Функциональные методы качественного анализа нелинейных систем управления Покровский, Алексей Вадимович

Введение к работе

Актуальность работы. К классическим проблемам теории управ-.
ления относятся таїше аспекты качественного исследования диффере-
іщиал.ьішх уравнений, описывающие динамику систем управления, ішк
анализ устойчивости состояния равновесия или периодического режи
ма, анализ грубости системы по отношению к возмущению различных,
параметров л т.п. В последние годы возрос интерес к анализу ука
занных проблем для существенно нелинейных систем. Это обстоятель
ство связано как о внутренней логикой научного развития, так и с
внешними для теории управления факторами. Повышение требований к
качеству функционирования систем потребовало учета сложных нели-
нейнротеи, присущих jrcaic управляемым объектам, так и управляющим
устройствам; при этом развитие элементной базы и широкое внедре
ние ЭВМ позволило реализовать сложные нелинейные рецепты регули
рования. ^у

Задачи об устойчивости, диссипативности и грубости систем дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений, возникающих при анализе систем регулирования, имеют ярко выраженную специфику по сравнению с аналогичными задачами других областей техники и естествознания, .связанную, в частности, с необходимостью, использования особнх операторов, моделирующих наиболее распространенные звенья регулируемых систем. К таким операторам (кроме операторов линейного звена) отнооятоя нелинейности типа идеальных и пеидеальшгх реле, более сложные разрывные звенья; характерны звенья с зоной нечувствительности типа люфта и звенья с насыщением типа упора; приходится учитывать гисторезисіше свойства распространенных ферромагнитных элементов (магнитных сердечников); разнообразные пластические эффекты и др. Необходимо исследование общих свойств, присущих системам из достаточно обширных совокупнос-

І-І

тей. Такая постановка задачи связана как о зашумленностью управлявших устройств, так и о задачей выбора из широкой совокупности систем той, которая является наилучшей (или приемлемой) по соответствующему критерию. При анализе устойчивости и диссинативноо-ти моделей управлянцих систем часто не играют роли наводящие "энергетические" соображения, столь важные при анализе систем, имеющих чисто физическое или механическое происхождение. Ваяно, чтобы результаты исследования допускали интерпретацию в терминах просто определяемых и общеупотребительных характеристик звеньев . системы (в частности, для линейных звеньев роль таких характеристик играют передаточная функция и частотные характеристики).

В настоящее время развиты эффективные методы качественного, анализа ряда задач, связанных с исследованием режимов в нелинейных системах управления (задачи теории абсолютной устойчивости, теории инвариантности и др.). В последние годы обрисовался новый круг вопросов, тесно связанных о классическими задачами теории .:: управления, плохо поддающихся исследованию при помощи традиционных методов. Укажем три такие вопроса.

Использование традиционной техники оказалось затруднительным при изучении колебательных режимов в системах, содержащих од-., новременно функциональные нелинейности и гистерезисные нелинейноо-ти (особенно сложные гистерезисные нелинейности типа описываемых моделями Ишлияского, Беооелинга, Прейзаха.- Талтая и т.п.).

Проблема абсолютной устойчивости является частным случаем более общей задачи об эффективных оценках выходных сигналов систем, при гарантированных оценках отклонения от нуля входных сиг-., налов. Получение на основе традиционных методов таких оценок, согласованных с классическими критериями абсолютной устойчивости уші рается в необходимость эффективного построения соответствующих фу-

няшй Ляпунова или оценок геометрических .характеристик их поверх
ностей уровня. Такую информацию пока, по-видимому, удается полу
чать лишь численно. >

- При изучении систем с сильными нелинейностями типична ситуация, когда изучаемая система имеет не один, а несколько колебательных режимов. В связи с этим возникает вопрос о нахождении ограничений на линейную часть рассматриваемой системы и класс не-линейностей, гарантирующих наличие по крайней мере одного асимптотически устойчивого режима. Нужны и приспособленные для рассматриваемой ситуации методы расчета устойчивых режимов.

Трудности, возникающие при рассмотрении указанных задач и других родственных проблем теории управления имеют общую природу» Для их преодоления нужны методы конструктивного учета такой информации о входных сигналах, как их оценки по равномерной норме; таких обнаруженных в последнее время свойств гистерезискых звеньев (люфтов,.упоров и более сложнах) как их корректность по отноше^ кии к щумам малой амшштудц, специалышх свойств монотонности операторов гистерезисных преобразователей.

Актуальна задача разработки нового направления в методах исследования качества нелинейных управляемых систем, учитывающего специфику возникаюцих в теории управления задач и использующего указанную в предыдущем абзаце информацию.

Цель работы. Наработка методов качественного анализа управляемых систем, основанных на операторной трактовке звеньев системы и применимых для исследования систем с гистерезнсными и разрывными нелинейностями.

Методы исследования. Методологическая оонова настоящей работы

заключается в комбинированном использовании традиционных методов Ї-2

.-4-

теории управления и теории обыкновенных дифференциальных уравнений с одной стороны и современных методов линейного и нелинейного,, функционального анализа (в первую очередь, методов теории подуупо-рядочешшх проотранств) о другой стороны.

Связь с плановыми работами. Диссертационная работа выполня--
лась в соответствии с планом научно-исследовательских работ Инсти
тута проблем управления в рамках тем "Разработка математического
аппарата исследования динамики непрерывных и дискретных систем
управления" (Л гос. регистрации 76083303), "Іазработка новых мето
дов исследования динамики систем управления со сложными нелинейно-
стями" (К тоо. регистрации 81073445), утвержденных Мшприбором
СССР. . .

Научная новизна. Развитый в диссертации подход к качественному анализу нелинейных систем управления, основан на трех ноъвх конструкциях. Во-первых, введена и изучена новая характеристика линейного звена (его предельная норма), роль которой в ряде задач теории нелинейных сиотем аналогична роли спектрального радиуса в соответствующих линейных задачах. Во-вторых, предложен новый под-, ход к задаче о нахождении областей диссипативности нелинейных оио-тем, основанный на принципе оценки ограниченных режимов. В-третьих, предложена новая схема использования методов теории полуупо-.. рядоченных проотранств для нахождения корректных режимов в системах с разрывными или быстро меняющимися нелинейное тями.

Совместное использование указанных конструкций позволило, b._v частности, установить следующие результаты. Найдены частотные условия, гарантирующие наличие устойчивых периодических режимов в системах с гистерезисными звеньями. Указаны частотные оценки выходных сигналов нелинейных систем при заданном уровне помех. Получены признаки наличия асимптотически устойчивых колебательных режимов

- 5 -'
в системах о релейными нелинейноотями; разработаны соответствую
щие численные алгоритмы. ' . ,.

Научная значимость работы. Методы, разработанные в диссертаг ции,.применимы для исследования нелинейных оистем управления (одноконтурных и многоконтурных, систем о разрывными и гистерезис-ішми нелинейноотями), к задачам механики упруго-плаотических тел, к ряду задачматематической физики. Результаты работы позволяют получать гарантированные оценки выходных оигналов при заданном ,. уровне возмущений, изучать динамику оистем о гиотерезисными зве_я ньями, находить устойчивые режимы в сиотемах о оильными нелинеи-ностями.

Личный вклад. Все основные результаты получены лично автором. . Апробация работы. Результаты работы докладывались на 8-м и. 10-м Всемирных конгрессах ШАК, ва 7-й„и 9-й Международных конференциях по нелинейным колебаниям, на 8-м, 9-м и 10-м Всесоюзных., совещаниях по проблемам управления, на семинарах Института проблем управления, Всесоюзного научно-исследовательского института системных исоледований, Московского гооударствеяного университета им. М.ВЛомоносова, Ленинградского государственного университета,. Вычислительного центра АН СССР, Московского энергетического института, Инотитута проблем механики АН СССР и др.

Публикации. Результаты диссертации изложены в работах [1-М] .

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 218 наименований. Объем диссертации 280 стр., 5 рис.

Ї-3

Общая схема работы. Предлагаемый в дисоертации подход к исследованию нелинейных систем основан на трех базовых конструкциях: вычислении предельной нормы операторов линейного звена; но- . пользовании принципа оценки ограниченных режимов в задачах устойчивости и диссипативнооти; применении итерационной процедуры, названной методом челночных, итераций. Детальному изложению названных конструкций поовящены, соответственно, первая, вторая и третья главы работы. Методика комбинированного применения предельной нормы и принципа оценки ограниченных режимов для решения коккрет-? ных задач теории управления изложена и проиллюстрирована примерами в конце гл. 2 ( 7). В заключительной части главы 3 (конец 9 и 10) изложена методика комбинированного применения принципа . оценки ограниченных режимов, метода челночных итераций и некоторых идей гл. I к анализу систем управления о разрывными нелиней-ностями.

В приводимом ниже изложении теоремы имеют самостоятельную нумерацию (отличную от принятой в полном тексте). В ряде формулировок' опущены некоторые менее важные дополнительные утверждения.

Во введении обоснована актуальность темы диосертационной работы, обсуждена специфика задач качественного анализа дифференциальных уравнении, возникапцих при изучении динамики нелинейных регулируемых систем; определены цель и задачи работы; кратко описано ее содержание.

Первая глава, посвященная теории предельной нормы операторов линейного звена, состоит из четырех параграфов.

В I считается фиксированным пространство Е скалярных функций а^) » заданных на некотором множестве е7є (-<=*<>,оо).

Считается, что пространство Е является векторной решеткой и

удовлетворяет естественным дополнительным требованиям, выполнен
ным, в частности, для пространства С непрерывных и ограничен
ных функций с нормой IKOOHc — Зир |а?Є^)| , пространств
Lp fi*/)р -степенью измеримых функций
с обычными нормами и др. Символом Е С О С-& - натуральное
число) обозначается банахово пространство вектор-функций U(i) -.
= {l/Ct) , .. . , U (і)} , каждая координата которых принадле
жит Е ,наделеіщое нормой

II и(П_Е - KuW+ tfCtf*...- W(f)\ .

Изучается линейный оператор W , действующий из пространства E(6j) в пространство Е(_а) v

Простейшими и наиболее важными характеристиками оператора
W являются его норма \\V/\\_e= Jup \\V/U0)\\_a и,

в случав Cj=* & t спектральный радиус

Эти характеристики традиционно используются в ряде вопросов теории управления и общего нелинейного анализа (проблемы устойчивости и абсолютной устойчивости, условия сходимости итерационных процедур, колебания в системах со сложными нелинейностями и др.). Оказалось, что более полные и более простые ответы на указанные вопросы можно получить, если воспользоваться новой характеристикой линейного оператора W - его предельной нормой.

Приведем определение предельной нормы.

Сопоставим каждой скалярной функции оі(і) є. Е множество

Pd(i)-{u(t)_xy.\u(t)\*o((t) (ЫХ)}.

Сопоставим затем каждой функции Х($}^ЕС&а) функцию РоС({) = J-(f )| Определим последовательность множеств Q. (IV; Е) рекуррентными формулами

а\У; Е) = PVJPQ"'^J(W; ) (n-J₇J,. )

и введем числа

?^;)=^ЙЛ₆ (oS(t)*Qⁿ(W;ET). (2)
Как показано в первой главе, существует конечный предел
STOV;)= йт {Zⁿ(W, Е)}'^/п. (з)

Определение. Предельной нормой оператора W называется предел (3).

В первом параграфе изучены свойства предельной нормы. Васс-мотрена модификация этого понятия, приспособленная для изучения систем, содержащих несколько линейных и несколько нелинейных звеньев. Приведены иллюстративные примеры. Установлен ряд техниг ческих утверждений, используемых в дальнейших построениях. Сформулируем лишь один факт, представляющий самостоятельный интерес. Норма ||«J в пространстве Е называется монотонной, если

из соотношения \oi(t)]< \J}(i)\ (t^-E) следует яеравенст-

Лемма об эквивалентной норме. Предельная норма линейного оператора являетоя точной нижней гранью его норм по отношению ко воем монотонным перенормировкам пространства Е .

2 посвящен изложению общих схем использования предельной норми для анализа нелинейных уравнений. Важную роль в параграфе играет вспомогательная функция

Vtf> ^{(j-ff^} C/W;W), (4)

где /3 (.#'(№';:),/""'), а функция VV/3) определяется равен-

Приведем формулировку основного результата, полученного во втором-параграфе. ^х

Обозначим черезP(.fc_tu)(>0,U.lR^ближайшую к U. точку из шара пространства R ¹ радиуса с; о центром в нуде. Действующий из E(fii) в Е(с_Л) оператор Г назовем

(f,<) -лиішшцевшл, еоли при любых оС(і),и(ї)є.Е(^) верна оценка

<3e\\x(t)-y(t)\\_E .

5 Каждай ф Зё) -Липшицев оператор удовлетворяет обычному усло
вию Липшица о постоянной Y+ & ; существенно, что число 36
1-5 .

может быть меньше, чем константа Липшица оператора Г .'"'

Рассмотрим уравнение

xa)-Wr#(i)+}(t), (5)

где W - действующий из Е(Сі) в Е(о) линейный оператор; оператор Г является (j,eB) -липшицевым, а ^(іу^-ЕС^з)-'фиксированная функция.

Теорема I. Цуоть верны оценки./jt(W; )<./ и %H^J(f) іде V(j ) - функция (4). Тоща уравнение (5) имеет единственное решение OC^Cty и при каждом начальном условии #?₀00 ^є

^є Е-(.&) последовательные приближения X_n(i)-\fJГйС_п_₂() ( П-1,Д,... ) сходятся к SCffCt) не медленнее некоторой убывающей геометрической прогрессии.

В качестве примера рассмотрено уравнение

^Ct) = W(rx(6)^f({,x(t)))^(i), (в)

где W действует из L^C^j) в Z,_TO С4) »' Функция /#,Л?) непрерывна и удовлетворяет по СО условию Липшица с постоянной Y ; Г - нелинейный оператор общей природы, удовлетворяющий как оператор из E(S*) в E(oj) условию Липшица о постоянной ЗВ . в рассматриваемом случае из теоремы Ї вытекает

Следствие. Цусгь верны oueumyfr(W;l_OQ) Тогда уравнение (6) имеет единственное решение JC (t) <= Е(В/) * которое может быть найдено методом последовательных приближений, сходящимся не медленнее некоторой убываицей геометрической прогрессии.

Во втором параграфе.указан ряд модификаций и следствий теоре-

- II -

ми І полезных при рассмотрении различных вопросов нелинейного анализа (нахождение априорных оценок решений нелинейных уравнений; анализ уравнений о малым параметром; изучение систем о несколькими скалярными нелинейностями и др.).

Центральное место в главе занимают результаты 3. Конкретные приложения предельной нормы требуют способов фактического вычисления (или, по крайней мере, получения эффективных оценок) предельной нормы линейных операторов, встречавшихся в теории управления. Получению результатов в втом направлении и посвящен третий параграф.

В ооновной части параграфа очитаотся фиксированными матрица // размера В* и ; матрица В размера С^х Cj и матрица С размера СдХ о (первый сомножитель соответствует числу столбцов матрицы). Классическим объектом в теории регулирования является линейное звено VJ-W(/!,B, С) динамика которого описывается уравнениями

-jf z(t) =ЙШ) + В и (i) ₉
x&y-Czct). ⁽⁷⁾

Функция U(i) трактуется как вход звена W . Функция X(t}
- как выход, а функция (t) - как переменное состояние. Пере
даточной функцией звена (7) называется матрично-значная функция
комплексного аргумента \tf(p)= С(рІ~/!) В . Особую роль иг-

рает сужение W(lcD) функции W(р) на мнимую ось, называемое частотной характеристикой звена W .

Со звеном W С/1 ' В, С) связан ряд операторов, сопоста-

вляоцих некоторым входам допустимые при етих входах выходы. В ра-

1-6*- .

боте решанцую роль играют два такие оператора, обладающие овойо-

твом линейности. Ниже через Lg и L_a обозначаются пространства скалярных функций, суммируемых с квадратом, соответственно, на промежутках (~^<>о,г0] а [О,<») . Аналогично определяются пространства /,^ и /,„„ .

(а) Сопоставим каждому локально суммируемому на [О, оо)
входу U() допустимый при этом входе выход X({~)=C%(ty ,
где ZQb) является решением уравнения (7) при нулевом началь
ном условии. Оператор W , осуществляоций его соответствие
называется оператором входо-выходных соответствий при нулевом на
чальном состоянии; он описывается явной формулой

Wu(t) = G-(t~ s) u('s) ds , (8)

где С єгер (/ft) В - импульсная реакция звена W

(б) Цусть матрица fl гурвицева. Рассмотрим оператор

W і сопоставляющий входу U(t) (te. (-«х>, 0]) функцию

Wu(t)=\G(i-s)u(s)cts. (9)

Сужение оператора (9) на пространство L,^ - это оператор "ограниченный на (-<>«=>, О ] вход - ограниченная реакция". Свойства операторов (8) и (9) в пространствах L и, соответственно, L_& і хорошо известны. В то же время, в широком классе случаев основной интерес представляют именно свойства операторов (8) и (9) в пространствах с равномерной метрикой. Это связано с различными причинами. Во-первых, если имеется лишь информация об амплитудах (наибольших отклонениях от нуля) входных сигналов, а требуется установить гарантированные оценки амплитуд выход-

- ІЗ -

ных сигналов, то естественными являются именно пространства о

равномерной метрикой. Во-вторых, операторы многих звеньев гисте-резисной природы невозможно трактовать как операторы в пространствах типа L_& , а их свойства в пространствах типа Lc~* просты и хорошо изучены.

Как оказалось - »то и еоть центральное наблюдение главы -предельные нормц операторов линейного эвена в пространствах типа L^ , как правило, существенно меньше нормы этих операторов и допускают простую оценку в частотных терминах.

Теорема 2. Пуоть Д - гурвицева матрица. Тогда верны соотношения

« я-ОІЇіТа)- &(W;І_л)« max \ W(icO)\ .

и)>0

Сформулированное утверждение позволяет в ряде важных случаев определить точное значение ВЭЛИЧИНЫ ^(Wl/jaa) . являнцейоя общим значением величин 3T(W;Lo<,) ^и W(W; ««,) Например, еоли о_х=*а = 1 , т.е. входы и выходы звена W являются скалярными функциями, то верно равенство

#TW;/.«,)- пах \W(cu))\ .

Если Oj,o_s^-j. , но компоненты импульсной реакции &() неотрицательны, то из теоремы 2 следует равенство 2T(W; 1^)^1^/(0)] .

Для использования в полной форме аппарата, развитого в 2 теорему 2 необходимо дополнять эффективными оценками соответствующих величин 2^/l(W; Loo") » являющихся общим значением чисел (2), отвечающим операторам \j и W , рассматриваемым, со-

ответственно в пространствах L^ и L^ . Введем обозначения

k (Л) -и?:¹ max | W(iu))\ (Л₀ < 1 < О) ,

гЭг>0

%(3><^J *^UP \u>V/(ia-)] (Я₀<3<0),

где Х₀ - вещественная часть самого правого собственного числа матрицы ft .

Теорема 3. Пуоть ft - гурвицева матрица к. К^ф О , Тогда верны оценки

_^)-^(-)^.

Из теоремы 3 вытекает простая оценка функции WiVcfy^VCf),

В 3 приведены аналогичные результаты, относящиеся к линейным звеньям, порожденным негурвицевыми матрицами ft ; к звеньям, описываемым скалярными дифференциальными уравнениями вида

результаты, относящиеся к модификациям предельной нормы, полезным рри изучении систем о несколькими нелинейными звеньями. Рассмотренные иллюстративные примеры показывают, что уже в простейших рлучаях предельная норма операторов линейного звена в пространствах о равномерной метрикой строго меньше их норм.

В 4 вынесены доказательства некоторых утверждений из I, 2 и 3.

Вторая глава поовящена принципу оценки ограниченных режимов в задачах устойчивости и диссипативности и схемам совместного использования отого принципа и результатов первой главы для изучения динамики нелинейных систем управления. Глава состоит из чета-рех параграфов ( 5-8).

Центральным в главе является параграф 5, в котором установлен общий принцип оценки ограниченных режимов и обоуадеяы границы его применимости при анализе конкретных систем.

Некоторая совокупность обыкновенных дифференциальных уравне-

В яий о фазовым'пространством (R называется % -дисоипатив-

ной, если при каждом ft>% каждое решедие любой оиотемы из

рассматриваемой совокупности втекает в шар (<33| < Ъ Р фазового

прострапотва и но выходит в дальнейшем аз этого шара. Принцип

оценка ограниченных режимов основал на оледуацем наблюдении. В

самых различных (по, конечно, не во всех) ситуациях 'Х-дисси-

пативность совокупности систем равносильна отсутствию у каждой

сиотемы из рассматриваемой совокупности решения, ограниченного на

отрицательной полуоси, по не лежащего в шаре радиуса (^7(^ .

ї-а

Это наблюдение позволяет сводить вопрос об оценках решений в сторону возрастания времени к вопросу об оценках решений в пространстве типа L„o . Для получения последних оценок во многих случаях могут быть применены конструкции, основанные на вычислении предельных норм- вспомогательных линейных операторов.

Перейдем к точным формулировкам. Пусть Z - оемейотво непрерывных вектор-функций () ( t 5^s О ) оо значениями в R , а С - матрица размера _А^Х & . функции С - как единое для всех систем соответствие "состояние - выход". Положим

ZCf) ~{s(t^Z: Z(0)

Семейотво Z назовем 1 -диссиоативным по выходу, если

при каждом р>О множество Z(0) равномерно ограничено и верно соотношение

Urn Sup \\С%(Щ^ І .

Семейство Z называют С-нормальным, если выполнены следующие четыре условия.

(а) Из соотношений «?(2)є2І . 0^о6< 1 следует вклю-'
чение & 2(i)

(б) Существует такая непрерывная функция О Ct) ( t^O ),
что из %() следует оценка |С)|« 7(^) < t>0 ).

(в) Существует такая непрерывная функция П (f) ( ^0 ),
что при %(i~)e.Z верна оценка

(г) Из равномерной ограниченности при t^ О последовательности

следует относительная компактность последовательности (II) в смысле равномерной сходимбсти на каждом конечном.промежутке отрицательной полуоси.

Через X будем обозначать множество функций вида Cg(t) , где &(*) - один из пределов последовательностей вида (II).

Теорема 4. С -нормальное семейство обладает свойством X-дисоипативности по выходу в том.и только том случае, когда справедлива оценка

Пар |я?#)|« t (<#)єХ).

Особую роль в работе играет частный случай теоремы 4, относящийся к важным в теории автоматического управления совокупностям систем вида

где F - некоторый класс отображений из JR ^х R ^л в U. ^J Звено W С/1,В, С) назовем 2 -диссипативным относительно класса нелинейностей F , если решения уравнений (12) нелока-1-9

льно продолжимы вправо и совокупность Z^Zi (W,F) воех определенных на (0,J решений всех уравнений из рассматриваемого класса обладает свойством % -диссипативности по выходу.

Свойство 'й-диссипативнооти совокупности систем означает по существу равномерную t-диосипативность воех одноконтурных систем, состоящих из линейного звена W = W(/4,fi,C) , охваченного обратной связью с характеристикой из класса ' г .В частности, О -дисоипативнооть звена W в классе р означает абсолютную устойчивость семейства уравнений (12).

Многие распространенные классы Р нелинейностей могут быть выделены о помощью описанной ниже специальной процедуры. Напомним, что хаусдорфовым расстоянием между множествами М/,М_Л называется число_

' Х(М₁,М_г)-гпаа;{ЄСМ_ІЛ^У)ЖМ,Л)},

' 9(М_ЛЛ> *^иР ^1п4 \^и--#\

ueMj хГеМг

йссмотрим отображение ffi(X) , сопоставлянцее каждому SCe.R замкнутое и ограниченное множество пространства R . Отображение tUPlCx") называется правильным, если оно непрерывно по метрике . Хаусдорфа, если каждое множество $ъ(ЯС) выпукло и, наконец, если справедливо включение

Каждому правильному отображению сопоставим класс F\7Ж) , состоящий из всех измеримых по С и непрерывных по X функций

- 19 -/(і, С) і для которых верно включение є ffl{ (JJC) .

Из теоремы 4 о помощью классических результатов А.Ф.Филиппова о свойствах решений дифференциальных уравнений с многозначной правой чаотыо может быть получено

Следствие. Пусть Д - гурвицева матрица, а $Ч(ЗС) - правильное отображение. Тогда для % чщссипативности звена W(/l,В, С) в классе нелинейностей г (334) необходимо и достаточно, чтобы каждое решение Л?{it) ( t^ О ) каждого уравнения <2?0t) = W(t, X(tf) удовлетворяло оценке \x(t)\; % .

формулированное утвержцение являетоя мостом, который позволяет применить для изучения диссипативности систем вида (12) и для рассмотрения родственных задач теорию предельной нормы линейных операторов, развитую в гл. I.

В 5 рассмотрены также частные случаи теоремы 5 и следствия из этой теоремы, относящиеся к конкретным классам множеств WiCC), а также к дифференциально операторным уравнениям, рписываыцим динамику регулируемых систем с нефункциональными преобразователями в цепи обратной связи.

В 6, носящем обзорный характер, рассматриваются свойства некоторых гистерезисных нелинейностей.

Нелинейные зависимости гистерезисного типа повсеместно встречаются при описании физических, механических, биологических и др. явлений. При изучении гистерезисных объектов необходимо различать две принципиально разные ситуации. В первой из них речь идет об определении по заданным внешним воздействиям - входам соответствующие реакций - выходов. В этой, наиболее исследованной ситуации, основной интерес представляют удобные алгоритмы численного или аналитического построения соответствий вход-виход. При этом можно

ограничиться входами простейшей структуры, например, кусочно ли-1-10

- 20 -нейными.

Вторая - основная для теории регулирования - ситуация возни
кает, когда изучаемый объект с гистерезисом нельзя рассматривать
изолированно, так как он является лишь одним из звеньев более сло
жной замкнутой системы. В этом случае удобно, а часто и необходи
мо, уметь трактовать гистерезисную нелинейность как оператор или
совокупность операторов, определенных на достаточно богатом функ
циональном пространстве, например, на множестве всех непрерывных
входов. Соответствующие операторы должны обладать возможно более
широким арсеналом свойств типа ограниченности, непрерывности, мо
нотонности и др. , - _v

Единый подход к описанию гистерезисных нелинейностей, удобный в описанной выше второй ситуации, развит в монографии М.А. Красносельского и'автора [4^/ ] Он позволяет достаточно полно изучить системы, содержаще гастерезисные нелинейности, описываемые известными феноменологическими.моделями. Подход оонован на выделении элементарных носителей гистерезиса и трактовке более сложных гистерезисных нелинейностей как специальных (в том числе и континуальных) блок-схем, составленных из элементарных нелинейностей:

В 6 рассмотрены с позиций монографии Г \_Ц ] нелинейности типа люфтов и упоров (скалярных и многомерных), типа моделей Бёсселинга, Ишлинского, Кадашевича - Новожилова упруго-плаотичес— ких зависимостей, типа модели Прейзаха - Гилтая, используемой в теории магнетизма (в частности, при описании магнитных сердечников) , модели некоторых тирристорных преобразователей. Установлено, что указанные нелинейности можно трактовать как операторы в пространстве С непрерывных и ограниченных на полуоси функций (скалярных или векторнозначных), причем эти операторы облада-

»т естественными свойствами ограниченности и удовлетворяют условию Липшица. Приведены значения соответствующих канстант. Уста-' новленн такяе некоторые общие утверждения о возможности .описания входо-виходннх соответствий абстрактних многозначных преобразователей о помощь» семейств однозначных операторов, обладающих свойствами причинности (вольтерровости).

В ? изложены основные схемы комбинированного использования принципа оценки ограниченных режимов и оценок предельной нормы операторов линейных звеньев при анализе качества нелинейных регулируемых систем.

В начале параграф рассматривается стандартная одноконтурная система, динамика которой описывается уравнениями

^аТ (13)

и(6)~ f (і, Сzctj).

Широїшй круг задач теории регулирования приводит к вопросу об оценке отклонений от пуля выходного сигнала в ситуации, когда известны лишь некоторые оценки характеристики (Ь,} нелинейного звена. Ниже предлагается новая методология получения таких оценок.

Через F(jt_t\i) ( Ґ ^и h/ - положительные числа) обозначим класо всех звеньев / , характеристики которых удовлетворяют оценке \$(t,OFhif\Q0\ + hj . В 7 из оледствия теоремы I и следствия теоремы 4 выведена.

Теорема 5. Пусть верна оценка foTC^i\ /><») ^< і * ^^отаа '
звено W обладает свойством (ft W(fj) -диссипативности' .

в классе F([,k) , где W(f) -функция (4).

Теорема 5 и ее аналоги вместе с "оценками предельной корды,

- 22 - полученными в 3 позволяют получать простые достаточные признаки -z-диссипативности систем управления. В частности, из теоремы 4 вытекает

Следствие. Пусть верна оценка ^t$oJf^< -* Тогда звено
W обладает свойством С^^СГ)) -диссипативности в классе
Г(/;/ь) , гае фф -функция (10).
Рассмотрены системы, содержащие несколько линейных и неско
лько нелинейных звеньев. Пусть 'W_f^ (С_ГУ ~> 1,,,.., О ) ска
лярные линейные звенья с передаточными функциями W_t)> (/0 ⁼
^^c^^P^/^c-f^P') « причем многочлены L_Cj(p) гурввдевы.

Пусть заданы набор f положительных чисел V ,\ ,...,]Г
и набор ft положительных чисел к, . fi , . . . , hf б-

значим через F(j^,/l^ совокупность отображении X.' jj? -*-R , определенных равенствами

У -я координата функции / , a / (t.JO) непре-

рывная скалярная функция, удовлетворяющая неравенству /(tf,o<:)< Введем обозначения .

где и₀ - наименьшая по модулю вещественная часть корней многочленов L_Cj Ср) . (рассматриваются лишь многочлены, отвечающие ненулевым звеньям Wf} ) Ограничимся случаем, когда матрица

Г^с*] неразложима (например, все ее влементы положительны).

і—і Через - обозначим величину

me - собственный вектор с положительными компонентами матрицы [^-рЗ Пусть <3₀ - спектральный радиус матрицы [^с*3 Положим

s

и введем в раосмотрение функцию

Справедлива

Теорема 6. Пусть верна оценка ( < 1 . Тогда звено IV обладает свойством У(У^)-диссипативности в классе F(f,k)

Центральное место в параграфе 7 занимает результаты, относящиеся к системам с гистерезисными нелинейяоетями.

Оператор Г назовем ' ?-правильным, если он определен на всех непрерывных входах U(t) (t.^O) ,\ обладает свойством физи-ческой реализуемости, переводит предельно 7*-периодические входы в предельно 7"-периодические выходы и, наконец, если его выходы равномерно ограничены и, наконец, если верно условие Липшица

I Pu(t) - /Vtf )|« % max \ u(s) - i?(s)\.

Из результатов 6 вытекает <"-правильность при соответствующие явно указанных X операторов, описиванцих распространен шше модели гистерезиса (люфты, упори, диодіше преобразователи, пластические элементы, ферромагнетики и др,).

Шссмотрим систему, динамшса которой описывается уравнениями

. um~rxm+((t,x(ts), _(I4)

a)(i) = С (t} .

Здесь fl - гурвицева матрица; В и С - матрицы соответствующего размера; / - функциональное звено с непрерывной и Т -периодической по t характеристикой; Г - оператор гастерезисноа нелинейности.

*) функция U(і") называется предельно периодической, если существует такая периодическая функция lf(b) , что верно соотношение vim sup \u(s")-iy(g)\»

Теорема 7. Пусть функция f(t,X) удовлетворяет по X

условию Липшица о конотантой Г , причем верно неравенство JTfl'(W;L_t,₀)< 1 Пусть оператор Г является. ^-правильным, причем выполнено неравенство 96< 4*(JfY , где WCJt) -функция (4). Тогда каддое решение *() уравнения (14) является предельно Т-пэриодической функцией и обладает свойством устойчивости по Ляпунову.

Сформулируем следствие теоремы 7, относящееся к уравнениям о малым параметром вида

utf)-tra:ct) + f(txci)), (is)

(їлвпптвие» Пусть функция (t, 00) удовлетворяет по переменной X условию Липшица о конотантой j , причем jfyr(W; А,») < I Пусть оператор Г является ,3?-правильным при каком-либо 36 . Тогда при достаточно малых каждое решение уравнения (15) является предельно Т -периодическим и обладает свойством устойчивости по Ляпунову.

В 8 вынесены доказательства некоторых утверждений из 5, 6 и 7.

Третья глава поовящена методу челночных итераций, позволяющему находить режимы функционирования сильно нелинейных систем, обладающие дополнительными.свойствами корректности. Глава включает 9, 5 10 и И.

Дифференциальные и интегральные уравнения с сильными в том числе разрывными и гистерезисными нелянейностями часто встреча-

ются в теории управления. В качестве примеров доотаточно упомянуть системы с релейными нелинейноотями и системы переменной структуры. К решениям таких уравнений, описывающим желаемые процессы функционирования реальных систем, естественно предъявить дополнительные требования корректности. Указанные требования могут содержать, в частности следующие свойства.

Желательно, чтобы интаресущне нас решения являлись точісами непрерывности соответотвуюцих разрывных операторов - в отом случае оправдано,например, применение приближенных и качественных методов исследования, основанных на анализе невязок.

Важно, чтобы слабо возмущенные уравнения (полученные о учетом малых шумов, возможного дрейфа различных параметров и т.п.) имели решения, близкие к изучаемому решению невозмущенного уравнения.

Если речь идет о решениях эволюционных задач, то корректные решеЕіия должны обладать свойством устойчивости по Ляпунову или свойством асимптотической устойчивости.

Наконец, келателъно иметь удобные для реализации на ЭВМ ме
тоды построения решений, обладающих перечисленными выше свойства
ми. -

Достаточно полную методику исследования корректных решений удалось построить для широкого круга задач о монотонными нелиней-ностями. Эта методика опирается на развитые в первых двух главах идеи специальные модификации принципа оценки ограниченных режимов и детальное изучение итераций операторов, участвующих в вадаче.

Основным рабочим инструментом в главе является специальная итерационная процедура, названная челночным алгоритмом. Челночный алгоритм позволил в. ряде ситуаций установить существование реше-. ний, обладающих указанными выше свойствами корректности; он хе

- 2? -

является, по-видимому,.удобной основой для разработки численных

алгоритмов их расчета.

В 9 обсуждается челночный алгоритм, трактуемый как метод нахождения решений абстрактных операторных уравнений.

Изучается нелинейный (может быть, разрывный), компактный оператор 2 , действущяй в банаховом пространстве Е , полуупорядоченном конусом К (например, в пространстве L^ , полуупорядоченном конусом функций о неотрицательными значениями). Включение Х^К как обычно записывается в виде СО О Конус К предполагается телесным и нормальным (т.е. для любых СС,Ц є Е из Я^У следует ограниченность множества

Пусть фиксирована убыващая к нулю последовательность полонит ельных чиоол

( , <3_& , . . . , <Э_п , . . . (16)

а элемент U₀ , прянадлежащий внутренности конуса К . Элемент І% s Е называется допустимым (относительно последовательности (16)); еолп верно неравенство $1% tf,- OjU₀

Определим последовательность Щ (7 = 0,1,.., ) равенствами

.«-;« * ^-^^.^(^ . а?)

Если .в последовательности (17) найдутся елементи, удовлетворяющие неравенству

фЩ~1#{)<<э₆и₀ ,

(18)

то выберем первый такой элемент 1&1 и положим г« и?;

Если же в последовательности (17) нет элементов, для которых справедливо неравенство (18), то поотроение елемента 1% будем считать невозможным.'

Пусть удалооь построить елементи 2^,.. . . . , іУ_п-і Тогда определим 1Ґ„ как первый елемент в последовательности U% , определенной соотношениями

К-Я-І, *%-ЯеГн+ (-!)"<** "о, W

для которого верно неравенство (-J) (^)^-Щ)< <3_ПФб U₀ Последовательность lT_n (n-*J,,...) (если ее элементы могут быть построены при всех tl ) называется 'челночной последовательностью с параметрами (16) и начальным приближением Іґ₀ .

Как показано в 9, для реализуемости челночного алгоритма
достаточно, чтобы существовали элементы 1У* и 1%* удовлет
воряющие неравенствам i< t^ ,$«>t+<3,tf₀ иг^>г,
%tf < 1%*- tfiU-o ^^ш челночный алгоритм реализуем, то

и существуют пределы

Х-йт tf_Sn , #„- &т 1У_В+1 . (20)

В естественных ситуациях пределы (20) челночной последовательности являются неподвижными точісами оператора 0 , обладающими дополнительными свойствами корректности. Сформулируем утверждение, являоцееся основой результатов в этом направлении. Опера-

тор называют строго монотонным, если из Д7< U , «2?^^

следует, что ойЦ - Я)Х принадлежит внутренности ini К конуса К . Конуо К называют миниэдральным, если каждое конечное множество элементов пространства Е имеет точную верхние грань.

Теорема 8. Пусть телесный конуо К нормален и миниэдра-лен, а оператор Я) компактен и строго монотонен. Цуоть челночный алгоритм с параметрами (16) и начальным приближением 1У₀ реализуем. Тогда точки (20) неподвижны для оператора Я) . Бели при этом Х^ Х₁₍. , то существуют неподвижные точки Х_в ( 0$ 0^1 ) оператора Й? , непрерывно зависящие от параметра О и удовлетворяющие соотношениям <2?₀-<2?_# »<2^~<2-Wt Х_в < Х_в (0**&j<6_Л**2 ). Оператор g> не имеет других неподвижных точек 35 , удовлетворяющих неравенствам Х « OD <

Неподвижную точкустрого монотонного оператора ^д называют корректной, если для каждого >0 найдутся элементы «Я?_ , Х₊ , удовлетворяющие соотношениям

Каждая корректная неподвижная точка оператора еО является его точкой непрерывности. В случае, когда - это фуігкдаональное пространство, а %) интегральный оператор, каждое решение, являющееся корректной неподвижной точкой при естественных допол-

- зо -

нительных ограїшчешіях пересекает поверхности разрывов участвующих в описании оператора $) нелинейноотей по ненулевым углом. Из теоремы 8 вытекает

Следствие. Пусть конус К телесен, нормален и миниацра-лен, а оператор %) строго монотонен. Пусть существуют элементы U_ , U+ , удовлетворяющие соотношениям #_ < U+ , Я)Ц_ ~ Ц- , Ll₊-^)U^ LritК . Тогда оператор $ имеет в конусном отрезке ^U_,U₊y корректные неподвижные точки, которые могут быть найдены с помощью челночного алгоритма.

В девятом параграфе обсуждаются модификации теоремы 8 и ее следствия, относящиеся к случаю нетелесного конуса К

В конце параграфа указаны приложения челночного алгоритма. Остановимся на одном из них.

Рассматривается краевая задача

&U-f(X,U), U(X)\ -О. (21)

Зцесь =\р,...,Х |є$ ; А - оператор Лаплаоа. Задача рассматривается в ограниченной области Q с гладкой границей Г . Функция і(Ф»*0 предполагается равномерно ограниченной и удовлетворяпцей при некотором Y< О одностороннему условию Липшица

но не считается непрерывной, функция С1_Л(Х) называется решением задачи (21), если она является решением линейной задачи

Для функции i(X,W) при каждом фиксированном X обозначим через /7 (X, 0) множество таких чисел 1? , что функция

- ЗІ -(X,U) тлеет по переменной U. в точке U** if скачок

величины не меньше . и . Через /7^(^.0) обозначим -ок-

рестнооть множества . Функция #*(#) называется

трансверсальной разрывам ^(CC,W) в области

если при некотором У> О

Smes {#єй,: и,(%)&n_e(xJ)} «/б .

В естественных случалх последнее неравенство означает, что график функция U*(X) пересекает поверхности "больших" разрывов функции (X_fU.~) под ненулевым углом. Методы, развитые в 9 позволили установить следующий факт.

Задача (21) имеет по крайней мере одно решение U^(X) трановерсалыюе разрывам функции (сс,и~) в каждой области haj , замыкание которой содержится в Q

Сформулированное утверждение применимо, в частности, при исследовании известной задачи М.А.Лаврентьева об отрывных течениях, описываемой соотношениями (21) при ^(3?_tU)~ Зїш U .

В 10 изложена методология применения челночного алгоритма в сочетании со специальной модификацией принципа оценки ограниченных режимов для анализа колебаний в системах с релейными нели-нейностявд.'

Неидеальное двухпозиционное реле с пороговыми числами oi,Jb ( о< /3 ) (см. рис. 2) - это преобразователь с непрерывными входили U() , выход которого может принимать только два значения О am 1 . Выход X{t) допустим при входе U(f) , если, во-первых, из неравенства U(t) следует равенство 0O(i)=O » а из неравенства ц(і)>8 следует равенство &(і)*=і и, во-вторых, из неравенств oi (%«f

-32 -'..."-' следует равенство XCtj)- X(t^) . Через Л¹ tX„;o(,J3] U(t) (Х_о"0,1 ; t^O ) обозначается допустимый при входе U(t) ( t> О ) выход выделяемый при d условием 00(.0)-Х₀ .

Рас. 2

Решающим в построениях параграфа является свойотво монотон
ности операторов R№ci{,j3] : из соотношений Х₀^03_о ,
U(f)^ S(t) ( 04:t^tj ) следует неравенство R[X_g;d,Ji]u(i)^
< R[&_oid,0]u(t) (O^t^it} , позволяющее применить

для исследования широких классов систем с релейными нелинейноотя-ми технику, развитую в предыдущем параграфе.

Изучаются системы, описываемые соотношениями

г(ї)-Дяф+-6и(і).

_u(t)-E:X^R _{W'' «fflx&y+v&y fad))}

t-1

(22)

x(t)~ (C, 2(b).

Здесь fl - гурвицева матрица размера NxN ; S и С

N -мерные векторы} у/*, oi^C,j3^c .(.("-!,...,&) вещественные числа, причем оС^с< Й^с ; двоичный вектор Ц = {V^і,...,Ц J

играет роль параметра. Функция УОО предполагается непреры-

вной и 7"'-периодической; нелинейная функция 1(Х) удовлетворяет локальному условию Липшица

!/№)-/№)!< Лср)\х_г зь\ (\я_л\ ,1^1«/))

и оцешсе

_{«* да}

Соотношения (22) опионвают динамику системы, состоящей из линейного звена W"W(/f,0,C) и звена, являадегося параллельным соединением нескольких неидеальннх реле и функционального звена. При каждом начальном условии (0) =* %₀ и каждом двоичном векторе U система (22) тлеет единственное решение ({) = = Z(<,₀,y_o)( t^O ). Естественным образом определяется устойчивость по Ляпунову и аспматотичеокая устойчивость периодического решения системы (22).

Как показывают примеры, даже простейшее уравнение вида

-~ (t) + а~ CC(t) + xci) -$&tit + R (; otJS) SB (і)

может не иметь sr -периодических решений. Сложен, в общем случае вопрос об устойчивости периодических'режимов. Ниже формулируйся результаты, показывающие, что челночный алгоритм позволяет получать эффективные новые признаки существования в системе (22) асимптотически устойчивых периодических режимов.

Систему (22) называют позитивной, если, во-первых, импульс
ная .характеристика звена W(/l_f3,C) положи
тельна; во-вторых, функция <Ч<2?) не убывает и удовлетворяет

оценке

_S-CW*^.

в-третьих, числа Jl^c (t "J,Л,...,к) неотрицательны.

Единственным нестандартным ограничением в определении класса позитивных систем является условие положительности импульсной реакции. В последние годы разработаны эффективные способы проверки этого условия. Например, если М(р) ^в 1 , to достаточно (но далёко не необходимо), чтобы корни многочлена L(P) были вещественными.

Для каадой позитивной системы (22) введем оператор

2>_аoc(t) ~ J_r(t-s;Л)u(s)ds ,

С'J

Здесь 6-(і;и) - импульсно-частотная характеристика звена W([a'*-J3^lC J, 6, С) , R_T -оператор, сопоставляиций ^-периодическим входам U(i) периодический при tbO выход Х(І") определенный равенством X(i)'R[R[0;c/,j3]u(T)^,j3]u(i) (T*t<2b, a Jt - соответствующим образом подобранный малый параметр. Зафиксируем последовательность убываниях к нулю положительных чисел

<%.,(,.. .,б_п,

(23)

и функцию t%(t) » удовлетворянцую неравенству ouql^W? t%(t)~ - dj и₀(-6*) . Из результатов 9 вытекает, что челночный алгоритм, построенный по оператору Щ. , параметрам (23) и нача-

льному приближению 1%,(І") реализуем; в частности существуют

пределы

Ооновлой результат 10 заключается в оледущем утверждении

Теорема 9. Пусть система (22) позитивна, причем функции f()
и /() аналитичны. Тогда верно равенство X_M(i)- ^„«СО ,

причем соответствующая функция <#С^) являетоя асимптоти-

чески устойчивым решением оистемы (22).

Следствие. Пусть система (22) позитивна, причем функции ф(6)
и /(Ж) аналитичны. Тогда сиотема (22) имеет асимптотически ус
тойчивые Т -периодически режимы.

Теорема 9 и ее следствие позволяют получить принципиально новые признаки существования асимптотичеоки устойчивых режимов дале для систем, опиоываемых проотейшими обыкновенными дифференциальными уравнениями с реле. Рассмотрим, например, уравнение

где L(p) - гурвлцев многочлен, () - аналитическая

Т -периодическая функция, () - аналитическая неубн-вапдая функция, удовлетворявшая оценке

_,EJ^<^uorJ_-

Из теоремы 9 вытекает, что в сделанных предположениях систе
ма (24) имеет асимптотически устойчивое 7'-івриодическое ре-

шение.

В 10 обсуадены модификации сформулированных утверждений, рассмотрены дополнительные свойства корректности, которыми обладают решения систем (22), конструируемые при помощи метода челночных итераций и т.д.

В II вынесены доказательства некоторых утверждений из 9 и 10.