Содержание к диссертации
Введение
1. Асимптотическое поведение "хвостов" масштабных смесей нормального распределения 13
1.1. Случай экспоненциального убывания "хвоста" смешивающего распределения 14
1.2. Обобщенный случай экспоненциального убывания "хвоста" смешивающего распределения 19
1.3. Случай степенного убывания хвоста" смешивающего распределения 25
2. Устойчивость представления вероятностных распределе ний в виде специальных смесей устойчивых законов и оценки скорости сходимости в теоремах переноса 33
2.1. Первая теорема устойчивости для тепенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем а > 1 35
2.2. Вторая теорема устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем а > 1 42
2.3. Первая теорема устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем О < а < 1 47
2.4. Вторая теорема устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем 0<а< 1 51
2.5. Оценки скорости сходимости в теореме переноса в схеме серий 53
2.6. Теоремы устойчивости для сдвиг-степенных смесей устойчивых распределений 57
2.7. Оценки скорости сходимости распределений центрированных случайных сумм к сдвиг-степепиым смесям устойчивых распределений 63
3. О мощности критериев отношения правдоподобия, построенных по выборкам случайного объема 67
3.1. Введение 67
3.2. Описание модели 71
3.3. Предельные распределения отношения правдоподобия, построенного по выборкам случайного объема 74
3.4. Асимптотическое поведение распределения логарифма отношения правдоподобия при основной гипотезе и альтернативе 76
3.5. Поведение мощности в случае принадлежности распределения логарифма отношения правдоподобия при альтернативе области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем j > 1 83
3.6. Поведение мощности в случае принадлежности распределения логарифма отношения правдоподобия при альтернативе области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 0 < 7 < 1 89
3.7. Поведение мощности в случае принадлежности распределения логарифма отношения правдоподобия при альтернативе области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 7 > 1 для второй интерпретации мощности 93
3.8. Поведение мощности в случае принадлежности распределения логарифма отношения правдоподобия при альтернативе области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 0 < -у < 1 для второй интерпретации мощности 96
Литература 99
- Обобщенный случай экспоненциального убывания "хвоста" смешивающего распределения
- Случай степенного убывания хвоста" смешивающего распределения
- Вторая теорема устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем а > 1
- Предельные распределения отношения правдоподобия, построенного по выборкам случайного объема
Введение к работе
Смеси вероятностных распределений играют важную роль в теории вероятностей и, прежде всего, в области ее применения. Центральная предельная теорема позволяет приближать результат эксперимента нормальным распределением, если на его исход влияет множество независимо действующих случайных факторов, каждый из которых незначительно влияет на конечный результат. Однако, "нормальность", как правило, не наблюдается на практике. Возможным объяснением "пе-пормалыюсти" распределений результатов эксперимента может служить то, что на разные эксперименты влияет разное число случайных факторов. В этом случае центральная предельная теорема не применима, и необходимо рассматривать суммы случайного числа случайных величин, для которых справедливы аналоги центральной предельной теоремы — теоремы переноса, в качестве предельных распределений в которых выступают смеси вероятностных распределений.
"Не-пормалыюсть" распределения на практике, как правило, означает, что результирующие распределения имеют более тяжелые "хвосты" и острую вершину по сравнению с нормальным распределением. Если же исследователь использует нормальное приближение, то он тем самым недооценивает большие значения, считая, что их вероятности малы. Подобные модели появляются, например, в страховании, теории управления запасами, теории массового обслуживания, теории надежности и др.
В диссертации основное внимание уделяется изучению свойств смесей нормального и других устойчивых распределений. Такие распределения являются предельными в теоремах переноса для случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных величии. Класс данных распределений чрезвычайно широк.
Действительно, класс масштабных смесей одного только нормального распределения содержит само нормальное распределение, распределение Стыодента, распределение Коши, распределение Лапласа, распределение случайных величин Ya, 0 < а < 2 с симметричным устойчивым распределением и характеристической функцией fa (t) = ехр{— \t\a} и др. Кроме того, этот класс обладает замечательными свойствами: он замкнут относительно операции свертки распределений и операции смешивания распределения по масштабному параметру; распределения нечетных степеней случайных величии данного класса также принадлежат ему.
Изучением свойств смесей нормального и других устойчивых распределений вероятностей занимались многие исследователи, среди которых нельзя не упомянуть О. Kernel [30], Н. Robbins [34], В. М. Золотарев [8, 6, 7], Н. Teicher [40], F. W. Stcutcl [36], D. Kclker [29], S. J. Wolfe [42]. В перечисленных работах основное внимание уделено аналитическим свойствам смесей вероятностных распределений. В них, в частности, описана структура класса смесей устойчивых распределений и рассмотрены условия безграничной делимости смесей.
Свойства сумм случайного числа случайных величин, в том числе предельные теоремы для таких объектов, изучались многими математиками. Не преуменьшая вклад остальных исследователей, посвятивших свои работы этим вопросам, упомянем лишь некоторые работы и монографии. Основополагающей является работа Г. Роббииса [35], содержащая в схеме "нарастающих" сумм достаточные условия сходимости случайных сумм к смесям нормальных законов. Говоря об истории развития данного вопроса, стоит упомянуть статью Р. Л. Добрушина [5], обобщающую результаты Роббииса на произвольные случайно индексированные случайные последовательности при специальном выборе центрирующих и нормирующих констант, и ряд статей Б. В. Гпедепко и его учеников [4, 20, 21, 37, 38]. Б. В. Гпедепко совместно с X. Фахимом доказал знаменитую теорему переноса, устанавливающую достаточные условия слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых в схеме серий [4] и поставил задачу об отыскании необходимых и достаточных условий упомянутой сходимости. Первые шаги в решении по-
следней задачи были сделаны учениками Б. В. Гнсдснко и, прежде всего, А. В. Печинкиным [20] (для случая сходимости к нормальному закону) и Д. Саасом [21, 37, 38] для общего случая. Необходимые и достаточные условия слабой компактности случаГтых сумм смог найти В. М. Круглов [16]. В. Ю. Королев обобщил результаты Р. Л. Добрушина, указав необходимые и достаточные условия слабой сходимости суперпозиций произвольных независимых случайных процессов [32], и совместно с В. М. Кругло-вым нашел окончательное решение задачи Гнсдснко-Сааса о необходимых и достаточных условиях слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых [33]. Также следует упомянуть монографии В. М. Круглова и В. 10. Королева [14], Б. В. Гнеденко и В. К). Королева [28] и В. М. Золотарева [43].
Задачи, в которых могут испол?.зоваться свойства смесей вероятностных распределений, появляются в теории надежности, финансовой математики, страховании. Если приближать некоторый показатель (доход, убыток, остаток и д.р.) случайной суммой одинаково распределенных и независимых случайных величин, имеющих дисперсию (так, например, делается в страховании при расчете страховых ставок страхового портфеля), то в качестве предельных появляются распределения, являющиеся смесями нормального распределения. Для оценивания критических значений этого показателя (например, вероятности разорения) необходимо оценить вероятность того, что значение показателя превзойдет некоторую границу, т.е. получить оценку для "хвоста" соответствующего распределения. Получение в таких задачах оценок при помощи нормального приближения даст неверный результат, поскольку "хвосты" итогового распределения тяжелее "хвостов" нормального распределения. Для получения "более правильных" оценок могут быть применены результаты первой части диссертации, в которой изучаются предельные свойства "хвостов" смесей нормального распределения.
Кроме свойств самих распределений, принадлежащих указанному выше классу смесей устойчивых законов, в диссертации рассматривается устойчивость представления вероятностных распределений в виде специальных смесей устойчивых распределений, а именно, смесей, характери-
стические функции которых представимы в виде Е/ (), где / — характеристическая функция устойчивого закона, a U > 0 — случайная величина (такие смеси будем называть степенными), а также более общие смеси вероятностных распределений с характеристическими функциями вида Е [ettvfu ()], где / — устойчивая характеристическая функция, а V и U > 0 - случайные величины (такие смеси будем называть сдвиг-степенными). Задача оценки устойчивости таких представлений, по-видимому, впервые рассматривалась Д. Саасом [39]. В указанной статье рассмотрен случаи вырожденного смешивающего распределения и получена оценка е1^ для расстояния Леви между смесями, где є — расстояние Леви между смешивающими функциями распределения. В диссертации будут рассмотрены оценки "близости" в смысле некоторой вероятностной метрики результирующих смесей при "близких" в смысле той же метрики смешивающих и смешиваемых распределениях.
Диссертация посвящена рассмотрению асимптотических свойств смесей устойчивых законов, исследованию устойчивости представления вероятностных распределений в виде таких смесей, оцениванию скорости сходимости в теоремах переноса в схеме серий и изучению предельного поведения усредненной мощности наиболее мощного критерия проверки простой гипотезы против простой альтернативы по однородной выборке случайного объема.
Кратко изложим содержание и основные результаты диссертации. Глава 1 посвящена оцениванию скорости убывания "хвостов" масштабных смесей нормального закона в зависимости от скорости сходимости "хвоста" смешивающих распределений. В разделе 1.1 рассматривается случай, когда смешивающее распределение имеет "хвост", убывающий экспоненциальным образом, причем показатель степени представлен в виде (-Сі/г (Inж)), где h(x) — правильно меняющаяся функция, а Сі — некоторая константа. В этом разделе доказана теорема о том, что в случае экспоненциального убывания "хвоста" смешивающего распределения масштабная смесь также будет иметь экспоненциально убывающий "хвост", с показателем в степени (-(^2 (In?/)), где h(x) — та же самая функция, что и для смешивающего распределения, a ( — некоторая константа. В
Обобщенный случай экспоненциального убывания "хвоста" смешивающего распределения
"Не-пормалыюсть" распределения на практике, как правило, означает, что результирующие распределения имеют более тяжелые "хвосты" и острую вершину по сравнению с нормальным распределением. Если же исследователь использует нормальное приближение, то он тем самым недооценивает большие значения, считая, что их вероятности малы. Подобные модели появляются, например, в страховании, теории управления запасами, теории массового обслуживания, теории надежности и др.
В диссертации основное внимание уделяется изучению свойств смесей нормального и других устойчивых распределений. Такие распределения являются предельными в теоремах переноса для случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных величии. Класс данных распределений чрезвычайно широк.
Действительно, класс масштабных смесей одного только нормального распределения содержит само нормальное распределение, распределение Стыодента, распределение Коши, распределение Лапласа, распределение случайных величин Ya, 0 а 2 с симметричным устойчивым распределением и характеристической функцией fa (t) = ехр{— \t\a} и др. Кроме того, этот класс обладает замечательными свойствами: он замкнут относительно операции свертки распределений и операции смешивания распределения по масштабному параметру; распределения нечетных степеней случайных величии данного класса также принадлежат ему.
Изучением свойств смесей нормального и других устойчивых распределений вероятностей занимались многие исследователи, среди которых нельзя не упомянуть О. Kernel [30], Н. Robbins [34], В. М. Золотарев [8, 6, 7], Н. Teicher [40], F. W. Stcutcl [36], D. Kclker [29], S. J. Wolfe [42]. В перечисленных работах основное внимание уделено аналитическим свойствам смесей вероятностных распределений. В них, в частности, описана структура класса смесей устойчивых распределений и рассмотрены условия безграничной делимости смесей.
Свойства сумм случайного числа случайных величин, в том числе предельные теоремы для таких объектов, изучались многими математиками. Не преуменьшая вклад остальных исследователей, посвятивших свои работы этим вопросам, упомянем лишь некоторые работы и монографии. Основополагающей является работа Г. Роббииса [35], содержащая в схеме "нарастающих" сумм достаточные условия сходимости случайных сумм к смесям нормальных законов. Говоря об истории развития данного вопроса, стоит упомянуть статью Р. Л. Добрушина [5], обобщающую результаты Роббииса на произвольные случайно индексированные случайные последовательности при специальном выборе центрирующих и нормирующих констант, и ряд статей Б. В. Гпедепко и его учеников [4, 20, 21, 37, 38]. Б. В. Гпедепко совместно с X. Фахимом доказал знаменитую теорему переноса, устанавливающую достаточные условия слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых в схеме серий [4] и поставил задачу об отыскании необходимых и достаточных условий упомянутой сходимости. Первые шаги в решении последней задачи были сделаны учениками Б. В. Гнсдснко и, прежде всего, А. В. Печинкиным [20] (для случая сходимости к нормальному закону) и Д. Саасом [21, 37, 38] для общего случая. Необходимые и достаточные условия слабой компактности случаГтых сумм смог найти В. М. Круглов [16]. В. Ю. Королев обобщил результаты Р. Л. Добрушина, указав необходимые и достаточные условия слабой сходимости суперпозиций произвольных независимых случайных процессов [32], и совместно с В. М. Кругло-вым нашел окончательное решение задачи Гнсдснко-Сааса о необходимых и достаточных условиях слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых [33]. Также следует упомянуть монографии В. М. Круглова и В. 10. Королева [14], Б. В. Гнеденко и В. К). Королева [28] и В. М. Золотарева [43].
Случай степенного убывания хвоста" смешивающего распределения
Кратко изложим содержание и основные результаты диссертации. Глава 1 посвящена оцениванию скорости убывания "хвостов" масштабных смесей нормального закона в зависимости от скорости сходимости "хвоста" смешивающих распределений. В разделе 1.1 рассматривается случай, когда смешивающее распределение имеет "хвост", убывающий экспоненциальным образом, причем показатель степени представлен в виде (-Сі/г (Inж)), где h(x) — правильно меняющаяся функция, а Сі — некоторая константа. В этом разделе доказана теорема о том, что в случае экспоненциального убывания "хвоста" смешивающего распределения масштабная смесь также будет иметь экспоненциально убывающий "хвост", с показателем в степени (-( 2 (In?/)), где h(x) — та же самая функция, что и для смешивающего распределения, a ( — некоторая константа. В разделе 1.2 рассмотрен расширенный случай экспоненциального убывания "хвоста" смешивающего распределения, где показатель степени у экспоненты имеет вид (—xpL(x)), где Ь(х) — медленно меняющаяся функция. Раздел 1.3 посвящен случаю степенного убывания "хвоста" смешивающего распределения, для которого также получена соответствующая теорема.
В главе 2 изучается устойчивость представления вероятностных распределений в виде специальных смесей устойчивых законов и скорость сходимости в теоремах переноса. Раздел 2.1 содержит первую теорему устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем а 1, утверждающую устойчивость относительно смешивающего распределения. Раздел 2.2 рассматривает устойчивость относительно смешиваемого распределения и содержит вторую теорему устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем а 1. Раздел 2.3 посвящен обобщению полученных в разделе 2.1 результатов па случай устойчивых распределений с характеристическим показателем 0 а 1 и содержит аналогичную теорему устойчивости. Раздел 2.4 содержит вторую теорему устойчивости представления вероятностных распределений в виде степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем 0 а 1. В разделе 2.5 построена оценка скорости сходимости в теореме переноса для схемы серий в метрике Леви. Раздел 2.6 содержит теоремы устойчивости для сдвиг-степенных смесей устойчивых распределений в случае, когда смешивающие распределения (сдвиговое и "степенное") почти наверное линейно зависимы. В разделе 2.7 построены оценки скорости сходимости распределений центрированных, нормированных случайных сумм к сдвиг-степенным смесям устойчивых законов.
В главе 3 рассматриваются условия существования нетривиальных пределов мощности критериев отношения правдоподобия, построенных по выборкам случайного объема. Для таких критериев предлагаются две интерпретации понятия мощности. В раз/юле 3.1 дается интерпретация критериев отношения правдоподобия и мощности этих критериев для выборки случайного объема. Раздел 3.2 содержит описание исследуемой модели. В разделе 3.3 содержится описание частной предельной схемы для отношеїшя правдоподобия. Раздел 3.4 посвящен изучению асимптотических свойств отдельного члена логарифма отношения правдоподобия, который, как показано в этом разделе, может иметь тяжелые "хвосты", убывающие степенным образом. Данный раздел содержит также примеры задач проверки простых гипотез, в которых отдельный член логарифма отношения правдоподобия имеет тяжелые "хвосты". В разделе 3.5 изучаются условия существования нетривиальных пределов мощностей критериев отношения правдоподобия для выборки случайного объема в случае, когда при основной гипотезе случайная величина отдельного члена логарифма отношения правдоподобия имеет дисперсию, а при альтернативе — принадлежит области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем 7 1. Рассматривается первая интерпретация мощности для выборки случайного объема, которая определяется как
Вторая теорема устойчивости для степенных смесей устойчивых распределений с характеристическим показателем а > 1
В предыдущем разделе изучалось свойство устойчивости представления вероятностного распределения в виде масштабной смеси устойчивого закона при различных смешивающих распределениях, здесь же мы рассмотрим случай, когда различными будут смешиваемые распределения. Наряду с невырожденной случайной величиной, имеющей устойчивое распределение G = Ga с характеристическим показателем а Є (1,2], рассмотрим случайную величину с функцией распределения Я, обладающую конечными абсолютными моментами порядка (5 Є [1,а). Как известно, невырожденные устойчивые распределения обладают ограниченной плотностью. Обозначим b = sup {G a (х)}. Пусть А — функция распределения с точками роста, расположенными на положительной полуоси, и пусть, кроме того, ifiA оо. Напомним, что для характеристической функции ga (s) существует конечное положительное число с „ такое, что для любого s Є К справедливо неравенство log дп (s)\ сда \s\a. Задачу, рассматриваемую в данном разделе, можно сформулировать так: как оценить расстояние Леви между функциями распределения [GQ,i4] и [Я, Л], зная расстояние Леви между функциями распределения Ga и II. Ответ на этот вопрос дает
Теорема 2.2. Пусть функция распределения II обладает конечным абсолютным моментом порядка (З є [1,0;), и L(Gn,H) = є, причем Доказательство. Пусть UuT(0 U T со) — положительные числа, которые мы выберем позже. Обозначим через h характеристическую функцию, соответствующую функции распределения Я. Согласно неравенству Эссеена, где С и С" — конечные положительные константы. Оценим разность характеристических функций: Из ограниченности плотности G a (х) конечным числом Ь следует, что имеет место неравенство p(Ga,H) (l + b)L(Ga,II) = (l + b)s. Сумму третьего и четвертого слагаемых правой части (2.29) можно оцепить при помощи неравенства Маркова. Таким образом, для \да (s) — її (s)\ справедлива оценка Из последнего неравенства с учетом (2.30) следует, что Характеристическая функция да является характеристической функцией устойчивого распределения, следовательно, для любого \s\ Т
Для устойчивых распределений с характеристическим показателем О а 1 справедливы утверждения, аналогичные Теоремам 2.1 и 2.9. Будем, как и в Теореме 2.1, обозначать Для доказательства внесем небольшие изменения в Лемму 2.1 и Теорему 2.1. Теперь сформулируем и докажем утверждение, аналогичное Теореме 2.1 для случая 0 а 1. Рассмотрим функции распределения Л и В с точками роста, сосредоточенными на положительной полуоси, такие, что по крайней мере одна из них имеет плотность, ограниченную положительной константой а со. Будем как и в Теореме 2.1 обозначать через [Gn, А] функцию распределения, соответствующую характеристической функции {да,л}.
Предельные распределения отношения правдоподобия, построенного по выборкам случайного объема
Рассмотрим последовательность серий {Xnj}, п 1, j 1, независимых и одинаково распределенных при каждом п случайных величин, определенных на одном и том же измеримом пространстве (1,А). Рассмотрим последовательность пар вероятностных мер (Р„о, Pni)n i определенных на Л. Плотность случайной величины Хщ\ относительно вероятностной меры Pni обозначим рп{(ж), і = 0,1. Математические ожидания относительно мер Рп0 и Pni будут обозначаться Е„о и Еп\ соответственно. Рассмотрим мощность /Зп наиболее мощного критерия в задаче проверки простой гипотезы HnQ : Р = Рпо против простой альтернативы Нп\ : Р = Рп1 но однородной выборке Хпд,... ,Хп независимых вещественных наблюдений. В рассматриваемой задаче логарифм отношения правдоподобия Anjc равен где ini(x) = logр„г( ), і = 0,1. Как известно, при заданном уровне значимости а наиболее мощный критерий, строящийся на основе фундаментальной леммы Неймана-Пирсона, отвергает HUQ, если где cn k определяется из условия (для простоты считаем, что все распределения непрерывны). Если случайная величина Ln = іпі(ХП)і) — по{Хп,і) имеет дисперсии как относительно меры Рпо, так и относительно меры Рпі, то с помощью центральной предельной теоремы легко убедиться, что мощность указанного критерия при каждом п удовлетворяет соотношению (см., например, [26]). Рассмотрим последовательность серий {Nn,k}, п 1, к 1, натураль-нозпачных случайных величин, определенных на измеримом пространстве (О,Л), таких, что для любого п 1 и любых к \ случайная величина Nn не зависит от {Xnj}, j 1. Пусть дана выборка из последовательности серий со случайным объемом Агп . Рассмотрим логарифм отношения правдоподобия для данной ситуации;
При заданном уровне значимости а определим случайную величину С(„д.) следующим образом: с ) = cnj при Nn = . Тогда Ясно, что если случайная величина Ln = пі(Хп і) — по{Хп,і) имеет конеч- р ную дисперсию относительно обеих мер Рпо и Pni для всех п, и Nn k — со при к — со, то для любого п Действительно, в силу (3.3) для любого є 0 существует такое Jn, что для всех j Jn верно неравенство /3nj 1 — є. Далее, т.к. Nn — со при к — со, то существует такое Еп, что для всех А; in верно неравенство Р (Ап,/с -Лг) 1 - е. Тогда для всех п и для всех к 1п Тем самым, при каждом Nn = рассматривается задача проверки простой гипотезы #по против простой альтернативы Ягц, основанная на выборке An,!,.. .,ХПу. По лемме Неймана-Пирсона наилучший критерий фиксированного уровня а Є (0,1) основан на логарифме отношения правдоподобия и отвергает гипотезу HUQ В случае Этот критерий имеет наибольшую мощность среди всех критериев уровня а, основанных на наблюдениях Хп ,..., Хп . Рассмотрим величину в качестве первой интерпретации мощности критерия, построенного по выборке случайного объема.
При этом ясно, что Здесь возможна байесовская интерпретация: размер выборки является случайным параметром с известным априорным распределением, и выражение для /3(П)/;) можно рассматривать как аналог байесовского риска. В то же время критерии с критической областью не является оптимальным в классе всех критериев размера а и зависит от бесконечного числа наблюдений ХПіі,Хп 2, Для второй интерпретации мощности изменим критическую область для выборки случайного объема. Будем опровергать гипотезу Япо, если где Сп — константа, определяемая из условия Мощность критерия в данном случае определим как Целью данной главы является отыскание условий существования нетривиальных пределов усредненной мощности оптимального критерия Р(п,кп) и мощности /3?пк ч при п — оо для некоторой последовательности / — оо.
