Введение к работе
Актуальность темы. Современный системный анализ и теория автоматического управления широко использует и в значительной степени стимулируют исследования в теории случайных процессов, особо выделяя наряду с другими разделами исследование марковских процессов с конечными или счётными множествами состояний.
Марковские процессы естественно возникают, например, в задачах массового обслуживания, распознавания образов и ряде иных областей.
Довольно новым предметом теории случайных процессов являются случайные семейства однородных (во времени) цепей Маркова (ССОЦМ), т.е. множества марковских процессов, параметры которых, в частности интенсивности переходов и начальные распределения, выступают в качестве не зависящих от времени случайных величин. Такие задачи естественно возникают при рассмотрении типичных характеристик целых классов в каких-то отношениях равноценных систем или при анализе их параллельного функционирования.
С формальной точки зрения проблематику ССОЦМ можно рассматривать как раздел теории марковских процессов, занимаюаиися процессами с большими пространствами состояний, полагая в качестве состояний новых процессов пары из состояний "старых" конкретных процессов и "номеров" .случайных конфигураций, где протекает каждый из этих процессов. Однако встающая при такой переформулировке задача усреднения по частичной информации о состояниях представляется не очень естественной, что в высшей степени оправдывает Еыделение теории
ССОЦМ в самостоятельный раздел теории случайных процессов.
Сходные по математической постановке задачи возникает и в физике конденсированных сред, где много интереснейших проблем связано со случайными блужданиями различных по своей природе возбуждений на неоднородных кристаллических решётках или таких модельных структурах как дерево Кэли (решётка Бете), ковёр Серпинского и др..
К сожалении большее число относящихся к этой области статистической физики твёрдого тела математических проблем не имеет корректного решения, тем более, что наряду с традиционно важнейшей задачей получения главных членов долговременной асимптотики наблюдаемых величин весьма злободневно получение и последующих членов. С цельв преодоления этих трудностей предлагались "полуматематические", основанные на физических гипотезах подходы. Используется также и моделирование на ЭВМ.
На нынешней стадии развития теории ССОЦМ и, в частности, случайных блужданий в неупорядоченных средах ССБИС) большой интерес вызывает нетривиальные точно решаемые модели. Сохраняя некоторые черты реальных систем, они показывает возможные эффекты, связанные с "двойной случайностью" как самого процесса так и условий его протекания (например блужданий и среды этих' блужданий). Другое важное Назначение точно или асимптотически С при L - + оо ) точно решаемых САТР) моделей состоит в том, что они позволяет проверять и корректировать полуматематические подходы и алгоритмы машинного моделирования.
Физиками CJ.Bernasconi et at.; R.Zwanzig; P.J.H.Denteneer, M.H.Ernst) и математиками СЯ. Г.Синай; В.В. Аншелевич, К.М.Ханин, Я.Г.Синай; G.F.Lavler; R. Kunnemann; С.М.Козлов, С.А.Молчанов; А. В. Лётчиков; J.Bridcmcnt, A.Kupiainen; И. С. Синева и др.) были
предложены различные семейства моделей, для которых доказывалась диффузионность, асимптотики, т.е. сходимость к нормальному распределение, хотя и не всегда давались удовлетворительные методы расчёта теизора диффузии. Более существенным с физической точки зрения недостатком этих моделей является то обстоятельство, что в них, наряду с другими нереалистичными ограничениями, интенсивности переходов между узлами либо имеют конечный радиус,'либо очень быстро убывают на бесконечности.
Таким образом современное состояние теории ССОЦМ и СБИС наряду с исследованием реальных систем предполагает особое внимание к АТР моделям.
Упомянем ещё одну важную область применения теории СБИС -усреднение дифференциальных операторов, где они используются для выбора более естественной дискретной аппроксимации усредняемых непрерывных систем.
В лаборатории нейтронной физики Института Теоретической и Экспериментальной Физики в течение многих лет ведутся разнообразные теоретические и экспериментальные исследования по физическим проблемам СБИС и, в частности, по применению к ним методов теории цепей Маркова. В частности данная работа содержит результаты, полученные в рамках этого цикла исследований.
Цели исследования. Изучение, некоторых. классов случайных семейств необрываюнихся ступенчатых однородных Сво времени) цепей Маркова с непрерывным временем и счётным множеством состояний, заданных распределениями своих генераторов и начальных мер. При этом ставятся следующие задачи.
I. Получить для ССОЦМ, заданных своими случайными инфинитезимальными операторами и описывающие ряд реальных систем СБИС, удобные способы расчёта поведения усреднённых вероятностей
переходов (корреляторов) на временах, когда ряды Тейлора по времени становятся неэффективны. Построить и исследовать аналитические свойства физически осмысленных приближений усреднённых корреляторов в реальных системах
II. В предложенных ранее моделях ССОЦМ с' формально рассчитанными Сно не всегда строго обоснованными) главными членами асимптотического разложения усредненных по случайности среды корреляторов строго математически получить эти, а также и последующие члены. Предложить новые АТР модели с более реалистичными свойствами случайности среды протекания процессов.
Кратко обрисуем использованный математический аппарат.
При получении и исследовании разложений конфигурационно усреднённых вероятностей перехода, описывающих реальные физические процессы случайных семейств регулярных цепей Маркова [Ш1, 2, 4, 5], элементарные комбинаторные методы сочетались с теорией линейных операторов, естественно возникающей в связи с прямыми или обратными уравнениями Колмогорова для марковских процессов с непрерывным временем и счётным множеством состояний С в физической литературе прямые уравнения Колмогорова чаще называют кинетическими уравнениями, ч уравнениями баланса или master equation). Использовались методы асимптотического анализа и прежде всего абелевы и тауберовы теоремы [Ш61. Весьма полезен оказался метод Эвальда, основанный на преобразовании Пуассона, и удачно обобщающий идею, предложенную Риманом в его выводе уравнения для С-функции.
Научная новизна и практическая ценность. Для реальных систем случайных блужданий различного рода возбуждений на подмножествах примесных узлов кристаллической решётки даны различные способы разложения усредненных по случайностям среды
вероятностей условных переходов в ряды Тейлора по концентрации примеси [Ш1, 2, 4, 5]. Доказана сходимость этих разложений во всей комплексной плоскости. Этим, в частности, объясняется эффективность описания реальных процессов на умеренно больших временах двумя или тремя первыми членами концентрационного ряда. СИмеется в виду область времён, когда разложение в ряд Тейлора по времени усреднённых по распределениям случайной среды наблюдаемых уже- крайне неэффективно, однако асимптотическая стадия ещё далеко.) Предлагается приближённые описания реальных процессов, и с помощью выводимых в этих приближениях замкнутых уравнений доказывается аналитичность соответствующих аппроксимаций конфигурационно усреднённых корреляторов цепи Маркова Ш4].
. Впервые предложена нетривиальная АТР модель СБИС с дальнодействием, т.е. медленным спаданием интенсивностей переходов при росте расстояний между узлами. Для неё, а.также для других нетривиальных моделей СБНС, в которых прежде были формально получены главные члены асимптотических разложений средних корреляторов, строятся асимптотические разложения больших времён [Ш6]. Кроме того предлагается существенно более широкий класс АТР моделей СБНС с трансляционно инвариантными Си некоторыми другими) распределениями случайности среды блужданий, допускающих столь же полное описание [7І. Модели этого класса могут иметь, в частности, более высокую связность и более разнообразные . симметрии в распределении случайности среды блужданий.
Особо подчеркнём, что во всех перечисленных АТР моделях с заметным дальнодействием подтверждается выдвинутое Ф.С.Джепаровым С1980) и подтвердившееся экспериментально. СШ31
положение о том, что выходу на асимптотическую, диффузионнуп стадии затухания корреляторов предшествует временной отрезок, на котором происходит заметно более медленное изменение. При этом, что также предсказывалось, с увеличением беспорядка данное явление лишь усиливается.
Применение и приспособление указанного математического аппарата привело к ряду обтематематических результатов. Отметим любопытные резольвентные тождества [14,61. Получена новая удобная оценка I -нормы резольвенты цепи Маркова с Ij-ограниченным генератором [6], Получены некоторые уточнения абелевых теорем о преобразовании асимптотических разложений в области малых частот (значений резольвенты вблизи нуля) в разложения больших времён [Ш61.
В работе впервые предложено полное асимптотическое разложение для корреляторов однородного марковского процесса с медленно убывающими с расстоянием интенсивностями переходов [Ш63. Отметим, что сходные методы практически непосредственно переносятся на случай дискретного времени и дают полное разложение в центральной предельной теореме для суммы независимых и одинаково распределённых целочисленных векторов со степенным убыванием распределения на бесконечности.
С помощью изложенных в работе методов были рассчитаны средние корреляторы в реальных системах СБИС, оказавшиеся в хорошем согласии с результатами физических экспериментов на умеренно больших временах [Ш1, 11141. Предложенные методы оказались столь же эффективны в исследовании ряда случайных семейств процессов с возможной гибелью блуждающих объектов, а также случайных семейств нестационарных процессов СШ41.
Исследование и построение новых АТР моделей ССОЦМ и СБИС
[Ш7] позволяет уточнять и лучше обосновывать - предлагаемые по'луматематические подходы. А это, в cbod очередь, помогает правильно планировать и проводить физические и численные эксперименты и точнее оценивать получаемые в них результаты СШ31. Сходные идеи оказались полезны и в построении первых нетривиальных АТР моделей колебаний решётки, с изотропным распределением силовых матриц С Ш7].
На защиту выносятся следующие основные положения и
результаты:
1) Построение разложений' усреднённых корреляторов для ряда физически значимых систем по целым положительным степеням концентрации (относительной плотности} случайных подмножеств, на которых протекагзт соответствующие СБИС.
23 Доказательство корректности и эквивалентности разных форм концентрационного разложения в рассматриваемых физических системах.
3) Доказательство аналитичности средних корреляторов, рассматриваемых физических систем при всех (физических или нефизических) значениях концентрации.
43 Доказательство аналитичности по концентрации для ряда физически естественных приближений средних корреляторов вышеуказанных систем, и получение замкнутых уравнений на эти приближения.
53 Построение и строгое обоснование в пространственно однородной цепи Маркова с непрерывным временем и со степенным убыванием интенсивностей переходов при увеличении расстояний между узлами: а) разложения Фурье-образа генератора вблизи нуля, 63 асимптотического разложения коррелятора на конечных расстояниях и больших временах,. вЗ разложений Лаплас-образов
степеней коррелятора (производных резольвенты процесса) и других в приложениях к неупорядоченным системам величин при близких к нулю значениях параметра Лапласа.
-
Доказательство удобной оценки 1: -нормы резольвенты цепи Маркова с непрерывным временем и с 11 -ограниченным генератором.
-
Построение нетривиальной АТР модели СБНС со степенным дальнодействием.
8) Построение в АТР моделях CC0IIM с известными ранее
главными членами асимптотики больших времён для усреднённых по
случайностям среды корреляторов также и дальнейших членов Счисло
которых зависит от характера случайности среды) асимптотических
разложений.
9) Получение нового, существенно более широкого класса АТР
моделей ССОЦМ, вклсчасщего системы с более высокой связность*) и
более разнообразными симметриями в распределении случайности
среды.
Апробация работы.
Материал диссертации докладывался на семинарах в 1ТГЭФ, ИХФАН, ФИАН, ИОФАН, МГУ Сна кафедрах теории вероятностей и физики полупроводников), обаемосковсксм семинаре "Проблемы магнитного резонанса", на всесоюзных и международных конференциях и школах і Международней Школе по Физике Сверхтонких Взаимодействий СБехин, Чехословакия, 1932), на II Международной Конференции по Прыжковому Перенесу (Братислава, Чехословакия, 1987), на общей конференции Отделения Конденсированных Сред Европейского Физического Общества (Лиссабон, Португалия, 1990) и др.
Публикации. Основные результаты изложены в работах [1Д1-Ш7] прилагаемого списка литературы.
Объём и структура диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы, включающего 75 наименований. Объём работы 108 стр., включая оглавление и список литературы.
Похожие диссертации на Случайные семейства цепей Маркова и кинетика возбуждения в неупорядоченных системах
