Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Стохастический интеграл от неслучайных ядер по неортогональным стохастическим мерам 15
1. Конструкция стохастического интеграла 15
2. Инфинитезимальный анализ ковариационной меры 22
2.1. Процессы с регулярной ковариационной функцией 23
2.2. Процессы с факторизующейся ковариационной функцией 27
2.3. Процессы с ковариационными функциями смешанного типа 32
2.4. Мажорируемые ковариационные меры 35
2.6. Построение кратного стохастического интеграла по приращениям негауссовского процесса 37
3. Доказательство основных результатов 38
3.1. Доказательство предложения 1 38
3.2. Доказательство предложения 2 39
3.3. Доказательство предложения 3 40
3.4. Доказательство теоремы 1 40
3.5. Доказательство предложения 4...- 43
3.6. Доказательство предложения 5 43
3.7. Доказательство предложения 6 46
ГЛАВА 2. Асимптотический анализ канонических статистик Мизеса, построенных по слабо зависимым наблюдениям 47
1. Введение и формулировка основных результатов 47
2. Моментные неравенства 49
3. Доказательство теоремы 2 55
Список литературы
- Инфинитезимальный анализ ковариационной меры
- Процессы с ковариационными функциями смешанного типа
- Построение кратного стохастического интеграла по приращениям негауссовского процесса
- Моментные неравенства
Введение к работе
В диссертации предложена схема построения стохастических интегралов от неслучайных функций по неортогональным стохастическим мерам. Эта конструкция позволяет описывать предельные распределения для канонических (вырожденных) статистик Мизеса произвольной размерности, построенных по слабо зависимым стационарно связанным наблюдениям.
При изучении случайных процессов, а также при описании некоторых распределений, возникающих в тех или иных приложениях стохастического анализа (например, в статистике) важную роль играют интегралы, записываемые в виде J f{t)d{t) или /f(ti,...,tn)d^(ti)...d^(tn), где ядра f(t) и f(ti,...,tn) — заданные неслучайные функции, a (f) — случайный процесс. Реализации процесса (), вообще говоря, являются функциями неограниченной вариации, и интегралы указанного вида без каких-либо условий регулярности на ядра (скажем, лишь при условии их интегрируемости в смысле Лебега) нельзя понимать как интегралы Римана-Стилтьеса или Лебега-Стилтьеса, существующие для почти всех реализаций ().
Инфинитезимальный анализ ковариационной меры
В этом параграфе будет обсуждаться вопрос проверки условий теоремы 1. Другими словами, нам надо указать легко проверяемые достаточные условия принадлежности функции / пространству S, построенному по ковариационной мере той или иной элементарной стохастической меры.
Рассмотрим центрированный случайный процесс (), заданный на отрезке [0,Т] и имеющий ковариационную функцию Ф(і, s) := E(t)(s), где t, s Є X = [0,T]. Рассмотрим следующее полукольцо с единицей подмножеств отрезка [0,Т]: m={(t,t + 6]; 0 t t + 5 T}(j{[0,6]; 0 5 Г}. Любой такой случайный процесс индуцирует элементарную стохастическую меру на этом полукольце: М(М + ])==( + )-# ), где при t = 0 по этой формуле определяется мера замкнутого интервала [0,6] (в дальнейшем это обстоятельство больше не оговаривается). Тогда соответствующая ковариационная мера т канонического прямоугольника в X2 определяется по формуле т( (t, t + 61] х (s, s + 52]) = = E( (t + 6{№а + 62) - ( )( + 62) - + 6i)t{8) + ( )(«)) = &susMt, s), где Asus2${t, s) := Ф( + 61, s + 62) + Ф(, s) - Ф(Ь + 6U s) — Ф(, s + 52)- так называемая двойная разность функции Ф(, s). Будем говорить, что функция Ф(, s) имеет ограниченную вариацию по совокупности переменных, если найдется такая постоянная С, что каковы бы ни были натуральные числа п, I и разбиение множества [0,Т]2 на прямоугольники вида (U, ti+i] х (sjy sj+i], 0 = t0 ti ... tn = T, 0 = s0 «і ... si=T, (при этом при і = 0 или .7 = 0 соответствующие элементы разбиения полагаются замкнутыми "слева") будет выполнено неравенство Е1Л -ф( ) с, где 6ц = ti+1 - U, 52j = SJ+I - Sj.
Предложение 4. Если ковариационная функция Ф(, s) имеет ограниченную вариацию по совокупности переменных, то мера т является о-аддитивной знакопеременной мерой па а-алгебре борелевских подмножеств квадрата [0, Т]2. Отметим, что при построении стохастических интегралов в [12] и [20] также рассматривались только ковариационные функции ограниченной вариации. 2.1. Процессы с регулярной ковариационной функцией. Мы начнем описание достаточных условий существования определенного выше стохастического интеграла с простейшего случая, когда двойная разность ковариационной функции процесса {( ); t Є [0,Т]} допускает представление Д ,«А,Ф(«І, SJ) = I +1 Г «( . в)А(Л)А(Л), (14) где А - произвольная конечная мера на [0,Т], функция q(t, s) интегрируема на [0,Т]2 по указанной продакт-мере, a U U+\ и Sj Sj+i - произвольные упорядоченные пары чисел из [0,Т]. Очевидно, в этом случае ковариационная функция Ф(, s) имеет ограниченную вариацию. Как уже было показано, ковариационная мера т произвольного канонического прямоугольника (ij, {+i] х (SJ, sJ+i] вычисляется по формуле m((tuti+1] х (sj,sj+1)) = ASli,s2j$(tusj), откуда и следует соотношение p-(t,s) = \q(t, s)\, где Xo(dt х ds) = X(dt)X(ds), и принадлежность функции / пространствам С ц) или (S,do) выражается соотношением / \№f(s)\\q(t,s)\\(dt)\(ds) со. Jx Кроме того, проекция полной вариации ковариационной меры будет равна т(А) = І \д(і,з)\\№) \(dt).
Обозначим q(t) := Jx \q(t, s)\X(ds). Тогда принадлежность функции / пространству Li следует из квадратичной суммируемости этой функции по мере q(t)X(dt). Если же q(t) равномерно ограничена на отрезке [О,Г], то для построения стохастического интеграла, очевидно, достаточно проверить лишь квадратичную суммируемость / на [0,Т] по мере Л (скажем, по мере Лебега или считающей мере). Однако надо иметь в виду, что последние условия являются, вообще говоря, более ограничительными, чем требование существования вышеприведенного двойного интеграла. Например, в случае, когда плотность q(t, s) ограничена, для корректного задания стохастического интеграла вместо квадратичной достаточно потребовать просто интегрируемость по мере А функции / на [О, Т].
Рассмотрим введенный в предыдущем разделе кратный стохастический интеграл / /(а?і,...,xk)fM{dxi)...fi{dxk), который, как было отмечено, можно трактовать как описанный выше "одномерный" стохастический интеграл по элементарной стохастической мере /Ї на полукольце 9Я . Множества из VRk представляют собой канонические параллелепипеды в Хк, и ковариационная мера на Х2к определяется по формуле т(А хВ) = Е/Ї(Л)Д(В) = Efi(Al)...li(Ak)fi(Bl)...ti{Bk)t где Л = AiX...xAk, В = BiX...xBk, Aj,Bj Є 9Я; при этом ix((t,t+5]) = (t+6)-(t).
В дальнейшем, если не оговорено противное, для вычисления ковариационной меры т в случае кратных интегралов мы будем предполагать, что () - центрированный гауссовский процесс. Тогда любые конечные наборы случайных величии вида u((t, t + Д]) будут иметь совместное гауссовское распределение.
Посчитаем меру т{А\ х ... х А2к) 2А мерного куба, где А\ = {U,U + S]. Воспользуемся известной формулой для подсчета смешанных четных моментов гауссовских векторов (см., например, [8]).
Процессы с ковариационными функциями смешанного типа
Если же функции G и Я равномерно ограничены на [0, Т], то упомянутая квадратичная интегрируемость следует из соответствующей интегрируемости по мере Лебега. Заметим, что в случае броуновского моста и в случае стационарного гауссовского марковского процесса (на конечном отрезке) функции G и Н удовлетворяют этим требованиям.
Нетрудно также видеть, что конечность функционала d0, вычисленного по мере \тп\ в (20), эквивалентна условию (21). Иначе говоря, в данном примере пространства (S, do) и Сі совпадают, что качественно отличает его от соответствующего примера предыдущего пункта.
Понятно, что в вышеприведенных рассуждениях компоненты G и Н могут быть абсолютно непрерывными относительно другой сг-конечной меры (например, считающей). Скажем, можно предложить ковариационную функцию с разрывными кусочно-постоянными факторизационными компонентами. Тогда мера т будет сосредоточена в не более чем счетном числе атомов, и условие принадлежности той или иной функции пространству Li будет описываться сходимостью некоторого ряда.
Теперь опять рассмотрим кратный интеграл, но уже построенный по центрированному гауссовскому марковскому процессу с теми же условиями на компоненты G и Я, что и в предыдущем примере, где для простоты рассуждений вместо абсолютной непрерывности предполагаем непрерывную дифференцируемость этих компонент. Аналогично примеру из предыдущего пункта имеем m{Ai х ... х А2к) = Y П А . ф( « ;) (22) Будем считать длину ребра куба 8 инфинитезимальной (т. е. "достаточно малой"): так что для любых и v имеет место неравенство и + 8 v — 8. Реализуется одна из двух ситуаций: 1) при U = tj выполнено A5,Mtu tj) = 8(Н(и)С (и) - С(и)Н (и)) + 0(82); 2) если U ф tj (см. (18)), то Ы,бЩи tj) = 82G {mm{ti, tj)H {max{tu tj)) + o{82). Обозначим 9l(t) := H(t)G {t) - G(t)H (t), g2(ti, tj) := G (min(ib tj))H (max(U, tj)). Отметим, что в условиях этого пункта g\{t) 0 и g2(U,tj) 0.
Предложение 5. В данном примере ковариационная мера т может иметь ненулевую массу только на главном подпространстве и диагональных подпространствах, определяемых переменными кратности не больше 2, причем ковариационная мера произвольного о(VJl2h)-измеримого множества D Є X2k будет равна m(D) = J2 / І[Фі) 2 П 92(ti,tj)dsl...dsndt1...dtr.n, (23) L DHL =1 )eh где внешняя сумма берется по главному и всем диагональным подпространствам L, которые задаются только переменными кратности 1 и 2; г = 2к — п - размерность подпространства L, содержащего п переменных {si} кратности 2 и 2{к — п) переменных {U} кратности 1. Внутренняя сумма берется по всем разбиениям па пары множества индексов {г : г 2(к — п)}, а її - мпооїсество таких пар в фиксированном разбиении. Для любой функции f(ti,...,tk) введем обозначение ipf(h...t2k) := f(h,..., tk)f(tk+i,..., t2k) Из (23) следует, что для существования кратного стохастического интеграла от функции /(ti,..., tk) по заряду с ковариационной мерой (23) достаточно, чтобы для любого п = 0,1,..., к существовали, во-первых, интегралы / п \ Pf(si , Sif S2, S2 "Stii Sm "=! («)Є/2 а во-вторых, аналогичные интегралы при всех перестановках аргументов у функции (Pf(Si,SU 52, 52, ...Sn, S„, Ь ... 2Л-2п).
Отметим, что в важном частном случае, когда функции gi и д2 равномерно ограничены, условия квадратичной интегрируемости (по мере Лебега) ядра f(ti,..., tk) на главном и всех диагональных подпространствах Хк, которые задаются переменными кратности 1 и 2, являются достаточными для существования указанных выше интегралов, а стало быть, они обеспечат корректное задание соответствующего кратного стохастического интеграла. В частности, если продакт-мера построена по приращениям стандартного винеровского процесса, то д\ = 1 и д2 = 0, и, как нетрудно видеть, упомянутую квадратичную интегрируемость достаточно проверить на диагональных подпространствах, определяемых только переменными кратности 2. Если же ограничится рассмотрением ядер /, отличных от нуля лишь на главном подпространстве, то условие построения соответствующего кратного стохастического интеграла, который в этом случае будет совпадать с кратным интегралом Винера-Ито, становится совсем простым (см. [28], [29]):
Построение кратного стохастического интеграла по приращениям негауссовского процесса
Пусть выполнено условие (11). Тогда билинейный функционал (f,g) --= f f(t)g(s)\m\(dt,ds) обладает основными свойствами скалярного произведения в S (он будет скалярным произведением лишь в случае, когда мера \т\ положительно определена). В частности, функционал do(f) представляет собой полунорму. Стало быть, Ш + 9) \Л1Л + Ы,/ + Ы). »(/) + dQ(g), т. е. для d0(-) выполнено неравенство треугольника. Выполнение остальных аксиом нормы очевидно.
Пусть теперь условие (11) не выполнено, т. е. найдется ненулевая относительно меры Ш функция /о такая, что (/о,/о) 0. Положим /0+ := тах{0,/(а;)}, /0" := тах{0, -f(x)} и рассмотрим квадратный трехчлен R(x) := (f - rc/0 ,/ " - х/0 ),. Тогда Л(1) = (/о+ - ЛГ, /о+ - /о"). = (/о, /о). О. Поскольку коэффициент (/о",/о") при х2 квадратного трехчлена R(x) положителен (в силу условия (/о, /о)» 0 обе компоненты /0+ и /0" положительны на множествах положительной меры т), то отсюда с необходимостью следует положительность дискриминанта R(x), т. е. неравенство (/о+, fo)l (/о+, /о+) (/ Г /о-)- (25) Заметим, что это условие ("контр-неравенство" Коши - Буняковского) влечет за собой нарушение неравенства треугольника для d0( ) на указанных элементах. Действительно, 4(fo + /о") = (/о+ + /о", /о+ + /о") = (/о+- /о+) + (/о", /о"). + 2(/о+, /о") (/о+, /о") + (/о", /о") + 27(/о+ /о+) (/о-,/о"). = ( Ш) + М 7))2, т. е. функционал cfo(-) не является нормой. Предложение доказано. 3.2. Доказательство предложения 2.
Имеем по определению для любых t, s Є R и Ді, Аг 4- О m((f,t + Дх] x (s, 5 + Д2]) = E{t{t + ДО - («))((« + A2) - ( )) = (sin(t +Ді) -sint)(sin(s + Дг) — sins) + (cos(f + Ді) — cost)(cos(s +Дг) — coss) = (cos t cos s + sin t sin 5) Д1Д2 + 0(ДіДг) = cos ( — з)ДіД2 + о(ДіДг).
Таким образом, мера т, а также и мера \m\ абсолютно непрерывны относительно двумерной меры Лебега Л, причем соответствующая производная Радона-Никодима вычисляется по формуле (М) = с08( -5).
Предположим, что мера \пг\ неотрицательно определена в смысле определения (11). Это означает, что функция f(x) = cosx положительно определена в классическом смысле: п для всех натуральных п, а также всех U и zf Є R, Заметим, что / непрерывна и /(0) = 1. Таким образом, согласно теореме Бохнера функция f(x) = cosx с необходимостью является характеристической функцией, чего, как нетрудно видеть, не может быть. Стало быть, предположение о том, что мера \т\ удовлетворяет условию (11), неверно. Предложение доказано.
В силу условий на меру \т\ для любой функции h из S имеем т. е. линейное нормированное пространство (S,do) вкладывается в банахово пространство С\{Х, то). Пусть {/„} - фундаментальная последовательность функций в (5, do), а, значит, и в С\(Х, то). В силу полноты пространства С\(Х, тпо) существует предел /: /п - JWdix.mo) - 0 ПРИ п - со. Но тогда (см. [10]) найдется подпоследовательность /П(, сходящаяся к / почти всюду относительно то. Наконец, по теореме Фату имеем d0(f) = rfoOiminf/„,) liminf d0(fni) со, k{f - fn) d0(\im m{ jni - /„) liminf d0(fn, - /„) - 0 при n,m - со. Таким образом, функция f является пределом фундаментальной в (S,do) последовательности {fn}- Предложение доказано.
Сначала докажем существование последовательности ступенчатых функций вида (1), сходящихся к / в одной из двух введенных норм пространства S (т. е. в условиях пунктов 1 и 2 теоремы). Аналогичный результат для гильбертова пространства г (пункт 3) хорошо известен (см. [8]). Обозначим через а(9Л) минимальную алгебру, содержащую все элементы из 2Я, т. е. к полукольцу Ш мы добавляем всевозможные конечные объединения подмножеств из класса 9Л и их дополнений. Стало быть, классы всех ступенчатых функций, построенных по разбиениям с элементами из 9Л или из а(9Л), совпадают. Поэтому мы можем искать требуемую последовательность ступенчатых функций среди функций вида /»(0 = Е«2М«), віесс{Ш). к=1 Пусть сначала 0 /(f) М. Обозначим А»:=[1Х:ш }1 т ми}. п w п J
Понятно, что Ак Є ст(9Л) (причем эти множества могут не принадлежать алгебре а(9Л)). Тогда последовательность функций gn(t) := Х)=і TAJJ( ) приближает / в равномерной метрике, а значит, и в упомянутых двух метриках пространства S (в силу конечности меры т). Введем в ст(9Л) полуметрику по формуле р{А, В) = т(АВ U АВ). Тогда в силу известных результатов (см., например, [6]) сг(9Л) есть замыкание а(Ш) в этой полуметрике. Значит, для любых 5 0 и А Є a(ffl) найдется такое В Є a(Wl), что р(А, В) 5.
Далее, для каждого А% выберем Вк Є а(9Л) так, чтобы р(Вк, Ак) п 2. Рассмотрим теперь последовательность ступенчатых функций fn(t) := XX=i -(0 ПРИ этом конечный набор подмножеств {.В} не обязательно представляет собой разбиение выборочного пространства.
Моментные неравенства
Прежде всего отметим, что функциональное пространство So в (29) является подпространством пространства S, определенного по ковариационной функции (28) гаус-совского процесса Y(t) в первой главе диссертации. Это вытекает из условий I - III и равномерной ограниченности (в силу условия II) на квадрате [О, I]2 функции b{t,s) :=Y,(Pk(t,s) +pk(s,t) -2) к 1 (см. пункт 2.3 первой главы). Это замечание дает возможность сформулировать очевидное следствие теоремы 1: Следствие 1. Пусть f Є So. Тогда существует последовательность простых функций вида N d fN{xi,...xd):= fh,..,uYl { k Є Bjk), (40) j ii-j i=i k=i сходящихся при N — со к f в норме (30) пространства So, где при любом к d измеримые подмножества {Bjk} образуют разбиение отрезка [0,1]. Кроме того, последовательность N d пШ:= /Л,..Л ГЫ%) (41) при N - со сходится в среднеквадратичном к пределу n(f) = fx t f(t\,..., td)dY{t\)...dY{t i), не зависящему от последовательности /лг Рассмотрим теперь интегральные суммы для статистик Мизеса (7), построенные по ранее введенным простым функциям /м dp d InN -= fh hJ\Sn{Bh)= jN{xu...,xd)J\Sn{dxk). (42) ju-dd ff =i JXd =i
Лемма 5. Пусть простые функции (40) приближают f в метрике пространства So- Тогда случайные величины (42) сходятся в среднеквадратичном к соответствующей статистике Мизеса (7) равномерно по п. Доказательство. Нам достаточно установить равномерную по п фундаментальность последовательности {1%} при N — со.
Обозначим /м,лг ( 1,-, ) := fN(xi,...,Xd) — fM(xi,—,Xd)- В силу того обстоятельства, что ступенчатые функции /лг(яь ..., ) и f\i(xi,—,Xd) можно представить как линейные комбинации индикаторов одних и тех же множеств (обозначив систему этих множеств через Aj), имеем г d E( JWM)2 = E( / /м (хі,..., )П ( ))2 fc=i N+M 2d = І f\f,N(xl — xd)fM,N(xd+l —,x2d) EjJSi etej.) / 2d /M,JV( 1I -, )/ ( +1, —Ж2« )БД5П(ЛС ) Jf2d =! -Y2 I \fM,N(x\,...,xd)\\fM,N(xd+i,-,x2d)\CP(dxin)...P(dxi4T). A ."Ч.Л / Здесь последнее неравенство следует из (35), а сумма в его правой части берется по главному и всем диагональным подпространствам Xа. Далее, неравенство Коши-Буняковского дает оценку / \/м,н(хі,...,Xd)\\fM,N{Xd+l,-,X2d)\CP{dxi4i)...P(dxi4r) fli,N(xu- xd)dxi4i...dxiqr / fl4yN(xd+u...,X2d)dxi4i...dxi lr) .
Правая часть не зависит от п и стремится к нулю при М, N — оо, так как по условию теоремы последовательность /# сходится в метрике So, а значит она фундаментальна. Таким образом, мы доказали фундаментальность последовательности {1%} равномерно по п, а значит, и требуемую сходимость интегральных сумм (по эмпирической мере) к соответствующему интегралу - статистике Мизеса вида (7). Лемма доказана. Лемма 6. Последовательность случайных величин 1 , введенных в (42), при п — оо сходится по распределению к случайной величине (/лг) в (41).
Доказательство. Это утверждение является непосредственным следствием многомерной центральной предельной теоремы для конечномерных проекций стандартных эмпирических процессов, построенных по стационарно связанным наблюдениям с р или -перемешиванием, которая, в свою очередь, будет следовать из одномерной центральной предельной теоремы для стационарных последовательностей случайных величин и из классического приема Крамера - Уолда, позволяющего сводить многомерный случай к одномерному (см., например, [30], [2]). Отметим только, что для применимости центральной предельной теоремы для конечномерных распределений эмпирических процессов нам достаточно потребовать условие 5 ( 01/2 оо, fc i которое вытекает из II в силу неравенства Коши-Буняковского: 01/2 $ ( ) 21 к-2 fc i fc i jt i
Это условие вместе с леммой 1, в свою очередь, обеспечивает выполнение условий теоремы б в [30] - центральной предельной теоремы для стационарных последовательностей случайных величин, удовлетворяющих условию -перемешивания.
Лемма 7. Пусть f, fi, 2, последовательность случайных элементов со значениями в произвольном измеримом пространстве (Х,В), заданных на вероятностном пространстве (1, Л, Р). Пусть Т := {F} - семейство В-измеримых функционалов на X, для которых F( n) = F(f) при п - оо. Предположим, что существуют такие скалярные случайные величины Т),щ,г)2,..., заданные на (l,A, Р), что для некоторой последовательности Fk Є Т при к — оо имеют место следующие соотношения:
