Содержание к диссертации
Введение
I. Модельные представления для дилатирующих сред, деформируемых в физических полях 7
1.1. Функция нагружения 7
1.2. Дилатирующие материалы, деформируемые в электростатических полях 9
1.3. Дилатирующие материалы, деформируемые в магни-тостатических полях 12
П. Основные уравнения теории плоского течения дила тирующих сред в физических полях ... 16
2.1. Полная система уравнений плоской деформации дилатирующей среды в электростатическом поле 16
2.2. Полная система уравнений плоской деформации дилатирующей среды в магнитостатическом поле 20
Ш. Решение полных систем уравнений методом характеристик, строящихся для последовательных приближений электрического или магнитного поля 24
3.1. Преобразование полной системы уравнений 24
3.2. Расщепление преобразованной полной системы уравнений на механическую и электрическую (магнитную) части соответствующей организацией процесса последовательных приближений 30
3.3. Основные краевые задачи. 37
3.3.1. Задача Кош 37
3.3.2. Задача 1Урса 46
3.3.3. Вырожденный случай начальной характеристической задачи 50
3.3.4. Смешанная задача 55
IV. Расчет электро- и магнитостатических полей в неоднородных средах 58
4.1. Конечноэлементный подход 58
4.2. Метод тензорных потенциалов 66
V. Технологические задачи теории плоской деформа ции дилатирующих сред в электро- и магнитостатических полях 72
5.1. Предельное состояние порошкового инструмента для магнитно-абразивной обработки 72
5.2. Поляризация изделий из дилатирующих материалов в электро- и магнитостатических полях 77
5.3. Проникание клинового наконечника в среду, находящуюся в электро- или магнитостатическом поле 80
5.4. Накатывание порошка на поверхность изделия.. 83
Заключение. Практические рекомендации 86
Литература
- Дилатирующие материалы, деформируемые в электростатических полях
- Полная система уравнений плоской деформации дилатирующей среды в магнитостатическом поле
- Расщепление преобразованной полной системы уравнений на механическую и электрическую (магнитную) части соответствующей организацией процесса последовательных приближений
- Метод тензорных потенциалов
Введение к работе
В Основных направлениях экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года, принятых на ХХУІ съезде КПСС, указывается на необходимость шире использовать высокоэффективные методы обработки различных материалов с целью существенного улучшения их свойств, применять малооперационные, малоотходные и безотходные технологические процессы. В частности, это относится к материалам и изделиям из них для электронной техники, а также к проектированию широко распространенных в промышленности так называемых электротехнологических процессов, связанных с использованием энергии электростатических, магнитостатических и электромагнитных полей [3,6,7,22,56, 57,70,77,82-84,113,121,134] .
В качестве примеров можно привести прессование в магнитостатических полях магнитов из микропорошков Мп-Бі^еиРе-Со [ 92 ], из микропорошков интерметаллических соединений кобальта с легкими редкоземельными металлами: SmCo5 ,MdCo5 , РгСо5 [ 7 J» поляризацию керамических изделий из сегнетоэлектрических материалов в электростатических полях [б] , накатывание порошковых покрытий на поверхности деталей машин при одновременном пропускании через дилатирующую среду постоянного или переменного электрического тока [l34] , обработка деталей абразивными порошками, обладающими ферромагнитными свойствами [lOl] , прессование порошковых материалов в магнитно-импульсных полях [з] и т.д.
Преимуществом рассмотренных комбинированных технологических процессов является то, что частицы порошков при прессовании ориентируются соответствующим образом в направлении приложенного физического поля, что обеспечивает значительно более высо- - 5 -кое качество получаемых изделий по сравнению с традиционными процессами, в которых операции прессования и поляризации разделены .
На современном этапе развития техники существует потребность в оптимальных конструкциях для авиационного, химического, атомного машиностроения, электротехнической промышленности и др., работающих в условиях взаимовлияния различных физических факторов.
В связи с этим возникают различные задачи теории сопряженных физических полей в деформируемых телах. Подробный анализ современного состояния проблем электро- и магнитоупругих взаимодействий содержится в обзоре [47] и монографиях [і, 16,34,81,90, 106,114]. Вопросы электро- и магнитопластических взаимодействий значительно менее исследованы, причем в особенности это относится к дилатирующим средам 164J .
Можно выделить две группы задач, связанных с пластическим деформированием дилатирующих сред в электрических и магнитных полях.
К первой группе можно отнести задачи расчета силовых и деформационных параметров технологических процессов обработки дилатирующих материалов (прессования, прокатки, осадки и др.) в соответствующих физических полях.
Вторая группа представлена задачами расчета предельных состояний конструкций из дилатирующих материалов (металлоке-рамических изделий электротехнического назначения, 'абразивного инструмента из ферромагнитных порошков, в котором связь между частицами осуществляется силами электромагнитного поля и др.).
Вышеизложенным определяется содержание настоящей работы. В ней построены механико-математические модели дилатирующих - б - материалов, подвергаемых пластическому деформированию в электро- и магнитостатических полях, сформулированы соответствующие полные системы уравнений плоского пластического течения и рассмотрены методы решения этих систем. Функция нагружения принята в виде зависимости между гидростатическим давлением, интенсивностью касательных напряжений и плотностью, а диэлектрическая или магнитная проницаемость дилатирующей среды считается функцией плотности, гидростатического давления и напряженности физического поля, что обосновывается имеющимися экспериментальными данными различных авторов [2,4,8,13,14,17,19-21,27,29, 30,37,46,48,51-55,58,67-69,71,72,75,79,82,85-88,92,95,96,98, 99,102-105,107-109,120,122,123,126,129-132,135-147] . В работе исследованы свойства полных систем уравнений для случая плоской деформации. Предложен способ решения, основанный на совместном использовании метода характеристик и метода последовательных приближений. Установлены области гиперболичности, параболичности и эллиптичности. Показано влияние электрических и магнитных свойств на размеры этих областей. Для гиперболических систем найдены уравнения характеристик и дифференциальные соотношения вдоль них. Предложены методы расчета электро- и магнитостатических полей с помощью конечных элементов и тензорных потенциалов.
В качестве иллюстрации общей теории рассмотрены задачи о накатывании порошковых покрытий на поверхности деталей машин, о прессовании изделий из порошков и о предельном состоянии порошкового инструмента для магнитно-абразивной обработки.
Дилатирующие материалы, деформируемые в электростатических полях
Медленное плоское установившееся течение дилатирующей среды в магнитостатическом поле описывается системой уравнений, аналогичной той, которая была сформулирована для случая электростатического поля. Полностью сохраняют силу уравнения (2.2)-(2.4) и соотношения (2.9), (2.10). Сохраняется форма записи уравнений (2.1), но под kj , теперь следует понимать пондеромоторные силы, вычисляемые по формулам [34,106,110,124] н - ах н Р Зр н ах (2.19) «, !ф-4 где и - абсолютная магнитная проницаемость в Гн/м , Н - модуль вектора напряженности магнитного поля в А/м . - 21 Вместо(2.5)справедливо уравнение связи между магнитными и механическими величинами [40,60-62] Л « Ц (Н , б , р) , (2.20) а вместо (2.6) и (2.7) имеют место уравнения плоскопараллельного магнитостатического поля [35,70,77,100,112,ИЗ,120,121,128] ану знх Вх Зу О , (2.21) гДе Ну,Ну - компоненты вектора напряженности плоскопараллель-ного магнитного поля, связанные с Н очевидным соотноше нием Н2 = Нх + Ну , (2.23) аналогичным (2.II). Следует отметить, что уравнение (2.21) справедливо не только для магнитостатического поля (поля намагниченных тел), но и для стационарного магнитного поля (поля постоянных электрических токов) в области, не занятой токами. Полная система образуется 16 уравнениями (2.1)-(2.4), (2.9), (2.10), (2.19)-(2.23) относительно 16 неизвестных функций бх , 6V , 6Z , Тху , б ,Т , р , \ , U , V , 4, ку , Нх , Ни , Н , i Эта система должна быть дополнена начальными и граничными условиями. Так как рассмат - 22 риваются лишь установившиеся течения, начальные условия не формулируются. Граничные условия записываются аналогично тому, как это делалось в случае электростатического поля.
Статические граничные условия представляются в виде (2.12), где под tx , tv , txy и tx , ty ,txy следует понимать компоненты электродинамического тензора натяжений Максвелла соответственно для дилатирующей и окружающей сред, определяемые по формулам [34,77,113,128] \ W[Hx0-b)H ] , W[Hy-yCi-b)H2] , tXy = [і НХ Ну , (2.24) V- Эр 1=- у=т№-нгу), їху=нЛ (г-25) Кинематические граничные условия (2.15) и физические законы трения (2.17) и (2.18) применимы и в случае стационарного магнитного поля. Граничные условия для магнитных величин имеют вид [34,77,113,128] Ни=рНп , HS = HS (2.26) Б заключение необходимо отметить, что хотя разные по физическому смыслу величины (2.8) и (2.19), (2.13)-(2.14) и - 23 (2.24)-(2.25) обозначаются одними и теми же буквами, смешения понятий произойти не может, так как в дальнейшем электростатическое и магнитостатическое поля рассматриваются независимо друг от друга.
Предлагается способ решения полных систем уравнений теории плоской деформации дилатирующих сред в электро- или магни-тостатических полях, основанный на совместном использовании метода характеристик и метода последовательных приближений.
Суть предлагаемого способа демонстрируется на примере анализа процессов пластического деформирования дилатирующих сред в электростатических полях. Соответствующий анализ для случая магнитостатических полей аналогичен.
Так как Т действительно, то |Т И\/3~ » что геометрически интерпретируется следующим образом: на кривой Т=Т(б) (рис.3.1) состояния плоской деформации изображаются точками дуги MN , касательные к которой в точках М и N составляют с осью б углы ±7t/3 [бЗ] .
Подставляя (2.8) и (3.1) в уравнения равновесия (2.1) и обозначая частное дифференцирование по б , 0 ,Е соответствующими индексами, получаем
Полная система уравнений плоской деформации дилатирующей среды в магнитостатическом поле
Рассмотрим случай, когда в условии (3.27) имеет место знак равенства, что определяет на кривой ТвТ(б) (рис.3.1) дугу гиперболичности наибольшей длины. При 6б = 0 получаем Т = \/з/г , при РбЄб 0. ІТ ІО/3/2 » "Ри р 6 0 IT N/3/Й т.е., если знаки величин р и 6б совпадают, область гиперболичности уменьшается по сравнению со случаем 6б = 0 , а если эти знаки различны, указанная область увеличивается.
Характеристики различных семейств соответствующих пар пересекаются под углами [60-62] Х = агсС08 ГГ (3-29) гб б = arccos -L (з.зо) Гб делящимися пополам первым главным направлением.
Назовем -,T-,S)-, - характеристикой соответствен - 35 но характеристики, образующие с осью X углы Обычными методами [80] находим дифференциальные соотношения, выполняющиеся вдоль характеристик [60-62] а) семейства (3.25) ±V(pg+e/g d6 +2тс1ф-(0ч81п2ф. — aacos 2ф) dx -(a1cos2qj 4-a2sin2ii)dy = о , (з.зп MpP + V1 + ep + {єр E2) jfr + +т5іп2ф]і+(ЄЕ+?єуЕ)! , До tt«-f,sin2i) +(р?-т9ив&ф + е9 + (3.32) б) семейства (3.26) Рб I J \ Рб T (3.33) [sin2qi+\/i-(-=5) ]du+(-p5--cos24j)dv = 0 Решив методом характеристик систему 5 уравнений (2.4),(3.7), (3.8),(3.12),(3.13), получим первые приближения для функций 6,lli,0,U,V и второе приближение для диэлектрической проницаемости - 36 е -ЄСЕ б, ,ft)-ea(X.y) (3.34)
Выражение (3.34) используется в целях нахождения второго приближения фп для электростатического потенциала из уравнения (3.15), которое представляет собой частный случай самосопряженного уравнения эллиптического типа (АЙ в Сч,"г П I АЛ - ГГ1 т- п—\ п - —I — I.III = г (3.35) являющегося уравнением Эйлера задачи о минимуме функционала [36] : (Я» Б рассматриваемом случае А=Б = , С=0, F=0 (3-37) Поэтому задача отыскания функции ф по заданной функции эквивалента задаче минимизации функционала: ЧЙЧ у , м ах) Ш / для решения которой естественно использовать прямые методы вариационного исчисления [12,25,36,74,125,127,133]
Второе приближение ф используется для нахождения 2 и 2 » причем - 37 2 = Є(Е2,б, р) = 2(Х,у,б,р) (3.39) Далее снова рассматривается система 5 уравнений, представляющая механическую часть полной системы и находятся вторые приближения б2, ф21ра,и2,\/2 и третье приближение для диэлектрической проницаемости 3=(Ег,ба,рг)=Є5СХ,у) (3.40) и т.д. Расчет заканчивается, когда смежные приближения дадут результаты, отличающиеся в рамках заданной прогрешности.
Для случая гиперболичности системы 5 уравнений (2.4),(3.7), (3.8),(3.12),(3.13) рассматриваются основные краевые задачи и способы построения сеток характеристик, основанные на переходе от дифференциальных соотношений к конечно-разностным.
В плоскости Х,у задана гладкая дуга АВ (рис.3.2), не совпадающая с характеристическими направлениями и пересекаемая каждой характеристикой только один раз. На дуге АВ известны функции б, ф , р , U, V , непрерывные вместе с первыми производными.
Требуется построить решение указанной системы уравнений, принимающие на дуге АВ заданные значения. При 6б=0 , т.е. при деформировании в отсутствие электрического поля, искомое решение существует и единственно в треугольной области ABC , ограниченной дугой АВ и характеристиками АС и ВС , выходящими из ее концов и определяемыми соответственно совпадающими уравнениями (3.25) и (3.26). Для построения решения дуга АВ делится на малые части точками (0,0), (I.I), . . . , (ГП, ГО),. . . , и значения искомых функций в узлах находится из системы конечно-разностных соотношений. Цри этом через каждый узел будут проходить лишь две характеристики.
При 6б 0 в произвольном узле пересекаются четыре характеристики, причем возможны два случая: а) Xi Xa если т ФТ, ол( оУ -іЬ Рб+96 Рб VP6 Рб / (3.41) е, V т оЛ-к-р о если б „ б ...«. —I л А . . 6б - Т оЛ-1 - 0 V Р6 + Є6 Рб Рб (3.42) VT 0A(f OV- -1 где использованы символы логических операций импликации конъюнкции /\ и дизъюнкции V [10,97] Эти два случая изображены на рис. 3.3 а,б В случае а) неизвестные б, lp,р,U,V в точках (т,т-н) , К , L , а также координаты этих точек находятся из системы 21 уравнения:
Расщепление преобразованной полной системы уравнений на механическую и электрическую (магнитную) части соответствующей организацией процесса последовательных приближений
Задача расчета электро-или магнитостатического поля применительно к анализу процесса пластического деформирования дила-тирующей среды в этом поле в условиях плоской деформации ставится следующим образом.
В первоначально однородное внешнее плоско-параллельное электро- или магнитостатическое поле помещается выполненный из диэлектрика или ферромагнетика длинный цилиндр произвольного поперечного сечения Юл , ограниченного контуром Г\ (рис.4.1). Требуется определить возмущенное поле как внутри цилиндра, так и вне его.
Существуют различные способы расчета электрических и магнитных полей, подробно рассмотренные в литературе [II,112, 116, 120,128] . В последнее время к решению задач электромашиностроения стал применяться метод конечных элементов [11,26] основы которого изложены в работах [5,24,31,45,50,78,89,91,94].
В настоящей работе к расчету электростатического поля в неоднородной среде применяется конечноэлементный подход [61], в основе которого лежит минимизация функционала (3.38) при следующих граничных условиях на контуре цилиндра, причем размеры этой области принимаются такими, что за пределами ее возмущение поля отсутствует. На контуре выполняются граничные условия (задача Дирихле [15,36,74,115 ] ) ф(0,у)= фо= Ed, , ip(d1fy)-0 , (4.3) ф(х,о)=фМг)=Ф00-тг)
Отдельный конечный элемент треугольной формы с узлами в вершинах и серединах сторон показан на рис. 4.2. Обход узлов производится против часовой стрелки. Межэлементная непрерывность обеспечивается принятием аппроксимирующего представления для электростатического потенциала в виде квадратичной зависимости [24, Зі]
Заменив в (4.9) ф на ф , придем к аналогичным соотношениям для производных от ф .
Обратимся к граничным условиям (4.3). Для узловых точек М2 расположенных на вертикальных сторонах прямоугольника имеем: где N - число узлов в области 2 , включая узлы на кон-туре Ц , N - число узлов в области ob% , не считая узлов на контурах Г, и Г2 , дополненные условиями типа (4.10)-(4.15), приводят к системе линейных алгебраических уравнений относительно узловых потенциалов и множителей Лагранжа.
При вычислении интегралов в (4.16) функцию в можно предварительно аппроксимировать линейными функциями внутри каждого треугольника или считать ее константой, равной значению 8 в центре тяжести треугольника.
Решив указанную систему уравнений, найдем распределение электростатического потенциала в рассматриваемой области, и по формулам (3.14) вычислим компоненты вектора электрической напряженности. Расчет магнитостатического поля в неоднородной среде приводится аналогично. Предложенный конечноэлементный метод расчета электро- и магнитостатических полей программно реализован на алгоритмическом языке Фортран-ИФВЭ-МИЭМ в работе [41] . Программа приведена в приложении.
При построении различных вариационных методов для задач электродинамики широко используются понятия скалярного и векторного потенциалов [lI2,ИЗ,116,120,121,128] . Предложен также метод [65] , отличительной особенностью которого является введение тензорных полей в основные уравнения квазистационарного приближения электромагнитного поля. Поскольку указанные тензорные поля связаны с векторами электрической Е и магнитной - 67 Н напряжённостей соотношениями diV L = ПїЕ , (4.18) divM =mH , (4.19) где т - величина, равная произведению магнитной проницаемости на электрическую проводимость, то величины L и М могут быть названы тензорными потенциалами. С использованием введенных соотношений вариационная трактовка основных уравнений квазистационарного приближения электромагнитного поля имеет вид
Метод тензорных потенциалов
При вычислении интегралов в (4.16) функцию в можно предварительно аппроксимировать линейными функциями внутри каждого треугольника или считать ее константой, равной значению 8 в центре тяжести треугольника.
Решив указанную систему уравнений, найдем распределение электростатического потенциала в рассматриваемой области, и по формулам (3.14) вычислим компоненты вектора электрической напряженности. Расчет магнитостатического поля в неоднородной среде приводится аналогично. Предложенный конечноэлементный метод расчета электро- и магнитостатических полей программно реализован на алгоритмическом языке Фортран-ИФВЭ-МИЭМ в работе [41] . Программа приведена в приложении.
При построении различных вариационных методов для задач электродинамики широко используются понятия скалярного и векторного потенциалов [lI2,ИЗ,116,120,121,128] . Предложен также метод [65] , отличительной особенностью которого является введение тензорных полей в основные уравнения квазистационарного приближения электромагнитного поля. Поскольку указанные тензорные поля связаны с векторами электрической Е и магнитной - 67 Н напряжённостей соотношениями diV L = ПїЕ , (4.18) divM =mH , (4.19) где т - величина, равная произведению магнитной проницаемости на электрическую проводимость, то величины L и М могут быть названы тензорными потенциалами.
С использованием введенных соотношений вариационная трактовка основных уравнений квазистационарного приближения электромагнитного поля имеет вид Ф+ JC--SLdV= (l-SL-ndS , (4.20) (V) (S) 6Ч + fM--6MdV= [н-бМ-ndS , (4.21) (V) (8) где скаляры Ф и 4 пропорциональны соответственно электрической и магнитной энергии 0=-g-m[EZdV , (4.22) (V) Ф=- -т (tfdV , (4.23) (V) П - вектор единичной внешней к S нормали; для простоты последующего изложения принято, что ГП= const
Как видно, в вариационных уравнениях (4.20) и (4.21) не содержатся пространственные производные векторов электромагнитного поля, что приводит к повышению точности приближённых решений.
При аналогичном подходе к теории теплообмена [9] в основные законы теплопроводности вводится векторное поле, в результате чего вариационное описание указанных законов не содержит пространственных производных температуры, обеспечивая этим высокую точность приближённых решений. Для электро- и магнитостатических полей формулы (4.20) и (4.21) принимают вид: ВФ = \E-8L-ndS , (4.24) 5Ч = [ Н-бМ-ndS . (4.25) (S)
В качестве примера использования предложенного метода тензорных потенциалов рассмотрим последовательность расчета плоскопараллельного электростатического поля для внешности цилиндра. Пусть нацряжённость поля на бесконечности убывает, а на поверхности цилиндра составляет - Ег(г,,В)_ Е(Г0,8)= г Г„ , (4.26) где Г - радиус цилиндра, г, В - полярные координаты. Примем для Е (г,0) аппроксимирующее выражение E(r,e)«E(r0,8)arf,(r) , (4.27) - 69 где f.(r) (І-0,1,..., n) - полная ортогональная система функций, убывающих на бесконечности и равных единице при Г = Г0 , й: (ie0,1,...f п) - искомые коэффициенты, удовлетворяющие условию п L Q: =Н . (4.28) Из условия (4.28) получаем ап = 1 - Q: , (4.29) где в правой части содержатся независимые коэффициенты.
