Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Методы решения контактных задач для многослойных упругих оснований 24
1. Интегральное уравнение для осесимметричной контактной задачи 24
2. Метод ортогональных многочленов для осесим—метричных контактных задач 30
3. Модифицированный метод коллакащии Муль—топпа-Каландия для осесимметричных контактных задач 32
4. Асимптотический метод решения пространственных контактных задач 36
ГЛАВА 2. Контактная задача для упругого основания с двухслойным покрытием 41
5. Упрощенные модели трехслойного основания 40
6. Решение первой краевой осесимметричной задачи о равновесии упругого основания с двухслойным покрытием 45
7. Постановка осесимметричной контактной задачи для упругого основания с двухслойным покрытием 50
ГЛАВА 3. Осесимметричные контактные задачи для упругого основания с двухслойным покрытием 52
8. Внедрение параболического штампа в двухслойное основание 52
9. Определение эффективных напряжений на осисимметрии 54
10. Анализ результатов (задача А: жесткая прослойка) 58
11. Анализ результатов (задача В: мягкая прослойка) 76
ГЛАВА 4. Трехмерные контактные задачи для упругого основания с двухслойным покрытием 92
12. Вдавливание эллиптического в плане штампа в упругое основание с двухслойным покрытием 92
13. Вдавливание двух одинаковых гладких штампов в форме эллиптических параболоидов в упругое основание с двухслойным покрытием 101
14. Вдавливание двух одинаковых гладких штампов в форме эллиптических параболоидов, рас— положеных на одной оси, в упругое основание с двухслойным покрытием 115
Заключение 119
Список литературы
- Модифицированный метод коллакащии Муль—топпа-Каландия для осесимметричных контактных задач
- Решение первой краевой осесимметричной задачи о равновесии упругого основания с двухслойным покрытием
- Определение эффективных напряжений на осисимметрии
- Вдавливание двух одинаковых гладких штампов в форме эллиптических параболоидов в упругое основание с двухслойным покрытием
Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации рассматриваются пространственные статистические контактные задачи для упругого основания с двухслойным покрытием.
Изучение контактных задач для многослойных упругих оснований началось с середины 50-х годов и первоначально было связанно с проектированием дорожных и аэродромных покрытий, слоистых полов промышленных зданий, гидротехнических сооружений, Фундаментов АЭС, плотин, скважин в горных породах.
Совершенствование методов решения известных задач и успешное решение новых в конечном итоге приводит к значительному экономическому эффекту как при создании таких дорогостоящих и ма-териалоемких сооружений, как автомобильные дороги, так и при осуществлении высоко технологичных проектов, в которых используются тела с износостойкими покрытиями.
В начале 80-х годов стало актуальным изучение напряженно-деформируемого состояния (НДС) тел с износостойкими покрытиями. Высокая стоимость и длительность испытаний на износ материалов и изделий непосредственно на стендах и необходимость осмысления этих результатов поддерживает и сегодня интерес к решепию контактных задач для упругих оснований имеющих слоистую структуру-
Целью работы является:
-
корректная постановка контактных задач для слоистых упругих оснований и развитие методов их решения;
-
вывод соответствующих интегральных уравнений (ИУ), а также развитие методики определения ядер этих ИУ в аналитической форме;
-
развитие методов решения ИУ как для осесимметричных, так и для пространственных контактных задач и определение физических и геометрических параметров задачи, при которых эти методы дают достоверные результаты;
4) определение полей напряжений и перемещений как внутри основания, так и непосредственно под штампами при различных параметрах задачи.
Методика исследования. Сведение контактных задач к ИУ основывается на использовании аппарата интегральных преобразований Фурье, Ханкеля. Трансформанты ядер ИУ, а также трансформанты компонент тензора напряжений построены в аналитической форме. Для решения ИУ использованы численно-аналитические методы.
Научная новизна. Предложены две новые модели упругого основания с двухслойным покрытием. НДС верхнего слоя покрытия описывается уравнениями классической теории упругости, а НДС более тонкого среднего слоя покрытия описывается на основе уточненных уравнений равновесия тонких пластин [Авилкин В.И., Александров В.М., Коваленко Е.В. Об использовании уточненпых уравнений тонких покрытий в теории осесимметричных контактных задач для составных оснований // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 6. С. 1010— 10] 8; Коваленко Е.В. О контакте твердого тела с упругим полупространством через тонкое покрытие // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 1. С. 119-127], которые были преобразованы и упрощены с целью получения обозримых результатов.
На примере этих моделей разработана методика получения тран-формант ядер ИУ в аналитической форме, а также методика определения транформант компонент тензора напряжений и вектора перемещений в аналитической форме для каждого слоя многослойного основания, что чрезвычайно важно при численной реализации методов решения ИУ и определении компонент тензора напряжений и вектора перемещений.
Предложен новый вариант метода ортогональных многочленов для решения осесимметричных контактных задач теории упругости. Определен диапазон геометрических и физических параметров задач, при которых этот метод дает достоверные результаты. Также предложена новая модификация метода коллакации Мультопа-Каландия для решения осесимметричных контактных задач теории упругости.
Асимптотическим методом решена задача о внедрении одного и двух гладких штампов в форме эллиптических параболоидов в упругое основание с двухслойным покрытием.
Практическая значимость работы. Настоящая работа вносит вклад в теоретические основы численно-аналитических методов решения ИУ для осесимметричных и пространственных контактных задач. В диссертации разработана методика определения ядер ИУ в аналитической форме, что важно при численной реализации методов решения контактных задач, а также для определения полей напряжений и перемещений внутри упругих оснований.
Представленные в диссертации исследования выполпены в рамках плановой тематики ИПМ РАН по теме "Современные проблемы взаимодействия деформируемых тел со сплошными средами" (КП-ФИ, раздел "Механика", направление "Механика деформируемого твердого тела", Гос.рег. № 01.20.0006132), грантов РФФИ № 99-01-00038, № 02-01-000346.
Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается корректностью постановок задач, применением строгого математического аппарата, сопоставлением частных случаев получаемых решений рассмотренных задач с известными результатами, а также сопоставлением результатов полученных различными методами.
Апробация работы Основные результаты работы докладывались на IV Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 1999), на VI Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2001), на семинарах по механике сплошной Л.А. Галина (под рук. проф. В.М. Александрова) ИПМ РАН, на научном семинаре кафедры теории пластичности Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, на научном семинаре кафедры сопротивления материалов, динамики и прочности машин Московского государственного авиационного института.
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения списка литературы из 177 наименований.
Модифицированный метод коллакащии Муль—топпа-Каландия для осесимметричных контактных задач
Исследование напряженно-деформируемого состояния многослойных упругих сред имеет большое теоретическое и практическое значение. Модель многослойного основания хорошо отражает свойства довольно широко распространенных объектов. Проектирование дорожных и аэродромных покрытий, слоистых полов промышленных зданий, гидротехнических сооружений, фундаментов АЭС, плотин, скважин в горных породах, а также деталей машин связанно с решением различных задач теории упругости для многослойных оснований. Совершенствование методов решения известных задач и успешное решение новых, в конечном, итоге приводит к значительному экономическому эффекту как при создании таких дорогостоящих и материалоемких сооружений, как автомобильные дороги, так и при осуществлении высоко технологичных проектов, в которых используются тела с износостойкими покрытиями.
Перейдем к анализу основных направлений, в которых развивалась статика упругих слоистых сред с плоскопараллельными слоями. Ограничимся рассмотрением только таких работ, в которых объектом исследования являются многослойные среды с произвольным конечным числом слоев, причем исследования проводилось с позиции линейной теории упругости. Не будем рассматривать работы, в которых излагаются приближенные теории слоистых сред, основанные на различных гипотезах о характере деформации слоев среды или приближенных методах, таких, как метод конечных элементов. Различные приближенные методы, в том числе метод конечных элементов, метод сеток, метод граничных элементов, использовались в работах В.В. Болотина, В.З. Власова, В.Н. Кузьменко, Н.Н. Леонтьева, Ю.Н. Пискунова, В.В. Парцевского П.Ф. Сабодажа, P.M. Рапопорта, Г.А. Феня и других авторов.
Первая работа по теории расчета многослойных оснований была опубликована И.Г. Альпериным [34] в 1938 г. В ней рассматривается плоская деформация слоистой полуплоскости. При помощи интегрального преобразования Фурье автор выражает общее решение уравнений теории упругости для каждого слоя основания через четыре произвольные функции параметра интегрального преобразования. Из условий совместности деформаций вытекают рекуррентные соотношения между вспомогательными функциями. В конечном итоге задача сводится к отысканию вспомогательных функций, соответствующих верхнему слою, которые определяются из граничных условий на верхней границе основания, и условий отсутствия напряжений на бесконечности в его нижнем слое (однородной полуплоскости).
Метод определения напряженного состояния слоистых оснований предложенный, И.Г. Альпериным, относится к группе методов рекуррентных соотношений. Для методов этой группы характерным является то, что решение основных граничных задач теории упругости для слоистого основания, в конечном итоге, сводится к отысканию вспомогательных функций, определяющих напряженное состояние верхнего слоя. Вспомогательные функции для остальных слоев определяются из специальных рекуррентных соотношений. При этом порядок получаемой алгебраической системы линейных уравнений относительно искомых вспомогательных функций не зависит от числа слоев в основании. В 60-70 г. методы рекуррентных соотношений получили широкое развитие в работах Ю.А. Наумова, В.И. Петришина, Ю.А. Шевлякова, А.К. Приварникова, P.M. Рапопорта и других авторов [46, 105, 126-127, 133, 136, 139-140, 157, 158].
Решение первой краевой осесимметричной задачи о равновесии упругого основания с двухслойным покрытием
В 1942 г. Г.С. Шапиро [156], а позднее D.M. Burmister [167], предложил другой способ получения точного решения первой осесимме-тричной граничной задачи теории упругости для многослойной плиты при помощи интегрального преобразования Ханкеля. В пространстве трансформант Ханкеля напряженное состояние произвольного слоя среды линейно выражаются через четыре вспомогательные функции параметра преобразования. Таким образом, если слоистое основание состоит из п слоев, то для определения 4п вспомогательных функций необходимо решить систему An линейных алгебраических уравнений, которая получается при удовлетворении граничных условий задачи и условий совместности деформаций соседних слоев основания. Заметим, что при решении этим способом пространственных задач система линейных алгебраических уравнений будет иметь порядок 6п. Предложенный подход к решению основных задач теории упругости для многослойных сред развивался в дальнейшем в работах Л.Г. Булавко, Б.И. Когана, М.Б. Корсунского, B.C. Никишина, И.А. Родзевича, Г.С. Шапиро, Н. Bufler и других [40-41, 76, 78, 115, 143, 164-166].
В 70-80-х годах А.К. Приварниковым и др. [42, 44, 46-47, 82, 84-86, 132-133] для решения основных задач теории упругости для многослойных оснований был разработан метод функций податливости. Функции податливости зависят от параметра используемого интегрального преобразования, но не зависят от нагрузок приложенных к основанию. Поэтому они могут быть определены до решения какой-либо граничной задачи. При решении граничных задач теории упругости для многослойных оснований по методу функций податливости не приходится иметь дело с какими-либо вспомогательными системами линейных алгебраических уравнений. Трансформанты напряжений и перемещений в произвольном слое основания могут быть выражены непосредственно через заданные на его верхней границе напряжения и перемещения при помощи специальных рекуррентных соотношений, содержащих функции податливости. Точное решение основных граничных задач теории упругости для многослойных оснований получается в виде интегралов Фурье или Ханкеля.
При современном уровне развития вычислительной техники, решение 1-Й и 2-й краевых задач для многослойных оснований не вызывает особого труда.
Гораздо более сложным оказалось решение смешанных (контактных) задач теории упругости для многослойных оснований. Для постановки и решения смешанных (контактных) задач необходимо знать, какая существует связь между напряжениями, заданными на верхней границе основания, и соответствующими перемещениями точек этой границы. Сравнительно легко такую связь установить и исследовать для однослойного основания. Поэтому, естественно, в первых работах по смешанным (контактным) задачам для слоистых оснований рассматривались однослойные основания — слой на абсолютно жестком полупространстве (Н.Я. Беленький [38], СЕ. Бирман [39], Н.Н. Лебедев и Я.С. Уфлянд [87], И.И. Ворович и Ю.А. Устинов [49]).
Необходимо отметить, что все методы приближенного решения смешанных задач для упругого полупространства и однослойного основания пригодны и для многослойных оснований с любым числом слоев. В частности, подмеченно, что если известно замкнутое решение контактной задачи для полупространства, то аналогичная контактная задача для многослойного основания может быть сведена к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода. Таким образом, становится ясным, какое важное значение при решении задач для многослойных оснований с большим числом слоев имеют методы решения контактных задач для однородного полупространства (полуплоскости) и слоя (полосы), приведенные в работах Н.И. Мусхелишвили [100-101], И.Я. Штаермана [161], Л.А. Галина [50], В.И. Моссаковского [97-98] и Я.С. Уфлянда [153-155], И.И. Во-ровича, В.М. Александрова и В.А. Бабешко [48].
Определение эффективных напряжений на осисимметрии
Необходимо отметить, что все методы приближенного решения смешанных задач для упругого полупространства и однослойного основания пригодны и для многослойных оснований с любым числом слоев. В частности, подмеченно, что если известно замкнутое решение контактной задачи для полупространства, то аналогичная контактная задача для многослойного основания может быть сведена к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода. Таким образом, становится ясным, какое важное значение при решении задач для многослойных оснований с большим числом слоев имеют методы решения контактных задач для однородного полупространства (полуплоскости) и слоя (полосы), приведенные в работах Н.И. Мусхелишвили [100-101], И.Я. Штаермана [161], Л.А. Галина [50], В.И. Моссаковского [97-98] и Я.С. Уфлянда [153-155], И.И. Во-ровича, В.М. Александрова и В.А. Бабешко [48].
Остановимся только на основных методах исследования смешанных (контактных) задач теории упругости однородных сред (в частности полупространства, слоя и полосы). На основе формы представления используемых общих решений основных уравнений теории упругости, можно выделить три обширных направления исследования смешанных (контактных) задач посредством интегральных уравнений, каждое из которых характеризуется своеобразными способами сведения исследуемых задач к разрешающим интегральным уравнениям, что в конечном счете определяет вид интегральных уравнений и структуру их ядер.
Первое направление исследований смешанных (контактных) задач базируется на методах теории функций комплексного переменного Г.В. Колосова и Н.И. Мусхелишвили. В основу этих методов положено представление решения основных уравнений плоской теории упругости через две аналитические функции комплексного переменного. При помощи методов теории функций комплексного переменного и конформных отображений смешанные (контактные) задачи плоской теории упругости для ограниченных областей сложной конфигурации и неограниченных областей (полуплоскость, полоса, клин и др.) естественным образом сводятся к сингулярным интегральным уравнениям с ядром Коши. Гибкость и эффективность методов теории функций комплексного переменного Колосова—Мусхелишвили обеспечили им обширные приложения. Основополагающие смешанные (контактные) задачи плоской теории упругости однородных сред разрабатывались методами теории функций комплексного переменного Н.И. Мусхелишвили [100], Д.И. Шер-маном [159-160], Л.А. Галиным [50], А.И. Каландия [68], С.Г. Мих-линым [96], Г.Н. Савиным [147-149] и многими другими. Фундаментальные исследования плоских смешанных (контактных) задач опираются на теорию сингулярных интегральных уравнений, построенную Н.И. Мусхелишвили, Ф.Д. Гаховым, Н.П. Векуа, И.Н. Векуа, Д.И. Шерманом, С.Г. Михлиным и другими.
В работе А.Я. Александрова, Ю.И. Соловьева [5] метод аналитических и обобщенных аналитических функций комплексного переменного при помощи суперпозиции плоских состояний распространен на осесимметричную и другие пространственные задачи теории упругости.
Следующее направление исследования смешанных (контактных) задач теории упругости для ограниченных и неограниченных тел базируется на методах теории потенциалов, представляющих решение основных уравнений теории упругости в форме интегралов, взятых по поверхности исследуемого тела, от произведения фундаментального решения на плотность — интенсивность искомых контакт- ных напряжений. Фундаментальные обоснования этого направления исследований даны в монографиях В.З. Партона, П.И. Перлина [123-124]. При использовании методов теории потенциалов пространственные смешанные (контактные) задачи теории упругости для ограниченных и неограниченных тел легко сводятся к сингулярным интегральным уравнениям для плотностей потенциалов. Однако эти уравнения, в общем случае, до настоящего времени малоиз-учены.
Задача о давлении без трения жесткого штампа произвольной формы на упругое однородное полупространство сводится к интегральному уравнению первого рода для интенсивности давления штампа, для которого при определенных условиях доказано существование и единственность решения [123]. Построение этого решения (как аналитического, так и численного), в общем случае, связано с известными трудностями. При наличии осевой симметрии оно построенно И.Я. Штаерманом [161], В.И. Довноровичем [60].
В большинстве работ, минуя прямое обращение к интегральному уравнению первого рода, смешанные (контактные) задачи для однородного полупространства сводятся к смешанным задачам теории потенциала, среди которых одной из основных является задача для уравнения Лапласа в полупространстве, когда на одной части поверхности полупространства задана искомая гармоническая функция, а на другой — ее нормальная производная. В работах А.И. Лурье [89-90], Л.А. Галина [50] и других авторов смешанная задача для уравнения Лапласа строится различными методами в форме потенциала простого слоя и, одновременно с этим, находится плотность потенциала — интенсивность давления под штампом.
Вдавливание двух одинаковых гладких штампов в форме эллиптических параболоидов в упругое основание с двухслойным покрытием
Асимптотические методы — это методы построения решений интегральных уравнений первого рода, обладающих описанными выше свойствами, в форме асимптотических разложений по малому или большему характеристическому параметру исходной смешанной (контактной) задачи теории упругости. Асимптотические методы исследования контактных задач теории упругости впервые были предложены в работах И.И. Воровича, В.М. Александрова, Ю.А. Устинова [8, 10-11, 15, 28, 30, 49, 162]. Фундаментальному обоснованию и развитию асимптотических методов посвящены многие статьи и монография И.И. Воровича, В.М. Александрова, В.А. Бабешко [48], а также работы многих других исследователей [23, 27, 28, 95, 138]. В них построены эффективные асимптотические решения задач о давлении кругового и кольцевого в плане штампов на слой при отсутствии трения, плоские контактные задачи для полосы и клина без трения или сцепления в области контакта, родственные задачи о трещинах, и другие смешанные задачи.
Многие контактные задачи сводятся к интегральным уравнениям первого или второго рода на конечном или полубесконечном интервалах, которые эффективно решаются методами факторизации Винера-Хопфа и приближенной факторизации функций. Эти методы широко используются при построении асимптотических решений в работах В.М. Александрова, В.А. Бабешко, Г.Я. Попова [95, 138] и других исследователей.
В работах Б.Г. Пальцева [120-121] и В.Ю. Новокшенова [119] разработан аналог метода Винера-Хопфа для широкого класса интегральных уравнений свертки на конечном интервале, к которому сводятся многие задачи математической физики и, в частности, смешанные задачи теории упругости. Развитые в них методы позволяют, в частности, проводить качественные исследования интегральных уравнений свертки, например, изучать асимптотику спектра и собственные функции.
Известно, что прямое численное решение интегрального уравнения первого рода неустойчиво к малым изменениям свободного члена и относится к числу некорректно поставленных задач. В связи с этим, в последнее время интенсивно развивались методы регуляризации построения приближенных решений интегральных уравнений первого рода в работах А.Н. Тихонова, В.Я. Арсенина, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, и многих других авторов [95, 138, 151].
При построении решений методами интегральных преобразований контактные задачи, при отсутствии трения, и другие смешанные задачи теории упругости, в которых касательные напряжения в областях задания краевых условий для перемещений тождественно равны нулю, при наличии одной, двух, ..., п — 1 линий раздела краевых условий, сводятся, соответственно, к парным, тройным ,..., п-интегральным уравнениям, определенным на двух, трех, ..., п смежных интервалах, покрывающих в совокупности полубесконечный или бесконечный интервал.
Для парных интегральных уравнений, связанных с интегральными преобразованиями Фурье, Ханкеля, Мелера-Фока и другими, разработан ряд эффективных методов решения: метод доопределения (В. Noble [173], C.J. Tranter [176]), метод подстановки (Н.Н. Лебедев [87], J.C. Cooke [170]), метод регуляризации (Т. Carleman [168], В. Noble [173]), метод преобразующих операторов (В. Noble [174], А.А. Баблоян [37], C.J. Tranter [177]), метод теории аналитических функций (Э.Ч. Титчмарш [150], W. Busbridge [167], В.И. Массаков-ский [99], Б. Нобл [117]) и др.
Первое приложение метода парных интегральных уравнений с ядром Фурье-Ханкеля к неклассическим контактным задачам дано в работе Н.Н. Лебедева и Я.С. Уфлянда [87] (1958). Здесь осесим-метричная задача о давлении кругового в плане штампа на слой, при отсутствии трения, сведена к парным интегральным уравнениям, которые методом подстановки преобразованы к интегральному уравнению второго рода. Эта же задача решена И.И. Воровичем и Ю.А. Устиновым в работе [49], где парные интегральные уравнения методом
