Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Связь между напряжениями и скоростями деформаций в обобщенных переменных в теории идеальной пластичности 18
1. Основные соотношения теории идеальной пластичности 18
2. Условие изотропии и соотношения обобщенного ассоциированного закона пластического течения 23
3. Условия изотропии в обобщенных переменных... 35
4. Соотношения теории изотропной идеальной пластичности 40
5. Представление полной пластичности на диаграмме Мора. 54
Глава 2. Предельное состояние пространственного идеальнопластического слоя, сжатого шероховатыми плитами 63
1. Предельное состояние идеальнопластических тел, сжатых цилиндрическими плитами '. 63
2. Статически неопределимое состояние идеал ьнопластического слоя, сжатого жесткими шероховатыми поверхностями 69
3. Предельное состояние слоя, сжатого параллельными шероховатыми плитами при неколлинеарных направлениях касательных усилий 79
4. Сжатие слоя из идеал ьнопластического анизотропного материала 85
5. Сжатие анизотропного идеальнопластического слоя жесткими шероховатыми плитами при условии пластичности Хилла 90
Глава 3. Общие двумерные задачи теории идеальной пластичности 98
1. Соотношения плоской задачи теории идеальной пластичности 98
2. Вдавливание плоского штампа в идеальное жестко пластическое полупространство с учетом касательных напряжений . 105
3. Определение поля скоростей идеальнопластического течения в случае общей плоской задачи 113
Глава 4. Плоские задачи теории идеальной пластичности 123
1. Вдавливание штампа в идеально пластическое полупространство 123
2. Вдавливание жесткого индентора в идеальнопластическое полупространство ;. 129
3. Течение идеальнолластической полосы при растяжении и изгибе 139
4. Течение идеальнолластической полосы при растяжении, ослабленной пологими выточками 144
Глава 5. Линеаризированные уравнения теории идеальной пластичности 151
1. Линеаризированные уравнения идеального анизотропного тела при условии полной пластичности 151
2. Линеаризированные уравнения пространственных статически определимых состояний теории идеальной пластичности. 157
3. Линеаризированные уравнения. Частные случаи. 163
4. О решениях линеаризированных уравнений пространственного состояния идеальнопластических тел .168
Глава 6. Течение изотропных сред 172
1. Течение изотропных сред 172
2. Уравнения течения изотропных сред в ортогональных координатах 178
3. Об ограничениях, накладываемых условием изотропии на поведение сплошных сред 185
4. Условия изотропии и модель упругого тела 194
5. Предельные течения дилатирующих изотропных сред 199
Заключение 204
Литература 205
- Условие изотропии и соотношения обобщенного ассоциированного закона пластического течения
- Предельное состояние слоя, сжатого параллельными шероховатыми плитами при неколлинеарных направлениях касательных усилий
- Вдавливание плоского штампа в идеальное жестко пластическое полупространство с учетом касательных напряжений
- Течение идеальнолластической полосы при растяжении и изгибе
Введение к работе
Математической теории пластичности посвящены многочисленные исследования и обзоры, среди которых отметим [14, 49, 58, 78, 81, 82]. Целью предлагаемого ниже обзора является освещение результатов теории идеальной пластичности, на основе которых возникла настоящая работа.
Теория пластичности возникла на основе представлений о предельных состояниях твердых тел.
Уже Галилей [133], рассматривал разрушение балки при изгибе и предложил схему распределения усилий по поперечному сечению балки, вполне соответствующую распределению напряжений по идеальной жесткопластической схеме. Позднее Тук [133] предложил схему распределения усилий согласно закону, названного его именем. Закон Гука определил развитие теории упругости, представления Галилея были оценены в полной мере позднее.
Коши в 1828 году предложил соотношения для определения напряжений в пластических телах; исходя из молекулярных представлений, Коши предполагал среду лишенной сил сцепления и не вышел за рамки представлений гидродинамики. Именно представление о силах сцепления лежит в основе теории предельного состояния грунтов и теории пластичности металлов, хотя приложения теории предельного равновесия и теории пластичности не ограничиваются названными средами.
Представления о предельном: состоянии грунтов и сыпучих сред были развиты в работах Кулона (1773г.), Моузли (1833г.), Ренкина (1853г.), Леви (1869г.), Сен-Венан (1870г.) и др.
Кулон сформулировал основные представления о предельном равновесии, применив их к определению давления засыпки, ограниченной горизонтальной плоскостью, на вертикальную подпорную стенки. Вертикальная стенка предполагалась абсолютно гладкой, Кулон исходил из допущения о существовании плоской поверхности сползания.
Ренкин рассмотрел предельное равновесие бесконечного массива, ограниченного наклонной плоскостью, ввел понятие о поверхностях скольжения.
Представления о предельных состояниях твердых тел легли в основу теории пластичности, возникновение которой принято относить ко времени появления работ французского инженера Треска (1864г.). На основе экспериментов по штамповке и выдавливанию свинца, Треска выдвинул гипотезу о предельном значении максимального касательного напряжения, при достижении которого в теле возникают необратимые деформации. Предельное значение максимального касательного напряжения характеризует, согласно Треска, предельное значение сил сцепления материала.
Сен-Венан (1870г.) положил условие пластичности Треска в основу вывода соотношений теории пластического течения, в случае плоской деформации. Соотношения Сен-Венана: два уравнения равновесия !ii+iv=o, _b.+LS.=0 " (1) д х д у д х д у условие пластичности максимального касательного напряжения Треска {ах-ау) +Ат1у = Акг, к-const (2) условие несжимаемости dex+dey=0 (3) условие изотропии материала de — de de а —ст т х у ху где (тх,<ту,т^ - компоненты напряжения, dex,deyide^ - компоненты приращения деформации.
Соотношения Сен-Венана (1) — (4) полностью сохранили свое значение.
Позднее Прандтль (1920г.) сформулировал представление об идеальном жесткопластическом теле и переход от приращений деформаций del} к скоростям пластических деформаций stJ=dejJ/dt, что позволило использовать эйлерово представление о течении в теории идеального жесткопластического тела.
Пространственные соотношения теории идеальной пластичности впервые были даны Леви (1871г.). Он записал условие пластичности Треска в общем виде. Соотношения, определяющие пластическое течение, Леви определил из условия пропорциональности сдвиговых напряжений и приращений сдвигов. С современной точки зрения Леви использовал условие пластичности Треска и соотношения ассоциированного закона течения при условии пластичности Мизеса. Леви занимался вопросами интегрирования уравнений Сен-Венана (1) - (4), ему принадлежит преобразование, носящее его имя ах = a + /ccos20, ау -a-KQQ%W, x^-K&mW, (5)
Соотношения (5) удовлетворяют условию пластичности (2), из (1), (5) следует система квазилинейных уравнений Леви д а _ . ^„д в . пл5 0 л 2/csmie + 2к cos 20 = О д х д х д у + 2jrcos20 2л: sin 20 =0 д у д х д у
Уравнения (6) лежат в основе исследований по определению напряжений при плоском деформированном состоянии идеальнопластического тела.
В 1909 году появилась работа Хаара и Кармана [141]. В этой работе авторы высказали соображения, что теория предельного состояния грунтов и теория пластичности имеют общие основы. В работе сформулирован вариационный принцип, определяющий пластическое состояние тел, и определено условие полной пластичности или полного предельного состояния.
Отметим введение Мизесом (1913г.) квадратичного условия пластичности, ранее аналогичное условие пластичности было предложено Губером (1904г.).
Прандтлю и Генки принадлежит выдающийся вклад в развитие плоской задачи теории идеальной пластичности.
Прандтль (1921г.) ввел понятие идеального жестко пластического тела и впервые дал решения задач о вдавливании жесткого штампа в идеал ьнопластическое полупространство и в усеченный идеальнопластический клин. При этом Прандтль рассматривал идеальнопластический материал, свойства которого зависят от среднего давления г = /(<т), где г - касательное напряжение, <т - среднее давление.
Генки (1923г.) ограничивается идеальнопластическим материалом, свойства которого не зависят от среднего давления. Генки формулирует две теоремы для статически: определимых состояний плоской задачи теории идеальной пластичности, носящие его имя. Им даны решения статически определимых задач о вдавливании штампов, обобщающее решение Прандтля, при этом Генки предполагал, что статически определимые состояния могут иметь место для узко ограниченного круга задач. В этой же работе Генки выводит уравнения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и определяет предельную нагрузку при вдавливании осесимметричного жесткого штампа в идеал ьнопластическое полупространство, в предположении, что имеет место сетка скольжения плоской задачи, определенная Прандтлем.
Прандтль (1923г.) обсуждает результаты Генки. Прандтль указал, что класс статически определимых задач теории идеальной пластичности гораздо шире, чем предполагал Генки. Прандтль уточнил формулировки теорем Генки, установил гиперболический характер уравнений плоской задачи идеал ьнопластического напряженного состояния материала, дал численные методы решения, определил постановки задач определения предельной нагрузки при вдавливании штампов в идеальнолластическую полосу и сдавливания пластического слоя шероховатыми плитами. В этой работе Прандтль дал замечательное асимптотическое аналитическое решение задач о сдавливании идеальнопластического слоя жесткими шероховатыми плитами, позднее Надай дополнил это решение построением поля скоростей перемещений.
Гейрингер (1930г.) получила соотношения для определения компонент скоростей перемещений для плоской задачи теории идеальной пластичности.
Выдающимся достижением теории пластичности является формулировка ассоциированного закона пластического течения
Впервые соотношения ассоциированного закона течения были даны Мизесом (1928г.). Мизес определил соотношения ассоциированного закона течения для гладких поверхностей текучести в виде del=dX^—L (7) " ""д <т.,
Позднее Рейсе (1933г.) предложил соотношения обобщенного ассоциированного закона течения ^A-IH^fA /,(0-^,0-3) = 0 (8) о оу д (7Г где о-, - главные компоненты тензора напряжений, et - главные компоненты скоростей деформации.
А.Ю. Ишлинский (1946г.) предложил соотношения пространственной задачи теории изотропного идеальнопластического тела в случае совместного удовлетворения двух условий пластичности /,(^,^)=0, /2(г;,х;)=о (9) где Ъ'гХг - второй и третий инварианты девиатора напряжений.
А.Ю. Ишлинский отказался от условия пропорциональности девиаторов напряжений и скоростей деформации и предложил использовать условия изотропии, утверждающие совпадение главных направлений тензоров напряжений и скоростей деформации.
Согласно А.Ю. Ишлинскому, фиксированному напряженному состоянию ст.. может соответствовать множество различных деформированных состояний, тем самым были развиты представления, описываемые в рамках обобщенного ассоциированного закона течения.
Современная формулировка соотношений обобщенного ассоциированного закона пластического течения принадлежит Койтеру (1953г.) и Прагеру (1953г.). Необходимо отметить также вклад Дракера (1949г., 1953г.) в обоснование основных представлений теории пластичности.
В середине 30-х годов математическая теория пластичности начала привлекать отечественных ученых. Появляются работы С.Л. Соболева, Л.С. Лейбензона, С.Г. Михлина, А.А. Ильюшина, В.В. Соколовского.
Выдающийся вклад в теорию идеальной пластичности принадлежит С.А. Христиановичу. С.А. Христианович [144] проанализировал уравнения плоской задачи теории идеальной пластичности, выявил вырожденные решения типа «простой волны», определил интегралы уравнений теории идеальной пластичности, послужившие основой для многочисленных решений, предложенных В.В. Соколовским.
С.А. Христианович развил алгоритм определения напряженного состояния вблизи отверстий любой формы под действием произвольной нагрузки, получил в результате разрывные решения.
А.Ю. Ишлинскому принадлежит прямой численный метод определения напряженного состояния в осесимметричных задачах теории идеальной пластичности при условии полной пластичности. Им были рассмотрены задачи о вдавливании штампов различной формы в идеальнопластическое полупространство, решена задача о так называемой пробе Бринелля. А.Ю. Ишлинский проанализировал кусочно-линейные условия пластичности, использовал эйлерово представление в задачах о течении идеально вязко пластической среды.
Д.Д. Ивлев получил статически определимую систему уравнений пространственной задачи теории идеальной пластичности для напряжений и скоростей деформаций, при условии полной пластичности и показал, что в обоих случаях систем уравнений принадлежат к гиперболическому типу и имеют совпадающие характеристики. Им дано решения ряда задач.
С.А. Христианович и Е.И. Шемякин [146, 147] рассмотрели соотношения теории пластичности в случае полного и неполного пластического состояния. Ими проанализировано поведение пластического материала в случае сложного напруження и показано, что материал приобретает анизотропное сопротивление сдвигам, даже если в исходном состоянии он был однородным и изотропным. Е.И. Шемякин указал, что индуцированная пластическими деформациями анизотропия является едва ли не основным свойством пластичности, как и остаточная деформация.
Представление диссипативнои функции в математических моделях упругопластических сред отражает основные механические гипотезы, положенные в основу модели. Вопросы построения диссипативнои функции в теории пластичности рассматривались Прагером, Циглером, Д.Д. Ивлевым, Е.И. Шемякиным и др. Показано, что эквивалентные построения соотношений теории пластичности могут быть получены исходя из определения функции напруження и постулата максимума в пространстве напряжений (Мизес) и диссипативнои функции и постулата максимума в пространстве скоростей пластических деформаций. Основные результаты, полученные в теории пластичности изложены в монографиях [30, 52, 65, 111, 131, 144] и др.
Представляемая работа посвящена ряду вопросов математической теории идеальной пластичности и ее приложениям.
Условие изотропии и соотношения обобщенного ассоциированного закона пластического течения
Рассмотрим соотношения ассоциированного закона пластического течения в обобщенных переменных. Под обобщенными напряжениями pk понимаются некоторые функции напряжений Pk=Pt P9) = (г(А) (1.2.001) под обобщенными скоростями деформации qk понимаются некоторые функции скоростей деформации ft=fc(e,), etf=ee(fc) (1.2.002) Скорость диссипации механической энергии является инвариантной величиной D = a9E9=pkqk (1.2.003)
В выражения зависимостей (1.2.001), (1.2.002) могут входить некоторые параметры, накладывающие определенные связи на обобщенные напряжения и скорости деформации. Предполагая тело идеально пластическим, условие предельного состояния запишем в виде Собственно, соотношения ассоциированного течения определяют выражения (1.2.014)- (1.2.016).
Для определения шестнадцати неизвестных a1,G2,a3,ufv,w (компоненты скорости перемещения), 7 lttmttnt имеют место шестнадцать уравнений: три уравнения равновесия, уравнение (1.2.007), шесть соотношений ассоциированного закона течения (1.2.009), (1.2.014) - (1.2.016) и шесть соотношений ортогональности единичных ортов (1.1.010).
Переходя в (1.2.029) от компонент девиатора к компонентам полных напряжений (1.2.018), получим, что соотношения (1.2.029) переходят в (1.1.018). В случае, когда условие предельного состояния (1.2.024) (1.2.028) не зависит от величины ст: F(sl,s2,s3) = Oi (1.2.030) согласно (1.2.026),; имеет место условие несжимаемости zs + zy+tz=0. (1.2.031)
Три уравнения равновесия, три уравнения (1.2.029), уравнение несжимаемости (1.2.031), условие предельного состояния (1.2.030) определяют систему восьми уравнений относительно девяти неизвестных: Для замыкания системы уравнений следует привлечь соотношения (1.2.026), (1.2.027), (1.1.031).
В случае, когда условие предельного состояния определяется двумя соотношениями 1, 3) = 0, 2(5 2,53) = 0, (1.2.032) система девяти уравнений: трех уравнений равновесия, двух условий пластичности (1.2.032), трех условий изотропии (1.2.029), условия несжимаемости (1.2.031), относительно девяти неизвестных: шести компонент напряжений jtj и трех компонент скорости перемещений w,v,w становится замкнутой Соотношения для случая (1.2.032) даны А.Ю. Ишлинским().
Условия изотропии (1.1.021) имеют место для любого изотропного идеально пластического тела. В случае, когда условие пластичности выражается одной гладкой функцией текучести
Из соотношений (1.2.039) следуют условия изотропии (1.1.018). Условия (1.2.038), (1.2.039) налагают более жесткое ограничение, чем условия изотропии (1.1.018), а именно, условие пропорциональности девиаторов напряжений.
Если подставить в соотношение (1.2.056) выражения щп} согласно (1.2.045), то получим условие изотропии (1.1.018). Из трех соотношений (1.2.056) согласно (1.2.055) независимыми являются два. Таким образом, в случае полной пластичности только два из трех соотношений (1.1.018) являются независимыми. Выражения (1.2.053), (1.2.056) не зависят от количества аналитических выражений условия пластичности (1.2.049) для изотропного тела.
Покажем, что из условий изотропии А.Ю. Ишлинского следует соосность тензоров напряжений и скоростей деформаций. Рассмотрим обобщенные переменные, введенные Е.И. Шемякиным для напряжений и скоростей деформаций (отметим, что величина /^была впервые введена Л оде):
Предположим, что ориентация осей координат xyz и главных направлений тензора напряжений CTJ,CT2,CT3 определяется направляющими косинусами /,,т„л„ 1=1,2^. а ориентация осей координат xyz и главных направлений скоростей деформаций — косинусами //,т[,п\.
Для направляющих косинусов справедливы соотношения (1.1.010),(1.1.011). Заменив в формулах (1.1.010), (1.1.011) lt9mt,nt на //,т(',я(', получим аналогичные соотношения для косинусов V^tri^n]. Связь компонент скорости деформации в декартовой системе координат с главными компонентами, а также с их инвариантами определяется соотношениями
Предельное состояние слоя, сжатого параллельными шероховатыми плитами при неколлинеарных направлениях касательных усилий
Нормальные напряжения тр,ад,стг (2.2.014) - (2.2.016), при р-const, меняются линейно вдоль оси z с угловым коэффициентом щ, определяемым статическими граничными условиями (2.2.019), (2.2.020), (2.2.027). Величины напряжений тр,а0,а2 зависят от значений скоростей перемещений иа,и , определяющих сближение сдавливающих поверхностей согласно (2.2.014) - (2.2.016), (2.2.025), (2.2.026), (2.2.029).
Рассмотрим сжатие идеал ьнопластического слоя параллельными жесткими шероховатыми плитами при условии пластичности Мизеса.
Соотношения связи между напряжениями и скоростями деформаций согласно ассоциированному закону пластического течения, имеют вид
Обозначим толщину слоя 2Л , предположим, что в некоторой точке х0у0 определено осредненное давление величина сдавливающего напряжения аг будет зависеть от характера деформирования плиты. Аналогичная зависимость сохраняется при различных осреднениях краевых условий, налагаемых на компоненты напряжения.
В случае статически определимой системы соотношений при условии полной пластичности имеет место:
Согласно (2.2.051), (2.2.052) величина сдавливающего напряжения сг не зависит от характера деформирования плиты, аналогичная зависимость сохраняется при различных осреднениях краевых условий, налагаемых на компоненты напряжения.
Рассмотрим сжатие идеальнопластического изотропного слоя. Условие полной пластичности, предложенное в работе Хаара и Кармана, имеет вид
Рассмотрим слой пластического материала толщиной 2h и введем декартову систему координат, так что границы слоя соответствуют 2 = / и z = -Л2, / + А2 = 2h.
Следуя идеям Прандтля, рассмотревшим плоскую задачу о сжатии слоя из идеал ьнопластическо го материала шероховатыми плитами [112], положим
Рассмотрим слой пластического материала толщиной 2А, предположим, что оси координат ху лежат в срединной плоскости z = 0. В дальнейшем перейдем к безразмерным величинам и отнесем все компоненты, имеющие размерности напряжения к величинам предела текучести к-, а линейные размеры к величине А. На верхней и нижней сторонах слоя, согласно (2.3.005), получим Вектора касательных напряжений на верхней и нижней сторонах слоя будут иметь вид Величины результирующих касательных напряжений на верхней и на нижней сторонах слоя, согласно (2.3.010), (2.3.011), будут иметь вид
В соотношении (2.3.029) компоненты касательных напряжений т(ї определены согласно (2.3.005), (2.3.006) и являются функциями координаты z. Два уравнения (2.3.029) определяют две непрерывные функции u(z\ viz). . Таким образом, согласно (2.3.005) - (2.3.007), (2.3.028), (2.3.029) компоненты напряжений и скоростей деформации могут быть определены.
Рассмотрим слой идеальнопластического материала толщиной 2k, сжатого параллельными жесткими шероховатыми плитами. Ось z направим ортогонально плитам, оси ху - в срединной плоскости слоя. В дальнейшем, все величины, имеющие размерность длины, будем считать отнесенными к величине
Вдавливание плоского штампа в идеальное жестко пластическое полупространство с учетом касательных напряжений
Задачу о вдавливании плоского штампа в жесткопластическое полупространство с учетом продольных и поперечных контактных касательных напряжений на границе штампа решаем с использованием условия полной пластичности, которое в главных напряжениях имеет вид (3.1.001). Условие полной пластичности обеспечивает большую свободу пластического течения, приводит к квазилинейным гиперболическим дифференциальным уравнениям с эффективным алгоритмом решения краевых задач, включая разрывы и сингулярные точки, и соответствует сдвиговому механизму пластического течения твердых тел.
Ниже будем пользоваться безразмерными напряжениями, принимая 2к =1 за единицу напряжения и ширину штампа за единицу длины. Компоненты тензора напряжений в декартовых координатах {х, у, z}, удовлетворяющие условию (3.1.001), запишем через среднее напряжение о и углы Є и ср:
Если длина штампа в направлении оси z значительно превышает его ширину в направлении оси х, то можно принять, что а, 6 и ф не зависят от координаты z . Это случай общей плоской задачи теории идеальной пластичности, для которого в первом параграфе получены квазилинейные дифференциальные уравнения гиперболического типа для функций а, 6 и ф с тремя уравнениями характеристик и дифференциальными соотношениями вдоль них (3.1.022) - (3.1.025).
При Є = 0 из (3.2.001) получаем = = 0; уравнения (3.1.022) определяют ортогональные характеристики плоской деформации с соотношениями Генки (3.1.023). При 0 6 тт/2 характеристики (3.1.022) не ортогональны , и у- характеристика (3.1.024) является биссектрисой угла между а- и 3- характеристиками (3.1.022).
Граничные условия. На свободной границе полупространства АС (рис.3.1) принимаем нормальные напряжения, удовлетворяющие условию полной пластичности (3.1.001) ах = az = —1, ау - 0, и из уравнений (3.2.001) находим значения функций о, ф, 9 : a = -2/3 , ф = тт/2 , 9 = 0 на АС . (3.2.002)
При 8 = 0 характеристики (3.1.022) прямолинейны (dy / dx)a(j = ± 1, и в области ABC имеет место однородное напряженное состояние (3.2.002) плоской деформации. Характеристики (3.1.022) определены только для положительных значений cos9 , поэтому на контактной границе штампа О А задаем угол 9 как параметр задачи в интервале
Второй параметр, угол р, определяющий контактные касательные напряжения по уравнениям (3.2.001), задаем в интервале, зависящем от угла 8:
Верхний предел в (3.2.004) определяется вырождением поля характеристик в линию, касательную к границе штампа; а нижний предел контролирует вырождение поля характеристик при больших углах 9, когда угол между направлениями а- и р- характеристик приближается к тт.
В сингулярной точке А изменение среднего напряжения от свободной границы АС к границе штампа ОА находим интегрированием уравнения (3.1.023) на вырожденной а — характеристике р
Аналогичный интеграл на вырожденной р - характеристике используем для контроля несущей способности жесткого клина с вершиной в точке О.
Плоская деформация. При плоской деформации 9 = 0. Ортогональные характеристики (3.1.022) в области ABD образуют центрированный веер с прямыми р- линиями, и интеграл (3.2.006) определяет значение а в области однородного напряженного состояния OAD
Течение идеальнолластической полосы при растяжении и изгибе
Уравнения (3.3.026) - (3.3.032) относительно неизвестных координаты и функции о, ф, 6 в точке Р и неизвестных координаты точки 3 решаем простыми итерациями. Используя известные значения углов ф и Є в точках 1 и 2 , по уравнениям (3.3.026), (3.3.027) вычисляем х, у, и по уравнениям (3.3.030) , (3.3.031) находим а и ф в точке Р. По уравнениям (3.3.028), (3.3.029) вычисляем координаты точки 3, и линейной интерполяцией между точками 1 и 2 находим значения о, ф и 9 в точке 3. По уравнению (3.3.032) вычисляем 9 в точке Р. Повторяем вычисления с использованием средних значений углов ф и 9 вдоль характеристик
Поле характеристик в области ABD (рис.3.1) находим из решения задачи Гурса с известными значениями функций а, ф, 6 на (3 - характеристике АВ и в сингулярной точке А, вычисляя регулярные узлы сетки характеристик по уравнениям (3.3.026) -(3.3.032). В области OAD решаем смешанную задачу с известными значениями функций о, ф, 9 на р - характеристике AD и граничными условиями на ОА. Координаты х и значения а в узловых точках на границе ОА находим из линейных уравнений (3.3.026) и (3.3.030) , так как ф и 9 на ОА заданы граничными условиями (3.3.018).
Поле характеристик в области в области OABD определяется с точностью до неизвестной длины L характеристики АВ, которую находим из условия равенства нулю координаты Хо точки О. Алгоритм построения поля характеристик определяет х , как непрерывную функцию параметра Ц которая должна удовлетворять условию Хо (L) = 0 . (3.3.033)
Уравнение (3.3.033) решаем итерационным методом Ньютона, аппроксимируя производную конечно-разностным отношением и принимая в качестве начального приближения длину L границы АС при плоской деформации.
На рис.3.3 показано поле характеристик и распределение нормального напряжения на границе штампа, вычисленное для 9 = 1 и ф = 0,388, соответствующие усилиям сдвига Рх = 0,269 и Pz = 0,159. Давление на штамп практически постоянно, с незначительным возрастанием около особой точки А. Усилие вдавливания Ру = 2,074. При приближении модуля контактного усилия сдвига Pxz = Р/+Р/ к предельному значению Уг поле характеристик вырождается в линию, совпадающую с границей щ. штампа.,Если ф = тт/2 и 6 - тт/2 , то получаем продольный сдвиг штампа по оси z при Рх = 0 и Pz = Уг.. Из уравнений (3.3.021) и (3.2.001) находим а - -2/3 , ау = - Уг , az = - У2. Это случай чистого сдвига при минимальном давлении на штамп Ру = Уг, Рх = 0 , Pz = Уг при ф = 9 = тт/2 . (3.3.034)
Таким образом, при изменении сдвиговых усилий предельное давление на штамп изменяется от максимального значения 1 + тт/2 для гладкого штампа Прандтля до минимального значения Уг при чистом продольном сдвиге шероховатого штампа.
После вычисления поля характеристик определены кинематические граничные условия (3.3.025) на жесткопластической границе ODBC (рис.3.3), которые вместе с граничным условием (3.3.023) на границе штампа позволяют построить поле скоростей перемещений из решения смешанной задачи для уравнений (3.3.010) - (3.3.013) в области OAD и задачи Гурса в области ADB. На границе АВ и в области ABC имеем 0 = 0. При этом f а,р = 0 в (3.3.012) и уравнения (3.3.010) переходят в уравнения Гейрингер. Скорости и и v в области ABC постоянны вдоль а- характеристик, а скорости w постоянны вдоль у- характеристик в соответствии с уравнением (3.3.013) при Є = 0.
Элементарная задача Коши для уравнений (3.3.010), (3.3.013), аппроксимируемых конечными разностями, приводит к системе линейных уравнений для скоростей u, v, w в регулярных узлах Р сетки характеристик (Рис.2) при заданных скоростях на контуре Коши 1-3-2: (в_Иі) + (у-Уі)() -( - )/-=. (3.3.035) (U_„2) + (V_V2)( ] -(w-w2)/,=0, (3.3.036) tgO((u-u3)cos p + (v-v3)sia(p)-(w w3) = 0. (3.3.037)
Коэффициенты системы уравнений (3.3.035) - (3.3.037) вычисляем по средним значениям углов Є и ф вдоль характеристик 1- Р, 2 - Р И: 3 Р, которые известны из решения системы уравнений (3.3.026) — (3.3.032). Скорость v в узлах сетки характеристик на границе штампа задана граничным условием (3.3.023), а скорости и и w в этих узлах находим из уравнений (3.3.036) и (3.3.037) при решении смешанной задачи для скоростей.
