Введение к работе
Актуальность темы. Общие ветвящиеся процессы или процессы Крампа-Мода-Ягерса E,(i), 0-t^o^ интерпретируется, как численность популяции частиц, существующих и не гибнущих в момент времени "t . Частицы живут случайное время ^ и на протяжении всей жизни могут неоднократно порождать случайные количества потомков, численность которых определяется процессом N(t) , Последний интерпретируется, как численность прямого потомства у частиц, прожившей время
t . После гибели частицы потомков не порождают, т.е. N(x)^ -А/(у ) = // при t г * .На зависимость между продолжительностью жизни ^ моментами, количеством и величиной приращений процесса M(t) никаких других ограничений нет. Ветвящийся процесс начинается в нулевой момент времени Г - О с одной частицы. Превращения всех частиц имеют одинаковые распределения, и с момента появления частицы эти превращения не зависят от поведения остальных частиц.
Общие ветвящиеся процессы были определены и начали изучаться в работах Крампа, Мода, Ягерса в 1968-1969 годах. Эти процессы являются обобщением широко известных немарковских ветвящихся процессов Б.А.Севастьянова ( tf(t) =/V/ /„ ^t\ ^
и процессов Беллмана-Харриса (Лчг) = ///(^iiL 4 и л/ - независимы). Дальнейшее усиление ограничений на распределение
1 - экспоненциальность или РІЧ - І) - 1 приводит к
марковским ветвящимся процессам с непрерывным временем или дискретным (процессы Гальтона-Ватсона).
Ветвящиеся процессы являются моделями для исследования очень широкого спектра прикладных задач. Это - описание всевозможных биологических популяций, взаимодействие с превращениями физических частиц (как атсмов, так и элементарных частиц), химические превращения, задачи массового обслуживания, теория графов и многое другое.
Общие процессы дают возможность более адекватного описания
-'3 -
реальных процессов, чем перечисленные выше, за счет возможности неоднократно порождать потомков, не обязательно связывая это с актом гибели частицы родителя. Кроме того, возраст гибели частицы родителя, количества порожденных ею потомков и возраст, в котором частица их порождает, могут с >ладать произвольными связями (речь идет о(^ »N(i)) )» чтг допустимо лишь в процессах Б.А.Севастьянова, но там порожде ие потомства означает гибель родителя.
По теории ветвящихся процессов в настоящее время имеется около десятка монографий: Т.Харрис (1966), Б.А.Севастьянов (1971), Ыод(1971), Атрея и Ней (1972), Ягерс (1975), Асмусен и Херинг (1983) и др. Довольно полную картину развития математической части теории ветвящихся процессов до 1982 года дают обзоры Кендалла (1966), Б.А.Севастьянова (1968) и А.Ы. Зубкова и В.А.Ватутина (1985), охватывающие порядка восьмисот публикаций. Однако ими не охвачен приблизительно такой же объем прикладных работ, основанных на теории ветвящихся процессов, и ряд исследований специальных моделей, которые авторы последнего обзора обещают описать позже.
В настоящее время интенсивно исследуются несколько десятков моделей ветвящихся процессов, в том числе и более общие, чем описываемые нами. Однако мы их не затрагиваем, а исследуем только критические общие ветвящиеся процессы с одним типом частиц. Условие критичности означает, что средняя численность потомков каждой частицы равна единице, т.е. M/V= 1, Если МЛ/С * і ( UN >1 ), то процессы называются докритическими (надкритическими). Условие критичности, докритичности или надкритичности процессов делит их на три качественно различных класса. Из них наиболее богатую структуру имеют критические процессы, что отражается в преобладании объема исследований указанных процессов над остальными. С другой стороны, свойства докритических и надкритических процессов преимущественно описываются экспоненциальными функциями (рост численности частиц, рост или убывание средней численности и т.д.), что плохо согласуется с многими практическими задачами на
больших интервалах времени. Критические процессы или близкие к ним (/4/V~ 1 ) имеют более широкую сферу приложений.
Глубокие качественные и структурные исследования марковских ветвящихся процессов проведены в работах А.М.Яглома(1947), Б.А.Севастьянова (1951), В.М.Золотарева (1957), Слэка (1968, 1972) и др. Целостное описание процессов Беллмана-Харриса с проявлением качественно новых свойств (предельных теорем) было завершено в последние годы В.А.Ватутиным.
Основой для тонких исследований процессов Беллмана-Харриса послужил метод Гольдштейна (1971). Суть этого метода состоит в двусторонней оценке производящей функции исходного процесса через производящую функции специально подобранного процесса Гальтона-Ватсона и сверки распределения . Этот метод был развит Хольте (1976) и для общих ветвящихся процессов. Однако он плохо приспособлен к исследованию последних процессов и результаты получались только в ситуациях мало отличающихся от характерных для процессов Беллмана-Харриса с довольно сильными моментными ограничениями.
В свете сказанного выше актуальными задачами для развития теории ветвящихся случайных процессов являются: разработка методов исследования тонких свойств общих ветвящихся процессов, описание этих свойств при вариации условий на исходные характеристики процессов и изучение возможностей получения качественно новых предельных теорем, возникающих за счет усложнения модели.
Цель работы. Разработать методы исследования общих ветвящихся процессов, адекватные их довольно сложной структуре, и детально описать основные асимптотические свойства критических общих ветвящихся процессов (вероятности невырождения процесса к фиксированному большому моменту времени, моменты процесса, всевозможные нормированные вероятности уклонений).
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации изложены принципиально новые подходы к исследованию ветвящихся процессов - метод одного
_ 5 -
вероятного пространства и метод мультипликативной регуляризации. Суть их состоит в подмене характеристик исследуемых процессов на близкие, но обладающие дополнительными условиями регулярности, что почти не изменяет асимптотических свойств процессов, но качественно улучшает аналитические свойства уравнений для производящих функций, или представлении решений уравнений в виде произведения некоторой регулярной функции и необходимой для равенства, а в итоге доказывается, что эта регулярная функция либо грубо эквивалентна, либо просто эквивалентна искомой функции. Эти методы позволяют глубоко исследовать структуру критических общих ветвящихся процессов и обнаружить ряд качественно новых свойств общих процессов, которые в принципе невозможно реализовать на более простых моделях. Интерпретируя процессы Беллмана -Харриса и Б.А.Севастьянова, как частные случаи общих, за счет методов исследования наши результаты часто являются более общими, чем имевшиеся ранее. Большая форма общности заключается в менее ограничительных предпосылках теорем и получении критериев, тегда как ранее утверждения имелись толь ко в одностороннем виде. Эти методы могут применяться и при исследовании других моделей. В частности, с их помощью можно доказывать некоторые утверждения из теории восстановления, что продемонстрировано в диссертации при описании;математического ожидания процесса (получена теорема восстановления в неисследованной ранее области).
Работа выполнялась в рамках научно-исследовательской темы ВЦ СО АН СССР "Разработка и исследование детерминированных и стохастических моделей и методы их анализа", № гос.рег^ , 81054408. Результаты публикаций по теме диссертации используются другими авторами, отражены в научных обзорах и включены в некоторые справочники. *->< у
Основными результатами и положениями, определяющими научную новизну и выноеимые на защиту, являются следующие:
-. методы одного вероятностного пространства имультиплика-тивной регуляризации для ветвящихся процессов; . .
описание методов получения оценок и асимптотика вероятности продолжения процесса в момент времени t при различных ограничениях на исходные характеристики процесса (от конечности моментов до условий существенно более слабых, чем правильное изменение производящих функций и хвостов распределений для случайных величин, определяющих превращения отдельной частицы);
асимптотика вероятностей уклонений процесса при разнообразных ограничениях на случайные величины, определяющих превращения отдельных частиц (включая отказ от конечности ряда математических ожиданий), и при различных нормировках;
асимптотика вероятностей уклонений общего числа частиц, появляющегося в процессе, вырождающемуся к моменту времени при вариации ограничений на процесс и нормировок ( каки в предыдущем абзаце), а также асимптотика моментов всех порядков для указанной случайной величины.
Апробация полученных результатов. Основные результаты диссертации докладывались на: научных семинарах в ИМ СО АН СССР (Новосибирск, 1979-1988), в МГУ (Москва, 1984), в МИнАН СССР (Москва, 1987), в ЛОМИ АН СССР (Ленинград, 1989У^УССР (Киев, 1987, 1988), в ИПММ АН УССР (Донецк, 1988), в ОКО ВЦ СО АН СССР (Омск, 1979-1988); ряде региональных школ и конференций, Четвертой международной конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюе, 1985), Первом всемирном конгрессе общества им.Бернулли (Ташкент, 1986), Ш Ферганской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Фергана, 1983).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ в ДАН СССР, ж.Теория вероятностей и её применения, ж. Сибирский математический журнал, трудах ИМ СО АН СССР и ВЦ СО АН СССР, тезисах и трудах международных и всесоюзных конференций.
Основные результаты изложены в (1-Ю).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы,
насчитывающего 87 наименований и изложена на 227 страницах машинописного текста.
