Содержание к диссертации
стр.
ВВЕДЕНИЕ 5
I. Статистические и индивидуальные эр-
годические теоремы и усиленные зако
ны больших чисел 5
2. Краткое содержание работы 10
3. Предварительные сведения 13
ГЛАВА I. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ НА ПЕРЕМЕШИВАЮЩИХ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
I. Afcr-пространства 23
2. Примеры /Сг-пространств^ 29
3. Об усреднении одного класса векторно-
значных функций 31
4. Эргодические свойства Mix-прост
ранств 35
ГЛАВА II. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ И ЯДЕР ОДНОРОДНЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ НЕПРИВОДИМЫХ РИМАНОШХ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ РАНГА I И ПРОСТРАНСТВЕ ЕВКЛИДА I. Асимптотическое поведение зональных
сферических функций 39
2. Асимптотические свойства ядер прос
транств ранга I 47
3. О скорости убывания корреляционных
функций случайных полей на простран
стве Евклида и некомпактных неприво
димых римановых симметрических прос
транствах ранга I 63
ГЛАВА III. КРИТЕРИИ УСИЛЕННОГО ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ НА НЕКОМПАКТНЫХ НЕПРИВОДИМЫХ РИМАНОВЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ РАНГА Г
I. Специальное представление средних
однородного ПОЛЯ 69
2. Критерии усиленного закона больших
чисел 94-
3. Критерии локального усиленного зако-
на больших чисел 98
ЛИТЕРАТУРА IOO
Введение к работе
I. Статистические и индивидуальные эргодические теоремы и усиленные законы больших чисел
Основным объектом изучения данной работы является класс однородных в широком смысле случайных полей на локально компактных однородных пространствах.
Пусть (Q, F, Р) - вероятностное пространство, tF,Pj- гильбертово пространство всех комплекснозначных Р -измеримых случайных величин f(^r), гсге^^ с /Г(|/| } < ; А7-локально компактное однородное пространство, В— ^-алгебра борелевских множеств из Ху (/^, Ib^N} - сеть (обобщенных) мер и, , определенных на В, N - направленное множество; ,(х) хе X " однородное в широком смысле случайное поле.
Сеть обобщенных мер [//^, ґі є /і/J называется статистически усредняющей, если для любого однородного в широком смысле случайного поля ,(*) на X имеет место следующее равенство: (U &т f(x)u(dx) = f, 2 tveN І ^^ ' где Е, - инвариантная относительно сдвигов поля ,(') случай- ная величина (точное определение , дано в пЛ 3 Введения).
С каждой обобщенной мерой ju. на В и каждым множеством А е В » для которого О < I /г 04)|< оо, можно связать меру ))А : 9А () =ju(An-)/jc(A). При этом для любого (') на XJ 6z) ))д (doc) ~ —Tj-. j(x)ji(dx). Сеть измеримых множеств \An,fl, е N] называется статистически усредняющей, если О < \ju,(An)\<c>
Сходимость случайных величин вида J <^{x)jiri{dx) естес- твенно рассматривать не только в смысле сходимости в L2 , но и с вероятностью I. Пусть Q - некоторый класс однородных в широком смысле случайных полей ъ(') на Л . Будем говорить, что сеть мер {и^^/г є А/} индивидуально усредняет класс (или, короче, является Q- индивидуально усредняющей), если для любого поля (') из Q с вероятностью Г существует предел Сіль / (х) // (dx) = . rveN % ^^
Сеть измеримых множеств \А , п є N} называется Q- индивидуально усредняющей (относительно меры /г ), если О < < \J^(Af^\<oa и сеть мер щ го->ГіЄ N] является индивидуально усредняющей. Предположения, устанавливающие условия, при которых сеть мер {j^n > п є N} или сеть множеств {АЛ, пе1\1} является Q- индивидуально усредняющей, обычно называют индивидуальными эргодическими теоремами (для класса Q ). С индивидуальной эргодической теоремой тесно связан усиленный закон больших чисел. Если для любого входящего в класс Q случайного поля сделано некоторое предположение о "слабой зависимости" его значений (такое условие может быть, например, выражено в терминах скорости стремления к нулю корреляционной функции ft,(t) этого поля при t —> или поведения его спектра в нуле), то индивидуальную эргодическуга теорему для такого класса обычно называют усиленным законом больших чисел. (При этом из указанных условий "слабой зависимости" вытекает, как правило, равенство f -ЕЕ, п.н.)
Наряду с рассмотренными выше "глобальными" индивидуальной и статистической эргодическими теоремами рассматриваются "локальная" статистическая эргодическая теорема, то есть (L0) Єілг / fix) un(dx) = (jcJ, г /te/V X и "локальная" индивидуальная эргодическая теорема: с вероятностью I существует предел Can f f(х) ll„ (dx) = fCxJ. гьє-N x ^0
В отличии от "глобального" усиленного закона больших чисел для "локального" усиленного закона больших чисел условия "слабой зависимости" заменяются условиями на поведение корреляционной функции поля в нуле или его спектра на бесконечности.
Основополагающими работами в области (глобальных) статистических и индивидуальных эргодических теорем явились работы Неймана [52], Биркгофа [36] и Хинчина T42J . Теорема, доказан- ная Нейманом, утверждает по существу, что сеть промежутков является статистически усредняющей на Z (относительно считающей меры) и на $L (относительно меры Лебега); теорема Биркгофа - Хинчина утверждает, что для класса стационарных в узком смысле процессов (с Е\ (0)\ < ) сеть множеств {(~Г, Г)} при Г—>оо является индивидуально усредняющей на Z и J? . Первое обобщение указанных теорем для других однородных пространств было дано Винером [56] и Данфордом [44] , которые показали, что сеть концентрических шаров {Кft) ( І?-радиус) в евклидовом пространстве Si!71,является статистически и индивидуально (для однородных в узком смысле случайных полей) усредняющей при 31-*. Питт L53] обобщил этот результат, доказав, что усреднение возможно не только по сетям концентрических шаров, но и по более широкому классу "регулярных" сетей множеств. Дальнейшее обобщение статистических и индивидуальных эргодических теорем принадлежит Кальдерону Г4Я , который на некотором классе аменабельных унимодулярных локально компактных групп нашел статистически и индивидуально усредняющие семейства множеств (относительно инвариантной меры). В последующих работах эргодические теоремы были распространены на общие аменабельные группы, причем были найдены весьма широкие классы усредняющих сетей мер и множеств. В этих обобщениях фигурируют "эргодические" сети мер и множеств, существующие на аменабельных группах и только на них. Наиболее просто, например, определяются эргодические последовательности множеств для локально компактной группы $ : последовательность измеримых множеств {АЛ на S называется эргодической, если О <J^(An) < о? /ъ= /,29 ...,и
Темпельман [22], [23] доказал, что на аменабельной локально компактной группе последовательность множеств {А\ удовле-творяющая (I), является статистически усредняющей; в работах Темпе льмана [24], [25] и Эмерсона [4-5J доказано, что при дополнительных условиях:
6) JL6(А'^АП) Cji(AJ, /1 = 1,2, ..., С - константа \АЛ} является и индивидуально усредняющей. Некоторые другие обобщения индивидуальной и статистической эргодических теорем рассмотрены в работах Аккоглу и Кренгель [33], C34J , Гаронас Гаронас и Темпельман [11].
Классические усиленные законы больших чисел распространены на некоторые классы стационарных в широком смысле процессов в работах Хинчина Г46], Блан-Лапьера и Брара [ЗДвлан-Лапьера и Тортра [38], Вербицкой [5 ] и некоторые классы однородных в широком смысле случайных полей на Л в работах Гапошкина [6], in и Юринского [32].
Индивидуальная локальная эргодическая теорема для стационарных в узком смысле случайных процессов с Е\В, (t)\ < была доказана Винером [58],ее обобщения получены в работах Данфорда и Шварца [15]} Кренгеля Г4],Кубокавы [50],[51], Сато [54], Террела [5Л. Аккоглу и Кренгель С33]?[34] доказали аналогичную теорему для однородных в узком смысле супераддитивных слу- чайных функций множеств на Я"1, Бокле [391,140] для однородных в узком смысле случайных полей на общих группах, Гаронас и Темпельман Г/ZJ для однородных в узком смысле случайных мер на группах. В.Ф.Гапошкин [91 доказал локальный усиленный закон больших чисел для однородных в широком смысле случайных полей в ят.
Настоящая работа посвящена распространению эргодических теорем и законов больших чисел на широкий класс "перемешивающих" пространств, которые включают в себя важные неаменабельные однородные пространства и группы.
2. Краткое содержание работы
Как показал Дэй [43] (см. также Г/4]), среди локально компактных однородных пространств эргодическими последовательностями мер или множеств, о которых говорилось в I, обладают только аменабельные локально компактные однородные пространства. В то же время такие важные локально компактные группы и однородные пространства как группа Лоренца, группа Пуанкаре, как пространство Лобачевского не являются аменабельными.
Первая глава данной работы посвящена описанию статистически усредняющих последовательностей мер и множеств на так называемых "/%х-пространствах"*'и, как частный случай, на "Мех -группах", к которым относятся и многие важные неаменабельные локально компактные однородные пространства. Mix -пространства и Mix -группы определены и охарактеризованы в алгебраических тер- 'Мсх - сокращение английского слова "mixing". минах в работах Темпельмана К1, [25]. Термин "/^-пространство" или "Mix -группа" объясняется перемешивающим свойством такого пространства или группы: все гауссовские однородные поля без фона на Mix -пространстве обладают перемешиванием, любая динамическая система {7^,, а є S) с "временем" из Mix -группы S обладает квазиперемешиванием (см, [27], [28]). Из результатов Багетта и Тейлора [J5], Хау и Мура [4-6] и Циммера [60] вытекает, что к Mix -пространствам относятся такие локально компактные однородные пространства как пространство Евклида (в качестве транзитивной группы преобразований рассматривается группа евклидовых движений), которое является аменабельным пространством, и все римановы симметрические пространства отрицательной кривизны (этот класс пространств включает пространства Лобачевского), которые не являются аменабельными. Основными результатами первой главы являются теорема 2 и следствие I, которые дают способ усреднения однородных случайных полей на Mix -пространствах, к которым, как отмечалось, относятся важные классы неаменабельных локально компактных однородных пространств.
Вторая глава посвящена оценкам скорости сходимости к нулю корреляционных функций однородных в широком смысле случайных полей на евклидовом пространстве и на некомпактных неприводимых римановых симметрических пространствах ранга I. Основными результатами данной главы являются теоремы 3 и 4, являющиеся теоремами абелева типа (см,, например, [18] ). В этой же главе рассмотрен вопрос об асимптотическом поведении ядер некомпактных неприводимых римановых симметрических пространств ранга I
К(Я,Л) = — Jрш(х)uidx) где I I4I - объем шара - элементарная положительно-определенная зональная сферическая функция, ja(dx) - инвариантная мера. Полученные оценки существенно используются в третьей главе.
В третьей главе получены критерии усиленного закона больших чисел и локального усиленного закона больших чисел для некомпактных неприводимых римановых симметрических пространств ранга І. В основе доказательств лежит метод, развитый в работах В.Ф.Гапошкина Г?], 19]. Одними из основных результатов этих работ ЯВЛЯЮТСЯ ПОЛуЧеННЫе Представления СреДНИХ 6ft = = — .J (x)uldx) (при JZ-^oo и Я->0 ) через ос- татки некоторых ортогональных рядов, определяемых по стохастической спектральной мере lid!) данного случайного поля ('А Эти представления дают критерии усиленного закона больших чисел и локального усиленного закона больших чисел в терминах сходимости почти наверное определенных ортогональных рядов. Применение известных критериев сходимости ортогональных рядов позволило В.Ф.Гапошкину установить критерии усиленного и локального усиленного законов больших чисел с заданными ограничениями на спектральную меру. Используя эту разработанную В.Ф.Гапошки-ным методику и полученные в главе II оценки для ядер, автор перенес результаты В.Ф.Гапошкина на некомпактные неприводимые ри-мановы симметрические пространства ранга І. В частности, доказана индивидуальная эргодическая теорема для гауссовских слу- чайных полей на таких пространствах (отметим, что индивидуальная эргодическая теорема для произвольных однородных в узком смысле полей на таких пространствах, в том числе на пространствах Лобачевского, до сих пор не доказана).
Автор приносит глубокую благодарность Аркадию Александровичу Темпельману за большую помощь и постоянное внимание.
3. Предварительные сведения
Для удобства читателя ниже приводятся некоторые определения и формулировки теорем, выходящие за рамки университетского курса.
I. Пусть 9 - группа. Если каждому элементу а из S поставлено в соответствие преобразование Тп множества S так, что: а) единице е группы S соответствует тождественное преобразование множества S ; б) Тп L = Г , то говорят, что соответствие Г: а—>7~у a,eb'у есть представление группы 5 в множестве S.
Представление fl: а-+% д, є ff9 в гильбертовом пространстве Н называется унитарным, если все U„ суть унитарные операторы в Н. Подпространство JГ(= Н называется инвариантным относительно представления ZL , если для любых aeS к іг є J UM3. Представление tL в И называется неприводимым, если в Н отсутствуют нетривиальные подпространства, инвариантные относительно Un,,QseS. Два представления ZL в Н1 и І/ в Нг называются эквивалентными, если существует изометрическое отображение А пространства Нг на /% , что V= A ILnA^ а є 9. Пусть Г - подгруппа группы S. Представление iL в Н называют представлением класса I относительно Г , если пространство представления Н порождено векторами tL„tl, Я> eS, hJr, где Ог - подпространство векторов инвариантных относительно операторов 6ИГу 8"еГ. Подгруппу Г называют массивной, если в пространстве Н любого неприводимого представления класса I относительно Г существует единственный нормированный вектор, инвариантный относительно Г . Пусть S - топологическая группа. Представление и, в Н называется непрерывным, если для любых /b,f&H числовая функция (U„lbyf)y определенная на S, непрерывна.
2. Пусть S - группа преобразований множества X. Если для любых двух элементов х и Ц- множества X найдется такой элемент а из S , что ах = а, то Э называют транзитивной группой преобразований множества X. Множество Х> в котором действует транзитивная группа преобразований S\ называют однородным (относительно S ) пространством. Рассмотрим все элементы f из S , оставляющие неподвижной точку ^, т.е. )f3C0 =Х0. Очевидно, что множество таких элементов образует подгруппу Г группы $. Ее называют стационарной подгруппой точки х0. Соответствие х*-> {&: Q-X0 =х} позволяет отождествить пространство X с множеством S/Г всех (левых) классов смежности группы S по подгруппе Г (см., например, [11]). В дальнейшем мы полагаем, что S - локально компактная группа, Г -компактная подгруппа. Локально компактная топология группы S индуцирует локально компактную топологию в пространстве X --5/ Г , так что всякую непрерывную функцию на однородном пространстве Х= 9/Г можно рассматривать как непрерывную функцию на группе Э , постоянную на классах смежности S по Г, и обратно (см., например, С4-J).
Пусть Х~51Г - локально компактное однородное пространство. Рассмотрим б -алгебру В борелевских множеств в X и счетно-аддитивную меру JLl(') на ней. Говорят, что мера J-i(') инвариантна относительно группы S если для любого А^В и любого элемента &9 выполняется равенство: Jl(A) =Jl(aA). На любом локально компактном однородном пространстве Х = 9/Г с компактной стационарной подгруппой Г существует единственная (с точностью до множителя) инвариантная (относительно $ ) мера (см., например, [16]).
Однородное пространство Х~5/Г называется симметричес ким, если в группе $ определена инволюция, т.е. автоморфизм ty->fyf такой, что: I) (a!)'= ty и 2) f '= f для любого/є Г. Примерами симметрических однородных пространств могут служить некомпактные неприводимые римановы симметрические пространства ранга I, которые мы часто будем рассматривать в дальнейшем. Да дим их краткое описание. Пусть К= -Я , С или Q , где Зь и С поля действительных и комплексных чисел, Q - тело кватер нионов; К -/г+/-мерное векторное пространство над К \ SL(.ti + 1, К) - группа невырожденных матриц /г + / порядка с коэффициентами из К. Рассмотрим над К квадратичные фор- мы: (х,х) = х0х0 і- х1х1 *-... +хя1л, [хух] =- х0х0 + + ^1^...+-. Обозначим через її(п + 1, К) и U(/lJ;K)группы таких матриц ае$/_(а+1,Ю,что (дх^хНх.х^х^Чх^соответственно; - подгруппа в состоящая из матриц с определителем I; SO(/l+f) = і/,(п+1,Я) П l)SUn,+1tn)\ SU(n.+ 1)=U(n+1>C)nSLU+iC); SpM)=UM\ SO(/ly1) - связная компонента единицы группы И(/Ъ,г>Я,)',
5tl(a,1)-U(n,1;C)nSL(n4,C); SpOiJ)' fl(n,1;Q).
К некомпактным неприводимым римановым симметрическим пространст вам ранга I относятся следующие однородные пространства: L^или ft (Л) = SO (/1,1)/ SO (/г) (пространство Лобачевско- го), п>г ; ftJC)=SMaJ)/S(U(1,C) х Ш,С)1 п>29 S(U(1, С) *U (я, О) - подгруппа всех матриц из Щ1УС) * Шп) с определением I; ft^CQ)^ Sp(n,1)/Sp(1) xSp(n), /г>2; а также пространство F^.so^/Spcn(9)) которое не имеет простого описания (более подробно смотрите, например, [50] ).
3. Пусть 9 - локально компактная группа, Г - ее компак тная подгруппа, - непрерывная положительно определенная функция на S. Известно (см., например, 116] ), что любую такую функцию можно представить в следующем виде:
Л(д) = (?1„/іу h)? где U: а—>IL a^S^ -непрерывное унитарное представление группы 9 в гильбертовом пространстве ft, /г є ft. Если представление ZL является представлением класса I (относительно /~ ) и Iz - инвариантный вектор (относительно Г ), то Л(') является постоянной на двухсторонних классах смежности Г о, Г. Непрерывную положительно определенную функцию Л(') на 9 , постоянную на двухсторонних классах смежности Га Г, называют положительно определенной зональной сферической функцией. Если, в частности, представление tL не-приводимо и II fill -1 , то положительно определенную зональную сферическую функцию ір(') на $ называют элементарной. Любую непрерывную положительно определенную функцию Sl(') на $ можно рассматривать как непрерывную положительно определенную функцию B(xuxz). на однородном пространстве Х~5/Г^ причем В(х^х2)=Л(д/^2)у х1 =^у/~, х2 = д-2Г' и
В(х^х2) - В(о-хидхг),а eS. Верно и обратное, т.е. любой непрерывной положительно определенной функции В(', ') на Х- 9/Гу удовлетворяющей условию В(хих2) = В(рх19^хг)9 Xf,X2X, Q &S, можно поставить в соответствие непрерывную положительно определенную функцию ЯО) на $: Я(д-) = = В(хихг), x(=g>fr, хг=д>Г, # = ?}'&.
Если однородное пространство X —S/Г является метрическим с метрикой 1 , причем для любого & є S t (Х1 у Х2) — -tifyx^yx^, х/,хгеХ, то В(х/9хг) = B(t,(xf,x2)).
Пусть теперь $ - локально компактная группа типа Г (см., например,[І6] ) со счетной базой окрестностей, Г - ее компактная подгруппа и X ~3IГ - симметрическое однородное пространство. Тогда для любого непрерывного неприводимого унитарного представления %L класса I в гильбертовом пространстве Н подгруппа Г является массивной (см., например, [12]), Выберем в пространстве представления Н ортонормированный базис ), ег, ...,ел,... так, чтобы ef=k. Функция ір^^) = (11дЄи е^ называется элементарной положительно определенной зональной сферической функцией, функции %(&) = {lL„eueL), L - 2.,3, ... , называют присоединенными сферическими функциями, причем %(#) = = (Рі(дГІ$є5,1Г6Г, ^^....Следовательно (рс(-), 1 = 1,2.,..., можно рассматривать как функции на X.
Любую непрерывную положительно определенную функцию B(xf,x2) на симметрическом пространстве X - SIГ , где 5 -локально кошактная группа типа I со счетной базой окрестностей, Г - кошактная подгруппа группы S, удовлетворяющую условию В(х19х2) ~ B(Q-Xj,ax2)p Q-sS, можно представить следующим образом (см., например, [56])'» B(xf9x2) = /<ри)(х^хг)Г(са), с * где о - совокупность всех классов эквивалентных непрерывных неприводимых унитарных представлений ЪЬ класса I (относительно Г ), Л. е$, F((ZZ) - неотрицательная мера на S (F(S) ^ ^ ) ; р (х^Хг) - элементарные положительно определенные зональные сферические функции, соответствующие представлению йы\ 1е5.
В том случае, когда X является однородным (относительно группы всех евклидовых движений) евклидовым пространством E^ifl^Z) или некомпактным неприводимым римановым симметрическим пространством ранга I (см., например, [56] ), S есть полуинтервал [О, + J.
Для евклидового пространства Егъ(п>2.) элементарные положительно определенные зональные сферические функции имеют следующий вид (см., например, [59]): vU\l) = з- п.-г ' где їгк-г (х) - функция Бесселя первого рода порядка -——, Л є [О, ео). в случае некомпактных неприводимых римано-вых симметрических пространств ранга I элементарные положитель-но определенные зональные сферические функции имеют следующий вид (см., например, f56J): где $^(-%) - функция Лежандра I рода; ос,3 - соответствующие параметры пространств ранга I, р = ос + у5 + 1У Л е [0,+оа). Ниже приводятся значения параметров ос и уб для этих пространств (см., например, [5G]): пространство Н^ІЯ): ос = ^/ъ~1, fi=~~z, /Ъ >2 ; пространство Н^ІС): ос = /г~ 1, 6 = 0, /г ї> 2; пространство H^iQ): ос= 2п~1, jB = /? к >2\ пространство FH_20) / Spin (9): ос = J, /5=3.
Пользуясь интегральным представлением для функций Лежандра (см., например, [3] ), легко получить следующее выражение для элементарных положительно определенных зональных сферических функций пространств ранга I: ,Ґ W r(jr+oc) о
4. Пусть L2 (f2, 3^, Р) - гильбертово пространство всех комплекснозначных случайных величин /ъ , заданных на вероятностном пространстве (QyjF, Р) с E\h\ < с><0 ; скалярное произведение (/?,) = Еф9 /^,^ є Lo- Случайным полем на однородном пространстве X будем называть непрерывную функцию (х), хеХ, со значениями в L2(Q,J:>P) . Случайное поле называется однородным в широком смысле, если (х) = с&пАЪ и для любых a sS, хихг єХ Е(xf)g (xj = ^(дх1)^(дх^}.
Понятно, что однородное случайное поле на Зу С^Ф = <^&/ при аєх, постоянное на левых классах смежности группы 3 по Г , однородно относительно левых сдвигов, и обратно.
Функция В(х^хг)=Е(х,)(х>) является положительно определенной и удовлетворяет условию : B(x/fx) = В(ухирхг) у а є 5, хихгеХ. Следовательно, как отмечалось ранее, ей можно поставить в соответствие положительно определенную зональную сферическую функцию Л (а) на 3.
Пусть f () - однородное в широком смысле случайное по ле на X = 3/Г((х) ^ 0) . Рассмотрим в линей ное многообразие /^ и подпространство Hg , порожденное слу чайными величинами (х), X є X. Определим на Н* линейные операторы Ц равенством 21^(У^ос.-^ (х/і) ~]Е1С;(0-Х/), где 0-є$-, xf,xa, ...9х^єХ, ос^7 6 = 1,2, ...,/гу-скалпщ. Так как Н* является плотным множеством в /4 то операторы ZL оє5, можно продолжить до операторов tl„, Q є$, на
Н. ЛеГКО Проверить, ЧТО tlfytlg^ ^frfc 1>fe Є^> И ЧТ0 все операторы сд , Qe$, являются унитарными. Это непрерывное унитарное представление в Н* является, очевидно, представлением класса I (относительно Г). Обозначим через Jc подпространство (в Нь ), состоящее из векторов fl, инвариантных от- носительно всех операторов UQi Q е 5. Легко показать, что проекции случайных величин t^x)> х е X? на . совпадают друг с другом с вероятностью I. Пусть С - проекция любой фик сированной случайной величины (х0), х0 є X} на подпрост ранство Jp. ^
Случайная величина / = называется фоном поля () на X. Если ґі* = О, мы будем говорить, что поле (') не содержит фона. Заметим, что (х) =
Известно (см., например, [5в])» что спектральное представление поля (') на X(EU(x) = 0) ? где X ~ некомпактное неприводимое риманово симметрическое пространство ранга I, дается формулой /
О с=1 где ipj (х) - элементарная положительно определенная зональ ная сферическая функция, (р^ (х), і = 2, Зу ..., - присоединен ные сферические функции, - "стохастичес кие спектральные" меры с EZ^ (Л^)= 0 , удовлетворяющие усло вию ортогональности: El^A^ZjU^) = 5~6JF(A, ПАг), Af,A- борелевские множества из С^, + о) ; F(oLA) -"спектральная" мера поля (') на [0,+).
Если f,k є L2F 9 &i A, A* в частности JfU)ZcUl) г = J\fU)\2F(dl).
5. Пусть <р(&) " функция на локально компактной группе S со значениями в гильбертовом пространстве Н ; и(') -инвариантная мера на группе ff Функция Р^Ф называется слабо интегрируемой, если при любом /і є // числовая функция (kyp(g)) ju-интегрируема и ^jo-~ f(ky(p(Q))ji(da) < «з.
Интегралом Петтиса (или слабым интегралом) J=J(p(o.)jl(d&) от слабо интегрируемой функции (р(-) на S называют (единственный) элемент 7 є //, удовлетворяющий при любом /г є Н уравнению:
