Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию некоторых важных задач управления, возникающих в робототехнике, с приложением к задаче восстановления поврежденных изображений. При моделировании разнообразных колесных мобильных роботов и роботов-манипуляторов Ж.П. Ломонд1 показал, что такие системы в общем случае описываются нелинейными неголономными управляемыми системами с линейным управлением. Н.Н. Красовский2 отметил актуальность двухточечной граничной задачи управления такими системами, то есть выбор закона управления, переводящего систему из заданного начального состояния в заданное терминальное состояние.
В настоящее время не существует методов явного решения этой задачи в общем случае. Удовлетворительное решение имеется лишь для некоторых специальных классов систем. Дж. Лаферьер и Г. Суссман3 предложили метод управления нильпотентными системами. Р. Мюррей и С. Састри4 исследовали класс систем, которые могут быть преобразованы в цепную форму. М. Флиссом и П. Рушоном5 был предложен метод управления дифференциально плоскими системами. Однако эти методы неприменимы для систем общего положения. В исключительных случаях для управляемых систем можно найти точный закон оптимального управления (в смысле минимума заданного функционала качества). Одним из возможных подходов к решению задачи оптимального управления за фиксированное время системами, линейными по управлению, является метод разработанный К. Фернандесом, 3. Ли и Л. Гурвицем6. В. Джуржевич, Г. Суссман7, И. Купка8, Ж.П. Готье9, У. Боскаин10 и
^aumond J. P., Robot Motion Planning and Control // Lecture Notes in Control and Information Sciences, № 229, p. 343, 1998.
2Красовский H.H., Теория управления движением, М.: Наука, 1968, 476 с.
3Laferriere G., Sussmann H.J., A differential geometric approach to motion planning, Nonholonomic Motion Planing, Eds. Zexiang Li and J.F. Canny, Kluwer, 1992.
4Murray R.M., Sastry, S.S., Steering controllable systems//29th IEEE Conf. Dec. and Control, Honolulu, Hawaii, 1990.
5Fliess M., Levine J., Martin P., Rouchon P., On differential flat nonlinear systems //IFAC NOLCOS Symposium, Bordeaux, France, p.408-412, 1992.
6Fernandes C, Gurvits L., Li Z. X., A variational approach to optimal nonholonomic motion planning/1 IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, pp. 680-685, Sacramento, 1991
7Sussmann H. J., Jurdjevic V. Controllability of non-linear systems // J.Diff. Equations, V. 12.—p. 95-116, 1972
8Jurdjevic V., Kupka I. Control systems on semi-simple Lie groups and their homogeneous spaces Annales de l'institut Fourier, 31 no. 4, p. 151-179, 1981
9Gauthier J.P., Controllability of right-invariant systems on Semi-simple Lie-groups// Springer-Verlag 122, New Trends in Nonlinear Control Theory, p. 54-64, 1989
10Boscain U., Rossi F., Invariant Carnot-Caratheodory Metrics on S3, SO(3), SL(2), and Lens Spaces// SIAM Journal on Control and Optimization 47, p. 1851, 2008
Ю.Л. Сачков , используя геометрические методы теории управления, описали технику решения инвариантных задач оптимального управления на группах Ли с применением принципа максимума Понтрягина12. Именно эта техника была использована в рассматриваемых в диссертации задачах оптимального управления. Возможны также другие подходы, например, использующие необходимые условия оптимальности, основанные на уравнениях Эйлера-Лагранжа; достаточные условия оптимальности Кротова-Гурмана13 или метод динамического программирования Беллмана14.
Точное решение двухточечной граничной задачи управления рассматриваемыми системами в общем случае является открытой проблемой. Однако для приложений обычно достаточно приближенного управления, переводящего систему из начального состояния в терминальное состояние с любой наперед заданной точностью. Общепринятым подходом в данном направлении является разработка программных средств, реализующих итерационный алгоритм поиска приближенного управле-ния. Дж. Лаферьер и Г. Суссман предложили итерационный метод поиска приближенного решения, основанный на замене исходной системы ее нильпотентной аппроксимацией (системой простой алгебраической структуры, локально приближающей исходную систему и сохраняющей свойство полной управляемости). Отечественные ученые А.Ю. Горнов15, С.С. Жулин16, В.А. Срочко17 внесли большой вклад в разработку алгоритмов и программных комплексов для решения задач оптимального управления. Однако алгоритмы и программные средства общего назначения встречают трудности при решении задачи управления неголоном-ными системами, которые могут быстро перемещаться в одних направлениях в пространстве состояний, но гораздо медленнее в других направлениях. Современные программные комплексы управления техническими объектами сталкиваются с проблемами управления неголоном-
ИЮ.Л. Сачков, Экспоненциальное отображение в обобщенной задаче Дидоны// Мат. Сборник, 194, 9, 63-90, 2003
12Л.С. Понтрягин, В.Г.Болтянский, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко,Математическая теория оптимальных процессов, М.: Наука, 1961
13Гурман В.И., Принцип расширения в экстремальных задачах, М.: Физматлит, 1997
14Беллман Р., Динамическое программирование, М.: Изд-во иностранной литературы, 1960
15Горнов А.Ю., Технология проектирования программных комплексов для задач оптимального управления II Вестник ИрГТУ. - 2004. - Т. 17, № 2, с. 148-153
16Жулин С.С, Численное решение задач оптимального управления с помощью системы OPTIMUS II Проблемы динамического управления: Сборник научных трудов факультета ВМиК МГУ Под ред. Ю.С.Осипова, А.В.Кряжимского — 2005 — Выпуск 1—С. 158-165.
17Срочко В.А., Итерационные методы решения задач оптимального управления, М.:Физматлит, 2000.
ными системами. Такие системы традиционно представляют трудности для теоретического анализа в механике, а их широкое использование в современной робототехнике и инженерии (мобильные роботы, роботы-манипуляторы) делают весьма актуальной разработку новых математических, алгоритмических и программных средств для управления него-лономными системами.
Цель работы и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка методов исследования, алгоритмических и программных средств для решения задач управления в робототехнике с приложением в обработке изображений.
Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:
получение асимптотики экстремальных траекторий и первого времени Максвелла в задаче об оптимальном качении сферы по плоскости;
разработка математических методов точного решения двухточечной граничной задачи управления для пятимерных нильпотентных систем с двумерным линейным управлением;
разработка математических методов, алгоритмов и программ (в том числе параллельных) приближенного решения двухточечной граничной задачи управления для нелинейных систем с двумерным линейным управлением;
программная реализация оптимального синтеза в обобщенной задаче Дидоны и задаче об оптимальном перемещении мобильного робота по плоскости;
разработка алгоритмов и программных средств обработки и восстановления изображений на основе результатов, полученных в п. 4.
Общие методы исследования. Для решения поставленных задач использовались геометрическая теория управления, численные методы решения систем алгебраических уравнений, функциональное и императивное программирование, методы обработки изображений, методы параллельного программирования.
Научная новизна. В задаче об оптимальном качении шара по плоскости получена асимптотика экстремальных траекторий и времени Максвелла. Получена верхняя оценка времени разреза для экстремальных траекторий вблизи рассматриваемой асимптотики.
Разработаны алгоритмическая и программная реализация оптимального синтеза в задаче об оптимальном перемещении мобильного робота по плоскости и обобщенной задаче Дидоны.
Разработаны новые многометодные алгоритмы (включая параллельные) приближенного решения двухточечной задачи управления для пятимерных неголономных систем с двумерным линейным управлением.
Разработан параллельный программный комплекс для проверки подхода нейрофизиологов зрения к задаче антропоморфного восстановления изображений.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные теоретические результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях методов управления неголономными системами. Разработанный пакет программ MotionPlanning может применяться для исследования управляемых систем в механике, робототехнике, инженерных приложениях, а также при обучении студентов новым методам теории управления. Разработанный программный комплекс Optimallnpainting может применяться к задаче антропоморфного восстановления контуров поврежденных изображений.
Достоверность результатов подтверждается корректным использованием математической теории управления. Основным понятиям, используемым в работе, даны точные определения. Все утверждения снабжены строгими математическими доказательствами.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях и совещаниях:
международная конференция по математической теории управления и механике, Суздаль, 2009 г.,
молодежная конференция «Теория управления: новые методы и приложения», Переславль, 2009 г.,
workshop on Nonlinear Control and Singularities, Toulon, 2010,
международная конференция по математической теории управления и механике, Суздаль, 2011 г.,
международная конференция «Управление и оптимизация неголономных систем», Переславль, 2011 г.,
международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2011» (награжден грамотой за лучший доклад), Москва, 2011 г.,
третья традиционная всероссийская молодежная летняя школа «Управление, информация и оптимизация» (награжден дипломом в номинации «Замечательный доклад»), пос. Ярополец, 2011 г.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах:
семинар по теории управления под рук. проф. Филиппа Жуана, Университет г. Руан, Франция, 2010 г.,
объединенный семинар по оптимизации и управлению Исследовательского центра системного анализа и Исследовательского центра процессов управления ИПС им. А.К. Айламазяна РАН под рук. д.т.н. Цирлина A.M. и д.ф.-м.н. Сачкова Ю.Л., г. Переславль-За-лесский, 2012 г.,
семинар кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под рук. члена-корреспондента РАН Зеликина М.И., г. Москва, 2012 г.,
семинар лаборатории 7 ИПУ РАН под рук. д.т.н. Поляка Б.Т., г. Москва, 2012 г.
Научные исследования по теме диссертации были поддержаны следующими грантами РФФИ: 05-01-00703-а («Исследование задач оптимального управления субримановой геометрии методами геометрической теории управления»), 09-01-00246-а («Геометрические методы исследования задач оптимального управления с симметриями»), 09-01-90702-моб_ст («Научная работа российского молодого ученого Маштакова Алексея Павловича в Математическом Институте им. В.А.Стеклова РАН»), 10-01-91102-НЦНИ_з («Участие в Франко-Российском семинаре „Геометрическая теория управления: методы и приложения"»), 11-01-16014-моб_з_рос («Участие в третьей Традиционной всероссийской молодежной летней Школе „Управление, информация и оптимизация"»), 12-01-00913-а («Новые методы исследования инвариантных задач оптимального управления на группах Ли, с приложениями в классической и квантовой механике и робототехнике»).
Параллельные алгоритмы и программы, разработанные в диссертации, были внедрены при реализации Научно-технической программы Союзного государства «Разработка и использование программно-аппаратных средств ГРИД-технологий и перспективных высокопроизводительных (суперкомпьютерных) вычислительных систем семейства „СКИФ"», 2008-2010.
Получено Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ Optimallnpainting №2010614762 от 21 июля 2010 г.
Результаты диссертации были внедрены в образовательный процесс Университета города Переславля им. А.К. Айламазяна (практикум на ЭВМ: приложение к курсу УМФ, работа в Wolfram Mathematica).
Публикации. Все результаты диссертации опубликованы в 8 работах автора, список которых приводится в конце автореферата. Работы [1]-[4] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК РФ.
Личный вклад. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из четырех глав (первая из них является введением) и заключения. Главы разбиты на 20 пунктов. Основной текст диссертации составляет 135 страниц и включает 47 рисунков и 3 таблицы. Библиография включает 68 наименований.
