Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Псевдообращение матрицы и безусловная задача наименьших квадратов 12
1.1. Рациональные алгоритмы 12
1.1.1. Скелетное разложение 12
1.1.2. Метод Эрмита 13
1.1.3. Метод Гревилля 16
1.2. Вычисление псевдообратной матрицы в системе Maple 18
1.3. Результаты численных экспериментов 19
Глава 2. Задачи наименьших квадратов с линейными ограничениями 21
2.1. Ограничения в виде линейных уравнений 21
2.1.1. Постановка задачи HKY 21
2.1.2. Рациональные алгоритмы 22
2.1.3. Тестовые задачи 25
2.1.4. Результаты численных экспериментов 30
2.2. Ограничения в виде линейных неравенств 31
2.2.1. Постановка задачи НКН 31
2.2.2. Алгоритм NNLS 32
2.2.3. Тестовые задачи 35
2.2.4. Результаты численных экстриментов 37
2.2.5. Преобразование задачи НКН в задачу LDP 38
2.2.6. От задачи LDP к задаче NNLS 43
2.2.7. Результаты численных экспериментов 44
Глава 3. Пересчёт псевдообратных матриц и нормальных псевдорешений при одноранговых модификациях задачи 47
3.1. Безусловная ЗНК 47
3.1.1. Постановка задачи 47
3.1.2. Формулы пересчёта 48
3.1.3. Результаты численных экспериментов 54
3.2. Задача НКУ 57
3.2.1. Постановка задачи 57
3.2.2. Модифиицрованные формулы Гревилля 59
3.2.3. Детали реализации и численные эксперименты 61
Приложение 1 70
Приложение 2. Таблицы 83
Заключение 103
Литература 105
- Вычисление псевдообратной матрицы в системе Maple
- Рациональные алгоритмы
- Преобразование задачи НКН в задачу LDP
- Детали реализации и численные эксперименты
Введение к работе
Напомним постановку линейной задачи наименьших квадратов (ЗНК): для заданных матрицы А размера (т,хп) и т-мерного вектора b найти вектор х размерности п, минимизирующий величину f(x) = \\Ax-b\\2. (0.1)
Всякий такой вектор х называется решением системы
Ах = Ь (0.2) в смысле наименьших квадратов или, более коротко, псевдорешепием этой системы. Если система (0.2) совместна, то ее псевдорешения совпадают с решениями в обычном смысле.
Пусть г — ранг матрицы А. При г < п множество псевдорешений представляет собой линейное многообразие размерности п. Иногда наличие бесконечного множества псевдорешений обременительно, и тогда в этом множестве выбирают наиболее желательный в том или ином смысле вектор х.
В методе наименьших квадратов наиболее желательный вектор — это вектор х с наименьшей 2-нормой. Он называется нормальным псевдорешепием системы (0.2) и существует для всякой системы линейных уравнений. Если система однозначно разрешима, то нормальное псевдорешение этой системы совпадает с ее единственным решением в обычном смысле.
В библиотеках и пакетах программ по численному анализу для решения системы (0.2) в смысле наименьших квадратов применяется следующий стандартный подход:
1. Для матрицы А находим то или иное ортогональное (или унитарное) разложение, т.е. представление типа A=HRK*, (0.3) ' Rn 0^ где Н и К — унитарные матрицы соответственно порядка т и n, a R — матрица вида с невырожденной (г х г)-подматрицей Яц. 2. Представим вектор д = Н*Ь в виде V92J где д\ — подвектор размерности г. Обозначим через у\ единственное решение системы линейных уравнений Ri\V\ - 9\-
Если г — п, то вектор х — Ку\ есть единственное и, значит, нормальное псевдорешение системы (0.2). В противном случае, линейное многообразие псевдорешений описывается формулой к & ) х = К где У2 — произвольный вектор размерности п — г. Выбор у2 = 0 определяет нормальное псевдорешение х - К
Два наиболее популярных типа разложения (0.3) — это QR-разложение матрицы Л и ее сингулярное разложение. Первый тип разложения может быть осуществлен разными способами — посредством той ли иной разновидности процесса ортогонализации Грама-Шмидта или с помощью элементарных унитарных матриц, В любом варианте это конечный процесс, использующий арифметические операции (к числу которых в случае комплексной системы прибавляется операция сопряжения) и квадратичные радикалы. Матрица К в QR-разложена и — это некоторая матрица- перестановка, а подматрица R\\ — трсугольпая. Сингулярное разложение есть итерационный процесс, в котором вычисляется диагональная матрица Нц, составленная из сингулярных чисел матрицы А.
В арифметике с плавающей точкой ортогональные преобразования имеют преимущество в численной устойчивости по сравнению с неортогональными преобразованиями. Вместе с тем, итерационный характер процесса (сингулярное разложение) и использование радикалов (все типы ортогональных разложений) делают точное вычисление псевдорешений невозможным даже в том случае, если коэффициенты исходной задачи (0.2) известны точно. Между тем, как мы сейчас увидим, и все многообразие псевдорешений, и нормальное псевдорешение являются рациональными функциями от коэффициентов системы (0.2) и, значит, в принципе, могут быть вычислены точноf если точно производятся арифметические операции. Возможность точного выполнения арифметических операций над рациональными числами предоставляется пользователю системами компьютерной алгебры. В данной работе речь будет идти об одной из наиболее развитых и мощных таких систем, а именно системе Maple.
Сопоставим задаче (0.2) систему линейных уравнений
А* Ах = А*Ъ. (0.4)
Она называется системой нормальных уравнений для задачи (0.2). Хорошо известно, что система нормальных уравнений всегда совместна (хотя исходная система (0.2) может быть и несовместной ), а ее решения суть псевдорешения задачи (0.2).
Приведение системы (0.4) к какой-либо форме, позволяющей легко на- ходить конкретные решения, может быть достигнуто посредством конечной последовательности арифметических операций. Например, с помощью метода Гаусса систему (0.4) можно привести к ступенчатой форме. Всякий алгоритм, состоящий из конечного числа арифметических операций, будем называть (конечным) рациональным, алгоритмом. Таким образом, метод Гаусса есть пример рационального алгоритма.
Если г < п, то система нормальных уравнений недостаточна для отыскания нормального псевдорешения. К ней необходимо присоединить какую-либо процедуру, выявляющую вектор минимальной длины в линейном многообразии , образованном псевдорешениями; можно, например, найти проекцию на С нулевого вектора. Такое проектирование тоже может быть осуществлено посредством рационального алгоритма.
Вхместо этого двухступенчатого процесса (построение многообразия С с помощью системы нормальных уравнений -+- последующее проектирование нуля на L) можно предложить прямое описание нормального псевдорешения как функции от входных данных задачи (0.2). Это описание основывается на использовании аппарата псевдообратных матриц.
Понятие о псевдообращении как о частичной компенсации обычной операции обращения для случаев, когда матрица Л — квадратная, но вырожденная, или прямоугольная, было введено в линейную алгебру в 1920-х годах американским математиком Е. Муром. Изложенные не лучшим образом, идеи Мура не находили отклика среди алгебраистов вплоть до 1950-х годов, когда в более ясной форме они были повторены английским статистиком Пенроузом. В частности, Пенроуз сформулировал систему уравнений (называемых теперь уравнениями Пенроуза), единственным решением которых является матрица, псевдообратная для матрицы А :
АХ А = А, (0.5) XAX = X, (0.6) (АХ)* = АХ, (0.7) (ХА)* = ХА. (0.8)
Эта матрица получила символ А+ и нередко называется (псевдо)обратной матрицей Мура-Пенроуза, чтобы отличить ее от других типов обобщенных обратных матриц.
Несмотря на присутствие в системе уравнений Пенроуза квадратичного уравнения (0.6), псевдообратная матрица А+ может быть вычислена посредством рационального алгоритма. Этот удивительный факт более подробно обсуждаегся в первой главе диссертации. Возвращаясь к задаче (0.2), укажем, что если матрица А+ известна, то нормальное псевдорешение х можно найти по формуле х = А+Ь. (0.9)
Эта формула и дает рациональное решение задачи вычисления нормального псевдорешения. В случае квадратной невырожденной матрицы А псевдообратная матрица А+ совпадает с обычной обратной матрицей А"1, а формула (0.9) переходит в хорошо известное равенство х = А~Ч.
Важная роль, которую приобрела в современной теории матриц операция псевдообращения, до недавнего времени не находила отражения в системах компьютерной алгебры. Так, в системе Maple вплоть до ее седьмой версии не было процедур для прямого вычисления матрицы А+. Если пользователю матрица А+ все же была необходима, то приходилось многократно обращаться к библиотечной процедуре LeastSquares, решающей задачу наименьших квадратов (0.2): задавая в качестве Ь координатные векторы n-мерного пространства єі,..., еп, пользователь получал в качестве нормальных псевдорешений столбцы псевдообратной матрицы.
Лишь в седьмой версии Maple процедура Least Squares была модифицирована таким образом, чтобы можно было решать более общие задачи наименьших квадратов
Ах = В (0.10) с (т хр)-матрицей В. Теперь псевдообращение матрицы Л может быть достигнуто единственным обращением к LeastSquares с единичной матрицей Іт в качестве правой части В задачи (0.10).
Однако и теперь возможности Maple даже в отношении собственно задачи наименьших квадратов остаются весьма ограниченными. Например, помимо безусловной ЗНК, обсуждавшейся до сих пор, на практике очень часто возникает необходимость в минимизации функционала (0.1) при тех или иных ограничениях на искомый вектор х. Наиболее распространенными типами ограничений являются системы линейных уравнений, системы линейных неравенств, комбинации тех и других и квадратичные ограничения вида | \х\ І2 < с или | \х — | |г < с. Во второй главе диссертации показано, что задачи наименьших квадратов с линейными ограничениями могут быть решены рационально, и описаны соответствующие алгоритмы. Ни один из них не содержится в Maple.
Не эффективна Maple и в такой ситуации, типичной для многих приложений: после того как задача (0.2) решена, в систему вводится новое уравнение к требуется решить новую ЗНК
Ах = Ь. (0.11)
Другая типичная ситуация: задача (0.11) получается из (0.2) удалением одного уравнения. В обоих этих случаях у пользователя Maple нет альтернативы решению задачи (0.11) как новой посредством той же процедуры LeastSquares без какого-либо использования информации о решении предыдущей задачи.
В третьей главе диссертации обсуждаются методы эффективного пересчета нормального псевдорешения при одноранговой модификации матрицы задачи (0.2):
А — A + cd*.
Обе указанных выше ситуации можно рассматривать как частные случаи такой модификации. Описаны алгоритмы, играющие по отношению к псевдообратным матрицам ту же роль, какую для обычных обратных матриц выполняет формула Шермана-Моррисона. Задача эффективного пересчета решений рассмотрена и для ЗНК с линейными ограничениями.
Псевдообращение матриц имеет многочисленные приложения как в линейной алгебре, так и за ее пределами. Два из таких приложений, а именно к описанию условно знакоопределепиых матриц и вычислению обратных матриц Дрейзина, разобраны в Приложении 1.
В каждой главе диссертации и Приложении 1 мы стараемся придерживаться следующего общего плана:
1. Постановка задачи.
Всякий раз предполагается, что коэффициенты задачи суть точно заданные рациональные числа, и ищется точное решение.
2. Описание рациональных алгоритмов, решающих данную задачу. Если "готовых"рациональных алгоритмов среди имеющихся методов нет, мы указываем необходимые модификации, превращающие эти методы в рациональные.
Обсуждение особенностей реализации алгоритмов из п.2 в виде процедур языка Maple.
Описание тестовых задач.
5. Обсуждение результатов тестирования (включающее в себя сравнение эффективности различных алгоритмов).
Вычисления проводились на персональном компьютере Pentium Ш-650 с версиями 6 и 7 системы Maple.
Комплекс Maple-процедур, возникший как итог настоящей работы, является существенным расширением интеллектуальных возможностей системы Maple в области задач наименьших квадратов и обобщенного обращения матриц. Эксперту этот комплекс предоставляет полезные средства исследования и численного решения конкретных задач из названных классов. В то же время комплекс может служить как сопровождение к учебным курсам по этим темам.
Вычисление псевдообратной матрицы в системе Maple
Можно считать, что алгоритм NNLS состоит из основного цикла (цикла А) и внутреннего цикла (цикла В). Цикл В составляют шаги 6-11; единственный вход в него — через шаг 6, а единственный выход — через шаг 7.
Цикл А состоит из шагов 2-5 и цикла В. Он начинается шагом 2; выход из цикла — через шаг 3. В [9? гл. 23, 3] доказано, что алгоритм NNLS конечен, поскольку конечное число раз выполняется цикл А, а внутри него также конечно число повторений цикла В. На практике выход из цикла В обычно происходит при первом же достижении шага 7. Что касается цикла А, то число его повторений, по имеющимся наблюдениям, равно в среднем « .
Заметим, что задача наименьших квадратов, решаемая на шаге 6, отличается от задачи, решавшейся при предыдущем выполнении этого шага, либо тем, что в матрицу Ер был введен дополнительный ненулевой столбец, либо тем, что из Ер на шаге 11 были удалены один или несколько ненулевых столбцов. И в том, и в другом случае матрицы Ер двух соседних шагов являются малоранговыми (в типичном случае, одноранговыми) коррекциями друг друга. Эта ситуация и вычислительные преимущества, которые из нее можно извлечь, подробно рассмотрены в главе 3.
Алгоритм NNLS, описанный в предыдущем разделе, реализован нами в виде процедуры языка Maple. Эта процедура имеет две версии. В версии NNLS1 безусловная ЗНК на шаге б решается посредством процедуры Least Squares из стандартной библиотеки системы Maple. В версии NNLS2 для пересчета нормального псевдорешения между каждыми двумя последовательными выполнениями шага 6 используются составленные нами Maple-процедуры АС и DC (от Add Column и Delete Column; см. раздел 3.1).
Эффективность указанных двух версий сопоставлялась в двух сериях численных экспериментов. Тестовые задачи для этих экспериментов были составлены с помощью М-матриц.
Напомним, что вещественная п х rt-матрица А с неположительными виедиагональными элементами называется М-матрицей, если А невырс-жденна и обратная матрица А"1 (поэлементно) неотрицательна. Хорошо известным примером М-матриц являются матрицы Стильтьеса, т.е. положительно определенные матрицы с неположительными виедиагональными элементами. Положительная определенность симметричной матрицы А с положительной диагональю обеспечивается, например, свойством диагонального преобладания. Так, в наших экспериментах использовалась (для различных значений п) матрица
В первой серии экспериментов для значений п — 10,20, 30,40, 50 решалась система (2.29) с матрицей Ап и правой частью (2.30). Использовалась система Maple-7. Время решения задач данной серии (в секундах) обеими версиями процедуры NNLS показано в табл. 3.
Соотношение (2.31) означает, что вектор (2.30) является собственным вектором матрицы Ап 1, отвечающим ее (старшему) собственному значению 1. Нетрудно показать, что Ап 1 не имеет других (неколлинеарных) собственных векторов с неотрицательными компонентами. Точно так же, Ь есть единственный (с точностью до коллинеарности) собственный вектор с неотрицательными компонентами для матрицы Ап. (Он отвечает наименьшему собственному значению 1.) Поэтому задача NNLS с имеет смысл нормировочного условия для собственного вектора.
Во второй серии экспериментов матрица и вектор задачи (2.25)-(2.26) задавались формулами (2.32) при п = 10,20, 30,40,50. Время решения для обеих версий процедуры NNLS показано в табл. 4.
В наши программы был включен счетчик числа повторений шага б. Для всех наших задач значение этого счетчика на выходе из программы было равно размерности п вектора переменных х. Это связано с тем обстоятельством, что решением является вектор, все компоненты которого строго положительны (вектор (2.31) или (2.32)), между тем как начальное приближение всегда есть нулевой вектор (см. шаг 1).
По причинам, разъясненным в разделе 2.2.2, мы рассчитывали на большую эффективность версии NNLS2 по сравнению с NNLS1, Таблицы 3 и 4 свидетельствуют, что в определенной степени эти ожидания оправдались: NNLS2 работает в 2-2,5 раза быстрее, чем NNLS1. Тот факт, что преимущество NNLS2 не оказалось более убедительным, можно объяснить недостаточной чистотой эксперимента: ведь сравнивались, с одной стороны, библиотечная процедура системы Maple, составленная с использованием всех возможностей этой системы, и, с другой стороны, "сырые"экспериментальные процедуры АС и DC.
Рациональные алгоритмы
Рассмотрим теперь аналогичную задачу при TV = 10. Система Сх = d по-прежнему состоит из двух уравнений и имеет прежний смысл: сумма элементов первой строки матрицы А должна быть равна единице и аналогичное условие должно выполняться для первого столбца. Однако число неизвестных п возрастает до N2 = 100. Число условий () и (г;), определяющих целевую функцию, изменяется от 1 на первом шаге до 17 на последнем. В третьем столбце табл. 16 мы показываем время работы процедуры GMRLSE на каждом из 17 шагов этой задачи (назовем ее задачей Р\о). Для сравнения во втором столбце приводится для каждого т время решения задачи (3.27), (3,28) "заново"посредством процедуры LSE1. Преимущество процедуры GMRLSE здесь очевидно.
То обстоятельство, что из двух процедур (LSE1 и LSE2), описанных в разделе 2.1.4, для сравнения выбрана более медленная процедура LSE1, вероятно, требует объяснения. Оно состоит в следующем: алгоритм из теоремы 3 определяет на каждом шаге т нормальное псевдорешение задачи (3.27), (3.28); это же верно для формулы (2.3), на которой основана процедура LSEL В то же время, процедура LSE2 вычисляет некоторое псевдорешение, которое, в общем случае, не является нормальным. Несложно показать, например, что при применении LSE2 к рассмотренной выше задаче Р& вместо матрицы Л\ на первом шаге будет получена матрица равны единице. Рассмотрим теперь следующее усложнение задачи Рдг.
Пусть В и b суть случайная матрица порядка N и случайный iV-мерныЙ вектор с элементами, равномерно распределенными на (-100, 100). В новой задаче Рдг система Сх — d задается уравнениями Время решения задачи Рю посредством процедур LSE1 и GMRLSE можно видеть в табл. 17. Сравнение этой таблицы с табл. 16 показывает некоторое (впрочем, не очень существенное) увеличение времени счета для LSE1 и более чем стократное замедление для GMRLSE! В результате LSE1 более эффективна при решении задачи PiOi чем процедура GMRLSE.
Чем следует объяснить такое различие между сравнительной эффективностью двух процедур для задач Рю и Рю? Число арифметических операций, выполняемых каждой процедурой, одинаково для обеих задач, и для LSE1 оно в несколько раз больше, чем аналогичное число для GMRLSE. Счетчик числа операций, встроенный в GMRLSE, дает на выходе значение 860 506. Счетчик для LSE1, при этом учитывающий не все производимые этой процедурой операции, регистрирует значение 5 279 333.
Однако число операций — не единственный фактор, определяющий длительность вычислений в рациональной арифметике системы Maple. Другим фактором является средняя разрядность участвующих в вычислениях операндов. Для задачи Рю эта разрядность невелика на всех шагах обоих методов и не сказывается на сравнительной эффективности, предсказываемой отношением числа операций. Иное дело — задача Рю- Процедура LSE1 на любом шаге т оперирует с коэффициентами исходных величин — матрицы В и вектора Ъ. Эти коэффициенты суть целые числа, по абсолютной величине меньшие 100. В то же время в процедуре GMRLSE средняя разрядность операидов от шага к шагу возрастает, достигая к концу процесса очень больших значений.
В качестве иллюстрации приведем данные о разрядности, полученные для задачи меньшей размерности Д. Элементы матрицы A i (см. теорему 1) суть дроби, числители и знаменатели которых имеют до 12 разрядов в своем десятичном представлении. Длина числителей и знаменателей в матрицах А„г увеличивается на каждом шаге в среднем на четыре десятичных разряда. В финальной матрице Л максимальная разрядность числителей и знаменателей равна 35.
Преобразование задачи НКН в задачу LDP
Рассмотрим теперь аналогичную задачу при TV = 10. Система Сх = d по-прежнему состоит из двух уравнений и имеет прежний смысл: сумма элементов первой строки матрицы А должна быть равна единице и аналогичное условие должно выполняться для первого столбца. Однако число неизвестных п возрастает до N2 = 100. Число условий () и (г;), определяющих целевую функцию, изменяется от 1 на первом шаге до 17 на последнем. В третьем столбце табл. 16 мы показываем время работы процедуры GMRLSE на каждом из 17 шагов этой задачи (назовем ее задачей Р\о). Для сравнения во втором столбце приводится для каждого т время решения задачи (3.27), (3,28) "заново"посредством процедуры LSE1. Преимущество процедуры GMRLSE здесь очевидно.
То обстоятельство, что из двух процедур (LSE1 и LSE2), описанных в разделе 2.1.4, для сравнения выбрана более медленная процедура LSE1, вероятно, требует объяснения. Оно состоит в следующем: алгоритм из теоремы 3 определяет на каждом шаге т нормальное псевдорешение задачи (3.27), (3.28); это же верно для формулы (2.3), на которой основана процедура LSEL В то же время, процедура LSE2 вычисляет некоторое псевдорешение, которое, в общем случае, не является нормальным. Несложно показать, например, что при применении LSE2 к рассмотренной выше задаче Р& вместо матрицы Л\ на первом шаге будет получена матрица равны единице. Рассмотрим теперь следующее усложнение задачи Рдг. Пусть В и b суть случайная матрица порядка N и случайный iV-мерныЙ вектор с элементами, равномерно распределенными на (-100, 100). В новой задаче Рдг система Сх — d задается уравнениями Время решения задачи Рю посредством процедур LSE1 и GMRLSE можно видеть в табл. 17. Сравнение этой таблицы с табл. 16 показывает некоторое (впрочем, не очень существенное) увеличение времени счета для LSE1 и более чем стократное замедление для GMRLSE! В результате LSE1 более эффективна при решении задачи PiOi чем процедура GMRLSE.
Чем следует объяснить такое различие между сравнительной эффективностью двух процедур для задач Рю и Рю? Число арифметических операций, выполняемых каждой процедурой, одинаково для обеих задач, и для LSE1 оно в несколько раз больше, чем аналогичное число для GMRLSE. Счетчик числа операций, встроенный в GMRLSE, дает на выходе значение 860 506. Счетчик для LSE1, при этом учитывающий не все производимые этой процедурой операции, регистрирует значение 5 279 333.
Однако число операций — не единственный фактор, определяющий длительность вычислений в рациональной арифметике системы Maple. Другим фактором является средняя разрядность участвующих в вычислениях операндов. Для задачи Рю эта разрядность невелика на всех шагах обоих методов и не сказывается на сравнительной эффективности, предсказываемой отношением числа операций. Иное дело — задача Рю- Процедура LSE1 на любом шаге т оперирует с коэффициентами исходных величин — матрицы В и вектора Ъ. Эти коэффициенты суть целые числа, по абсолютной величине меньшие 100. В то же время в процедуре GMRLSE средняя разрядность операидов от шага к шагу возрастает, достигая к концу процесса очень больших значений.
В качестве иллюстрации приведем данные о разрядности, полученные для задачи меньшей размерности Д. Элементы матрицы A i (см. теорему 1) суть дроби, числители и знаменатели которых имеют до 12 разрядов в своем десятичном представлении. Длина числителей и знаменателей в матрицах А„г увеличивается на каждом шаге в среднем на четыре десятичных разряда. В финальной матрице Л максимальная разрядность числителей и знаменателей равна 35.
Детали реализации и численные эксперименты
С теоретической точки зрения, основным результатом настоящей диссертации является доказательство возможности получения точных решений для двух важных классов линейно-алгебраических задач с точно заданными рациональными коэффициентами. Это, во-первых, обобщенное обращение матриц, среди многочисленных разновидностей которого наиболее полезными являются псевдообращение по Муру-Пенроузу (глава 1) и обращение вырожденных квадратных матриц по Дрейзину (см. ПІ.1). Это, во-вторых, линейные задачи наименьших квадратов. Возможность точного решения безусловной задачи наименьших квадратов (ЗНК) была осознана уже довольно давно, что отразилось, в частности, во включении процедуры LeastSquares уже в ранние версии Maple. Такого осознания не было в отношении ЗНК с ограничениями в виде линейных уравнений и/или неравенств. В главе 2 мы показали возможность точного решения этой задачи. То же относится к вопросам экономного пересчета псевдорешений при одноранговых модификациях задачи наименьших квадратов (глава 3).
Как только принципиальная возможность точного решения установлена, встает вопрос о построении соответствующих рациональных алгоритмов либо модификации или усовершенствовании существующих алгоритмов. Эта работа, проделанная для указанных выше классов задач, и составляет основное содержание диссертации.
С прикладной точки зрения, наиболее важным итогом диссертации следует считать создание комплекса процедур языка Maple, реализующих описанные в ней рациональные алгоритмы. Этот комплекс существенно расширяет интеллектуальные возможности системы Maple, связанные с решением указанных выше классов линейно-алгебраических задач. Эксперту этот комплекс предоставляет полезные средства исследования и численного решения конкретных задач из названных классов. В то же время комплекс может служить как сопровождение к учебным курсам по методу наименьших квадратов и обобщенному обращению матриц.
Упомянем еще, что самостоятельный интерес для теории матриц представляет решение некоторых метрических матричных задач, использованных в главе 2 в качестве тестовых примеров.
