Введение к работе
Актуальность работы -
Линейно-алгебраические разделы систем компьютерной алгебры раз-дааются в настоящее время путем включения в irax стандартных патов по вычислительной линейной алгебре. Такие пакеты, ориентпро-яные на работу в арифметике с плавающей точкой, являются весьма >фективным средством научных и инженерных расчетов. Вместе с тем же развитые и популярные компьютерно-алгебраические системы не-статочно учитывают интересы двух других категорий пользователей: [Ц, изучающих основной курс линейной алгебры или более сложные ее .зделы, с одной стороны, и алгебраистов-теоретиков, с другой. По разім причинам, и тем, и другим пользователям целесообразно абстра-роваться от того факта, что в практических приложениях линейной гебры, кате правило, приходится иметь дело с приближенными вычи-ениями. Иными словами, процедуры, используемые при обучении или оретической работе, должны давать точные ответы для решаемых ими дач. Именно такого сорта процедур не хватает в современных системах мпьютерной алгебры.
Подобное положение вещей послужило стимулом для выполнения данії работы. Ее целью было создание комплекса компьютерно-алгебра-сских процедур, позволяющих точно решать задачи из важного раз-па линейной алгебры, называемого обратными задачами на собствеи-;е значения.
Проблемой собственных значений в прикладной линейной алгебре швают задачу вычисления (всех или части) собственных значений
ідратной матрицы. Под обратной проблемой собственных значений
гамают класс задач, которым можно дать следующее общее описание:
для указанного класса С матриц размера п х п и заданного набора чисе A = {Ai,...,An} найти матрицу А С, спектр а(А) которой совпадав с А. Вместо набора А может быть задан многочлен /(А) степени п с старшим коэффициентом 1 (иначе говоря, нормированный многочлен), тогда задача состоит в отыскании матрицы А Є С с характеристически многочленом /(А).
Всякая обратная матричная задача на собственные значения (ОМЇ эквивалентна некоторой системе алгебраических уравнений. Поэтому общем случае ОМЗ неразрешима в радикалах. Тем не менее, нам удало< найти ряд типов ОМЗ, допускающих решение даже конечными рацш нальными алгоритмами, т.е. конечными последовательностями арифм тических операций. Будучи реализованы как процедуры над той ил иной системой безошибочных вычислений, такие алгоритмы дают то' ные решения соответствующих задач (при этом входные данные такл интерпретируются как точные числа).
Цель работы
В настоящей работе автор ставил перед собой следующие задачи:
-
Осмыслить и систематизировать имеющийся огромный теорет: ческий материал по ОМЗ с точки зрения возможности (или невозмоі ностп) решать конкретные задачи посредством конечных рациональнь алгоритмов.
-
Найти эффективные алгоритмы для ОМЗ, допускающих ради нальное решение.
-
Реализовать эти алгоритмы в виде процедур известной компы терно-алгебраической системы MAPLE.
Научная новизна работы
Оригинальной представляется прежде всего постановка задачи, приятая в данной работе. Известен ряд попыток систематизации обрат-ых матричных задач на собственные значения как раздела линейной лгебры. Однако впервые такая систематизация проводится, исходя из нтересов и потребностей компьютерной алгебры. Поэтому результаты исссртации можно рассматривать как определенный вклад в теорию атриц.
С другой стороны, указана возможность осмысленного расширения инейно-алгебралческих разделов современных систем компьютерной ал-збры за счет включения в них функций, дающих точные решения со-гветствующих задач. Для конкретного раздела линейной алгебры (а менно, теории обратных матричных задач на собственные значения) конкретной компьютерно-алгебраической системы (а именно, системы LAPLE) эта возможность реализована в виде комплекса процедур, ре-гающих девять содержательных и нетривиальных ОМЗ.
Защищаемые положения
На защиту выносятся следующие итоги работы:
-
Алгоритмы и МAPLE-процедуры для задач Мирского и Фарахата-едерманна (постановка этих и других упоминаемых и данном разделе ідач разъясняется в приводимом ниже обзоре содержания диссертации).
-
Алгоритмы и МAPLE-процедуры для трех задач дополнения об-[его типа.
-
Алгоритмы и MAPLE-нроцедуры для трех задач дополнения блочно типа.
-
Алгоритмы и MAPLE-процедуры для задачи Сильзы.
Практическая значимость работы
Процедуры для решения обратных задач на собственные значения м< гут быть включены в состав программных средств, обучающих стаг дартцому и/или продвинутым курсам линейной алгебры. Они могут и< пользоваться для генерирования тестовых матриц с целью проверки вь числительных алгоритмов линейной алгебры. Наконец, эти процедур; могут служить инструментом теоретико-матричных исследований.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на семинарах "Ai томатизация программирования" (научи, рук. проф. М.Р. Шура-Бур; факультет ВМиК, МГУ), "Компьютерная алгебра" (научн. рук. npoij С.А. Абрамов, ВЦ РАН) и "Матричные методы и вычисления" (научі рук. проф. Е.Е. Тыртышников, Институт вычислительной математик] РАН).
Публикации
Основные результаты диссертации отражены в публикациях (1-7].
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста и з; ключения. Объем диссертации — 94 страницы. Библиография включає в себя 40 наименований. Диссертация содержит 9 приложений.
