Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Задача построения асимптот иле ски минимаксных тестов проверки гипотез и исследование асимптотики минимаксной эффективности занимает видное место среди задач математической статистики.. Это связано с тем, что для сложных многомерных гипотез или альтернатив, как правило, не существует равномерно наиболее мощных тестов, так что для выбора "наилучшего" теста требуется критерій качества. В непараметрическом случае одним из наиболее естественная критериев качества тестов является минимаксный.
Общая теория минимаксных процедур была заложена А.Вальдом ь> конце тридцатых годов, однако за редкими исключениями общие методы не давали возможности конструктивного нахождения решений в иошфй-ных задачах. Дальнейшее развитие минимаксный подход получал з асимптотическом варианте в параметрических задачах в 40-х - 70-;: годах, что связано с работами А.Вальда, Л.Ле Кама, С;Р. Рао, Я. Гаека, Ч. Стейна, Г. Рубина, Й.А. Ибрагимова, Р.З.Хасьминского, Д.М. Чибпсова, Дж.Русаса, А.А. Боровкова и др.
В непараметрических задачах асимптотически минимаксный подход развивался, в основном, в рамках теории оценивания и связан с работами Н.Н. Ченцова, Р. Фарелла, Т. Мейера, И.А. Ибрагимова, Р.З. Хасьминского, М.С. Пинскера, С.Ф. Щроймовича и др. Это потребовало разработки новой техники, связанной с использованием методов теории приближения функций, теории информации и других смежных областей математики, и выявило ряд принципиальных особенностей непараметрических задач оценивания: в первую очередь, сущебтвенное отличие от классической асигштотини минимаксного риска оценивания, ее зависимость от геометрических свойств множества оцениваемых параметров.
Вместе с тем до начала 80-х годов, несмотря на существенное развитие асимптотической теория минимаксного непараметрического оценивания, аналогичные задачи проверки гипотез оказались практически вне поля зрения статистиков. Хотя шло инте'нсивное изучение различных непараметрических-тестов в различных задачах проверки гипотез (изучение их мощности, состоятельности-для семейств простых альтернатив или параметрических подсемейств), их свойства оптимальности с минимаксной точки зрения практически не изучались, также как, за редкими исключениями, не изучалась проблема построения оптимальных тестов с минимаксной точки зрения.
*
В этой связи и учитывая многочисленные параллели между задача-ж оценивания и проверки гипотез, развитие асимптотически минимакс-.'D-'o подхода для непараметрических задач проверки гипотез стало вао.х.;« актуальным.
Хотя естественные минимаксные постановки задачи, аналогичные чаог/^атриваемой в работе, рассматривались еще Манном и А.Вальдом '19"2}t Ч.Стейном (Ї956), их систематическое изучение было начато ,-'--::ороы в начале 80-х годов. Со второй половины 80-х годов исследо-іектід з этом направлении велись такне М.С. Ермаковым.
В работе рассматривается следующая постановка задачи. Имеется* семейство статистических экспериментов (SJ^i^jPf 9>t?e Q) , где -> t0 - асимптотический параметр, Рє & - вероятностная мера на из-«зримом пространстве (%ttl(), - множество параметров, которое' предполагается бесконечномерным (в этом смысле понимается непарамет-рячность). Мы ограничиваемся случаем проверки простой гипотезы И о' &=&<> и рассматриваем семейства альтернатив вида у-\ \&&-^УГс » гйе V^ - заданное семейство окрестностей точки &0 и (9 . Минимаксные свойства теста (^.:/ЯMt)~*{iPA\ $)
характеризуются величиной a^fy^J^t $ t вероятности ошибок первого рода и максимальной вероятностью ошибок второго рода & (l^c ) = = ь*р ft*f pfi-'Vf ) : & & г}J/um сУчмой этих величин у Сил 1 ^
'^eWe) ^fteWs)» а минимаксная различиглость гипотез характеризуется минимаксным риском Y= ^-5^((^) или минимаксными вероятнос-
тями ошибок а (ы.) = си$- [ fit^t ):<*г^.) -* }, oc&(Oj 1).
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Цель работы состоит:
а) в изучении асимптотики вероятностей ошибок р^ [Ы) и мини
максного риска % в зависимости от свойств множества Q парамет
ров и удаляемых окрестностей Vf нулевой гипотезы, в частности,
определение условий минимаксной различимости ( Уе -* О ) и нераз
личимости { jfi~* d. .), -г <, ;
б) в построении асимптотически минимаксных семейств тестов иА
и у/|. (для которых хе ifjU ).dCtoCi%b (ft^) bfcU)ro(L) )U
или Yz () ~%t *~1^-)); в частности, при У ~f & - построение состоятельных в минимаксном смысле семейств тестов (У , для которых: tfz () -+0> L-+ Е0.
в) в изучении и сопоставлении минимаксных свойств различных
классов тестов;
г) в сопоставлений минимаксных непараметрических задач проверки гипотез с конечнопараметрическими задачами, а также с не-лараметрическими задачами оценивания.
В диссертационной работе эти задачи изучаются для двух важнейших семейств статистических экспериментов:
- наблюдений неизвестного сигнала & - Ъ & L % (О, L ) в гаус-
совском белом шуме интенсивности і -9 р ; (н) = Sс.Ьг(Л)і
Q0 - ^о = О (задача обнаружения сигнала);
- наблюдений независимой однородной выборки длины = N-+ оо
с неизвестной плотностью распределения 9-^6 Ь\ на заданном вероятностном пространстве (D? 1/} J? ) (задача проверки гипотезы о равномерности плотности распределения: 0О-% = І} ~^С^(Х,^,Р/
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Исследование асимптотики минимаксных вероятностей ошибок и риска, изучение условий различимости и неразличимости, построение асимптотически минимаксных и состоятельных семейств тестов требует разработки методов построения асимптотических нижних и верхних границ величин ^еС<*) и У , Методы построения нижних границ основаны на исследовании асимптотики отношения правдоподобия в байесовских задачах проверки гипотез для нескольких классов семейств априорных мер на множествах параметров. В результате мы приходим к более простым экстремальным задачам на рассматриваемых классах априорных мер или параметров, их характеризующих. Методы построения верхних границ основаны на изучении асимптотики минимаксных свойств нескольких классов семейств тестов (возникающих при анализе байесовских задач проверки гипотез и некоторых других). При этом мы приходим к экстремальным задачам, в определенном смысле двойственным к задачам, возникающим при построении нижних границ, что, по существу, определяет асимптотическую минимаксность тестов. Непараметрический характер задачи оказывается даже полезным, поскольку появляется возможность использования дополнительной "асимптотики по размерности" (конечномерные аналоги многих из рассматриваемых задач не поддаются эффективному решению). .
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации развит асимптотический вариант байесовского подхода и разработаны методы исследования минимаксных свойств нескольких классов семейств тестов в задачах обнаружения' сигнала и проверки гипотезы о равномерности плотности распределения. На этой основе получена серия нижних и верхних асимптотических границ минимаксных вероятностей ошибок и риска в рассматриваемых задачах. Эти границы описываются в терминах геометрических"
свойств альтернатив (в частности, таких, как внутренние радиусы и поперечники Колмогорова) и решений специальных экстремальных задач. Следующие результаты основаны на применении разработанных методов к конкретным задачам проверки гипотез.
1. Получены асимптотически точные' условия минимаксной разли
чимости и неразличимости для классов гладких альтернатив (типа ша
ра в пространстве Никольского) с удаленным шаром в Lp -метрике,
и при выполнении условий различимости построены состоятельные в минимаксном смысле тесты. При этом показано существенное различие между минимаксными непараметрическими задачами оценивания и проверки гипотез, проявляющееся, в частности, в том, что тесты, основанные на минимаксных по порядку оценках сигнала или плотности распределения не обеспечивают состоятельности при. минимально возможном порядке радиуса удаляемой окрестности, требуемом для минимаксной различимости, в классах гладких альтернатив.
2. Получена точная асимптотика минимаксных вероятностей ошибок
к риска для классов альтернатив, имеющих вид р -эллипсоидов об-
rs.i?o вида с удаленным р -шаром, о оо , и построены
амиЕКОТЕчески минимаксные тесты в этой задаче. Отметим, что при
2 < р < со в качестве асимптотически минимаксных возникают ::з2-:з :-jsacca тестов, ранее в статистике, насколько известно автору, .*?/ручавшиеся. Также, насколько известно автору, прир?2?оо ана-'::х^шщ результатов нет в настоящее время и в теории непараметри-іеского оценивания.
;< 3. В задаче обнаружения сигнала с альтернативами, полученными удалением р ~эллипсоида из гильбертова пространства сигналов, доказано существование точной границы мевду случаем, когда имеют уесто классические условия различимости, и случаем, когда гипотеза и альтернатива неразличимы в минимаксном смысле. Дано описание этой границы в зависимости от р , о < р оо , и последовательности длин полуосей эллипсоида.
Для случая р - 2 результаты п.п.2 и 3 получены ранее М.С. Ермаковым*'.
'Ермаков М.С. Теорія верояїіі.и ее примен., 1990, т.35, В 4, С.704-7Г5; Записки научн.семинаров ШЛИ, 1988, т.166, с.44-53.
ІГРАКТІНЕСІШ ЦЕННОСТЬ. С точки зрения приложений рассматривае-ше задачи относятся к классу задач синтеза алгоритмов обнаружения и классификации в условиях непараметрической априорной неопределенности; при этом весьма важно иметь алгоритмы (тесты), обеспечивающие, по крайней мере, приближенно (асимптотически) минимально зоз-мотшй гарантированный уровень вероятностей ошибок или риска дня заданного множества альтернатив. Именно такие оценки и семейства тестов строятся в диссертации для широкого класса непараметрических альтернатив. При этом изучены и сопоставлены минимаксные свойства ряда классических семейств тестов (таких нак тесты типа Колмог..-ус-ог;, омега-квадрат, хи-квадрат); установлены минимаксные свойства ]Х новых классов тестов для различных классов альтернатив.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на Первал
Всемирном конгрессе общества им.Бернулли (Ташкент, 1986), на ІУ я
У международных Вильнюсских конференциях по теории вероятностей и
математической статистике (1985, 1989), на УІ Советско-Японском сим
позиуме по теории вероятностей и математической статистике (Киев,'"
1991), на международном семестре по-теории вероятностей и'матема
тической статистике, посвященном памяти А.Н.Колмогорова (С.Петер
бург, 1993), на Всесоюзной конференции по теории 1/. -статистик
(Киев, 1988), на семинаре по асимптотическим методам в статистике
в МГУ, на семинаре по методам математической статистики ИППИ АН
СССР, на семинаре теории вероятности и математической статистике
в институте математики СО АН СССР и (многократно) на общегородском
семинаре по теории вероятностей и математической статистике ЛОЖ
АН СССР - ПОМИ.РАН .
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 25 работавтора, список основных 20 работ приводится в конце автореферата.
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, пяти глав и приложения. Список литературы содержит 137 наименований. Общий объем работы - 339 машинописных страниц.
