Введение к работе
Актуальность темы. Теория случайных точечных процессов представляет собой одну из важных и интенсивно развивающихся глав теории случайных процессов. Начало исследований по теории случайных точечных процессов восходит к работам А. И. Колмогорова, А. Я. Хинчина, Ю. В. Прохорова. Большой вклад в эту теорию сделан немецкой школой в 1960-1980 годах. Ее результаты изложены в капитальной монографии [1]. Результаты англо-американской школы изложены в монографин [2].
К теории случайных точечных процессов принадлежат некоторые главы статистической физики. В частности, т. н. гиббсовские процессы по существу представляют собой случайные точечные процессы В изучении гиббоовских процессов приоритет принадлежит советской школе ([3] - [5]).
В Армении исследования по теории случайных точечных процессов проводились Р. В. Амбарцумяном, Г. С. Сукиасяном, В. К. Оганяном ([6] - [10]). В последние годы к тематике случайных точечных процессов пришла группа армянских специалистов по статистической физике (см. сборник [11]; редактор сборника Б. С. Нахапетян). Для армянской школы теории случайных точечных процессов характерен интерес к вопросам применения комбинаторных методов, таких как принцип включения-исключения ([7]), а также методы комбинаторной интегральной геометрии ([i0]).
[1] И. Керстан, К. Маттес, И. Мекке, "Безгранично делимыь гичечные процессы", Москва, Наука, 1982
[2] D. J. Daley, D. Vere-Jones, "An introduction to the theory of point processes". Springer, New York, 1988
[3] P. Л. Добрушин, ТиСбсоясміе случайные поля (общий случай)", 1* ункпи:-сальный ана.:нз и его пркложе- ;ія. і. 3, вып. 1, стр. 27-35, 19С9
[4] Р. А. Минлос, "Регуляр.. -сть іредельного распределения Гпббса", Функционалы-..їй анализ и его приложения, 1, но. 1, стр. 40-54, 1967
'5] Я. Г. Синай, "Тесрия фазовых переходоз", Мчова. Наука, 1980
Настоящая работа посвящена вопросу описания случайных точечных процессов в польских пространствах в терминах их моментных мер, а также изучению возможности представления маркированных конечным числом марок гиббсовских точечных процессов как предельные распределения марковских цепей. Пространством состояний рассматриваемых цепей Маркова является пространство реализаций случайных точечных процессов.
Для решения этих задач применяются модифицированные варианты комбинаторных методов, впервые примененных в [7] и [8]. Так, Теоремой 1 первой главы формулируется принцип описания с помощью моментных мер, который является обобщением предложенного в [7] комбинагорЯ' го метода включения-исключения на случай общих польских пространств, когда не предполагается абсолютная непрерывность моментных мер.
Во второй главе рассматриваются точечные процессы с моментными мерами, являющимися суммами зависящих от графов знакопеременных мер. Для них доказывается Теорема 2, устанавливающая условия существования соответствующих точечных процессов. Этот результат является ключевым при доказательс гве Теоремы 3 о существовании точечных процессов с абсолютными плотностями, факто-ризоьанными по імрам переменных. Основанные на результатах [7] и [8] примеры
[б' "Комбинаторные принципы в сюхасгической геометрии", Ереван. АН Арм. ССР, 1980, Редактор: Р. В. Амбарпумя .
[7] R. V. Ambartzumian, Н. S. Sukiasiar., "Inclusion-Exclusion an с , oint processes", Acta Appl. Math., vol. 22, pp. 15-31, 1991
[8] R. V. Ambartzumian, "Ran 'от graph approach to Gibbs processes with pair interaction", Acta. Appl. Math., vol. 22, pp. 3-14, 1991
[9] R V. Ambartzumian, "On condensable poini p:"cesses", New Trends in Prob. and Stat., VSP/MoMas, vol. 1, pp. 655-667, 1991
[10] V K. Ogania::, "Combinatorial decompositions and homogeneous geometric^. processes". Aclr. Appl. Math., Holland, vol. 9. NN 1-2. pp. "Г1-81, 1987
[11] "Тиббсґ-яские случайные поля: Мг-.'тг. гальнь'е ев не за и убывание корреляций", Сборник статей, Ре;: к тор: Б. С. Ік-уапеїяг, И:- ПАН РА, Математика. :. -?0. но. 6, 1995
в конце главы 2 и результаты третьей главы указывают на возможные приложения построенных точечных процессов в теории гиббсовских точечных процессов.
В третьей главе определяются марковские цепи маркированных точечных процессов. Основной результат этой главы (Теорема А) устаяавлнвает достаточные условия эргодичности рассматриваемых марковских цепей. В последнем параграфе, используя результаты [8], доказывается, что нехоторые из предельных распределений рассмотренных марковских цепей в случае отсутсвия марок превращаются в классические гнббсовские процессы в евклидовых пространствах. Можно предполагать, по аналогии, что маркированные предельные точечные процессы представляют собой маркированные гнббсовские процессы. Последние имеют независимое определение, и для демонстрации того, что соответствующие классы маркированных точечных процессов совпадают, требуется серьезная дополнительная работа.
Целью работы является исследование возможностей комбинаторного описанні случайных точечных процессов, заданных в польских пространствах, с помощью моментных мер; представление гиббсовских точечных процессов равновесными состояниями марковских цепей точечных процессов.
Методы исследования. Применяются методы теории случайных точечных процессов, теории меры и комбинаторики.
Научная ноьиэна и теоретическая ценность. В данной диссертации
-
установлено необходимое и достаточное условие, когда данная система мер, определенных па степенях А'п, п = 1,2,... некоторого польского пространства X и удовлетворяющих условию мажорирусмости, оказывается системой приведенных мемсятных мер некоторого точечного процесса в X.
-
с пол ошью моментных мер дано представление сужений точ. чного процесса на грани«"иные борелсьск'ие подмножества пространства А',
',',) как следствие, полз'чена единственность распределения облагающего данной системог моментных мер,
!) доказано су сгвол.г.тше то'! чн.лх процессов с прИБсдеп.ыт..: ментнымп
мерами вида X)jeG(n) TOj> где ms ~ знакопеременные меры, зависящие от конечных графов д, а сумма берется по всем графам с множеством вершин {1,..., п},
-
доказано существование точечных процессов с абсолютными плотностями, факторизованными по парам переменных, т. е. имеющими вид /(xi,...,z„) = П„Л(ц,х,), где h(x,y) : А'2 і—> [0,1] - некоторая симметричная функция, а Пп обозначает произведение, распространенное на все пары {i,j} С {1,...,п},
-
найдены достаточные условия эргодичности марковских цепей, для которых пространством состояний служит пространство реализаций маркированных точечных процессов. При отсутствии марок, соответствующие марковские цепи рассматривались в [8]. В диссертации рассматривается случай, когда взаимодействие существенно зависит от марок,
-
установлено, что марковские цепи маркированных точечных процессов, ядра перехода которых факторизованы по парам переменных, принадлежат классу 6). При отсутствии марок, семейство равновесных состояний этих марковских цепей превращается в семейство гиббеовских точечных процессов в Rd с неотрицательным парным потенциалом.
Аппробациі работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре академика НАН РА, проф. Р. В. Амбарцумяна, на международной конференции по теории вероятностей и математической статистике (Амберд, 1997), на заседании кафедры по теории вероятностей и математической статистики ЕГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух статьях.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на стра-
