ и 3/ . Из уравнения (I.3.I) и (1.3.3), найдем
л= ?i+ Yx (1.3.5)
— <-*< —
Ts = Vc sSn/B. -t ae Ct- ,) (I-3-6)
При B0= О имеем f=f (см. I) и из уравнения (1.3.5) -(1.3.6), получим
т.е. при этом взаимодействие продольных волн и Е происходит в середине отрезка fi-E и отражение этих волн происходит, как отражение продольных волн от жестко закрепленного конца нити (упругое отражение продольных волн).
Продольные волны -F и -F проходят соответственно через стационарные разрывы 8 и /f , как через неподвижные блоки. В результате перехода продольных волн f ж f через фронт S И А возникают области 6 и 6 (рис. 1.5). Деформация в областях 5 » С и &' равна $ . На фронте разрыва В равны касательные составляющие скорости, так же, как и на фронте ft , то есть
it = *trefisp=[v.si'lyst+ac (Si-^)] cos f CI,3-7)
& = *S-SMf= [ЪЗМ/З.+ ЫЬ-г^ St'nf (1.3.8)
4 3' Г 5 f- Ъ 8
Рис. !.<{
— <а*э _
Рисі .5
4. Взаимодействие продольных и поперечных волн.
Так как скорость продольных волн в линейно-упругой нити больше, чем поперечных, продольная волна F догонит поперечную ) . В результате взаимодействия продольной волны F с поперечной волной X) возникнут четыре волны (рис. 1.6): две продольные /И и Ы и две поперечные Cjl и Ц , разделяющие нить на участки постоянных параметров 7 , 8 и 9 . Деформация в этих областях одинакова, так как на поперечных волнах нет скачка деформации; обозначим ее через $ . Условия совместности на фронтах возникших волн принимают вид:
на фронте М :
}-< = -а-о(г3-*<) (I.4.D
$! = %<= V0CO$po (1.4.2)
на фронте ul :
у - = -а.\Гф%) siU
S «7 -"*-> " (1.4.4)
на фронте п :
Xg-Xj=u,\/3({+B3)fCPS^- COg If) (1.4.5)
Й - У9= а,Щйи) (si'nd- sin у) (1-4.6)
на фронте
+ х
о
Рисі .6
X9- X6 = Q0(5- Sz) COS if (1.4.7)
%-$Ь~ - (з- B*) S^ (I-4,8)
Система уравнений (1.4.1) - (1.4.8) является замкнутой
системой относительно неизвестных ССу , CCg , Xq , #3 ,
МоШр-ал^-ао^ [сон- 4) = [a* fo- в4) + + do (3- 1) sin у +do^3 (sw4 -suiy)
где H ^) , далее
+
^/ f У о * ( ' ? п^и Условш» что остальные параметры движения нити известны из решения предыдущих задач. Исключив скорости из последней системы, получим два уравнения относительно неизвестных ^з и ^ ;
(1.4.9)
Вычитая уравнение (I.4.10), умноженное на Cos W » из уравне
ния (1.4.9), умноженного на Sort tp , получим
- 37 ~
(I.4.II)
Из уравнения (1.4.9) и (I.4.II), найдем
J _ 7oC0S(l/>+A)0+e0S У)+А iW . (1.4.12)
7 _ j2ir!^^eo^^ cosr- (I'4,I3)
где J=VoSihfa (i~COS(р)+2< cosy
Вычитая уравнение (I.4.ІЗ) из уравнения (І.4.12), получим
V~
ZfCoSd-SihCf - (i+dOStp) &Ы(Ц>Ы)]
Из уравнений (1.4.12) и (1.4.14) получим
Учитывая, что ( Аг~ 3)Из + ^j) ~ ^3 » из дав~
нений (І.4.ІЗ) и (І.4.15) будем иметь
j. . tifslnCv-^ + VoCesfr+fl,) соь + ІАо (I.4.I6)
3 [toU. SW f-(4+ Cos y) S m ^-<)]^
Приравнивая правые части уравнений (I.4.14) и (I.4.16), окончательно получим
[cos, t< sin у -- (і + сой f) sin (у- чД А о ~
= z[Asin(4>-j) -t-V0 oos (if+js0) &,So(] [Ж (smtp-
-Z Uh (4-*)) + V0 cos(y+)(<+ eos
Последнее уравнение легко привести к виду
1 (I.4.I7)
+ЛУ sin(y-l)Сси + h si'h*(V-*<)=o
где_
h^-2V0 dos(tf+js,)sintf + й V?№*(+fi0) ;
t^ JK сп^+^інcosy*за] - z/fs/w>;
Сделав замену
eoW = J^ > S/W = -^- (1.4.20)
Уравнение (I.3.19) можно написать в виде
сч х V сл Xі-* ^Уг -h ct х ч- ев = о
- 39 -где: с - 4^4/ -^4 ^4^/
4^ -шуЩ+ль*"'^; Аг* А ****?.
5. Удар по нити брусом при наличии трения
Пусть по бесконечно длинной упругой первоначально натянутой
нити произведен поперечный удар брусом (рис.1.7), движущимся с
—=>
постоянной скоростью К .
Предположим, что концы ударяющего бруса имеют закругленные участки & и «// (рис. 1.7) и на этих участках происходит трение между нитью и поверхностью бруса. Деформация в областях *С (участок между точками Л и Л ) и jf (участок между точками и 3 ) не будет одинаковой. Задачу решим при следующих предположениях. Области 1,2 и 3 являются областями постоянных параметров, а область является областью стационарного движения нити, то есть в каждый момент времени в каждой точке этой области параметры движения нити остаются постоянными. Частицы нити в области Удо прохождения по ним продольных волн являются неподвижными относительно бруса. При изменении угла излома от нуля (в точке 3) до tf (в точке Л ) деформация на уча-
t-
-і
-*~Х
-н—
si— 1 —Ч \ г
Ъ б
А З' "З Ч t Ъ і
Рис Л.7
V
л/
Рис.Т.8
ГвсуАїР"»""8 В'аиЛИОХЕКА
.Л «2
СССР «м- Б- И-.
- 42 -стке о^ меняется от 3 ДО ^/ , то есть ^з ~ &А ~ ' Очевидно, что масса нити на отрезке ^^ не меняется по времени.
Из условия сохранения массы (рис.1.8), при переходе частицы нити участка , получим
На этом же участке имеют место уравнения:
4 ~ /,fCPJt/ (1.5.3)
На фронте поперечной волны
Л У (1.5.4)
-# = QoVf'+,) Я"? (1.5.5)
= Уо ; # =0 (1>5#6)
На фронте продольной волны С :
-& -L / (1.5.7)
На фронте продольной волны
Я3 ^ Зо ё3 (1.5.8)
К этим уравнениям необходимо добавить формулу Эйлера для натяжения нити, переброшенной через шкив [l,2, 61J
где fi - коэффициент трения, V - скорость скольжения нити на участке В*. Сипы трения \Л/ и давления Р , действующие на частицу нити на участке В/, (рис.1.8) могут быть нэйдены из закона изменения количества движения и закона Кулона. Векторы сил N и представим в виде
#= К Ї+ У* 7 (Ь5Л0)
г (I.5.II)
Д^-- S\ti\№(pd
^* 5Йз!п<р<*Ф (1'5ЛЗ)
Здесь знак минус означает, что проекция векторе М на ось ОХ направлена против направления оси ОХ .
Неизвестные Рх и Ри с помощью закона Кулона напишем в виде:
Р,= -Т ^\h^(fd(f
$= Jj- ()//1 W
Напишем уравнения изменения количества движения нити не участке 6/.
Предварительно докажем, что в уравнении количество движения на участке В^ скорости чвстиц участка 64- не входит. Для этого рассмотрим изменение количества движения элемента нити
длиной К &L (рис.1.8) за время air , при котором частица, расположенная в точке К' , переходит в точку В Пусть за это же время частица, расположенная в точке < , перехо-диг в точку Н . Обозначим через Q вектор количества движения. Очевидно количество движения Qe/_ можно написать в виде (рис.1.8)
A'i= й'в + Их
Аналогично Следовательно,
&-и** 5« - ft* (1-5-16)
Отсюда следует, что в уравнение количества движения скорости частиц области &JL не входит. Правая часть уравнения (1.5.16) состоит из суммы следующих векторов сил:
где Tj и Тз - векторы сил натяжения действующие на нить
соответственно в областях 2 и 3. Таким образом, уравнение количества движения, написанное в проекциях на оси ОХ и О У , принимает вид:
fJi(Xs-i3)= TL0)Sf -%+ftK+Px (I.5.I7)
j|4^-^)=-tj^+//^+/. СІ.5.Ю)
Уравнения (1.5.17) - (1.5.18) совместно с уравнениями (1.5.12) -
(I.5.15) служат для определения неизвестных дС , Л/, fi. , /? ,
*=. -^ З Л с7
- 45 -Уравнения (1.5.1) - (1.5.9) совместно с уравнениями //-/ ж /$ ~ $ образуют систему относительно неизвестных /*, Ф,
Исключая скорости ^, , . * j/. % и 4из
уравнения (І.5.І) - (1.5.8), получим
&^ш?=)іїїЩб7г'-»*У)-б, (1.5.19)
у _ r/±slh_ &„а>^ /#+,), &" (1.5.20)
где v0- v/a0
(I.5.2I)
Из уравнения (1.5.19),найдем Подставляя (I.5.2I) в уравнение (1.5.20), получим
ос = )/7/7Щ? - , а.5.22)
Из уравнения (1.5.22), найдем
Г __ _2Ё_
*"' ~ /-Л<Л- (1.5.23)
/^/ -
ґ/~ЛоО) (1.5.24)
)/(/+,), (1.5.25)
-/ — с/ с?
Подставляя (1.5.23) - (1.5.25) в уравнение (І.5.2І), получим
-46 л
, _^J*J^MJ (I.5.28)
Рассмотрим теперь уравнение (1.5.9).
Среднюю скорость скольжения нити в области & определим следующим образом
Ко - ^ ^ /^. ^ (1.5.29)
V Л-
то есть предполагается, что скорость скольжения нити в области
/5L равна среднему арифметическому значению касательных скоростей частиц в областях 2 и 3. Подставляя (1.5.24), (1.5.26) -(1.5.28), получим
17 : ' j (1.5.30)
где Vcp "~ ^/&0
Уравнение (1.5.9) легко привести к виду
г Т7* +4? /с 77* ) (I.5.8I)
Подставляя в уравнение (1.5.31) f и j из (1.5.23), (1.5.27), а также Уса из (1.5.30), получим
Ч
'* О-*) (4-COS <Р)~ <=*
+
(4-« J* йОЫр-о((4-ої) (4-вО$ <Р) + ^
'(W]40>sp -*((Ы) (<-«*)+ <
f(-Wj csp
+
[j-df Coif- ^(\^J (i-^V) + ^^
(1.5.32)
Таким образом, получено уравнение относительно ^f , то есть уравнение вида
^(Vo}4h^)-0 (1.5.33)
Решение уравнения (1.5.32) для различных значений f{ исследованы с помощью ЭВМ и приведены в следующем параграфе.
6. Экспериментальные исследования
В этом параграфе приводится способ осуществления косого удара брусом по нити, использованной автором, и результаты эксперимен-
- 48 -тельных исследований.
I. Постановка эксперимента.
Фото .1.1
Фото .1.2
Нигь-4 (рис.1.9) в точках / и ^ жестко закреплена (на пути движения снаряда - 2 пневмопушки - I) и имеет наклон на угол JB0 от вертикали. Ударяющая поверхность бруса - 6 также имеет наклон на угол S0 . Брус устанавливается между выходом ствола пневмопушки и нитью. Первоначальное положение нити и брусе на рис Л.9 изображено пунктирными линиями. При
- 4S -
Рйс .1.9
выстреле пневмопушки снаряд наносит удар по брусу, а брус, передвигаясь вдоль стержней 3 - з' , производит удар по нити. Концы стержней жестко прикреплены к амортизатору - 7 и выходу ствола пневмопушки. Втулки 5-5 жестко прикреплены к брусу и свободно передвигаются вдоль стержней. Они служат устранению возможного отклонения бруса при ударе и передвижении. Быстро-съемочный аппарат CRCM-I и пневмопушка пускаются одновременно. Скорость передвижения бруса можно измерить с помощью данных осциллографа или кинопленки. На кинопленке отмечается время пролета брусом заданного расстояния. Угол излома нити также можно измерить с помощью данных кинопленки. 2. Косой удар со скольжением без трения.
Удар производился металлическим брусом по стальной проволоке ( Ci0 - 4580 м/сек) при ^0=-0 ж &-/ и деревянным брусом по резиновому шнуру ( Oi0 - 55 м/сек) при А=. О ,
А0- /J> и /Зо= U0 Диаметр стальной проволоки 0,85 мм, а резинового шнура 4 мм. Вес металлического бруса 280 г, деревянного бруса 190 г, а снаряда 350 г.
На рис. 1.10 - I.I2 проведены результаты числовых и экспериментальных расчетов. Сплошные линии 1.2 на рис.1.10 - расчеты точечного удара соответственно при jSa —О и yQ = ij^ Пунктирные линии 3 и 4 - удар брусом соответственно при А = о
Кружками и крестами на рис.1.10 обозначены экспериментальные значения У0 и Ш удара по стальной проволоке соответственно точкой и брусом при /0= О .
Сплошные линии 1,2,3 на рис. I.II - расчеты точечного удара соответственно при Ао~ & t A=^f , A = /jz. Пунктирные линии 4,5,6 - расчеты удара брусом соответственно
при fi0=z О , д-//і /-//^ Кружками, крестами и точками на этом рисунке обозначены экспериментальные значения р и if удара брусом по резиновому шнуру соответственно при Вс = О t В0 = /Л и Д,:=г /у?* а треугольниками обозначены экспериментальные значения этих функций, соответствующие точечному удару при 0 = О
На рис. 1,12 приведены характер изменения деформации при ударе точкой и брусом в зависимости от направления скорости удара. Сплошные линии 1,2,3 на этом рисунке соответствуют точечному удару соответственно при fl0 =г О , /^,=- /^ /%- f? % а пунктирные линии 4,5,6 - удару брусом соответственно при
Как видно из рис. 1.10 - I.I2 деформация с ростом направления скорости удара В0 при фиксированном У0 растет, а угол излома уменьшается. Причем, для фиксированного В0 деформация при ударе брусом меньше, а угол излома нити больше, чем при точечном ударе.
Расчетные линии на рис. I.II наиболее совпадают с экспериментальными данными при скоростях удара примерно 20-30 м/сек. При больших скоростях удара существенно влияют физические свойства резины. Расчеты производились по формулам (1.2.14) -(1.2,15) и (1.2.20) - (1.2.22).
Расчетные и экспериментальные данные на рис. 1.10 - I.I2 соответствуют только правым частям от точки удара при точечном ударе и от середины отрезка АВ при ударе брусом (причем до взаимодействия продольных волн Е и Е (рис. 1.3) ). Нетрудно убедиться (см. (1.2. /$ ) - (1.2. /^ ) ), что деформация в левых частях с ростом направления скорости удара при фиксированном V0 уменьшается, а угол излома растет. Причем, для фиксированного
деформация при ударе брусом меньше, а угол излома больше, чем при точечном ударе.
Трение между нитью и поверхностью бруса при ударе брусом по нити со скольжением сводилось к минимуму путем обильного смазывания техническим маслом поверхности бруса и самой нити.
3. Взаимодействие продольных и поперечных волн.
Эксперименты, проведенные над резиновым шнуром, позволили визуально наблюдать и измерить эффекты изменения угла излома, возникающий при взаимодействии продольных и поперечных волн
[*, 561 .
На фотографиях I.I - 1.2 показаны проявления этого эффекта при ударе брусом по резиновому шнуру. Обе фотографии соответствуют моменту времени - после взаимодействия продольных волн с поперечными. На фотографии 1.2 показан обратный удар - на поверхность закрепленного бруса налетает резиновый шнур.
На рис. I.I3 - I.I4 приводятся расчетные и экспериментальные данные. Кривые 1,2,3 соответствуют расчетным данным удара брусом по резиновому шнуру соответственно при j&0=z О t 30z=/2l и /Ъ0~ і J- . Кружками, крестами и точками обозначены экспериментальные значения У0 и оС соответственно при
Как следует из сравнения рис. 1.10 - I.II и I.I3 - I.I4, деформация и угол излома нити после взаимодействия продольных и поперечных волн уменьшится .
4. Удар по нити брусом при наличии трения.
На рис. I.I5 - I.I6 приведены числовые данные. Кривые 1-4 соответствуют расчетным данным удара брусом по резиновому шнуру при -o,l> = 0,2 . 4= 0,3 > ^- О - Как еле-
дует из этих рисунков угол излома нити с ростом динамического' коэффициента трения уменьшается, а деформация растет (при фиксированном о ).
С помощью уравнения (1.5.30) можно найти экспериментальное значение динамического коэффициента трения. Действительно, по известным из эксперимента значениям функции yo-Y0 ((f) , для фиксированного 0 из этого уравнения найден ^
На рис. I.I7 - I.I8 приведены экспериментальные данные. Точками и кружочками обозначены параметры движения при ударе по резиновому шнуру соответственно металлическим и деревянным брусом. Коэффициент трения при ударе металлическим брусом больше, чем при ударе деревянным брусом.
Звездочками на рис. I.I7 обозначены экспериментальные значения функции ]/0 - У> (Ф) соответствующие удару дюралюминиевой пластинкой по стальной проволоке. Звездочками на рис. I.I8 обозначены значения динамического коэффициента трения и скорости удара вычисленные из уравнения (1.5.53) с использованием экспериментальных данных.
U0*
0,03
Ркс.І.ІО
о G2 ay
0,6
Рис .Г .II
0,1
ІЯ їм
~ 55 -
0,6
612 ДО ft* 3 І0 (2 iy
РисЛЛ2
о аг ay a 6 a* i,o и іч
РисЛЛЗ
0,9
0/>
0,1
0,2 M 0,6 (ДО 10 ІЛ ІЧ
Рис .1.14
a
ол од 0,b 0,% to a IV
Рисі .15
0,9
0,6
0,1 0,4 0,6 о,% w и /,
Рис.Т.Іб
Wad.
і <
І ^ ____!
о о
о,ь-
о * # *
о
, н *—*
2.5 50
Рис.Т .17
И5" іі лг/єеК
.25
?& % м/сек
Рис.1.18
Система уравнений плоского движения нити Динамические и кинематические условия на фронтах разрывов
В этой же главе приводятся приближенные формулы вычисления деформации и угла излома при ударе брусом по упругой нити и сравнение их с приближенными формулами при точечном ударе I2,617 . Схема решения задачи (изложенная в данной работе) об ударе брусом по гибкой нити при наличии трения может послужить новым способом определения динамического коэффициента трения.
Основополагающие результаты в области исследования волновых процессов в канатах принадлежат Г.Н.Савину [4,8,11,60,70] . На основе экспериментальных исследований им впервые установлено, что при продольном растяжении в канатах могут распространяться две продольно-крутильные волны, распространяющиеся с двумя различными скоростями [4,81 . М.Ф.Глушко [5,6,71-72"] доказал возможность распространения двух продольно-крутильных волн в стальных канатах и объяснил природу этих волн. Как следует из [ 4 ] , продольно-крутильная волна, распространяющаяся вдоль каната большой скоростью, является волной растяжения с раскру чиванием или, наоборот, волной сжатия с закручиванием, а волна распространяющаяся с меньшей скоростью, соответственно является волной растяжения с раскручиванием или, наоборот, волной ежа- тия с закручиванием. Работы [5,72 75І посвящены обобщению теории распространения волн в канатах и решению различных задач. Рассматриваются различные модели каната [4-5,77-78 ] .
Одной из задач, стоящих на пути развития теории динамики канатов, является определение их обобщенных коэффициентов [4,5,6,10} . Существуют различные теоретические и эксперимен тальные методы определения этих коэффициентов [4-5,6-10 ] .
Однако эти методы строятся на весьма приближенных основах [4,5 J . Сильно колеблются литературные данные о значении скорости распространения продольно-крутильных волн [5 J . Определенного успеха в этой области можно добиться с помощью метода поперечного удара. Как известно [23 , метод поперечного удара позволяет получить экспериментальные значения скорости удара и угла излома. С помощью этого метода можно проверить значения обобщенных коэффициентов и скорости продольно-крутильных волн определяемых другими методами.
Вторая глава настоящей работы посвящена исследованию волновых процессов, возникающих в канатах при поперечном ударе. Как известно [2,75] , система дифференциальных уравнений, описывающих плоское движение каната, существенно отличается от системы дифференциальных уравнений плоского движения нити. Существенно отличается и уравнение связи между напряжением и деформацией [2,4,5,777 . Поэтому результаты, полученные для нити в работах [2,43-47] , не являются очевидными в случае каната..
В первых параграфах второй главы настоящей работы выписывается полная система дифференциальных уравнений, описывающая плоское движение каната, исследуется ее характеристики и условия вдоль этих характеристик. Предполагается, что натяжение и крутящий момент нелинейно зависят от деформации, растяжения и кручения. Приводится доказательство того, что на фронтах поперечных волн, могущих распространяться вдоль каната, деформации, растяжение и кручение не терпят разрыва. Выражения для скорости распространения продольных и поперечных волн имеют такой же вид, как и в случае гибкой нити. Характеристики,условие вдоль характеристик системы уравнений плоского движения каната иссле - ІЗ дуются искусственным способом, который можно назвать обобщением способа определения характеристики и условия вдоль характеристики, предложенного Х.А.Рахматулиным (см. [2І стрі8-9 и[38І стр.7-8 ). Приводятся решения автомодельной задачи.
Третья глава настоящей работы посвящена исследованию одномерного (продольно-крутильного) движения каната. Предполагается, что натяжение и крутящий момент линейно зависят от деформации (растяжения и кручения) [4, 5, б]. Рассматривается нестационарная задача о продольном ударе по канату бесконечной длины граничная задача, стационарная задача - удар с постоянной скоростью, случаи отражения продольно-крутильных волн от жестко закрепленного конца, продольный удар по канату конечной длины и взаимодействие продольно-крутильных волн на участках каната конечной длины.
В последнем парграфе третьей главы рассматриваются задачи о поперечном ударе точкой (движущейся с постоянной скоростью) по канату бесконечной длины. Рассматривается случай, когда скольжение каната в точке удара отсутствует и когда скольжение имеет место. В первом случае предполагается, что в точке удара касательная составляющая скорости и скорость кручения поперечных сечений каната равны нулю, то есть жестко закрепленная граница, а во втором случае предполагается, что в точке удара каната крутящий момент равен нулю [4, 5, 7, 5І. Приводятся результаты экспериментальных исследований.
Целью проведенных экспериментов являются исследования, изменения параметров движения каната в зависимости от угла свивки проволок в канат. Эксперименту подвергались: различные спиральные канаты [И отличающиеся только углами свивки проволок в канат, стальные проволоки расплетенные из рассматриваемых канатов. Приводятся основные выводы, полученные в результате теоретических и экспериментальных исследований.
Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую признательность своему научному руководителю академику АН УзССР Х.А.Рахматулину за руководство диссертацией и постоянное внимание и доценту Максимову В.Ф. за ознакомление с диссертацией и ценные советы. Автор благодарен также М.П.Фолунину, Г.С.Ульянову, А.Ф.Мосину - сотрудникам НИИ механики МГУ за оказанную ими помощь в проведении экспериментов.
Определение характеристики системы (2.1.8) - (2.I.I0)
Концы стержней жестко прикреплены к амортизатору - 7 и выходу ствола пневмопушки. Втулки 5-5 жестко прикреплены к брусу и свободно передвигаются вдоль стержней. Они служат устранению возможного отклонения бруса при ударе и передвижении. Быстро-съемочный аппарат CRCM-I и пневмопушка пускаются одновременно. Скорость передвижения бруса можно измерить с помощью данных осциллографа или кинопленки. На кинопленке отмечается время пролета брусом заданного расстояния. Угол излома нити также можно измерить с помощью данных кинопленки. 2. Косой удар со скольжением без трения.
Удар производился металлическим брусом по стальной проволоке ( Ci0 - 4580 м/сек) при 0=-0 ж &-/ и деревянным брусом по резиновому шнуру ( Oi0 - 55 м/сек) при А=. О , А0- /J и /Зо= U0 Диаметр стальной проволоки 0,85 мм, а резинового шнура 4 мм. Вес металлического бруса 280 г, деревянного бруса 190 г, а снаряда 350 г. На рис. 1.10 - I.I2 проведены результаты числовых и экспериментальных расчетов. Сплошные линии 1.2 на рис.1.10 - расчеты точечного удара соответственно при jSa —О и yQ = ij Пунктирные линии 3 и 4 - удар брусом соответственно при А = о Кружками и крестами на рис.1.10 обозначены экспериментальные значения У0 и Ш удара по стальной проволоке соответственно точкой и брусом при /0= О . Сплошные линии 1,2,3 на рис. I.II - расчеты точечного удара соответственно при Ао & t A= f , A = /jz. Пунктирные линии 4,5,6 - расчеты удара брусом соответственно при fi0=z О , д-//і /-// Кружками, крестами и точками на этом рисунке обозначены экспериментальные значения р и if удара брусом по резиновому шнуру соответственно при Вс = О t В0 = /Л и Д,:=г /у? а треугольниками обозначены экспериментальные значения этих функций, соответствующие точечному удару при 0 = О. На рис. 1,12 приведены характер изменения деформации при ударе точкой и брусом в зависимости от направления скорости удара. Сплошные линии 1,2,3 на этом рисунке соответствуют точечному удару соответственно при fl0 =г О , / ,=- / /%- f? % а пунктирные линии 4,5,6 - удару брусом соответственно при Как видно из рис. 1.10 - I.I2 деформация с ростом направления скорости удара В0 при фиксированном У0 растет, а угол излома уменьшается. Причем, для фиксированного В0 деформация при ударе брусом меньше, а угол излома нити больше, чем при точечном ударе. Расчетные линии на рис. I.II наиболее совпадают с экспериментальными данными при скоростях удара примерно 20-30 м/сек. При больших скоростях удара существенно влияют физические свойства резины. Расчеты производились по формулам (1.2.14) -(1.2,15) и (1.2.20) - (1.2.22). Расчетные и экспериментальные данные на рис. 1.10 - I.I2 соответствуют только правым частям от точки удара при точечном ударе и от середины отрезка АВ при ударе брусом (причем до взаимодействия продольных волн Е и Е (рис. 1.3) ). Нетрудно убедиться (см. (1.2. /$ ) - (1.2. / ) ), что деформация в левых частях с ростом направления скорости удара при фиксированном V0 уменьшается, а угол излома растет. Причем, для фиксированного деформация при ударе брусом меньше, а угол излома больше, чем при точечном ударе. Трение между нитью и поверхностью бруса при ударе брусом по нити со скольжением сводилось к минимуму путем обильного смазывания техническим маслом поверхности бруса и самой нити. 3. Взаимодействие продольных и поперечных волн. Эксперименты, проведенные над резиновым шнуром, позволили визуально наблюдать и измерить эффекты изменения угла излома, возникающий при взаимодействии продольных и поперечных волн [ , 561 . На фотографиях I.I - 1.2 показаны проявления этого эффекта при ударе брусом по резиновому шнуру. Обе фотографии соответствуют моменту времени - после взаимодействия продольных волн с поперечными. На фотографии 1.2 показан обратный удар - на поверхность закрепленного бруса налетает резиновый шнур. На рис. I.I3 - I.I4 приводятся расчетные и экспериментальные данные. Кривые 1,2,3 соответствуют расчетным данным удара брусом по резиновому шнуру соответственно при j&0=z О t 30z=/2l и /Ъ0 і J- . Кружками, крестами и точками обозначены экспериментальные значения У0 и оС соответственно при Как следует из сравнения рис. 1.10 - I.II и I.I3 - I.I4, деформация и угол излома нити после взаимодействия продольных и поперечных волн уменьшится . 4. Удар по нити брусом при наличии трения. На рис. I.I5 - I.I6 приведены числовые данные. Кривые 1-4 соответствуют расчетным данным удара брусом по резиновому шнуру при -o,l = 0,2 . 4= 0,3 - О - Как еледует из этих рисунков угол излома нити с ростом динамического коэффициента трения уменьшается, а деформация растет (при фиксированном о ). С помощью уравнения (1.5.30) можно найти экспериментальное значение динамического коэффициента трения. Действительно, по известным из эксперимента значениям функции yo-Y0 ((f) , для фиксированного 0 из этого уравнения найден На рис. I.I7 - I.I8 приведены экспериментальные данные. Точками и кружочками обозначены параметры движения при ударе по резиновому шнуру соответственно металлическим и деревянным брусом. Коэффициент трения при ударе металлическим брусом больше, чем при ударе деревянным брусом. Звездочками на рис. I.I7 обозначены экспериментальные значения функции ]/0 - У (Ф) соответствующие удару дюралюминиевой пластинкой по стальной проволоке. Звездочками на рис. I.I8 обозначены значения динамического коэффициента трения и скорости удара вычисленные из уравнения (1.5.53) с использованием экспериментальных данных.
Решение задечи о продольном удере по полубесконечной длины.Линейная постановка
Предположим, что Qi $2.? і При этом форма каната имеет вид, изображенный на рис.2.1. Параметры движения каната в областях I, 2 и 3 (рис.2.1) тек же, как и в областях 1,2 и 3 , являются постоянными.
Деформация, натяжение и крутящий момент в областях 2 и 3 соответственно равны между собой, так как на фронте поперечной волны эти параметры движения каната являются непрерывными. Параметрам движения каната в областях О, I, 2, 3 (рис.2.1) присвоим соответственно индексы 0,1,2 и 3.
Если нормальный поперечный удар по канату произведен таким образом, чтобы в точке удара 5- о канат был неподвижным относительно ударяющей точки (конечного размера), то будут иметь место следующие граничные условия:нормальная составляющая скорости каната равна скорости движения ударяющей точки, то есть а касательная составляющая равнв нулю; скорость вращения поперечного сечения каната так же равна нулю:
Если канат в точке удара является подвижным относительно ударяющей точки (например, скольжение каната или вращение каната на поверхности ударяющей точки конечного размера), то эти граничные условия могут не выполняться. Например, в случае косого удара со скольжением каната, в точке удара все три условия не выполняются. В этом случае условия (3.4.1) и (3.4.2) заменяются условиями непрерывности движения в точке удара ["2, 66J, в условие (3.4.3) условием /VI "О [5, 75].
Рассмотрим задачу о нормальном поперечном ударе по канату, когда в точке удара канат относительно ударяющей точки является неподвижным, то есть на границе S - О имеют место условия (3.4.1) - (3.4.3). На фронте продольно-крутильной волны, распространяющейся со скоростью й\ (рис.2.1) На фронте продольно-крутильной волны, распространяющейся со скоростью Oz
Далее поступая гак же, как и в пункте 3 настоящего параграфа, задачу можно привести к решению уравнения вида . Анализы и сравнения полученных решений. Решения задач, полученных в п.п.З, 4 применимы к реальному однослойному спиральному (проволочному) канату типа I+6+M.C. -широко применяемому на практике. Приведем числовые решения этих задач и сравнения их с решениями задачи о нормальном поперечном ударе по нити. Решения задачи о нормальном поперечном ударе по нити приведены в первой главе настоящей работы.
Рассматриваемый канат состоит из одного металлического сердечника (М.С.) и шести стальных проволок. Радиусы стальных проволок одинаковы и равны 0,00025 м. Радиус металлического сердечника (медная проволока) равна 0,0003 м. Начальная плотность и угол свивки каната соответственно равны 1,2819.10-3 кг.сек2/м2 и 1230. Эти параметры каната определялись методами, приведенными в работах 5, 6, 7J. В этих же работах даются формулы определения обобщенных коэффициентов Л В и С для различных проволочных канатов. Формулы определения коэффициентов 4 , В и С для однослойного спирального каната с линейным контактом (ЛК) сменных проволок имеют вид
Поперечный удар по линейно-упругому канату бесконечной длины
В этом параграфе приводятся результаты теоретических и экспериментальных исследований зависимости напряженного состояния каната от угла свивки. Исследование основывается на решении задачи о поперечном ударе точкой движущейся с постоянной скоростью по спиральному канату.
Приводится сравнение решений задачи о поперечном ударе по канатам с различными углами свивки и проволоке, а также с экспериментальными данными. Наряду со спиральным канатом типа I+62M.C. (ЛК), физико--механические характеристики которого приведены в предыдущем параграфе, рассмотрен аналогичный спиральный канат с углом свивки э( = 2040 . Таким образом, рассматриваются два спиральных каната, отличающиеся только углами свивки. Задача решалась при следующих граничных условиях (см. 4, Ш гл.): На рис.3.5 - 3.9 приведены решения задачи о поперечном ударе по спиральным канатам и стальной проволоке. Кривые I на этих рисунках соответствуют решениям задачи о нормальном поперечном ударе по стальной проволоке, кривые 2-3 - решения задачи о нормальном поперечном ударе по спиральным канатам, углы свивки которых соответственно равны о . = 1230» и оС = 2( 401. Как следует из рис.3.5 угол излома при поперечном ударе по спиральному канату больше, чем угол излома при ударе по стальной проволоке. Следовательно, скорость распространения поперечной волны в проволоке больше, чем в канате. Деформация / в области I (рис. 2.1) каната меньше (рис. 3.5.), чем деформация в проволоке, а деформация в области 2 каната больше, чем деформация в проволоке. С ростом угла свивки в канате угол излома дефор мации , 12 і Ч \ у Уі (я1 фиксированного V0 ) ра стет. Следовательно, спиральные канаты с ростом угла свивки становятся более растяженными и крутящимися. На рис. 3.5 приведены экспериментальные данные, полученные автором. Точками на этом рисунке обозначены экспериментальные значения функции 14- l4 (VJ при ударе по стальной проволоке, расплетенной из рассматриваемых канатов. Звездочками и кружками на рис. 3.5 обозначены экспериментальные значения К и , соответствующие канатам, углы свивки которых о( = 1230» и -=20 АО . Как видим, экспериментальные данные подтверждают правильность полученных решений. Испытанию подвергались проволочные канаты, широко применяемые на практике и изготовленные заводом в соответствии со стандартом ГОСТ.
В работе аналитическими и экспериментальными методами решены следующие задачи: об ударе брусом по бесконечно длинной упругой нити со скольжением бруса вдоль нити и без скольжения, о взаимодействии продольных волн с продольными и поперечными волнами в нитях, задача о поперечном ударе брусом по упругой нити при наличии трения, о поперечном ударе точкой по канату бесконечной длины, о продольном ударе по канату бесконечной длины, о взаимодействии продольно крутильных волн в канатах конечной длины.
Полученные аналитические решения сравниваются с известными решениями задачи об ударе точкой по гибкой упругой нити и с экспериментальными данными, полученными автором. Экспериментальные исследования, проведенные над резиновым шнуром, позволили измерить и фотографировать изменение угла излома нити при взаимодействии продольных и поперечных волн. С помощью экспериментальных значений скорости удара и угла излома построена диаграмма зависимости динамического коэффициента трения от скорости удара. Исследованы процессы распространения волн в канатах.
При исследовании волновых процессов в канате предполагается, что нгтяжение и крутящий момент в поперечном сечении каната нелинейно зависит от деформации растяжения и кручения. Рассматриваются случаи линейной зависимости натяжения и крутящего момента от деформации.
Исследуется зависимость напряженного состояния каната от угла свивки. Анализ полученных решений и проведенных исследований позволяет делать следующие основные выводы: 1. Деформация при ударе брусом по нити меньше, чем при ударе точкой, а угол излома больше. Деформация в возмущенных областях нити так же, как и угол излома существенно зависит от направления скорости удара. Если значения скорости удара зафиксировать и менять только ее направления, то деформация в одной возмущенной области нити (справа или слева от середины ударяющего бруса в зависимости от направления скорости удара) уменьшается, а в другой возмущенной области растет, а угол излома наоборот, в той области, где деформация растет, угол излома уменьшается, а в другой области растет. 2. В результате взаимодействия продольных и поперечных волн деформация и угол излома нити уменьшается. 3. С ростом значения динамического коэффициента трения деформация в нити растет, а угол излома уменьшается. С ростом значения скорость удара значение динамического коэффициента трения уменьшается. 4. Вдоль каната одновременно могут распространяться две продольные волны, на фронтах которых все параметры движения каната, за исключением касательной к канату, терпят разрыв и поперечная волна, на фронте которой (так же, как и в случае нити) терпят разрыв лишь касательной к канату и скорости частиц. 5. Деформация (растяжение) и угол излома в канате больше, чем в проволоке, то есть канат более растяжим, чем проволока, расплетенная из рассматриваемого каната (следовательно, канат более растяжим , чем стержень или проволока с площадью поперечного сечения равной суммарной площади поперечного сечения каната). 6. С ростом угла свивки канат становится более растяжимым -угол излома растет, а скорость распространения поперечной волны уменьшается.
