Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ состояния проблемы и постановка задачи исследования 11
1.1 Методы частотно-временного анализа 11
1.2 Технология ортогонального частотного мультиплексирования (OFDM) 17
1.3 Ограничения возможности локализации 26
1.4 Обобщенный ортогональный WH-базис и математическая модель OFTDM сигнала 35
Выводы 38
Глава 2. Синтез ортогональных хорошо-локализованных конечномерных базисов Вейля-Гейзенберга и оптимизация фазового параметра 40
2.1 Аппроксимация симметричной комплексной функции N -периодической 41
2.2 Алгебраический алгоритм синтеза ортогонального базиса 49
2.3 Дополнительная оптимизация базиса Вейля-Гейзенберга 55
2.4 Результаты моделирования 72
Выводы 75
Глава 3. Критерии ортогональности и вычислительно эффективный алгоритм синтеза базиса Вейля-Гейзенберга 16
3.1 Доказательство критериев ортогональности 16
3.2 Критерий и теорема Найквиста 84
3.3 Базис и преобразование Винера 90
3.4 «Быстрый» алгоритм синтеза базиса 94
3.5 Результаты моделирования 95
Выводы 106
Глава 4. Построение вычислительно эффективных алгоритмов обработки сигналов с применением обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга 107
4.1 Полифазное разложение и Z-преобразование 107
4.2 Примеры применения полифазного разложения 110
4.3 Обработка OFTDM сигнала на основе обобщенного базис Вейля-Гейзенберга ..119
4.4 Эффективная реализация алгоритма обработки сигнала на основе полифазного разложения и БПФ 121
4.5 Численный алгоритм обработки сигнала 128
4.6 Результаты моделирования 129
Выводы 131
Заключение 132
Список литературы 136
- Технология ортогонального частотного мультиплексирования (OFDM)
- Алгебраический алгоритм синтеза ортогонального базиса
- «Быстрый» алгоритм синтеза базиса
- Обработка OFTDM сигнала на основе обобщенного базис Вейля-Гейзенберга
Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Значительный технологический прогресс, достигнутый в разработке новых алгоритмов передачи информации и их активном применении на практике, делает особенно актуальными исследования новых методов синтеза сигналов все более сложной структуры, обладающих оптимальными временно-частотными характеристиками.
Преобразование Фурье, завоевавшее широкое распространение в теории обработки сигналов в линейных инвариантных во времени системах, становится трудно применимым инструментом, когда необходимо исследовать кратковременные, переходные процессы. Для таких более сложных явлений возникает необходимость получать информацию о спектре, локализованную во времени. Синтез универсального базиса, являющегося аналогом базиса Фурье, который позволил бы упростить обработку большинства типов сигналов, представляет собой крайне сложную задачу. Одним из наиболее важных примеров таких базисов являются базисы Вейля-Гейзенберга, получаемые сдвигами по времени и частоте одной функции (окна) или семейства функций.
В настоящее время в системах связи 3G, 4G и цифрового телевидения используется пакетная передача данных, а наиболее распространенной технологией является мультиплексирование (уплотнение) с ортогональным частотным разделением (OFDM - Orthogonal Frequency Division Multiplexing). OFDM сигнал, передаваемый в канал, представляется собой последовательность информационных пакетов, сформированных в виде линейной комбинации функций классического базиса Вейля-Гейзенберга.
В связи с ростом количества абонентов современные системы беспроводной связи должны обеспечивать прием информации в сложной помеховой обстановке. При этом высокое качество работы цифровых систем связи должно обеспечиваться при высоких скоростях передачи информации и высоких скоростях движения абонентов. При построении таких систем часто возникает ситуация, когда реальный радиоканал (среда распространения) обладает частотно-временным рассеянием. В процессе распространения сигнала в такой середе возникает интерференция между соседними OFDM пакетами (межсимвольная интерференция, МСИ) и между поднесущими каналами в рамках каждого OFDM пакета (межканальная интерференция, МКИ), то есть разрушается структура сигнала и на приемной стороне возникают помехи вплоть до полного нарушения связи. Во многом это объясняется тем, что прямоугольная форма формирующего импульса, характерная для классических OFDM систем, не является оптимальной
с точки зрения локализации в частотной области и, соответственно, устойчивости к МКИ. Таким образом, борьба с частотно-временным рассеянием и снижение МКИ представляют серьезную проблему в мобильных широкополосных сетях различного назначения, например, WiMAX, LTE, DVB-T/H и др.
Кроме высоких локализационных характеристик базиса, позволяющих значительно снизить подверженность МКИ, в реальных приложениях на передний план выходит проблема практической реализуемости методов синтеза таких базисов и обработки сигналов на основе существующей аппаратной платформы. Например, в задачах спектрально-временного анализа различных процессов требуется возможность быстрого и гибкого изменения разрешающей способности, которая достигается настройкой параметров базиса Вейля-Гейзенберга, т.е. изменением его формирующей функции. Кроме того, в современных системах цифрового телевидения количество базисных функций может достигать нескольких десятков тысяч, причем прием цифрового видео сигнала должен осуществляется компактным абонентским устройством. Соответственно, особую актуальность приобретают решаемые в работе задачи разработки вычислительно эффективных алгоритмов, как синтеза самого базиса, так и «быстрых» алгоритмов разложения и восстановления сигнала в этих базисах.
В настоящий момент системы цифрового телевидения и беспроводной связи поколений 3G, 4G получают широкое распространение в России и мире. Поэтому разработка научно обоснованных решений по развитию математических методов и алгоритмов обработки сигналов, позволяющих повысить эффективность систем беспроводной связи, является актуальной задачей, имеющей важное научное и практическое значение.
Цель работы
Основной целью данной диссертационной работы является исследование математических методов синтеза хорошо-локализованных ортогональных базисов Вейля-Гейзенберга с обоснованно выбранными параметрами и их применение для эффективной обработки сигналов. В работе были поставлены следующие задачи:
Разработка математических методов синтеза конечномерных, дискретных обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга с заданными параметрами, обладающих хорошей локализацией одновременно и в частотной и во временной области.
Теоретическое обоснование выбора вида формирующей функции и оптимальных параметров базисов Вейля-Гейзенберга.
Разработка вычислительно эффективного алгоритма синтеза таких базисов.
Разработка практически реализуемых, эффективных алгоритмов обработки сигнала на основе таких базисов.
Научная новизна работы
В диссертационной работе впервые обоснован выбор вида симметрии формирующей функции и фазового параметра обобщенного базиса Вейля-Гейзенберга, обеспечивающие высокую степень его частотно-временной локализации. Исследована зависимость локализации базиса от выбора его параметров. Разработан вычислительно эффективный алгоритм синтеза базиса. Обоснованы преимущества технологии передачи информации с ортогональным частотно временным уплотнением на основе оптимальных обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга (WH-OFTDM - Weyl-Heisenberg Orthogonal Frequency Time Division Multiplexing) над классической OFDM схемой. Для OFTDM сигналов доказаны условия (критерии ортогональности), являющиеся аналогами теоремы Найквиста, гарантирующими отсутствие МКИ и МСИ. Построены эффективные алгоритмы обработки сигналов на основе синтезированных базисов.
Практическая ценность
Полученные в работе результаты могут быть использованы при дальнейшем развитии новой технологии передачи информации с частотно-временным мультиплексированием (WH-OFTDM), с возможностью последующего применения в современных устройствах связи 4G (WiMAX, WiMAX2, LTE и т.д.) и системах цифрового телевидения (DVB-H/T).
Основными преимуществами информационной технологии WH-OFTDM, следующими из полученных в работе теоретических результатов и результатов моделирования, являются:
В каналах с частотно-временным рассеянием за счет организации дополнительного внутрисимвольного временного уплотнения удается существенно повысить, как спектральную, так и энергетическую эффективность системы.
Понижается уровень внеполосного излучения, и тем самым ослабляются требования к выходному фильтру передатчика и защитному интервалу на границах частотного диапазона.
Повышается устойчивость системы к межканальной и межсимвольной интерференции, появляется возможность адаптировать ее к параметрам частотно-временного рассеяния среды.
Разработанные в диссертации эффективные алгоритмы позволяют применить на практике ортогональные базисы Вейля-Гейзенберга, обладающие высокой степенью локализации.
Синтезированные алгоритмы могут также применяться для эффективного спектрально-временного анализа различных процессов, наблюдаемых, в частности, на выходе устройств регистрации (датчиков биомедицинских
приборов, сейсмодатчиков, радио и гидролокаторов) и для идентификации и классификации объектов (процессов) по частотно-временным признакам.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту
Разработан вычислительно эффективный алгоритм, позволяющий синтезировать ортогональные конечномерные обобщенные базисы Вейля-Гейзенберга с хорошей частотно-временной локализацией.
Теоретически обоснован выбор вида и типа симметрии формирующей функции WH-базиса.
Теоретически обоснован выбор фазового параметра WH-базиса.
Разработаны вычислительно эффективные алгоритмы обработки сигналов на основе обобщенных WH-базисов.
Доказаны условия ортогональности WH-базисов и критерии отсутствия межканальной и межсимвольной интерференции.
Соответствие диссертации паспорту научной специальности
В соответствием с областью исследования специальности 05.13.18 -«Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки)» область диссертационного исследования включает разработку новых математических методов моделирования свойств хорошо-локализованных сигнальных базисов, разработку, обоснование и реализацию эффективных численных методов синтеза базисов и обработки сигналов.
Апробация работы
Содержание различных разделов диссертации докладывалось на международных и всероссийских форумах, конгрессах и конференциях. В частности, на международных форумах информатизации (МФИ), международных конгрессах (CTN) (Москва 2008, 2009); на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009» (Москва, 2009), где доклад был признан имеющим наибольший инновационный потенциал; на международной конференции «Современные достижения бионаноскопии» (Москва, 2009); на 4-ой отраслевой научной конференции-форуме «Технологии информационного общества» (Москва, 2010); на всероссийском научно-техническом семинаре «Системы синхронизации формирования и обработки сигналов для связи и вещания» (Воронеж, 2009); на международной конференции International Conference on Ultra Modern Telecommunications (Санкт-Петербург, 2009); на Первой Международной научно-технической конференции «Компьютерные науки и технологии» (Белгород, 2009); на 5-ом и 6-ом семинарах программы Финляндско-Российиского межуниверситетского сотрудничества в
области телекоммуникаций (FRUCT) (Санкт-Петербург, 2008; Хельсинки, Финляндия, 2009); на научных семинарах НИВЦ МГУ (Москва, 2009, 2010); на научных семинарах кафедры математики физического факультета МГУ (Москва, 2008, 2009).
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в 6 статьях, 5 из которых входят в список изданий, рекомендованных ВАК, а также в 9 тезисах докладов на международных и всероссийских конференциях и семинарах, список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура диссертации
Технология ортогонального частотного мультиплексирования (OFDM)
Дискретное оконное преобразование Фурье ЖУ[ОТ,/] является N2 -образом одномерного сигнала s длиной N , поэтому является сильно избыточным. Для того чтобы существовало и обратное преобразование, была разработана теория фреймов, которая будет кратко рассмотрена позднее в этой главе. Сейчас же важно заметить, что семейство функций (1.5), формируемых дискретным сдвигами в частотной и временной области, таюке называется классическим базисом Вейля-Гейзенберга [20-25]. Одним из наиболее распространенных практических приложений классического базиса Вейля-Гейзенберга, которое получило обширное распространение на данный момент в области передачи информации, является технология ортогонального частотного мультиплексирования или уплотнением (Orthogonal Frequency Division Multiplexing или OFDM). Далее будут кратко рассмотрены основные положения OFDM-технологии и продемонстрировано, какую роль играет в ней классический базис Вейля-Гейзенберга. 1.2 Технология ортогонального частотного мультиплексирования (OFDM) Основная причина популярности OFDM заключается в возможности достичь высокой скорости передачи данных без использования сложных схем обработки и усиления сигнала одновременно с отсутствием межсимвольной интерференции (МСИ) [26-34]. OFDM представляет собой частный случай технологии передачи информации с частотным мультиплексированием (Frequency Division Multiplexing - FDM), также называемой многоканальной модуляцией. В FDM системах единственный высокоскоростной битовый поток разделяется на множество менее скоростных подпотоков, передаваемых по параллельным каналам (или поднесущим). Если М - число таких поднесущих, то скорость передачи данных по каждому из них убывает, как функция М.
Таким образом, при достаточно большом числе М, каждая поднесущая занимает частотный диапазон, меньший чем область когерентности канала, поэтому наблюдается равномерное затухание. Это позволяет использовать на приемнике очень простую схему усиления, чтобы компенсировать затухание и сдвиг фазы каждой поднесущей, вызванные распространением по неидеальному каналу [33-35]. Многоканальная модуляция впервые была использована в системах специального назначения еще в конце 1950-ых годов. Однако на тот момент она не завоевала большой популярности из-за сложности ее применения в аналоговых устройствах. Только более чем 10 лет спустя, в 1971-ом году Вейстейн и Эберт (Weistein и Ebert [36]) преодолели основные проблемы, опубликовав пионерскую работу, в которой описывалось использование многоканальных систем с прямым/обратным дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Впоследствии принцип многоканальной передачи стал основой многих индустриальных стандартов [37-41]. На данный момент технология OFDM широко используется во многих современных как проводных, так и беспроводных стандартах связи, таких как VDSL (Very high rate Digital Subscriber Line), PDSL (Power Digital Subscriber Line), DAB (Digital Audio Broadcasting), WLAN (Wireless Local Area Network, стандарт IEEE 802/1 la/g/n), WiMAX (Worldwide Interoperability for Microwave Access, стандарт IEEE 802.16), DVB (Digital Video Broadcastingg) и т.д.
Кроме этого, разрабатываемые сейчас беспроводные системы нового поколения (LTE - Long Term Evolution, DVB2, DVB-NGH) будут частично или даже полностью основываться на OFDM [37-40]. Рассмотрим математическую модель, описывающую OFDM сигнал и его обработку. Схема аналогового OFDM передатчика представлена на рис.1. На вход передатчика поступает бинарный информационный поток со скоростью передачи Rb = l/Tb . Если символьный период многоканальной OFDM системы равен Т, то на выходе последовательно/параллельного преобразователя в q -ый символьный период В = RbT мы получим битовый вектор: где d, =d(i + qB) - і -ый бит, передаваемый в g -ом символьном периоде. Структура и свойства OFDM сигнала определяются собственным конечномерным базисом Вейля-Гейзенбрега, из которого он формируется, как некоторая линейная комбинация базисных функций. Коэффициенты линейной комбинации (модулирующие символы) могут быть вещественными или комплексными и определяются выбранным сигнальным созвездием (например, QAM — Quadrature Amplitude Modulation, квадратурная амплитудная модуляция или PSK - Phase Shift Keying, фазовая манипуляция) [6, 39] . В результате M-QAM (где М - число символов в созвездии) модуляции битовому вектору однозначно сопоставляется вектор длиной N, состоящий из комплексных информационных символов:
Таким образом, символы а используются в качестве коэффициентов (модулирующих символов) в линейной комбинации поднесущих (импульсных функций) gmq{f), и сигнал, передаваемый в g-ый символьный интервал ГдГ, (д + 1)Г ] формируется следующим образом: При этом, OFDM сигнал, излучаемый в последовательных символьных интервалах можно записать в виде: Таким образом, получается, что каждый информационный символ я передается поднесущей с номером т в символьном интервале q. Каждая функция „„(0 представляет собой элемент с индексами gGZ,m = 0,l,...,./V-l в синтезирующем базисе, который получен при помощи следующего временно-частотного преобразования функции-прототипа g(t) : где F - расстояние между поднесущими в частотной области (шаг по частоте), устанавливаемый равным l/NTs; Т - продолжительность OFDM символа. Таким образом, gm_„ {t) представляют собой бесконечную последовательность импульсов, расположенных во временных интервалах, кратных Т, а по частоте сдвинутых на величины, кратные F. Плотность частотно-временной сетки такой OFDM системы равняется 1/TF.
Алгебраический алгоритм синтеза ортогонального базиса
В настоящее время в системах связи 3G, 4G и цифрового телевидения используется пакетная передача данных, а наиболее распространенной технологией является мультиплексирование (уплотнение) с ортогональным частотным разделением (OFDM -Orthogonal Frequency Division Multiplexing). OFDM сигнал, передаваемый в канал, представляется собой последовательность информационных пакетов, сформированных в виде линейной комбинации функций классического базиса Вейля-Гейзенберга.
В связи с ростом количества абонентов современные системы беспроводной связи должны обеспечивать прием информации в сложной помеховой обстановке. При этом высокое качество работы цифровых систем связи должно обеспечиваться при высоких скоростях передачи информации и высоких скоростях движения абонентов. При построении таких систем часто возникает ситуация, когда реальный радиоканал (среда распространения) обладает частотно-временным рассеянием. В процессе распространения сигнала в такой середе возникает интерференция между соседними OFDM пакетами (межсимвольная интерференция, МКИ) и между поднесущими каналами в рамках каждого OFDM пакета (межканальная интерференция, МКИ), то есть разрушается структура сигнала и на приемной стороне возникают помехи вплоть до полного нарушения связи. Во многом это объясняется тем, что прямоугольная форма формирующего импульса, характерная для классических OFDM систем, не является оптимальной с точки зрения локализации в частотной области и, соответственно, устойчивости к МКИ.
Таким образом, борьба с частотно-временным рассеянием и снижение МКИ представляют серьезную проблему в мобильных широкополосных сетях различного назначения, например, WiMAX, LTE, DVB/H и др, и во многих случая пока не находит удовлетворительного решения.
Кроме высоких локализационных характеристик базиса, позволяющих значительно снизить подверженность МКИ, в реальных приложения на передний план выходит проблема практической реализуемости методов синтеза таких базисов и обработки сигналов на основе существующей аппаратной платформы. Например, в задачах спектрально-временного анализа различных процессов требуется возможность быстрого и гибкого изменения разрешающей способности, которая достигается настройкой параметров базиса Вейля-Гейзенберга, т.е. изменением его формирующей функции.
Кроме того, в современных системах цифрового телевидения количество базисных функций может достигать нескольких десятков тысяч, причем прием цифрового видео сигнала должен осуществляется компактным абонентским устройством. Соответственно, особую актуальность приобретают решаемые в работе задачи разработки вычислительно эффективных алгоритмов, как синтеза самого базиса, так и «быстрых» алгоритмов обработки сигналов на основе этих базисов.
В настоящий момент системы цифрового телевидения и беспроводной связи поколений 3G, 4G получают широкое распространение в России и мире. Поэтому разработка научно обоснованных решений по развитию математических методов и алгоритмов обработки сигналов, позволяющих повысить эффективность систем беспроводной связи, является актуальной задачей и может рассматриваться как решение актуальной научно-технической проблемы, имеющей важное научное и практическое значение.Цель работы
Целью данной диссертационной работы является исследование математических методов синтеза хорошо-локализованных ортогональных базисов Вейля-Гейзенберга с обоснованно выбранными параметрами и их применение для эффективной обработки сигналов. В работе были поставлены следующие задачи:
Разработка математических методов синтеза конечномерных, дискретных обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга с заданными параметрами, обладающих хорошей локализацией одновременно и в частотной и во временной области.
Теоретическое обоснование выбора вида формирующей функции и оптимальных параметров базисов Вейля-Гейзенберга.
Разработка вычислительно эффективного алгоритма синтеза таких базисов. Разработка практически реализуемых, эффективных алгоритмов обработки сигнала на основе таких базисов. Научная новизна работы
В диссертационной работе впервые обоснован выбор вида симметрии формирующей функции и фазового параметра обобщенного базиса Вейля-Гейзенберга, обеспечивающие высокую степень его частотно-временной локализации. Исследована зависимость локализации базиса от выбора его параметров. Разработан вычислительно эффективный алгоритм синтеза базиса. Обоснованы преимущества технологии передачи информации с ортогональным частотно временным уплотнением на основе оптимальных обобщенных базисов Вейля-Гейзенберга (WH-OFTDM - Weyl-Heisenberg Orthogonal Frequency Time Division Multiplexing) над классической OFDM схемой. Для OFTDM сигналов доказаны условия (критерии ортогональности), являющиеся аналогами теоремы Найквиста, гарантирующими отсутствие МКИ и МСИ. Построены эффективные алгоритмы обработки сигналов на основе синтезированных базисов. Практическая ценность
Полученные в работе результаты могут быть использованы при дальнейшем развитии новой технологии передачи информации с частотно-временным мультиплексированием (WH-OFTDM), с возможностью последующего применения в современных устройствах связи 4G (WiMAX, WiMAX2, LTE и т.д.) и системах цифрового телевидения (DVB-H/T).
Основными преимуществами информационной технологии WH-OFTDM, следующими из полученных в работе теоретических результатов и результатов моделирования, являются:
В каналах с частотно-временным рассеянием за счет организации дополнительного внутрисимвольного временного уплотнения удается существенно повысить, как спектральную, так и энергетическую эффективность системы.
Понижается уровень внеполосного излучения, и тем самым ослабляются требования к выходному фильтру передатчика и защитному интервалу на границах частотного диапазона.
Повышается устойчивость системы к межканальной и межсимволыюй интерференции, появляется возможность адаптировать ее к параметрам частотно-временного рассеяния среды.
Разработанные в работе эффективные алгоритмы позволяют применить на практике, в реальных системах хорошо локализованные базисы Вейля-Гейзенберга, обладающие высокой степенью локализации.
Построенные алгоритмы могут также применяться для эффективного спектрально-временного анализа различных процессов, наблюдаемых, в частности, на выходе устройств регистрации (датчиков биомедицинских приборов, сейсмодатчиков, радио и гидролокаторов) и для идентификации и классификации объектов (процессов) по частотно-временным признакам.
«Быстрый» алгоритм синтеза базиса
Разработка научно обоснованных решений по развитию математических методов и алгоритмов обработки сигналов, позволяющих повысить эффективность систем беспроводной связи, является актуальной задачей и может рассматриваться как решение крупной научно-технической проблемы, имеющей важное научное и практическое значение. Теоретическая проработка новых алгоритмов передачи информации и их последующее применение на практике требует исследования новых методов синтеза сигналов все более сложной структуры, обладающих оптимальными временно-частотными характеристиками.
Представление функции в виде линейной комбинации некоторого множества других функций является распространяемы подходом, используемым в различных научных областях [1-10]. Это позволяет в значительной степени упростить решение целого класса задач. В частности, для обработки сигналов в линейных инвариантных во времени системах наиболее удобным и распространенным инструментом является преобразование Фурье [6-9].
Поиск идеального базиса, являющегося аналогом базиса Фурье, который позволил бы упростить обработку большинства типов сигналов (в том числе и нестационарных), по сути, представляет собой неразрешимую задачу. Вместо этого, постоянно увеличивается число различных преобразований и базисов, среди которых базисы Вейля-Гейзенберга и базисы вейвлетов представляют собой лишь отдельные, но важные в практическом плане, примеры.
Семейства функций, обладающих определенной структурой, лежат в основе многих технологий обработки сигналов. Базовая концепция заключается в построении такого семейства на основе одной функции-прототипа (материнского вейвлета, окна, импульса, «атома» и т.д.), применяя группы унитарных преобразований (сдвиг по времени, сдвиг по частоте, растяжение и т.д.) [12]. Групповая структура является фундаментальным требованием, т.к. позволяет создавать быстрые дискретные реализации таких преобразований. Наиболее распространенными структурами являются аффинная группа, приводящая к вейвлет преобразованию, и группа Вейля-Гейзенберга, приводящая к «кратковременному» или оконному преобразованию Фурье [12-14]. Именно по этой причине базисы, получаемые равномерными сдвигами во временной и частотной области, называются базисами Вейля-Гейзенберга, а также оконными базисами Фурье.
В начале процесса развития классической теории обработки сигналов основное внимание уделялось исследованию операторов инвариантных во времени (или пространстве), действие которых сводится к изменению стационарных параметров сигнала [2]. Теоретически, оптимальная обработка сигналов обычно связана с решением задачи на собственные значения, т.е. с поиском собственных значений и собственных векторов линейных операторов. При этом, синусоидальные волны е ш представляют собой собственные функции линейных, инвариантных по времени операторов L, которые полностью определяются набором собственных значений Л (со) :
Для удобства сигнал s(t) представляют в виде суммы собственных векторов У01 Если сигнал s имеет конечную энергию, то из свойств интегралов Фурье следует, что амплитуда S(co) каждой синусоидальной волны е " является преобразованием Фурье сигнала s :
При этом воздействие оператора L сводится к усилению или ослаблению соответствующих компонент е"" сигнала s на величину Л (ш), называемое частотной фильтрацией:
Таким образом, до тех пор, пока мы работаем с инвариантными во времени операторами, возникающими, например, в задачах обработки стационарных сигналов, преобразование Фурье остается наиболее простым и удобным инструментом, позволяющим получить ответ на большинство возникающих вопросов. Это привело к длительному преобладанию преобразования Фурье в теории связи, но оставило в стороне многие другие возможные приложения в области обработки сигналов.
Однако мир кратковременных, переходных процессов значительно шире области стационарных сигналов. Для исследования явлений, протекающих локально во времени, или объектов, локализованных в пространстве, преобразование Фурье становится очень сложным в практическом использовании инструментом. Действительно, коэффициенты Фурье S(a ), получаемые как корреляция сигнала с синусоидальными волнами еш, отличными от нуля на всей действительной оси, зависят от значений s{t) для всех /єі. Таким образом, в них содержится вся информация о изменяющемся во времени сигнале, что значительно усложняет получения локальных во времени характеристик s(t) из S(a)). Этой цели можно достичь, разложив сигнал на волновые компоненты, которые хорошо локализованы одновременно и в частотной, и во временной области.
Занимаясь задачами квантовой механики, в 1946 году физик Дэннис Габор [15, 16] впервые ввел элементарные частотно-временные «атомы», являющиеся функциями, имеющими минимальную дисперсию в частотно-временной плоскости, то есть, сконцентрированные и по времени и по частоте. Для получения частотно-временной информации он предложил раскладывать сигнал по этим элементарным «атомарным» функциям.
Обработка OFTDM сигнала на основе обобщенного базис Вейля-Гейзенберга
Значительный технологический прогресс, достигнутый в развитии высокоскоростных систем передачи информации и их активном применении на практике, делает особенно актуальными исследования новых методов синтеза сигналов сложной структуры, обладающих оптимальными временно-частотными характеристиками. Частотно-временной анализ начал свое развитие еще с начала 19-ого века. Во второй половине 20-ого и начале текущего века его методы и теория получили свое развитие в многочисленных трудах отечественных (Желудев В.А., Кравченко В.Ф., Левин Б.Р., Малоземов В.Н., Маршанский СМ, Новиков И.Я., Петухов А.П., Тихонов В.И., Хинчин А.Я., и др.) и зарубежных ученых (Винер Н., Габор Д., Гроссман А., Даффин Р.Ж., Добеши И., Козек В., Мала С, Майер И., Проакис Дж., Стромер Т., Сиоан П., Сейдж Э., Шафер А.С. и др.). Преобразование Фурье, завоевавшее популярность и широкое распространение в теории обработки сигналов в линейных инвариантных во времени системах, становится трудно применимым инструментом, когда необходимо исследовать кратковременные, переходные процессы. Для таких более сложных явлений возникает необходимость получать информацию о спектре, локализованную во времени. Синтез универсального базиса, являющегося аналогом базиса Фурье, который позволил бы упростить обработку большинства типов сигналов, представляет собой крайне сложную задачу. Наиболее важными примерами таких базисов являются базисы Вейля-Гейзенберга и базисы вейвлетов. Выделим основные причины, обосновывающие актуальность исследования именно базисов Вейля-Гейзенберга: Сдвинутые по времени и частоте версии сигнала-прототипа (формирующей функции) используются в многочисленных существующих на данный момент приложениях, таких как цифровые телекоммуникации, кодирование, распознавание речи, спектральный анализ и т.д.
Соответственно, в первую очередь, стоит задача улучшения характеристик существующих устройств без полного изменения подхода за счет выбора оптимальных параметров как формирующей функции, так и базиса в целом. Возникающие на практике нестационарные среды, например, беспроводные радиоканалы обладают двумя характерными классами эффектов: доплеровский сдвиг и временные задержки, которые являются базовыми компонентами группы Вейля-Гейзенберга. Хорошо известно, что требования симметрии и ортонормированности не могут быть выполнены одновременно для вейвлетов с компактным носителем. Алгоритмы, основанные на базисах Вейля-Гейзенберга не уступают вейвлет-пакетам по вычислительным затратам. В настоящее время в системах связи 3G, 4G и цифрового телевидения используется пакетная передача данных, а наиболее распространенной технологией является мультиплексирование (уплотнение) с ортогональным частотным разделением (OFDM -Orthogonal Frequency Division Multiplexing). OFDM сигнал, передаваемый в канал, представляется собой последовательность информационных пакетов, сформированных в виде линейной комбинации функций классического базиса Вейля-Гейзенберга. В связи с ростом количества абонентов современные системы беспроводной связи должны обеспечивать прием информации в сложной помеховой обстановке. При этом высокое качество работы цифровых систем связи должно обеспечиваться при высоких скоростях передачи информации и высоких скоростях движения абонентов.
При построении таких систем часто возникает ситуация, когда реальный радиоканал (среда распространения) обладает частотно-временным рассеянием. В процессе распространения сигнала в такой середе возникает интерференция между соседними OFDM пакетами (межсимвольная интерференция, МКИ) и между поднесущими каналами в рамках каждого OFDM пакета (межканальная интерференция, МКИ), то есть разрушается структура сигнала и на приемной стороне возникают помехи вплоть до полного нарушения связи. Во многом это объясняется тем, что прямоугольная форма формирующего импульса, характерная для классических OFDM систем, не является оптимальной с точки зрения локализации в частотной области и, соответственно, устойчивости к МКИ. Таким образом, борьба с частотно-временным рассеянием и снижение МКИ представляют серьезную проблему в мобильных широкополосных сетях различного назначения, например, WiMAX, LTE, DVB/H и др, и во многих случая пока не находит удовлетворительного решения. Кроме высоких локализационных характеристик базиса, позволяющих значительно снизить подверженность МКИ, в реальных приложения на передний план выходит проблема практической реализуемости методов синтеза таких базисов и обработки сигналов на основе существующей аппаратной платформы. Например, в задачах спектрально-временного анализа различных процессов требуется возможность быстрого и гибкого изменения разрешающей способности, которая достигается настройкой параметров базиса Вейля-Гейзенберга, т.е. изменением его формирующей функции.
