Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА І. ОПРВДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ РЕЗОНАТОРОВ С ОДНОРОДНЫМИ СТЕНКАМИ . 23
1.1. Об уравнении для собственных частот резонатора с двумя жесткими и двумя упругими стенками, жестко закрепленными по краям 24
1.2. Построение приближенных формул для низших частот резонатора 30
1.3. Об уравнении для собственных частот резонатора, края упругих стенок которого
свободны 47
1.4. Об эффекте понижения собственной частоты при сближении упругих стенок резонатора 51
ГЛАВА 2. ИЗУЧЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В ВОЛНОВОДАХ И РЕЗОНАТОРАХ С ОДНОРОДНЫМИ И КУСОЧНО - ОДНОРОДНЫМИ СТЕНКАМИ 60
2.1. О собственных волнах плоского волновода с упругими стенками 61
2.2. О матрице рассеяния в плоском волноводе с упругими стенками 76
2.3. О собственных частотах прямоугольного акустического резонатора с жесткими
стенками» частично перекрытого упругой перегородкой 91
2.4. О собственных волнах упругой полосы, покрывающей Болноведущий акустический
канал прямоугольного сечения 100
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ И СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО АКУСТИЧЕСКОГО РЕЗОНАТОРА С ЖЕСТКОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И УПРУГИМИ ТОРЦЕВЫМ СТЕНКАМИ III
3.1. О применении теории пластин Тимошенко-Миндлина к исследованию вынужденных и собственных колебаний резонатора 112
3.2. О нахождении частот собственных колебаний резонатора с применением теории пластин
Кирхгофа 122
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 133
ЛИТЕРАТУРА
- Построение приближенных формул для низших частот резонатора
- О собственных волнах плоского волновода с упругими стенками
- О применении теории пластин Тимошенко-Миндлина к исследованию вынужденных и собственных колебаний резонатора
Введение к работе
Исследованию собственных и вынужденных колебаний сосудов с жесткими и упругими стенками, заполненных акустической средой, всегда уделялось значительное внимание, множество технических объектов и их элементов представляют собой именно такие сосуды: корпуса самолетов, кораблей, цистерны вагонов, топливные баки и детали двигателей, вибродатчики, гидрофоны, микрофоны, системы звуковоспроизведения, системы резонансного звукопоглощения и т.д.
Все эти конструкции могут подвергаться внешнему силовому периодическому воздействию, возбуждающему колебательные процессы. Характер колебаний необходимо предвидеть при проектировании конструкций либо в целях обеспечения надлежащей прочности, либо в интересах достижения наилучшей чувствительности.
Вопросам исследования колебаний заполненных акустической средой объектов с жесткими и упругими стенками прямоугольной и круглой формы посвящены многочисленные работы; попытка обзора этих работ предпринимается в 0.1.
В 0.2 кратко излагается содержание диссертационной работы.
0.1. Обзор литературы, посвященной задачам исследования колебательных процессов в акустических волноводах и резонаторах с упругими стенками
С точки зрения точной математической постановки названные задачи сводятся к определению и изучению спектра нормальных волн в идеализированном бесконечно протяженном объекте - волноводе, либо в изделии ограниченного объема - резонаторе. В зависимости от формы конструкции, характера закрепления стенок, свойств наполнителя - жидкости или газа -различными авторами предлагаются приближенные либо точные решения. В некоторых случаях, например, в [ 36 ] , точные решения подкреплены доказательством их единственности. Однако, при решении стандартного вида гранично-контактных задач на физическом уровне строгости обоснование единственности чаще всего не производится. Исследованию единственности решений наиболее важных классов гранично-контактных задач акустики посвящены работы [ 32 , 33 ] .
В наиболее общей постановке задачи о колебаниях резонаторов требуют учета большого количества факторов, характеризующих как механические свойства и режим закрепления стенок, так и акустическую среду. Построение точного аналитического решения таких задач вызывает большие трудности, поэтому авторы, как правило, ограничиваются учетом лишь наиболее важных, с их точки зрения, факторов.
Центральным в задачах рассматриваемого типа является вопрос о резонансных явлениях. При отсутствии поглощения и излучения колебательные процессы на частотах, называемых резонансными или собственными, однажды начавшись, не будут зату- хать. Амплитуды вынужденных колебаний, поддерживаемых гармоническим во времени вибратором, на околорезонансных частотах резко возрастают и остаются ограниченными только при наличии поглощения в среде или в стенках.
Задачи о собственных колебаниях акустических резонаторов с идеально жесткими или мягкими стенками, стенками массового типа, а также локально реагирующими стенками упругого типа рассмотрены, к примеру, в [ 61 , 18 , 46 ] . Под действием сил акустического давления стенки массового типа могут смещаться (при сопротивлении сил инерции) как единое целое, а каждая точка стенки упругого типа может смещаться (при сопротивлении упругих сил) независимо от смещения соседних точек.
Наилучшее согласие с опытом обеспечивают те математические модели реальных конструкций, где для описания поведения стенок применяются уравнения упругих пластин. Упругие пластины могут совершать как продольные, так и изгибные колебания. Продольные ("симметричричше") колебания пластин оказывают тем более слабое влияние на акустическую среду, чем меньше их толщина [ 49 , 69 ] . В большей части работ конструкции предполагаются тонкостенными, поэтому во внимание принимаются только изгибные ("антисимметричные") колебания стенок. К описанию таких колебаний чаще всего привлекается классическая теория тонких пластин Кирхгофа.
Одним из важных практических свойств прямоугольных акустических резонаторов является их способность к звукопоглощению на частотах, близких к собственным. В работах [ 8 , 57 ] изучены звукопоглощающие свойства системы упругих полос - пластин, размещенных параллельно жесткой стене на некотором удалении от нее. Рассматривается нормальное падение плоской звуковой волны на систему, поэтому, в силу периодичности ее структуры, она может быть условно разделена на множество возбуждаемых волной одиночных прямоугольных резонаторов с тремя жесткими и одной упругой стенкой. Поглощение системой звука происходит за счет потерь на трение при колебаниях упругих пластин. При изучении процессов в [ 57 ] из-гибно-колеблщаяся пластина заменяется жестким поршнем, вибрирующим как единое целое. В [ 8 ] собственные частоты резонатора предполагаются близкими к собственным частотам одиночных пластин: влияние присоединенной массы и дополнительной упругости среды между пластиной и жесткой стеной считается малым. Границы применимости такого предположения не устанавливались. Таким образом, в [ 8 , 57 ] не предусматривалась возможность сильного влияния на изучаемые процессы среды, перемещаемой вдоль пластины изгибными движениями последней. В случае малой плотности среды это оправдано.
В краткой, но очень изящной зарисовке [ 45 ] построено решение задачи о колебаниях полубеоконечного горизонтального плоского слоя жидкости, ограниченного вертикальной упругой пластиной. Построена приближенная формула для собственных частот. Отмечено, что роль присоединенной массы могут играть лишь близкорасположенные к пластине частицы жидкости полубеоконечного слоя.
В работе [ 31 ] построено выражение для акустического поля точечного источника, помещенного в прямоугольный резонатор с четырьмя упругими стенками. В качестве граничных и гранично-контактных операторов используются операторы общего вида. При выборе конкретного вида операторов в случае необходимости численно применить построенное в [ 31 ] анали- - 8 -тическое решение возможен учет как изгибных, так и продольных колебаний пластин. При сближении частоты возбуждения с собственными частотами резонатора происходит неограниченный рост амплитуды гармонических колебаний в системе. Численное исследование спектра собственных частот в работе [ 31 ] не проводилось.
Внимание многих авторов занято изучением резонансных явлений в заполненных жидкостью телах вращения. Ограничимся просмотром главным образом таких работ, в которых упругая пластина располагается на одной или на двух плоских поверхностях тела вращения.
В книге [ 54 ] приводится решение задачи о нахождении собственных частот іщлиндрического барабана, покрытого с одного торца мембраной либо упругой пластинкой. Давление газовой среды, заполняющей барабан, считается равномерно распределенным по объему сосуда и зависящим только от величины этого объема. Делается вывод о повышении частот осесиммет-ричных собственных колебаний системы "упругая стенка - сосуд" по сравнению с частотой одиночной упругой стенки. Такой вывод можно считать приемлемым только в случае малой плотности, малой инертности газовой среды и низкой скорости колебаний ее частиц.
В работах [ 63 , 64 , 65 ] исследовались резонансные явления в сосудах, заполненных сжимаемой жидкостью. Если в [ 63 ] колебания упругой стенки описывались классическими уравнениями Кирхгофа, то в [ 64 , 65 ] применена нелинейная теория упругих оболочек. Проведено сравнительное численное исследование результатов, в частности, собственных частот. Вариационные методы, примененные в упомянутых работах, не позволяют построить по итогам найденных решений прибли- женные формулы.
В статьях [ II , 12 ] изучались колебания цилиндрических резервуаров, заполненных несжимаемой идеальной жидкостью, поверхность которой свободна. Упругая пластина является дном [ II ] либо частью дна [ 12 ] резервуара; прочие его стенки являются идеально жесткими. Построено выражение для собственных частот резервуара, приведены оценки величины присоединенной к пластине массы жидкости.
Собственные частоты цилиндрического резервуара, заполненного акустической средой, разыскиваются в работах [ 48, 20 ] (жесткая труба, упругие днища), [ 19 ] (упругая цилиндрическая оболочка, жесткие днища), [ 9 , 21 ] (все стенки резервуара - упругие). На основе численных результатов работы [ 20 ] делается вывод о снижении собственных частот объема жидкости при учете упругости торцевых пластин. Детальное исследование эффекта понижения частот собственных колебаний жидкости в упомянутых работах не проводилось.
Общий случай конфигурации резервуара с упругой крышкой, подвергаемого сейсмическому воздействию, рассматривается в І 15 ] . Жидкость предполагается несжимаемой. Среди численных результатов работы содержатся и результаты поиска собственных частот резервуара.
Широкий круг задач рассеяния звука на препятствиях, содержащих упругие стенки, решен в [ 14 ] методом частичных областей. Рассмотрены, в частности, звукопоглощающие свойства решетки, элементы которой состоят из двух круглых упругих пластин, закрепленных на недеформируемую кольцевую опору. Экстремумы звукопрозрачности решетки возникали в области ре-зонансов системы пластина - жидкость.
Технические объекты, подвергаемые вибрациям, часто быва- -ТО-ют скомпонованы из нескольких разнородных по механическим свойствам частей. Изучение резонансных явлений в этих конструкциях, которые принято называть кусочно-однородными, сопровождается большими, чем в однородных объектах, трудностями. Пример изучения собственных колебаний такого объекта -прямоугольного акустического резонатора с кусочно-однородными стенками (жесткими и мягкими) - приведен в [ 47 ] . Собственными частотами являются величины, обуславливающие существование ненулевого решения бесконечной системы линейных уравнений типа Пуанкаре-Коха [ 22 ] . Приближенный поиск частот ведется путем редуцирования системы, то есть путем замены бесконечной системы на конечную систему достаточно высокого (для получения требуемой точности) порядка и нахождения корней конечного определителя. Для построения определителя используются элементы матриц отражения волн, распространяющихся вдоль одного из измерений резонатора, от боковых стенок, а также матрицы рассеяния от сечения резонатора, разграничивающего две его разнородные части.
Задача построения матрицы рассеяния от границы разнородных участков акусто-механической системы представляет собой задачу дифракции волн [ 68 , 4 ] и решается, как правило, методом Винера-Хопфа [ 53 , 56 ] . Этот метод применяется в целом ряде задач, вплотную примыкающих к задачам исследования собственных колебаний. Таковыми являются, например, задачи дифракции волн на местах сочленения либо на ребрах упругих пластин, контактирующих с жидкостью. Задачи дифракции акустических волн на стыке двух полубесконечных упругих пластин решены в работах [ 28 , 29 ] . В качестве граничных операторов, характеризующих механические свойства пластин, используются операторы общего вида. Родственные задачи, но - ТІ - для случая несжимаемой жидкости и конкретного случая уравнений упругих пластин затронуты в [ 36 ] . Вопросы прохождения изгибных волн через различные соединения соприкасающихся с жидкостью пластин рассматриваются в [ 66 , 71 ] . Задачи дифракции акустических волн на ребре полубесконечной пластины решены в [ 50 , 49 , 17 , 72 ] ; волновые процессы в жидкости, содержащей упругую пластину конечных размеров, рассмотрены в [ 49 , 55 ] .
В работе [ 47 ] построение собственных волн двух различных половин с идеальными стенками, составляющих резонатор, а также матриц отражения от идеальных боковых стенок, не вызывает трудностей. Сложнее обстоит дело в случае, когда резонатор содержит упругие стенки либо перегородки. При построении матрицы отражения волн от жесткой стенки, в которую заделана упругая пластина, полезны результаты работ [ 55 , 27 ] . Для построения матрицы отражения от упругой стенки могут быть привлечены методы, используемые в [ 34 , 30 ] . В этих работах изучается отражение и прохождение акустических волн, набегающих на упругую поперечную перегородку в волноводе.
Выражения для нормальных волн плоского и цилиндрического волноводов с идеальными стенками построены, к примеру, в [ 18 , 53 , 46 ] . многостороннему исследованию волноводных свойств слоистых сред посвящена книга [ 3 ] . В целом ряде работ исследуются специальные вопросы распространения волн в волноведущих системах с упругими стенками. Такие системы могут иметь как конечную, так и неограниченную протяженность в направлении, перпендикулярном направлению распространения волн [ 76 , 74 , 75 ] .
В статье [ 67 ] исследуется распространение волн в - Г2 - жидкости, на поверхности которой лежит плоская упругая пластина, способная как к изгибным, так и к продольным колебаниям. На некоторой глубине жидкости параллельно пластине расположена непроницаемая плоская стенка либо граница с жидким полупространством, при пересечении которой имеет место скачок скорости звука. Изучены волновые числа собственных волн, представлены численные результаты поиска вещественных волновых чисел. Выявлена возможность незатухающего распространения изгибных волн пластины со скоростью, превосходящей скорость звука.
Численному поиску корней дисперсионного уравнения волно-ведущей системы пластина-жидкость посвящена работа [ 16 ] . Уравнения для изгибных колебаний пластины содержат поправки Тимошенко-Миндлина.
О собственных волнах плоского волновода с двумя упругими стенками, помещенного в акустическую среду, ведется речь в [ 44 3 - Выполнено численное исследование, проведена классификация, построены приближенные формулы для волновых чисел собственных волн. Изучены энергетиче ские характеристики волн, возбуждаемых расположенным между пластинами точечным источником.
В работе [ 25 ] решена задача построения волн в волноводе, представляющем слой сжимаемой вязкой жидкости, ограниченной упругими пластинами. Имеются численные результаты решения дисперсионного уравнения.
В статье [ 77 ] построено акустическое поле в плоском волноводе с упругими стенками, возбуждаемое точечной гармонической силой, приложенной к одной из стенок. Колебания стенок описываются уравнениями Тимошенко-Миндлина. Решение задачи построено методом перевала. Имеются численные резуль- -ІЗ -таты, из которых виден необычный эффект: вблизи стенки, противоположной той, что возбуждается источником колебаний, имеются области практически нулевого акустического давления. Важные технические приложения имеют задачи исследования гармонических колебаний упругих полос - пластин, из которых изготавливаются детали сооружений. Изгибные колебания изолированных упругих полос изучены в работах [ 23 , 24 , 26 , I ,2,6]. Вопросам взаимодействия колеблющейся полосы с жидкостью посвящены работы [ 52 , 5 з . - ї* -
0.2. Краткое содержание диссертации
При изучении собственных и вынужденных колебаний прямоугольных акустических резонаторов с однородными стенками для построения поля акустических давлений применяется метод Фурье, то есть метод разложения по собственным волнам, ориентированным вдоль одного из измерений резонатора. Если рассматриваются собственные волны, распространяющиеся, например» влево и вправо, при классическом подходе [ 47 ] строятся матрицы отражения волн от левой и правой боковых стенок, а затем составляется бесконечная однородная система уравнений относительно коэффициентов разложения поля акустических давлений по собственным волнам. Собственные частоты находятся при этом как корни определителя бесконечной матрицы системы. Подобный подход применен и при решении одной из задач данной работы. Однако, при удачном выборе разновидности метода рядов Фурье [ 45 ] , матрица отражения, хотя и может быть построена, но в явном виде не используется, поле давлений может быть представлено в виде ряда с известными коэффициентами, зависящими от частоты колебаний, а собственная частота является корнем трансцендентного уравнения, в левой части которого стоит ряд с членами, зависящими от частоты либо несложная комбинация рядов (чаще всего определитель невысокого порядка, элементы которого представлены рядами). Такой подход применен в первой и третьей главах.
В предлагаемой диссертационной работе рассматривается решение задач о свободных и вынужденных колебаниях акусто-механических систем, могущих быть элементами технических конструкций. Характер резонансных явлений в изучаемых системах может быть учтен при проектировании с целью оптимизации -15 -их технических характеристик. Работа производилась по следующим направлениям:
Построение точных решений для задач о свободных и вынужденных колебаниях прямоугольных и цилиндрических акустических резонаторов, две противоположные стенки которых -упругие пластины, прочие стенки - идеально жесткие (мягкие).
Построение решений для задач о собственных колебаниях прямоугольных резонаторов с идеально жесткими стенками и кусочно-однородными перегородками.
Исследование собственных волн волновода прямоугольного сечения с одной упругой и тремя жесткими стенками.
Содержание диссертационной работы изложено в трех главах.
В первой главе исследуются свободные и вынужденные колебания прямоугольного резонатора с различными режимами закрепления кромок двух одинаковых противоположных упругих стенок. Для описания механического поведения упругих стенок используются уравнения Кирхгофа. Гармонические колебания давления в акустической среде описываются уравнением Гельм-гольца.
Для случая жесткого закрепления стенок по краям подробно изложена процедура построения точного решения задачи и приближенных формул для низших собственных частот резонатора. Проведено сопоставление численных результатов, полученных на основе точного решения и на основе приближенных формул. Изучены формы собственных колебаний резонатора. Для случая тонких упругих стенок выявлено наличие собственных частот в области, где акустический резонатор с идеально жесткими (мягкими) стенками собственных частот не имеет.
Для случая свободных краев упругих стенок выписаны толь- ко окончательный вид точного уравнения для собственных частот и приближенных формул.
В реальных акусто-механических конструкциях, как правило, важное значение имеет учет потерь на трение. В этом плане случай шарнирно-опертых краев упругих стенок рассмотрен в задаче о вынужденных колебаниях резонатора, заполненного сжимаемой вязкой жидкостью. Рассматриваемый случай используется, также, для изучения эффекта понижения резонансной частоты при сближении упругих стенок резонатора. Выявлено ослабление остроты резонансных явлений при сближении упругих стенок за счет роста потерь на трение в жидкости.
Во второй главе рассматриваются волновые процессы в бесконечных акустических волноводах с плоскими упругими стенками. В отличие от волноводов с идеальными стенками, волновые числа рассматриваемых волноводов могут быть не только вещественными либо чисто мнимыми, но и комплексными (в смысле неравенства нулю как вещественной, так и мнимой частей). Численно изучено движение волновых чисел по комплексной плоскости с изменением частоты возбуждения. Рассмотрена возможность слияния волновых чисел в кратные пары и тройки, приведены приближенные формулы для нахождения кратных чисел. Изучены энергетические характеристики собственных волн, соответствующих комплексним волновым числам.
Исследовано рассеяние волн на кромке полубесконечной упругой пластины, погруженной в акустическую среду плоского волновода. Процесс построения собственных волн и их рассеяния на кромке пластины используется для нахождения частот собственных колебаний прямоугольного резонатора, частично перекрытого упругой пластиной. Численные результаты решения задачи вновь, как и в первой главе работы, выражают эффект - 17 -понижения собственных частот с уменьшением размера резонатора, перпендикулярного упругой пластине.
Изучены собственные волны трехмерного акустического вол-новедущего канала прямоугольного сечения с упругой, свободной по краям, пластиной-полосой в качестве одной (верхней) стенки и жесткими прочими стенками. Построены приближенные формулы для волновых чисел в случае малой глубины канала.
В третьей главе изучены вынужденные и свободные колебательные процессы в цилиндрическом акустическом резонаторе с жесткой цилиндрической и упругими торцевыми стенками. Поведение двух неодинаковых упругих стенок описывается уравнениями Тимошенко-Минддина. Численные результаты поиска частот собственных колебаний позволяют выявить те условия, при которых более точные, но и более громоздкие уравнения Тимошен-ко-Миндлина дают результаты близкие либо неблизкие результатам, полученным на основе теории Кирхгофа.
Приближенные формулы для нахождения низших собственных частот резонатора выведены в результате применения теории Кирхгофа.
В заключении излагаются основные результаты диссертационной работы.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в тезисах к докладу [ 35 ] , подготовленному автором совместно с Д.П. Коузовым и В.Д. Лукьяновым, в статье [ 37 ] , написанной совместно с В.Д. Лукьяновым, в работе [ 38 ] , выполненной совместно с В.Д. Лукьяновым и Г.Л. Никитиным, а а также в статьях автора [ 39 , 40 . 41 ] .
Кроме того, содержание работы было полностью доложено на семинарах но математическим вопросам теории распространения волн, проводимых под руководством профессора В.М. Бабича в
ЛОШ АН СССР, на семинарах по математическому моделированию в акустике, проходящих в ЛКИ под руководством профессора Д.П. Коузова. Отдельные вопросы работы излагались в докладе на Ленинградском акустическом семинаре совета по акустике АН СССР при ЛКИ, а также в совместном с Б.П. Белинским, Д.П. Коузовым, В.Д. Лукьяновым и Г.Л. Никитиным докладе на конференции "Звукоизолнция-88". - 19 - 0.3. Основные положения, выносимые на защиту
Получены точные решения ряда задач о собственных ж вынужденных колебаниях замкнутых прямоугольных и цилиндрических акустических резонаторов, две противоположные плоские стенки которых являются упругими пластинами, прочие стенки -жесткие. В качестве уравнений для описания колебаний упругих стенок применены как уравнения Кирхгофа, так и уравнения Тй-мошенко-Миндлина. Численно исследована нижняя часть спектра собственных частот резонаторов» построены удобные приближенные формулы для их поиска. Изучен эффект понижения собственных частот при сближении упругих стенок резонатора. Проведено сравнение численных результатов, полученных при применении уравнений Кирхгофа и Тимошенко-Миндлина.
Исследован спектр собственных волн акустического волновода, ограниченного двумя бесконечными плоскими упругими стенками. Изучены энергетические характеристики двух особенных волн, которым соответствуют комплексные волновые числа. Выявлена возможность образования этими волновыми числами одного волнового числа кратности два или три. Предъявлены численные результаты поиска кратных волновых чисел, построены для них приближенные формулы.
Исследован спектр собственных волн волновода прямоугольного сечения, ограниченного тремя жесткими и одной упругой стенкой - полосой со свободными краями. Изучены формы колебаний волновода. Проведено сравнение волновых чисел собственных волн волновода с волновыми числами изолированной упругой полосы.
Получено точное решение задачи о дифракции акустических волн в плоском волноводе с упругими стенками на ребре - 20 -полубесконечной плоской упругой пластины, разветвляющей волновод. Построены и численно применены факторизацнокные формулы и выражения для гранично-контактных интегралов.
5. Построено решение задачи о нахождении собственных частот прямоугольного акустического резонатора, разветвленного упругой пластиной конечной ширины. Численными результатами подтвержден эффект понижения собственной частоты при уменьшении размера резонатора, перпендикулярного упругой пластине.
НОВИЗНА ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
В диссертаций получены точные решения важных в прикладном отношении задач. На основе точных решений получены новые простые приближенные формулы для низших собственных частот резонаторов. Проведенные численные исследования также носят оригинальный характер. Новизна состоит в выявлении и объяснении эффекта понижения собственных частот при сближении упругих стенок резонатора.
Новыми являются приближенные формулы и численные результаты для кратных волновых чисел собственных волн плоского волновода с упругими стенками, а также результаты исследования энергетических характеристик волн, соответствующих комплексным волновым числам. - 21 - 0,4. Система обозначений
В диссертации используется общая, согласованная система нумерации формул, рисунков и таблиц. Каждый номер состоит из трех (четырех) чисел, разграниченных точками. Первые две цифры соответствуют номеру главы и параграфа, далее следует номер формулы (рисунка, таблицы) и, может быть, номер варианта формулы.
Система обозначений констант и переменных в формулах и выкладках состоит из знаков, имещих силу только в пределах своей главы, а также символов, общих для всех глав. К числу общих обозначений относятся: ш - круговая частота, о - скорость звука в акустической среде, р0 - плотность акустической среды, ж - волновое число изгибных волн в упругой пластине, 4 Pj hJ "г ? - - , ' DJ р --плотность материала пластины, h - толщина упругой пластины, D - цилиндрическая жесткость пластины,
12 ( 1 - of ;
Е - модуль Юнга, о. - модуль Пуассона,
9г ь?
Нижние индексы J соответствуют номеру участвующей в задаче упругой пластины ( j = 1 или j = 2 ) и могут опускаться, если в задаче рассматривается одна пластина либо две одинаковых.
Все численные результаты построены для конкретной ситуации: материал упругих пластин - сталь, жидкость - вода.
Значения используемых физических констант таковы: с = 1450 м/'с , р0 = 1000 кг/м3 , р = 7800 нг/м3 ,
Е = 2.06'Ю11 н*с/л? , (У = 0.28 .
Построение приближенных формул для низших частот резонатора
Численное исследование колебательных процессов в резонаторе начнем со случая "Лх-іл-процессов". Ограничимся рассмотрением низкочастотного участка спектра собственных частот 0 ш - - . Отметим, что у акустического резонатора со всеми жесткими стенками в указанном диапазоне отсутствуют собственные частоты "Аг- -процессов".
Результаты применения уравнения ( І.І.І0 ) к численному поиску низшей собственной частоты приведены на Рис. І.й.І. Линию изменения собственных частот с ростом высоты резонатора можно условно разбить на два участка: спадающий при возрастании Н участок "Р" и практически горизонтальный участок "W" .
Участку "Р" - участку малых высот резонатора - соответствует малая масса жидкости по сравнению с массой пластин. Мзгибные смещения пластин и перемещения жидкости здесь практически одинаковы, жидкость играет роль малой присоединенной массы и, следовательно, собственные частоты резонатора мало отличаются от собственных частот изолированных пластин в вакууме. Силы, поддерживающие колебательные процессы -это, главным образом, возникающие при изгибе пластин упругие силы. Сказанное позволяет назвать участок "Р" - "пластинным" участком.
Участку "W" - участку больших высот резонатора - соответствует большой объем жидкости, разделяющей пластины. При выбранных значениях параметров ж со / с , поэтому влиять на колебания пластин и выполнять роль присоединенной массы могут лишь ближайшие к пластинам слои жидкости. Акус - ЗІ тическое давление в жидкости экспоненциально убывает по мере удаления от припластинной поверхности жидкости в ее глубину [ 45 ] . В этой связи участок "№" будем называть "поверхностно-пластинным" участком.
О собственных волнах плоского волновода с упругими стенками
Собственные волны плоского волновода с идеально жесткими или мягкими стенками хорошо изучены в литературе. Если же стенками волновода являются упругие пластины, процесс построения собственных волн имеет имеет ряд особенностей. Рассмотрим некоторые из них.
Пусть ПЛОСКИЙ ВОЛНОВОД - ю Я + оо f - U Z U , заполнен идеальной сжимаемой жидкостью. Поле акустических давлений Р ( х, z ) в жидкости в физически реальных задачах возбуждается источником. Будем считать, что атот источник - точечный, тогда акустическое давление в волноводе удовлетворяет неоднородному уравнению Гельмгольца
где о - поперечная координата источника, - Н Ь Н .
Боковыми стенками волновода служат упругие пластины. Уравнение Кирхгофа для двух одинаковых пластин, совершающих изгибные колебания, с учетом контакта с жидкостью, имеет вид
В равенстве С 2.1.2 ) ив последующих берутся одновременно или все верхние, или все нижние знаки.
Корни А. , к f к явля ясь чисто мнимыми при малых ш, последовательно смещаются на положительное направление вещественной оси по достижении числом о) значений ш+ , т =? 1, R, 3, ... - корней уравнения ( 1.3.6.2 ). Отметим, что на частотах возбуждения, совпадающих с величинами ш+ - частотами зарождения распространяющихся волн - в волноводе возможны только собственные стационарные колебания (поперечный резонанс в волноводе, [ 34 ] ), характер которых изучен в 1.3.
О применении теории пластин Тимошенко-Миндлина к исследованию вынужденных и собственных колебаний резонатора
Рассмотрим цилиндрический резонатор О % г R , - Н z Н , 0 ф 2 % , заполненный акустической средой. Колебательные процессы в резонаторе возбуждаются гармонически изменяющимся во времени внешним давлением Q .( г, р ) ш действующим на наружные поверхности нижней (z = -ff , j - 1 ) и верхней ( z = Н » j = 2 ) круглых упругих стенок резонатора.
Тогда процессы в резонаторе можно рассматривать как суперпозицию колебательных процессов, возбужденных т-ми гар m = 0, 7» 2, 3 В дальнейшем будем рассматривать только процессы, возбужденные одной конкретной гармоникой внешнего давления щтс)( г, р ) .
Все последующие уравнения и выкладки будем, для краткости, выписывать для функции Р ( г, z ) , а также для функций V.( г ) , 7 f г ) , w ( г ; , характеризующих радиальную и окружную составляющие осредненного угла сдвига пластин Ц(ТЛ0)( г, ф ) - V ( г ) cos ( m(p J , и изгибное смещение пластин Уі(с)( г, ер ) = № ( r ) cos ( т ф 7 . Условимся, также для краткости, впредь всщу опускать верхние индексы у величин Qima\ q 1tt) , р(т) .
