Содержание к диссертации
Введение
1. Методы динамического расчета пластин 11
2. Математическая модель кусочно-неоднородной многослойной пластины 25
2.1. Основные гипотезы 25
2.2. Вариационная формулировка задачи 27
2.3. Конечноэлементная постановка задачи 28
2.4. Конечный элемент кусочно-неоднородной многослойной пластины . 30
2.5. Особенности реализации МКЭ-алгоритма 37
2.6. Суперэлементный подход к динамическому расчёту пластины 41
2.7. Выводы 49
3. Исследование собственных движений упругой платы 51
3.1. Положения нейтральной поверхности кусочно-неоднородной пластины. 51
3.2. Определение динамических характеристик реальных конструкций ... 55
3.3. Выводы 66
4. Модель кусочно-неоднородной многослойной пластины с учётом реологических свойств материала 67
4.1. Конечноэлементный подход при учёте реологических свойств 68
4.2. Суперэлементное моделирование 74
4.3. Упрощенная методика динамического анализа вязкоупругой пластины . 77
4.4. Определение динамических характеристик реальных вязкоупругих конструкций 86
4.5; Выводы .' 87
Заключение. 89
Приложение 91
- Конечный элемент кусочно-неоднородной многослойной пластины
- Суперэлементный подход к динамическому расчёту пластины
- Определение динамических характеристик реальных конструкций
- Упрощенная методика динамического анализа вязкоупругой пластины
Введение к работе
Современная техника характеризуется широким применением радиоэлектронной аппаратуры (РЭА). В настоящее время в РЭА наиболее распространённым является печатный способ монтажа, при котором комплектующие элементы (транзисторы, интегральные схемы, диоды, резисторы и т. п.) устанавливаются на печатной плате (1111) и соединяются между собой уже имеющимися на ней печатными проводниками - тонкими электропроводящими полосками, играющих роль монтажных проводов. Печатная плата представляет собой диэлектрическую пластину с печатными проводниками, расположенными на одной или двух сторонах пластины. Существуют односторонние, двусторонние, многослойные и гибкие ПП. Односторонним и двусторонним ПП присущи низкая плотность размещения навесных элементов, большие габариты и масса. Многослойные ПП, состоят из чередующихся слоев изоляционного материала с проводниками на двух и более слоях, между которыми выполнены необходимые соединения. При использовании многослойных ПП значительно увеличивается плотность монтажа без заметного увеличения габаритов [76, 79].
В качестве составных частей для производства ПП используются армирующий наполнитель, смолы, проводящий материал. Наибольшее распространение сейчас получил стеклотекстолит - слоистый пластик, состоящий из стеклоткани, пропитанной модифицированной фенолформальдегидной смолой. Для изготовления многослойных ПП применяются главным образом фольгированные диэлектрики (фольгированный гетинакс, фольгированный стеклотекстолит). В последнее время разрабатываются новые конструкторские варианты ПП [ 102]:
Использование в качестве основания ПП керамики; среднее число слоев до 10. Недостатком таких плат является усадка материала и хрупкость.
Платы на основе металлических подложек. Например, в качестве основания 1111 могут использоваться анодированные алюминиевые пластины,
окисная плёнка которых обладает хорошими электроизоляционными
свойствами. По своим теплофизическим и механическим характеристикам
і такие платы могут использоваться в условиях повышенных температур и
механических нагрузок.
В качестве комплектующих наибольшее распространение, в связи с успехами микроэлектроники, получили интегральные микросхемы (ИМС), представляющие собой монолитный кристалл, заключённый в корпус (имеются и бескорпусные ИМС с герметизирующим покрытием или без него). Распространены металлокерамические, керамические, металлостеклянные и пластмассовые корпусы главным образом прямоугольной формы [121]. В конструктивном отношении ИМС представляют собой многослойные системы, состоящие из полупроводникового кристалла и защитных слоев, существенно отличающихся своими механическими свойствами. С точки зрения электронной техники, ИМС - конструктивно законченное изделие, содержащее определенный набор электрически связанных между собой транзисторов полупроводниковых диодов, конденсаторов, резисторов и др. Совокупность ИМС с различным функциональным назначением образует основную элементную базу устройств вычислительной техники, телемеханики, связи, телевидения и многих других. Применение ИМС позволяет создавать многообразные виды электронной аппаратуры на принципах комплексной миниатю-ризации при существенном уменьшении массы, снижении энергопотребления, повышении быстродействия, надёжности и качества. Для ИМС характерно большое количество электрических выводов (до нескольких сотен), предназначенных для монтажа путём пайки или сварки. Кроме того, возможны клеевые соединения нижней лицевой поверхности ИМС с ПП [22, 62]. Размеры и жёсткость ИМС сравнимы с размерами и жёсткостью ПП, на которые они монтируются, что не может не сказываться на механических характеристиках последних.
Таким образом, современные ПП со смонтированными на ней комплектующими элементами (в частности - микросхемами) представляет собой
к-
кусочно-неоднородную пластину, состоящую из нескольких анизотропных или ортотропных слоев (обладающими в большинстве случаев вязкоупруги-ми свойствами) с различными вариантами закрепления по контуру. В дальнейшем под кусочно-неоднородной многослойной пластиной (КНМП) будем понимать пластину, толщина которой является кусочно-постоянной функцией (функция толщины) декартовых прямоугольных координат, единичные
векторы ij, i2 которой параллельны плоскости пластины. Будет справедли-
вым также следующее утверждение: лицевую поверхность КНМП можно разделить на ряд непересекающихся областей, в пределах которых толщина постоянна.
Многообразие направлений использования РЭА определяет широту условий её применения. При установке РЭА на подвижных носителях она подвергается сложному комплексу механических воздействий, которые существенно влияют на её' работоспособность [11, 13]. По данным литературных источников они вызывают до половины всех отказов РЭА, что связано с нарушением режима её функционирования и выводом из строя коммутационных связей [46, 50, 108, 120]. Все виды механических воздействий можно классифицировать на внешние и внутренние. Внешние воздействия определяются условиями транспортировки и эксплуатации аппаратуры на носителе.
К внешним механическим воздействиям относят: линейное ускорение, вибрации, многократные и одиночные удары. Под вибрацией аппаратуры понимают механические колебания её элементов или всей конструкции в целом. При этом опасными для её работы принято считать резонансные явления. Причины возникновения вибрации весьма разнообразны: работающие двигатели, различные электромеханические преобразователи, приводы антенн и т.п..
Основным несущим элементом РЭА, на котором крепится элементная база и имеется максимум коммутационных связей, является ПП. Поэтому, прежде всего, представляет интерес анализ влияния внешних воздействий на поведение последней.
Существуют два способа оценить поведение 1111 при приложении механических воздействий. Первый способ - это проведение лабораторно-стендовых испытаний (ЛСИ). Действие произвольно ориентированной нагрузки на лабораторном оборудовании моделируется поочерёдным нагруже-нием по трём взаимно перпендикулярным направлениям. При таком подходе не учитывается взаимное влияние нагрузок в разных плоскостях, которое может быть существенным. В ходе разработки проведение ЛСИ не всегда возможно на реальной конструкции. Кроме того, стоимость таких испытаний достаточна высока.
Вторая возможность - это анализ поведения ПП математическими средствами. Вопросы анализа поведения ПП при действии различных динамических нагрузок рассматриваются в специальных источниках, посвященных конструированию РЭА [22, 50, 62, 101, 131]. Чаще всего ПП моделируется однородной изотропной или многослойной (с различными свойствами изотропии в каждом из слоев) пластинами.
Коммутационная плата, содержащая такие миниатюрные электрора-диокомпоненты как постоянные резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности и др. с проволочными (круглыми) или ленточными выводами (сечение в виде тонкого параллепипеда) удовлетворяют расчётной схеме однородной пластины, так как жёсткость и масса как самих навесных элементов, так и монтажных выводов весьма мала и практически не сказывается на динамике пластины.
Что касается элементной базы высокой степени интеграции, то при небольших размерах ИМС (существенно меньших, чем размер самой платы), жёсткость последних не оказывает существенного влияния на динамическое поведение ПП. Для многих ПП нерегулярность расположения элементов на плате относительно невелика, разброс значений массы ИМС по поверхности ПП также невелик: он находится в пределах 10% [62]. Этот факт позволяет использовать следующий приём. При расчёте пластины вводится дополни-
t-
тельный слой (слои), масса которого равна сумме масс всех комплектующих,
смонтированных на плате. Константы упругости этого слоя нулевые, т.е. последний не сопротивляется механическим нагрузкам, так как в расчёте не учитывается жёсткость комплектующих. В случае значительного разброса массы и местоположения ИМС на плате в работу сил инерции при расчёте включаются члены, учитывающие массу комплектующих. Дальнейшее повышение степени интеграции элементной базы влечёт за собой увеличение, как массы, так и влияния жёсткости ИМС на динамику платы. В этом случае, как указывалось выше, поведение платы необходимо моделировать с помощью КНМП.
Пластины как объекты механики деформируемого твёрдого тела, их поведение под действием различных (в том числе динамических) нагрузок исследованы в работах СП. Тимошенко [106, 107], С.Г. Лехницкого [64, 65], П.М. Огибалова [82. 83], С.А. Амбарцумяна [3], А.С. Вольмира [20], Н.А. Алфутова [2] и др.
Отличительной особенностью общих зависимостей, отражающих напряженно-деформированное состояние (НДС) в пластинах, является сведение уравнений трёхмерной задачи теории упругости к уравнениям для двух измерений. Одним из путей приведения трёхмерной задачи к двумерной является принятие гипотезы недеформируемых нормалей (гипотезы Кирхгофа) [54]. Она состоит в общих чертах в том, что любое волокно, нормальное к некоторой поверхности пластины (в большинстве случаев это срединная плоскость) до деформации, остаётся после деформации прямым и нормальным к этой поверхности в её новом очертании. Схему НДС пластины, основанную на гипотезе Кирхгофа можно считать моделью первого приближения. Однако в некоторых случаях эта схема оказывается недостаточно полной. Например, в теории трёхслойных пластинок, средний слой которых весьма податлив к сдвигу, нельзя пренебрегать деформациями, соответствующими касательным напряжением вдоль нормали. Это относится также к пластинам из композиционных материалов со связующим, обладающим относительно малой жёсткостью на сдвиг [10,16,53].
В уточненной модели пластин в дополнение к «классическим» деформациям и силам инерции вводятся деформации, связанные с поперечным
і сдвигом и инерция вращения. Такую картину НДС можно рассматривать как
модель второго приближения. В литературе эту модель обычно связывают с именем СП. Тимошенко.
Динамический расчёт пластин сводится, как правило, к интегрированию дифференциального уравнения (или системы уравнений) движения, составленных на основе той или иной гипотезы. Широко применяются приближённые методы, основанные на минимизации некоторого функционала. В этом случае используется как непрерывная по площади пластины аппроксимация искомых функций (методы Рэлея-Ритца, Бубнова-Галёркина и др.), так и дискретная (метод конечных разностей, метод конечных элементов). В первом случае основная трудность состоит в выборе координатных функций, по которым разлагается искомое решение.
Для анализа динамических характеристик пластин, материал которых обладает вязкоупругими свойствами, используют, как правило, процедуру, состоящую в общих чертах в следующем. Предварительно решается линейная упругая задача о собственных колебаниях. Решение задачи с учётом наследственных свойств материала строится в виде разложения по найденным собственным формам колебаний упругой задачи. В результате проблема сво-дится к решению системы интегро-дифференциальных уравнений [61, 111, 122]. Основное преимущество такого рода разложений состоит в том, что собственные формы точно удовлетворяют граничным условиям и являются частью полной системы функций.
Однако, несмотря на значительное количество работ по теории пластин, вопросам исследования кусочно-неоднородных по толщине пластин уделено гораздо меньше внимания, нежели пластинам с постоянной или непрерывно изменяющейся толщиной.
Таким образом, анализ реакции ПП, моделируемых КНМП, на произвольные динамические воздействия, в частности определение частот собст-
венных колебаний, является актуальной научно-технической задачей. Актуальность решения таких задач объясняется в первую очередь запросами проектирования ІШ, так как неучет жёсткости комплектующих элементов может привести к неудовлетворительным результатам расчёта. Практическая важность решения этой задачи заключается в определении частотного диапазона функционирования РЭА, который исключает возникновение резонансных явлений.
Цель работы состоит в разработке метода определения динамических характеристик 1111, учитывающего жесткость установленных на ней элементной базы высокой степени интеграции, а также решении конкретных задач и анализе полученных решений на предмет обнаружения новых механических эффектов.
Диссертационная работа состоит из введения, четырёх разделов, заключения и приложения.
Первый раздел работы посвящен обзору существующих методов расчёта конструкций, моделируемых пластинами.
Во втором разделе описывается математическая модель КНМП, применительно к расчёту ПП, представлены гипотезы, используемые для описания поведения пластины, а также вариационная формулировка задачи динамики КНМП. Обосновано применение дискретных приближённых методов для решения возникающей в данном случае динамической задачи. Здесь же содержится описание дискретных методов, предназначенных для определения упругих частот и форм. Описывается конечный элемент КНМП, сформированный на основе смешанной вариационной формулировки. Подчёркивается преимущество данного КЭ перед построенным на основе вариационного принципа Лагранжа.
В третьем разделе приведены результаты расчётов разнообразных пластин, представляющих ПП, при различных вариантах закрепления. Рассматриваются вопросы точности и сходимости реализованной методики, производится сравнение динамических характеристик ПП, вычисленных по пред-
ставленной в работе методике и на основе существующих методов. Делается
вывод о целесообразности учета влияния жёсткости комплектующих на ди-
I намические характеристики печатной платы.
Также в этом разделе проведено численное исследование положения нейтральной поверхности КНМП с применением как МКЭ, так и МСЭ.
В четвёртом разделе представлена методика учёта вязкоупругих свойств материала ПП на основе полученного упругого решения. Описываются конечноэлементныи и суперэлементный подходы к решению данной задачи, с использованием модального разложения. Кроме того, предлагается альтернативный путь, представляющий собой компромисс между точностью получаемого решения и значительными вычислительными затратами, неизбежными при использовании методов из предыдущего раздела.
Заключение содержит перечень выявленных механических эффектов, а также краткое описание особенностей моделирования, влияние тех или иных характеристик печатных плат на динамическое поведение последних.
В приложении представлен графический материал как результат выполненных расчетов.
Конечный элемент кусочно-неоднородной многослойной пластины
Важнейшей характеристикой дискретных методов (и МКЭ в частности) являются параметры применяемого конечного элемента, поэтому рассмотрим в данном параграфе используемый КЭ. При дискретизации пластины совокупностью элементов, её составляющих, будут иметь место разнотипные по толщине и по количеству слоев, то есть имеющие разное количество слоев и, возможно, разную толщину указанных слоев, конечные элементы стыкуемые по нижней поверхности -пластины; Общая же их структура одинакова, то есть будет применяться один и тот же конечный элемент многослойной пластины, площадь которого не больше области, на которой функция толщины принимает то или иное постоянное значение. ; : ir Aou; с Л Итак, рассмотрим получение матричных характеристик конечных эле ментов, необходимых для формирования системы (2.3.1), используя вариаци-ї онную формулйровку:_смеіианного типа. В общем виде для КЭ "аппроксима ция перемещений выбирается в виде [14]: пч - 1 аппроксимация обобщенных деформаций записывается следующим образом: :-Т где {ф}, {W}- матрицы форм; q- вектор-столбец обобщенных узловых пе ремещений элемента; а- вектор столбец коэффициентов обобщённых де формаций. Условия (2.2.4) с учётом (2.4:1) и (2.4.2) позволяют получить сле дующие уравнения:;) После нахождения из второго уравнения системы (2.4.5) коэффициентов d и подстановки последних в первое уравнение, оно примет вид (2.4.8) определяет, матрицу жёсткости конечного элемента. Следует напомнить, что при решении задач р использованием несмешанных вариационных формули ровок (в частности функционала Лагранжа) матрица жёсткости КЭ определя Для ускорения сходимости решения матрица функций формы {ф} должна выбираться таким образом, чтобы при смещениях элемента как жёсткого целого в КЭ не возникали деформации. При удачном выборе функций формы ранг матрицы жёсткости элемента должен быть равен [14] где nq- размерность вектора обобщённых узловых перемещений элемента, пг- число независимых смещений как жёсткого целого (в данном случае пг= 6). При выборе в качестве функций формы полиномов для матрицы жёсткости КЭ в форме (2.4.9) условие (2.4.10) нарушается.
С точки зрения ухудшения сходимости решения этот факт не является существенным при расчёте однородных пластин. Однако при анализе КНМП погрешность достигает значительных величин, что подтверждается реальными числовыми примерами. В то же время, для матрицы жёсткости (2.4.8) добиться выполнения условия (2.4.10) достаточно просто. Это условие будет выполняться при na = nq — 6, где па- размерность вектора-столбца коэффициентов аппроксимации а, так как rang({K}) = min(nq, na). Простейшим конечным элементом, для которого соблюдается согласованная аппроксимация перемещений и деформаций, является треугольный конечный элемент с шестью узловыми точками [14] (рис. 1). обобщенных узловых перемещений nq= 30. Матрица жесткости и матрица масс имеют размерность (ЗОх 30). Представим вектор обобщенных узловых перемещений элемента q в виде где qm = u ,v ,w ,0 ,6 l - вектор-столбец обобщённых перемещений і-го узла. Матрица функций формы Ф(х,у)} имеет размерность (5x30) и в блочном матричном виде записывается следующим образом: Интегрирование по треугольной области в (2.4.6) проводится с помощью двумерных квадратурных формул Гаусса [8]. Далее в этом разделе излагается несколько модифицированный алгоритм формирования глобальных матричных характеристик ансамбля конечных элементов. Классический способ построения глобальных матриц жёсткости (масс) предполагает два этапа: 1. Собственно формирование матрицы на основе соответствующих матриц конечных элементов. 2. Наложение кинематических связей, снижающих порядок разрешающей системы уравнений. Наиболее распространёнными являются однородные кинематические связи (краевые условия): шарнирное и свободное опирання, заделка, их комбинации по различным сторонам пластины и т.д. В этом случае часть или все компоненты вектора перемещений узла равны нулю. Техническая реализация таких краевых условий проста: достаточно непосредственно исключить из уже сформированной матрицы жёсткости (масс) строки, имеющие тот же номер, что и нулевые перемещения, определяемые уравнениями связей (процесс конденсации). Но в подобной ситуации возникает необходимость хранить в памяти ЭВМ в процессе формирования системы уравнений две матрицы - исходную и удовлетворяющую краевым условиям. Это не имеет принципиального значения, когда порядок преобразуемых матриц относительно невелик. Однако с увеличением размерности матриц могут возникнуть существенные затруднения, связанные как с проблемами нехватки памяти ЭВМ, так и со значительными временными затратами (временные затраты могут быть обусловлены схемой хранения глобальных матричных характеристик: хранение только ненулевых компонентов, учёт симметрии и т.д.). і В связи с этим предлагается следующий подход. Вводится логический вектор (вектор граничных условий (ВГУ)) размерностью равной размерности матрицы жёсткости (масс) без удовлетворения краевых условий. В данном векторе каждый компонент соответствует тому или иному компоненту вектора узловых перемещений конструкции.
Так как некоторые компоненты глобального вектора перемещений равны нулю в соответствии с краевыми условиями, этот факт отражается в ВГУ посредством присвоения нуля (или единицы) надлежащему компоненту этого вектора. Таким образом, ВГУ содержит информацию о конкретном типе однородных краевых условий, используемых в расчёте. Далее, исходя из информации, хранимой в ВГУ, строится целочисленный вектор индексов перемещений конструкции (ВИПК) размерностью равной размерности конденсированной глобальной матрицы жёсткости (масс). В данном векторе каждый элемент соответствует ненулевому значению компонента глобального вектора узловых перемещений и содержит величину, равную номеру строки в конденсированных матричных характеристиках. ВГУ и ВИПК (использование двух разнотипных векторов рационально с точки зрения программирования) содержат информацию, позволяющую непосредственно формировать конденсированные глобальные матрицы жёсткости и масс: процесс построения матриц идёт по классическому алгоритму, но номера строк и столбцов формируемых матриц являются, кроме всего прочего, функциями ВИПК. Таким образом, удаётся существенно упростить трудоёмкий (при больших порядках матричных характеристик) этап удовлетворения краевым условиям, что положительно сказывается на общей эффективности всего расчёта.
Суперэлементный подход к динамическому расчёту пластины
Основные идеи МСЭ были впервые изложены в работе Пржеминицко-го [91]. Автор предложил рассчитывать авиационные конструкции, предварительно разделив их на несколько составных компонент, подконструкции. Такой подход позволяет использовать наиболее эффективные расчётные приёмы для анализа отличающихся по своему составу и условиям работы отдельных частей конструкции самолёта. Идеи Пржеминицкого получили своё дальнейшее развитие в работе Мейснера [71], который придал им формализованный вид. Дальнейшему развитию основных идей метода, повышению эффективности его практического использования посвящен ряд более поздних работ американских, японских, норвежских и российских специалистов [74, 88]. Итак, на данном этапе моделирования рассмотрим совокупность конечных элементов, дискретизирующих область кусочно-неоднородной пластины, внутри которой функция изменения толщины постоянна. Разделим узловые параметры подструктуры на внутренние и стыковочные, обозначив их соответственно индексами ins. Тогда представим вектор узловых перемещений q, фигурирующий в уравнении (2.7), в виде где (Jj- вектор перемещений внутренних узлов, qs- вектор перемещений стыковочных узлов. Матрицы жёсткости и масс запишем в блочном виде: Аналогично, для работы внутренних сил упругости получим следующее вы ражение: Группируя сомножители при 5(j и 5qs, получим систему матричных В полученном уравнении матрица {Wce(co) может быть названа мат-рицей динамической жёсткости суперэлемента. Она обладает симметрией (в силу {Ws;} = Wis} ), положительной определённостью и ленточной структурой [73]. Так как ранее предполагалось, что совокупность КЭ, представляющая суперэлемент, дискретизирует какой-либо участок с постоянной толщиной, то в силу вышесказанного можно утверждать, что каждый СЭ соответствует определённому комплектующему элементу, смонтированному на ПП.
При этом СЭ содержит информацию о динамической жёсткости области печатной платы, на которой установлен тот или иной электронный элемент, причем вышеупомянутая область ПП имеет тот же размер в плане, что и смонтиро данный комплектующий. Область ПП с постоянной толщиной, но свободной от элементной базы, также можно представить в виде СЭ. Объединение СЭ в единый ансамбль осуществляется по алгоритму, что и в МКЭ, с суммированием компонент, имеющих одинаковый физический смысл [37]. Разрешающая система в МСЭ имеет невысокий порядок, равный произведению числа стыковочных узлов на 5 (количество степеней свободы узла). Повторяющиеся части конструкции (одинаковые или имеющие одни и те же механические характеристики) представляются типовым описанием и в процессе расчёта могут использоваться многократно, что существенно снижает вычислительные затраты при расчёте конструкции на ЭВМ. Кроме того, построенные таким образом СЭ, состоят из совершенно однотипных КЭ, т.е. имеющих одинаковые количество и толщину слоев, одни и те же жесткостные и инерционные характеристики, что значительно облегчает алгоритмизацию данной СЭ-модели, подготовку исходных данных для неё, а также формирование матричных характеристик для СЭ. Имея выражение для матрицы жёсткости суперэлемента, можно решить проблему собственных значений для ансамбля суперэлементов в заданном частотном диапазоне при однородных кинематических граничных условиях путём решения характеристического уравнения где символ обозначает наложение однородных краевых условий по стыковочным узлам. Как указывалось выше, матрица динамической жёсткости обладает всеми свойствами, характерными для матриц жёсткости (масс) в МКЭ, что позволяет применять при решении уравнения (2.6.15) ранее разработанное программное обеспечение для МКЭ-задач.
Таким образом, МСЭ представляется весьма эффективным средством для динамического анализа ПП, моделируемых КНМП. Однако в вышеописанном подходе имеется недостаток, который при алгоритмической реализации МСЭ, может привести к существенным вычислительным затратам и потерям времени. Имеется в виду операция обращения матрицы {WJJ(CD)}. Последняя содержит информацию о внутренних узлах суперэлемента и имеет много больший порядок, чем матрицы {Wis(co)}, (Wis(co)} и {Ws»}. Воспользуемся в связи с этим несколько модифицированным модальным разложением [37, 56]. Предположим, что известны собственные формы рассматриваемой совокупности конечных элементов при однородных, краевых условиях. Пусть {Н}- матрица, составленная из вышеупомянутых собственных форм. При объединении ансамбля КЭ в единую конструкцию посредством стыковочных узлов, необходимо удовлетворить неоднородным краевым условиям в последних. Тем самым, движение произвольной внутренней точки ансамбля КЭ (или СЭ) можно представить разложением на два движения [38]: 1. Переносное, связанное с неоднородными кинематическими краевыми условиями. 2. Относительное: движение точки относительно стыковочных узлов. В этом случае матрица Н составляется из собственных векторов обобщённой проблемы собственных значений вида, имеющий следующий вид:
Определение динамических характеристик реальных конструкций
Так как в формируемых суперэлементах при моделировании 1111 присутствуют различные по толщине конечные элементы, стыкуемые по нижней поверхности (в силу несимметричного строения пластины по толщине), представляется интересным с точки зрения МДТТ определение положения нейтральной поверхности пластины. Под нейтральной поверхностью в данном случае будем понимать геометрическое место точек, в котором равна нулю интенсивность деформации. Последняя, как известно, при сложном деформированном состоянии представляется в виде [109]: (3.3.1) где Є;:- компоненты тензора деформации. При учёте поперечных сдвигов следует положить только е33 =0. Принимая во внимание выражения (2.1.2), после очевидных преобразований приходим к формуле для интенсивности деформации: z - координата, отсчитываемая от начальной поверхности. Таким образом, положение нейтральной поверхности разыскивается из уравнения -- Очевидно, что физический смысл имеют только вещественные положительные корни уравнения (3.3.3). В случае двух положительных корней берётся их среднее арифметическое. Конфигурация исследуемой пластины показана на рис. 2.
В качестве граничных условий принято свободное опирание по контуру пластины. Упругие характеристики последней: ]И=0.3, Е=200ГПа. Использовались МКЭ, МСЭ, с тем, чтобы сравнить результаты расчётов. При дискретизации пластины применена неравномерная разбивка на конечные элементы, чтобы проводить более глубокое изучение области ступенчатого изменения толщины. Некоторые из параметров, характеризующие данные методы приведены На представленных ниже графиках (рис. 2,3) точками обозначено положение нейтральной поверхности (НП) в сечении Y = 100 мм пластины, вычисленной с помощью МКЭ. Сплошной линией оказано сечение пластины. Таблица 3 представляет результаты МКЭ - и МСЭ-расчётов и их сравнение. Таким образом, представленная выше методика анализа динамики упругих кусочно-неоднородных пластин, сочетая в себе преимущества модального разложения и дискретных численных методов (МКЭ, МСЭ), позволяет осуществить построение математических моделей КНМП практически любой конфигурации при разнообразных видах закрепления по контуру. Правомерность применения дискретных методов подтверждается положением нейтральной поверхности: на значительном удалении от ступенчатого изменения толщины поверхность стремится к вычисленной аналитически для однородной пластины.
Исследованиям подвергались четыре варианта печатных плат с уста новленными на них микросхемами. Платы моделировались КНМП, конфигу рация и расчётная схема которых представлены на рис. 5 - 6. В таблице 4 указаны размеры (в миллиметрах) плат и микросхем в плане, а также тип граничных условий. Рисунок 7 представляет модель поперечного сечения участка платы с установленной на ней микросхемой. Таким образом, участки платы свободные от ИМС дискретизируются конечными элементами, имеющими один слой, а участки с установленными ИМС - имеющими пять слоев. В таблице 5 приведены упругие константы и плотности используемых материалов. Модули Юнга и сдвига указаны в гигапаскалях, плотность - в килограммах на кубометр. Полихлорвинил, кремний, эпоксидная смола предполагаются изотропными, стеклотекстолит — ортотропным. Последовательность нахождения упругих частот следующая: 1. Применение МКЭ с количеством конечных элементов до максимально возможного. 2. Применение МСЭ. Этот этап предполагает как увеличение количества мод в разложении (2.6.17), так и общего числа КЭ. Исходным служит количество КЭ, максимальное на предыдущем этапе. Такой подход позволяет оценить погрешность результатов и установить характер сходимости как МКЭ, так и МСЭ при анализе КНМП. Кроме того, в целях сравнения скорости сходимости дискретных мето дов при расчёте КНМП и однородных пластин в таблице 6 приведены ре зультаты расчётов однородной ортотропной стеклотекстолитовой пластины, (матрица жесткости КЭ строилась с использованием смешанной вариацион ной формулировки, параметры материала - в таблице 5).
Упрощенная методика динамического анализа вязкоупругой пластины
Помимо очевидных преимуществ дискретных методик, описанных в предыдущих параграфах, с точки зрения алгоритмизации учет вязкоупруго-сти вносит существеннейшие затруднения, так как компоненты матрицы релаксации являются функциями круговой частоты, что вынуждает формировать последние на каждом шаге итерационного процесса нахождения корней уравнения (4.1.21). Этот печальный факт вызывает огромные вычислительные и соответственно временные затраты даже при использовании наиболее современных ЭВМ. Существенным фактором при этом является выбор при решении уравнения (4.1.21) начального приближения. Использование упругих частот,в качестве таковых, вне всякого сомнения, уменьшает количество итераций, необходимых для нахождения частот с заданной точностью, но всё же объём вычислений ив этом случае велик.
Нельзя, также, не отметить и то, что компоненты модальной матрицы релаксации, и, следовательно, компоненты МПФ при применении МКЭ и матричные характеристики СЭ, есть комплексные числа. Получение вязкоупругого решения с достаточной степенью точности становится в силу этого весьма затруднительным. Основной причиной, из-за которой возникают вычислительные трудности, является заполненность МПФ. С механической точки зрения МПФ определяет взаимосвязь мод колебаний. С точки зрения оптимизации конструкции взаимосвязь мод колебаний является положительным фактором, так как позволяет управ лять распределением энергии по модам и обеспечить наибольшие демпфирующие характеристики конструкции в целом. [67, 68]. С другой стороны взаимосвязь модальных уравнений обуславливает вышеупомянутые затруднения, что не всегда оправдано для такой распространенной ситуации, как предварительный анализ вариантов конструкции в рамках САПР: часто уже по предварительным результатам можно отбросить заведомо неприемлемые результаты, то есть для конечного пользователя может оказаться полезным получить характеристики возможно большего количества вариантов конструкции за возможно меньшее время, пусть даже и в ущерб точности. После отбора приемлемого по некоторым формальным и неформальным критериям варианта его можно проанализировать более подробно, используя полную форму (4.1.18) и, возможно, более сложные модели. Для обоснования таких экспресс-вариантов оценки динамических характеристик конструкции полезно рассмотреть возможность приведения матрицы (4.1.18) к диагональной форме, пренебрегая взаимодействием мод, теряя точность расчетов, но существенно увеличивая быстродействие системы расчетов в целом.
Приступим теперь к анализу условий, при которых возможно существование диагональной формы МПФ в рамках МКЭ. С этой целью запишем выражение для вектора изображений модальных коэффициентов для случая свободных движений, принимая во внимание формулы (4.1.17) и (4.1.19): или, используя теорему о дифференцировании изображений [27, 51, 109]: В предыдущем разделе были определены выражения для начальных значений модальных коэффициентов и их производных по времени через векторы начальных условий по узловым перемещениям и по узловым скоростям (формулы (4.1.20)). Эти выражения показывают, что если функция q(t) является одной из собственных форм сопряженного упругого тела, то только один из модальных коэффициентов будет отличен от нуля (по свойству ортогональности собственных форм). При заполненной МПФ из (4.3.3) на основании вышесказанного получается, что вектор изображений модальных коэффициентов является одним из столбцов МПФ и содержит некоторое количество ненулевых компонентов. Таким образом, движение в любой момент наблюдения будет представляться линейной комбинацией мод. Этот случай будем называть общим. Если же МПФ диагональная, то вектор а будет содержать только один ненулевой компонент, а именно, тот, номер которого совпадает с ненулевым в начальных условиях. Отсюда следует, что если при диагональной матрице возбудить движение по одной из мод, то форма движения будет соответствовать ей в любой момент наблюдения. Иными словами, в этом случае моды есть собственные формы не только сопряженного, но и исходного вязкоупругого тела. В дальнейшем такой случай будем называть вырожденным. Аналогичные рассуждения справедливы и для непрерывного поля перемещений [12]. Рассмотрим теперь изотропное вязкоупругое тело. Как известно [47],его реология характеризуется двумя независимыми функциями времени - ядрами объемной Tv и сдвиговой Ts релаксации. Так как моды являются собственными формами линейно-упругого оператора Ламе [47, 109] с добавлением сил инерции, то установить условия существования вырожденного случая можно, анализируя возможность разделения переменных в вязкоупру-гом аналоге упомянутых уравнений:
