Последовательные методы проверки статистических гипотез и обнаружения разладки Житлухин, Михаил Валентинович

Постановка задачи об оптимальной остановке марковского процесса. Существование решения

Вторая задача последовательного различения гипотез, рассматриваемая в диссертации, — задача проверки двух гипотез о значении сноса броуновского движение, где требуется минимизировать максимальное среднее время наблюдения при ограничении на вероятность ошибочного решения. Вопрос подобного типа был поставлен Дж. Кифером и Л. Вейсом [25] в случае дискретного времени, а затем исследовался и другими авторами как в дискретном, так и в непрерывном времени. Причиной рассмотрения такой постановки служит тот факт, что критерий Вальда обладает достаточно большим средним временем наблюдения, если истинное значение параметра не совпадает со значениями в проверяемых гипотезах. Например, в работе [3] было показано, что он может даже уступать критерию с заранее фиксированным объемом выборки. Таким образом, возникает естественное желание найти решающее правило, минимизирующее максимально возможное среднее время наблюдения.

Для броуновского движения данная задача заключается в построении решающего правила (т , d ): основанного на наблюдении за процессом Xt = lit+Bt, которое обладает вероятностями ошибочных решений P(d = 1 /І = /І2) и P(d = 2 /І = /ІІ), не превосходящими заданной величины а, и при этом минимизирующего maxM Е(т /І = и). Данная задача, как и критерий Вальда, дана не в байесовской постановке (здесь /І — числовой параметр), однако ее решения все равно основывается на сведении к вспомогательной задаче об оптимальной остановке. Будет показано, что оптимальный момент остановки наблюдения т является моментом выхода наблюдаемого процесса X на некоторую криволинейную границу, a d определяется по значению Хт \ для границы будет получено интегральное уравнение, которое будет решено численно. Данный результат дополняет многочисленные имеющиеся в литературе результаты, посвященные изучению асимптотических свойств оптимальных решающих правил (см., например, работы [2, 26, 55], относящиеся к задаче для броуновского движения). 3. Опишем теперь суть задач обнаружения "разладки". Пусть на некотором вероятностном пространстве (Г2,#",Р) задан наблюдаемый случайный процесс X = [Xtjt Qi имеющий структуру xt=\Nu t 9 \St-o + Nu t 6, где N = (Nt)t o и S = (St)t o, S ф 0, — некоторые случайные процессы на (Г2,#",Р), а 9 0 — неизвестная величина. Процесс S интерпретируется как сигнал, а 9 — как момент его появления (момент "разладки2"). Предполагается, что 9 непосредственно не наблюдаема, а наблюдатель может судить о значении 9 лишь по изменениям в структуре процесса X. Задача состоит в обнаружении разладки по результатам последовательного наблюдения за X как можно скорее после того, как она произошла.

Каждая процедура подачи сигнала о наступлении разладки отождествляется с моментом остановки г относительно фильтрации х = (# ) о, = a(Xs] s t). При этом "хорошие" моменты подачи сигнала должны быть как можно более близкими к моменту разладки 9.

Активное исследование методов обнаружения разладки началось в 1950-60-х гг. в работах А. Н. Ширяева, С. Робертса, Э. Пэйджа и др. (см. [32, 33, 39, 58-60]); отметим также метод контрольных карт, предложенный У. Шьюартом в 1920-х гг. [40].

Байесовская постановка задачи обнаружения разладки была предложена в работе А. Н. Ширяева [60] для процесса броуновского движения и формулируется следующим образом. Пусть на вероятностном пространстве (Q, #", Р) задан случайный процесс X = (Xt)t o со структурой Xt = fi(t - в)++ Bt, где В = (Bt)t o — стандартное броуновское движение на (Г2,# ,Р), 9 — экспоненциально распределенная случайная величина с известным пара 2 Термин "разладка" происходит из применений данной теории в вопросах контроля качества продукции, где момент в интерпретируется как сбой (разладка) оборудования. Процесс N соответствует доле брака в готовой продукции при нормальном режиме работы, а процесс S — дополнительной доле брака после сбоя. метром Л, и /І 7 0 — известная константа. В обозначениях выше, Nt = Bt,

St-e = {t- ЄУ. Критерий качества обнаружения разладки заключается в нахождении оптимального момента остановки т фильтрации Fx, минимизирующего среднюю величину риска 7(т), состоящего из штрафа за ложную тревогу и штрафа за запаздывание: Щт) = гР(т в) + сЕ(т - 0)+, где г 0 штраф за ложную тревогу, а с 0 — штраф за единицу времени запаздывания. Без ограничения общности считают г = 1, что и будет предполагаться далее.

Задача нахождения т решается путем сведения ее к задаче об оптимальной остановке для процесса апостериорных вероятностей 7Г = (щ)г о, 7i t = Р(# t ) А именно, момент т может быть найден как минимизирующий математическое ожидание (см., например, [60, 63])

В третьей главе диссертации будут рассмотрены более сложные модели стохастических систем с разладкой. Сначала в 3.1 будет сформулирована общая постановка байесовской задачи о разладке на фильтрованном вероятностном пространстве, частным случаем которой являются задачи о разладке случайных процессов и случайных последовательностей.

Ключевым результатом, излагаемым в 3.2, является теорема о сведении задач обнаружения разладки к задачам об оптимальной остановке для обобщенной статистики Ширяева-Робертса ф. Выводится стохастическое дифференциальное уравнения, которому удовлетворяет процесс ф = (ifjt)t o, и устанавливается, что в случае разладки диффузионного процесса X пара (ф, X) является марковским процессом. Это дает возможность применять методы общей теории об оптимальной остановке марковских процессов. Полученный результат дополняет работы [42, 61].

В 3.3 рассматривается задача о разладке броуновского движения, когда момент разладки в принимает значения из конечного отрезка и равномерно распределен на нем. Равномерное распределение является естественной моделью разладки на отрезке при отсутствии дополнительной априорной информации о структуре #, так как оно обладает наибольшей энтропией (по этой же причине экспоненциальное распределение является естественной моделью разладки на полупрямой).

Данная задача оказывается существенно труднее задачи о разладке с экспоненциальным распределением #, так как ее удается свести лишь к неоднородной марковской задаче об оптимальной остановке, где оптимальные границы остановки не являются прямолинейными. Для решения применяются общие результаты, доказываемые в главе 1.

Материал 3.4 посвящен задачам об оптимальной остановке броуновского движения и геометрического броуновского движения с разладкой на отрезке. Рассматривается модель, где у данных процессов коэффициент сноса изначально положителен, а после разладки меняется на отрицательный. Задачи заключаются в нахождении моментов остановки, максимизирующих среднее значение остановленных процессов. В случае экспоненциального распределения момента разладки данная модель изучалась ранее в работах [5, 15, 41], где ей придавалась экономическая интерпретация вопроса выбора оптимального момента продажи акции. 4. Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, приложения, списка обозначений и списка литературы.

Интегральные уравнения для границ множеств остановки

Пусть X = (Xt, 9t)Vx) — непрерывный строго марковский процесс на фильтрованном измеримом пространстве (Г2, #",F) со значениями в фазовом пространстве (S, S). Обозначим за 9JT множество марковских моментов фильтрации F. Предположим, что задана функция G: S — К. такая, что математическое ожидание EXG(XT) определено2 для любых х Є S, т Є 9JT, где на множестве {г = оо} значение G(XT) полагается равным +оо.

Определение. Задача об оптимальной остановке, записываемая в виде V(x)= inf EXG(XT), xeS, заключается в нахождении функции V(х) и момента остановки т Є 9JT, на котором достигается инфимум для каждого значения х Є S. Если такой т существует, он называется оптимальным моментом остановки3. Функция V называется функцией цены.

Далее, не оговаривая этого отдельно, мы всегда будем предполагать, что S С Жа и S — борелевская сг-алгебра на S, а процесс X непрерывен (т.е. его траектории t ь-) Xt(uj) являются непрерывными функциями при всех uj Є Q). Именно такие марковские процессы будут возникать в задачах последовательного анализа, изучаемых в главах 2 и 3. Основным результатом данного параграфа является теорема о том, что при некоторых дополнительных предположениях оптимальным моментом остановки, минимизирующим FixG(XT) для всех х Є S, является момент TD первого попадания процесса X в множество остановки D:

TD = M{t 0:ItGD}, D = {х Є S : V{x) = G{x)}, где T)( x ) = оо на множестве {ш : Xt(uj) . D для всех t 0}. (Множество С = {х Є S : V(x) G(x)} называется множеством продолжения 2 Математическое ожидание Е случайной величины считается определенным, если min{E+, Е } оо. В этом случае Е = Е+ — Е_, где Е может принимать значения ±оо. 3Так как полагается G(XT) = оо на множестве {т = оо}, то Рж(т оо) = 1 для всех х Є S, т.е. т действительно является моментом остановки. наблюдений.)

Данное утверждение является одним из ключевых в теории оптимальной остановки марковских процессов (см., например, [35, 63]). Однако общие результаты о его справедливости хорошо известны лишь в случае, когда процесс X и функция G удовлетворяют условиям

остановке, G ограничена сверху, Ех sup \G(Xt)\ оо для любого х Є S (второе условие, впрочем, можно ослабить, заменив G(JQ) на G+(Xt), см. [63, Глава III]). В задачах об оптимальной рассматриваемых в последующих главах, данное условие может быть не выполнено. В связи с этим, мы введем более слабое условие, позволяющее доказать желаемые результаты:

Доказательство теоремы будет проведено аналогично [35, 2.2] и основано на двух вспомогательных леммах. Первая показывает, что при нахождении оптимального момента остановки достаточно ограничиться лишь моментами из множества 9Л = {г Є 9JT : т(ш) TE O{UJ) при всех ш Є Q}, Следующая лемма показывает, что при выполнении условия (А) функция V является наибольшей ШТ-субгармонической функцией, мажорируемой функцией G, т. е. если F — некоторая ШТ-субгармоническая функция и F{x) G{x) для всех х Є S, то V(x) F{x) для всех х Є S.

Лемма 1.2. .Если выполнено условие (А), то функция цены V является наибольшей дЛ-субгармонической функцией, мажорируемой функцией G.

Доказательство. Ясно, что V(x) G(x) для всех х Є S (для этого в определении V(x) достаточно рассмотреть момент остановки т = 0). Докажем, что V является 9Л-субгармонической.

4 В стандартном определении субгармонической (или супергармонической) функции рассматривают моменты т из всего множества 9JT; см., например, [35, 63]. Зафиксируем произвольное х Є S и произвольный марковский момент о" Є 9Л. Из Леммы 1.1 и строго марковского свойства процесса X следует равенство V(Xa) = essinf Ех(С(Ха+това) &„). Покажем, что найдется последовательность моментов {rn}n i, тп Є 9Л, таких, что V(Xa) = lim Ex(G(Xa+Tn0,J I #,), П—т 00 причем последовательность случайных величин {Ex(G(Xa+Tn0ea) #a)}n i является невозрастающей Рж-п.н. Согласно [35, Лемма 1.3], для этого достаточно проверить, что семейство ZT = Ex(G(Xa+TOgij) I сг)}тет о является направленным вниз в следующем смысле: для любых ті,Т2 Є 9JT0 найдется т Є 9Л такой, что ZT min{ZTl,ZT2}. Непосредственно устанавливается (см. [35, Следствие 2.9]), что достаточно взять т = Т\1А + Т2ІП\А, где событие А є #о определено следующим образом А = {ш : EXo(u)G(XTl) EXo(w)G(XT2)}. (Ex0(w)C(XT.) является случайной величиной, значение которой на си Є Г2 равно /(X0(w)) с функцией /(ж) = ЕЖС(ХТ.)). По теореме о монотонной сходимости ExV(Xa) = lim ЕхС(Ха+Тп0ва) V(x), П—7 00 что доказывает 9Л-субгармоничность функции V. Применимость теоремы о монотонной сходимости следует из условия (А.2). Если F — некоторая другая 9Л-субгармоническая функция, мажорируемая функцией G, то для любых х Є S, т Є 9Л справедливо неравенство F(x) EXF(XT) ExG(Xr). Беря инфимум по г Є 9Л и пользуясь равенством (1.1), получаем F(x) У(ж).

Доказательство теоремы 1.1. Для каждого є 0 определим мно жество D и момент TDE первого попадания в него: D = {x: V(x) G(x) - є}, rDe = mf{t 0 : Xt Є D}. Так как функции V и G непрерывны, то для каждого є 0 множество D замкнуто. Докажем, что для любого х Є S ExV(XTJ = V(x). (1.2) Так как гоє гро, то ЕжУ(ХТВє) У (ж) в силу ШТ-субгармоничности функции V. Из строго марковского свойства следует, что функция х ь- ExV(XTDe) тоже является ШТ-субгармонической (см. [35, Теорема 2.7]), и, значит, для доказательства неравенства EXV(XT ) V(x) достаточно установить, что для всех х Є S (так как У является наибольшей ШТ-субгармонической функцией, мажорируемой G). Положим с = s\Y x{ExV{XTDe) — G{x)). Имеем с +оо, так как с supx(ExG(XTDE) — G(x)) +оо, где первое неравенство справедливо так как V(x) G(x): а второе неравенство справедливо в силу условия (А.1). Таким образом, G(x) ExV(XTDe) — с.

Функция х ь- EXV(XTD ) — с является 9Л-субгармонической, и, следовательно, V(x) ExV(XTDe) — с. Для произвольного 0 5 є выберем точку xs Є S так, что с EXSV(XTDE) — G(x$) + S. Тогда, в силу предыдущего неравенства, V(x$) G(x$) — S G(x$) — є. Значит, xs Є D и ЕЖ(5У(ХТ) ) = G(IEJ). Следовательно, с 5 и, устремляя 5 — 0, получаем с 0, что доказывает (1.3), а вместе с ним и (1.2).

Задача Кифера-Вейса

Здесь считается, что W — это броуновское движение заданное каноническим образом как марковский процесс на вероятностном пространстве непрерывных функций; OlY обозначает класс моментов остановки т фильтрации (# ) 1, удовлетворяющих неравенству т 1 — t. В данной задаче функционал Майера G(t функционал Лагранжа L(t,x) = k/(l — t)2. Как следует из теоремы 1.2, У 0,а0 = У{0,іло/ао) + к.

Покажем, что V(t,x) удовлетворяет условиям (i)-(viii) теоремы 1.4. Справедливость (i)-(iii) сомнений не вызывает; проверим (iv)-(viii). Для этого будет удобно представлять функцию цены в виде где E — математическое ожидание в предположении, что W — стандартное броуновское движение. Это представление эквивалентно (2.11) (в том смысле, что они приводят к одинаковым значениям V(t, х) и одинаковым множествам остановки) опять же в силу теоремы

В силу монотонности, чтобы доказать непрерывность V(t,x) достаточно доказать ее по каждому аргументу. Непрерывность по х следует из того, что для любых t Є [0,1), ж, а/ Є Ж. справедливо неравенство где процесс W = (W/jt e, Wt = W — W, является броуновским движением. В правом неравенстве воспользовались теоремой из приложения 3. Беря в (2.13) инфимум по всем моментам г Є OlY получаем, что V(t,x) EV(t + e,W + x) — у/є. По доказанному выше, \EV(t + e,W + x) — V(t + e,x)\ E\W\ = \Дф. Таким образом, 0 V(t,x) -V(t + e,x) — (у/є+ у/2є/іг), что доказывает непрерывность функции V(t,x) по t.

Чтобы показать, что оптимальным моментом остановки является момент первого попадания в множество D = {(t,x) : V(t,x) = —\х\}: проверим условие (А ). В качестве множества Do возьмем Do = {(t,x) : t Є [0,1], \х\ (3(1—t)} с константой /3 = 1/(2к). Покажем, что Do С D. В силу неубывания функции V(t, х) + \х\ достаточно показать, что V(t, (3(1 —t)) —(3(l—t) для всех t Є [0,1] (причем, на самом деле, здесь будет равенство). Имеем

В (1) воспользовались формулой Ито-Танаки (формулой Ито с локальным временем на уровне (—х); см. приложение 1), где L x = (L x)t \ обозначает локальное время процесса W на уровне (—ж); в (2) воспользовались тем, что г r/(l—r — t) для г 1 — t и локальное время является неубывающим процессом; в (3) воспользовались тем, что для любого момента остановки г 1 — t момент а = т/(1 — т — t) также является моментом остановки; наконец, в (4) снова воспользовались формулой Ито-Танаки. Так как E\Wa + х\ л/Еа + ж2, то получаем где во втором неравенстве воспользовались тем, что, как проверяется непосредственно, выражение под знаком инфимума не меньше —/3(1 — t) для любого значения Ест 0. Итак, Do С D.

Математическое ожидание Ет(,ж) можно оценить сверху математическим ожиданием момента выхода модуля броуновского движения на уровень /3\/1 — t, равным /32(1 — t), что и доказывает (2.15). Условие (v). Из доказанной монотонности V(t, х) + \х\ следует, что множество продолжения наблюдения С = {(t,x) : V(t,x) \х\} представимо в виде С = {(t,x) :0 1, \х\ a (t)}, где a (t) - некоторая неотрицательная невозрастающая функция на [0,1]. При этом a (t) /3(1— t) = CT:Q(1—)/4 для всех t Є [0,1], как следует из рассуждений выше. Используя это неравенство, непосредственно проверяется условие (1.7), а условия (1.8)-(1.9), очевидно, выполнены. Непрерывность а следует из леммы 1.3. Наконец, a (t) 0 для всех t Є [0,1), так как точки (t, 0) принадлежат множеству продолжения наблюдения при t 1 — действительно, для достаточно малого детерминированного г 0 имеем Е WT = у/2т/тг к/(1 —т — t) — к/(1 -1), и, следовательно, V(t, 0) 0.

Условие (vi). Функция х ь-» V(t,x) вогнута при каждом t Є [0,1], так как математическое ожидание под знаком инфимума в (2.12) есть вогнутая функция по х. где во втором равенстве воспользовались тем, что функция V ограничена и a (t) —0 при 1, а, следовательно, первый предел равен нулю по теореме о мажорируемой сходимости. Условие (viii). Следуя замечанию 1.1, достаточно лишь установить, что V_(t,a (t)) G x(t,a (t)) дляє [0,1). Зафиксируем t Є [0,1) и положим х = a (t). Выберем малое є 0, и пусть т — оптимальный момент остановки для V(t,

Отметим, что в работе [9] задача проверки Н+ и Н_ сводилась к задаче об оптимальной остановке для процесса X = (Х ) - , Х[ = Xt_xia2 +/ІО/С"О- Доказывалось, что оптимальный момент остановки т имеет вид где некоторая функция, строго положительная при t 0 (оптимальная граница остановки) и не зависящая от /ІО, С"О Как следует из конструкции процессов W и Х : оптимальные границы остановки аао и Ъ связаны равенством Таким образом, зная семейство {аа0( )}а0, можно найти &(), и наоборот.

Для численного нахождения оптимальных границ остановки мы воспользуемся методом обратной индукции, описанным в замечании 1.2. В качестве примера на рис. 2.1 слева приведен график оптимальной границы остановки аао(t) для процесса W при 0 = 3/2. Справа приведен график оптимальной границы b(t) для процесса X .

В этом параграфе мы рассмотрим задачу проверки двух гипотез о значении сноса броуновского движения, где требуется построить решающее правило минимизирующее максимальное среднее время наблюдения при заданном ограничении на вероятность принятия неверной гипотезы. Задача является не байесовской, но ее решение все равно основано на све дении к вспомогательной задаче об оптимальной остановке марковского процесса.

Оптимальная остановка броуновского движения и геометрического броуновского движения с разладкой на отрезке

Полученные выше уравнения для процессов ф , tp, 7Г удобны, если рассматривать их по мере Р00, относительно которой наблюдаемый процесс X является броуновским движением. В литературе, однако, задачи о разладке часто также сводят к задачам об оптимальной остановке по исходной мере Р. Ввиду этого обстоятельства, приведем уравнения для процессов (/?, 7Г содержащие броуновское движение относительно Р.

Используя полученные общие результаты, в данном параграфе решается задача обнаружения разладки броуновского движения, когда момент разладки 9 имеет равномерное распределение на конечном отрезке и функция штрафа линейна или экспоненциальна на неотрицательных значениях своего аргумента.

Отметим, что задача о разладке броуновского движения на отрезке рассматривалась ранее в работе [18], где предполагалось, что момент разладки имеет экспоненциальное распределение, но наблюдатель обязан подать сигнал тревоги до некоторого фиксированного момента времени Т (при этом разладка может и не произойти до момента Т).

В случае, когда нет дополнительной априорной информации о структуре распределения 0, равномерное распределение является естественной моделью разладки на отрезке, как обладающее наибольшей энтропией; по этой же причине, экспоненциальное распределение естественно при разладке на [0, оо).

Итак, рассматривается модель (3.14) с постоянной функцией /І(Ж) = /І, в которой наблюдается процесс X = (Xt)t o, Xt = /i(t - 0)+ + ви t O. Предполагается, что момент разладки в имеет равномерное распределение на отрезке [0,Т], возможно с массой в точке 0, т.е. его функция распределения G(t) имеет вид G(t) = (3(0) + pt при t Т, G(t) = 1 при t Т, где р = (1 — G(0))/T. Величина G(0) равна вероятности того, что разладка присутствует с начала наблюдений, а константа р 0 представляет плотность в на интервала (0,Т).

Будем рассматривать функции штрафа H(t): которые принадлежат классу Липшица на [—Т, 0) (при t = 0 не требуется даже непрерывность) и либо линейны, либо экспоненциальны при t 0 в смысле (3.5): где 6, с 0 — константы, и в линейном случае для удобства полагаем 6 = 0. Ввиду результатов о сведении условно-экстремальных байесовских за дач обнаружения разладки к экстремальным, мы детально рассмотрим только последние. Пример задачи первого типа приведен в пункте 4.

Напомним, что экстремальная постановка байесовской задачи обнаружения разладки заключается в нахождении момента остановки т Є 9JT, на котором достигается минимум среднего штрафа: где 9JT обозначает множество всех моментов остановки, согласованных с наблюдаемой фильтрацией F = ( t)t o, - t = o-(Xs; s t).

Основной результат параграфа представлен в следующей теореме, утверждающей, что оптимальным моментом в задаче (3.21) является момент первого выхода обобщенной статистики Ширяева-Робертса г ь на некоторую криволинейную границу.

Напомним, что, как следует из формул (3.16)-(3.17), в рассматриваемой задаче г ь удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению Мы также будем рассматривать г ь как марковский процесс (возможно, на другом вероятностном пространстве; как это описано в 3, пункт 3, и символом Р 3 обозначать меру, относительно которой г ь удовлетворяет вышеуказанному стохастическому дифференциальному уравнению с процессом X являющимся стандартным броуновским движением и начальным условием щ = х. Символом Е 3 будем обозначать математическое ожидание по мере Р

Докажем, что задача удовлетворяет условиям (i)-(viii) теоремы 1.4. Доказательство приведем в виде общей леммы, которая будет также использоваться в следующем параграфе.

Лемма 3.1. Пусть А Є К. и h(t) - невозрастающая ограниченная функция, являющаяся строго положительной и принадлежащей классу Липшица на [0,Т). Тогда функция цены удовлетворяет условиям (i)-(viii) теоремы 1.4 Доказательство. Для удобства будем опускать верхние индексы у процесса ф ь и математического ожидания Е00, записывая просто иЕ. Для каждого конкретного значения х 0 процесс ф будет удобно представлять в форме (3.22) с броуновским движением X (возможно, на другом вероятностном пространстве), что не изменяет значения функции цены и множества остановки в силу теоремы 1.2.

Условия (i)-(iii) проверяются непосредственно; проверим (v)-(viii). Заметим, что функция e xtV(t, х) не убывает по , так как h{t) не возрастает и инфимум в определении V(t, х) берется по меньшему классу моментов при увеличении t, и e xtV(t,x) не убывает по ж, как ясно из (3.22).

Для доказательства непрерывности V(t,x) достаточно доказать непрерывность e xtV(t, ж), которую, в силу монотонности, достаточно доказать лишь по каждому аргументу. Фиксировав t Є [0,Т], для произвольных О Х\ Х2 и произвольного момента остановки г Є Шїт имеем

Похожие диссертации на Последовательные методы проверки статистических гипотез и обнаружения разладки

Математическое моделирование некоторых методов проверки статистических гипотез, основанных на теории больших уклоненийРоманова Татьяна Анатольевна

Статистический анализ и проверка гипотез о распределении экстремумов временного рядаРодионов Игорь Владимирович

Асимптотически минимаксные задачи проверки гипотез при непараметрических альтернативахИнгстер, Юрий Измайлович

Асимптотический анализ распределений некоторых асимптотических эффективных статистик в задачах проверки гипотезБенинг, Владимир Евгеньевич

Асимптотические свойства критериев согласия для проверки гипотез в схеме выбора без возвращения, основанных на заполнении ячеек в обобщенной схеме размещенияКолодзей Александр Владимирович

Локально наиболее мощные критерии проверки гипотез о параметрах случайных процессов с дискретным временемНовиков, Петр Андреевич

Исследования последовательных процедур проверки статистических гипотезНовиков, Владимир Викторович

Теоремы о больших уклонениях в задаче проверки статистических гипотезМедведева, Марина Ивановна

Обновляющие процессы и поля и их использование в задаче проверки параметрических гипотез в RmНикабадзе, Автандил Мамиевич

Ядерно-физический метод обнаружения взрывчатых и делящихся веществ на основе использования импульсных источников нейтронного излученияФиалковский Андрей Михайлович