Содержание к диссертации
Введение
1 Особенности задачи восстановления изображений гравитационных линз 17
1.1 Постановка задачи восстановления изображений 17
1.1.1 Уравнение Фредгольма 1-го рода типа свертки 17
1.1.2 Наблюдательный материал 18
1.1.3 Моделирование ядра уравнения 23
1.2 Метод регуляризации 27
1.2.1 Общая схема решения некорректной обратной задачи восстановления изображений методом регуляризации 27
1.2.2 Выбор параметра регуляризации 29
1.2.3 Дискретизация и конечномерная аппроксимация задачи 31
1.3 Априорная информация в обработке изображений гравитационных линз 33
1.3.1 Некоторые сведения из теории гравитационного линзирования 33
1.3.2 Априорные предположения об искомом решении 35
1.3.3 Моделирование распределения яркости в галактике 42
2 Регуляризирующие алгоритмы восстановления изображений гравитационных линз на специальных классах функций 45
2.1 Алгоритм восстановления изображений, основанный на ре гуляризации некорректной задачи на пространстве Лебега 45
2.2 Алгоритм восстановления изображений MCS 49
2.3 Алгоритм восстановления изображений, основанный на регуляризации некорректной задачи на пространствах Соболева Wl и W2 54
2.3.1 Функция, описывающая гладкий компонент решения, принадлежит пространству Соболева W 54
2.3.2 Функция, описывающая гладкий компонент решения, принадлежит пространству Соболева W 56
2.4 Алгоритм восстановления изображений, основанный на кусочно-равномерной регуляризации некорректной задачи на пространстве функций с ограниченной полной вариацией 59
2.4.1 Модификация регуляризирующего алгоритма 59
2.4.2 Особенности минимизации сглаживающего функционала 62
2.5 Двухэтапный алгоритм восстановления изображений гра витационных линз 63
3 Численная реализация алгоритмов восстановления изображений гравитационных линз 66
3.1 Минимизация функционалов 66
3.1.1 Минимизация функции метода наименьших квадратов 66
3.1.2 Минимизация сглаживающего функционала 68
3.2 Структура комплекса программ восстановления изображений гравитационных линз 77
3.3 Интерфейс комплекса программ восстановления изображений гравитационных линз 82
Заключение 86
Список литературы 90
Приложение 99
- Общая схема решения некорректной обратной задачи восстановления изображений методом регуляризации
- Моделирование распределения яркости в галактике
- Функция, описывающая гладкий компонент решения, принадлежит пространству Соболева W
- Структура комплекса программ восстановления изображений гравитационных линз
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. В диссертации рассматриваются регуляризирующие алгоритмы, предназначенные для решения задачи восстановления изображений гравитационных линз. Интерес к этим объектам среди астрофизиков постоянно растет, поскольку исследования гравитационного линзирования позволяют глубже проникать в устройство Вселенной: высказывать предположения о процессах, происходящих в удаленных квазарах, оценивать величину постоянной Хаббла, массу темного вещества в удаленных объектах и многое другое. Для исследования гравитационно-линзовых систем необходимо уметь извлекать из наблюдательных данных, полученных, как правило, на пределе возможностей современной аппаратуры, полезную информацию об астрометрических и фотометрических параметрах этих уникальных объектов. Используемые в настоящее время методы - CLEAN, метод максимальной энтропии, MCS - часто не справляются с задачей обработки изображений гравитационных линз вследствие несовершенства наблюдательной аппаратуры и сложной структуры этих объектов, которая характеризуется наложением перекрывающихся изображений точечных источников - изображений квазара - на изображение пространственно протяженного источника - линзирующей галактики.
В работе впервые последовательно применен регуляризирующий подход для восстановления изображений гравитационно-линзовых систем с учетом их специальной структуры. Задача восстановления изображений, полученных на наземном телескопе, математически описывается уравнением Фредгольма 1-го рода типа свертки, причем правая часть и оператор уравнения заданы с погрешностью. Это некорректная задача. Для ее решения предлагается несколько модификаций регуля-ризирующего алгоритма, позволяющих восстанавливать изображения объектов сложной структуры, одновременно разделяя их на два компонента - точечные источники и «гладкую»часть. Для этого введены специальные функциональные пространства, состоящие из функций, которые представляют собой сумму линейной комбинации ^-функций и финитной функции, принадлежащей одному из функциональных
f-OC НАЦИОНАЛЬНАЯ! БИБЛИОТЕКА [
пространств 1(2, W%, W$ и Vg (пространства функций ограниченной вариации).
Исследуется широко применяющийся в настоящее время алгоритм восстановления изображений MCS1, предложенный группой бельгийских ученых. Показано, что он относится к классу регуляризирующих алгоритмов, а получаемые приближения обладают свойством сходимости в среднем к свертке точного решения с заданной функцией [1].
Для реализации предложенных алгоритмов создан комплекс программ в среде IDL. Для кусочно-равномерной регуляризации некорректной обратной задачи восстановления изображений гравитационных линз применяется алгоритм, использующий функции двух переменных с ограниченной полной вариацией, изученные А. С.Леоновым. Алгоритм реализован в среде MATLAB.
Целью работы является:
Создание регуляризирующих алгоритмов восстановления изображений гравитационных линз, позволяющих получать астрометрические и фотометрические характеристики этих объектов.
Исследование априорной информации, которая может использоваться при создании регуляризирующих алгоритмов восстановления изображений гравитационных линз для сужения класса решений.
Моделирование аппаратной функции телескопа и распределения яркости в галактике-линзе.
Численная реализация предложенных алгоритмов в виде программного комплекса, предназначенного для решения некорректно поставленной задачи восстановления изображений гравитационных линз при наличии априорной информации о представимости решения в виде суммы функции, обладающей определенными свойствами гладкости, и суперпозиции (S-функций.
5. Применение предложенных алгоритмов к задаче восстановле
ния изображений гравитационной линзы QSO 22374-0305 «Крест
'Magain, P., Courbin, F., Sohy, S. // Astrophysics Journal, 1&98, V. 494, P. 4T2
Эйнштейна», полученных на наземном телескопе Майданакской обсерватории (Узбекистан).
Методика исследования базируется на основных положениях теории решения некорректно поставленных задач, функционального анализа, методов решения экстремальных задач, а также основных положениях современной теории гравитационного линзирования и теории строения галактик.
Научная новизна и практическая значимость Прежде всего представляет интерес адаптация и применение хорошо разработанного математического аппарата метода регуляризации к решению задачи восстановления изображений гравитационно-линзовых систем. Введение специальных функциональных пространств и модификация регуляризирующего алгоритма Тихонова с учетом априорной информации о наблюдаемых объектах позволили разделить изображения на две составляющие - линзирующую галактику и компоненты квазара. Разработанный комплекс программ позволяет обрабатывать большие массивы наблюдательных данных, выбирая требуемую гладкость функции, описывающей протяженный компонент решения, и получая астрометрические и фотометрические параметры интересующих объектов.
Разработанные алгоритмы могут применяться на практике для восстановления изображений гравитационных линз, что проиллюстрировано на примере изображений гравитационно-линзовой системы QSO 2237+0305 «Крест Эйнштейна», полученных на наземном телескопе Майданакской обсерватории. С помощью этих алгоритмов становится возможным получение данных об астрометрических и фотометрических параметрах гравитационной линзы и построение кривых блеска для продолжительных интервалов времени (несколько лет) с целью обнаружения событий микролинзирования и событий, связанных с внутренними процессами в удаленном квазаре. Предлагаемые алгоритмы являются достаточно гибкими и могут использоваться для восстановления изображений других объектов, обладающих аналогичной специальной структурой.
Апробация результатов. Основные результаты, представленные в диссертации, были доложены на международной конференции «Gravitational Lensing: a Unique Tool for Cosmology» (France, Aussois, January 5-11, 2003); на международном симпозиуме «International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics 2003» (Nagano, Japan, February 18-21, 2003); на Девятой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-9 (Красноярск, 28 марта - 3 апреля
г.); на международной конференции «Hyperbolic Models in Cosmology» (Isaak Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge, UK, June 22-28,2003); на Всероссийской астрономической конференции ВАК-
«Горизонты Вселенной»(Москва, МГУ ГАИШ, 3-Ю июня 2004 г.); на международном симпозиуме IAU 225 «Impact of gravitational lensing on cosmology» (Switzerland, Fausanne, July 19-23, 2004); на международной конференции «Astrophysics and cosmology after Gamow - Theory and Observations, GMIC'100»(Odessa, Ukraine, August 8-14, 2004); на семинаре «Обратные задачи математической физики» (Москва, НИВЦ МГУ, 3 ноября 2004 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ (из них 4 - статьи в журналах и трудах конференций, 4 - опубликованы в тезисах конференций). Ссьшки на работы приведены в списке литературы.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
1. Предложены регуляризирующие алгоритмы восстановления изображений при условии, что изображение допускает разделение на точечные источники и гладкую часть, то есть решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода типа свертки является суммой суперпозиции 5-функций и
функции, интегрируемой с квадратом:^ Є Ьі\
непрерывно-дифференцируемой функции, производная которой также интегрируема с квадратом: д Є Wjj',
дважды непрерывно-дифференцируемой функции, 1-я и 2-я
производные которой также интегрируемы с квадратом: д Q W^; функции, имеющей ограниченную полную вариацию.
Для получения адекватных с физической точки зрения результатов в алгоритмы восстановления изображений необходимо включать априорную информацию об объектах исследования: неотрицательности решения, его представимости в виде суперпозиции гладкой функции и суммы (5-функций, близости гладкого компонента решения к некоторой эмпирической модели. Предложенные способы включения этих сведений в алгоритмы восстановления - использование проекционных методов для минимизации сглаживающего функционала, поиск решения на особом классе функций, выбор стабилизатора специального вида позволяют решить задачу восстановления изображений квадруиольиых гравитационно-линзовых систем.
Решены вспомогательные задачи моделирования ядра уравнения (оно с достаточной точностью аппроксимируется двумерной эллиптической функцией Гаусса), моделирования распределения яркости в галактике (используется обобщенный профиль де Вакулера), минимизации функционалов с ограничениями.
Предложенные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ восстановления изображений квадрупольных гравитационно-линзовых систем. Для комплекса программ разработан удобный интерфейс. Возможность применения алгоритмов проиллюстрирована на примере изображений гравитационной линзы QSO2237+0305 («Крест Эйнштейна»), полученных на наземном телескопе Майданакской обсерватории (Узбекистан). Комплекс программ позволяет успешно восстанавливать такие изображения, получая астрометрические и фотометрические параметры гравитационно-линзовой системы «Крест Эйнштейна».
Исследован алгоритм восстановления изображений гравитационных линз MCS, разработанный группой бельгийских ученых. Показано, что он является вариантом метода регуляризации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из
титульного листа, оглавления, введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации (без приложения) - 99 с, рисунков - 20, наименований в списке литературы - 99.
Общая схема решения некорректной обратной задачи восстановления изображений методом регуляризации
В качестве тестовых изображений для представленных в настоящей работе алгоритмов использовались данные наблюдений гравитационной линзы QSO2237+0305, полученные на 1,5-метровом телескопе AZT-22 Майданакской обсерватории (Узбекистан). Это одно из лучших мест в СНГ по своим астроклиматическим условиям: астроклимат горы Майданак позволяет вести наблюдения с высоким угловым разрешением в течение 1850 фотометрических часов в году. Наблюдения гравитационных линз ведутся в Майданакской обсерватории с 1997 года, в них участвуют группы из Астрономического института им. Улуг Бека АН Республики Узбекистан (Ташкент, Узбекистан), Института радиоастрономии АН Украины (Харьков, Украина), Государственного астрономического института им. П.К.Штернберга (Москва, Россия). За период с 1997 по 2004 год накоплен огромный объем данных наблюдения гравитационно-линзовых систем: QSO2237+0305 ("Крест Эйнштейна"), SBS1520+530, PG1115+080, Н1413+117 ("Лист клевера"), КЧ1413+117, RX092H-4528, UM673 (QSO0142-100), В1422+231.
Для регистрации изображений используется охлаждаемая жидким азотом ПЗС-матрица (ПЗС — прибор с зарядовой связью) STTe ST-005А, созданная в Обсерватории Копенгагенского университета. Она состоит из массива прямоугольных ячеек, называемых пикселями, Qtj, 0 і Ni — 1, 0 j N2 — 1, в которые попадают фотоны, и характеризуется усилением д — l.2e /ADU (коэффициентом перевода фотосигнала в электрический) и шумом считывания п — 5.3ADU. Матрица Копенгагенского университета состоит из 2048 х 800 пикселей, размер пикселя составляет 15 х 15 микрон2. В зависимости от фокусного расстояния телескопа вычисляется размер пикселя в угловых секундах. Среднее качество изображения соответствует точечному источнику с шириной на половине высоты порядка 1", наилучшее качество изображений, получаемых на этом телескопе, соответствует точечному источнику с шириной на половине высоты 0.75". К сожалению, недостаточно надежная система наведения телескопа не позволяет осуществлять съемку с экспозициями, превышающими 3 минуты. Поэтому изображения снимаются сериями по 5-8 кадров, которые впоследствии можно суммировать или усреднять с целью повышения отношения сигнала к шуму.
Чтобы свести к минимуму погрешность задания входной информации, данные необходимо подвергать предварительной обработке. Для этого наряду с кадрами, содержащими интересующие объекты, для каждой наблюдательной ночи снимаются кадры сдвига, темнового тока и плоского поля.
Благодаря тому, что ПЗС-матрица поддерживается при очень низкой температуре (—20С), величиной темнового тока можно пренебречь.
Чтобы избежать появления "отрицательных" отсчетов, ко всем кадрам при считывании информации с ПЗС-матрицы добавляется некоторая величина, называемая сдвигом. Величина сдвига зависит от характеристик аппаратуры и может меняться ло полю кадра. В этом случае для учета структуры сдвига из исследуемых кадров вычитается кадр с нулевой экспозицией. Структура сдвига ПЗС-матрицы телескопа АЗТ-22 свободна от дефектов и особенностей, поэтому для оценки этой величины обычно используется незасвеченная фотонами небольшая область на краю матрицы и средний отсчет в единицах ADU в этой области и считается сдвигом (или шумом считывания матрицы). Для ПЗС-матрицы телескопа АЗТ-22 величина сдвига равна 4.7 ADU.
Для учета того обстоятельства, что чувствительность каждого пикселя ПЗС-матрицы к свету различна и зависит от длины волны принимаемого излучения, кадры, снятые в разных фильтрах делятся на соответствующий усредненный кадр плоского поля. Для получения кадра плоского поля дополнительно снимаются несколько участков сумеречного неба, не содержащие звезд, эти кадры подвергаются очистке от космических лучей и случайно попавших объектов с помощью медианной фильтрации, затем усредняются, подвергаются нормировке и вычету сдвига. В результате деления на кадр плоского поля получается кадр, в котором все пиксели имеют приблизительно одинаковую чувствительность.
В поле кадра можно обнаружить сигналы протяженностью в один пиксель. Своим происхождением они обязаны космическим лучам, состоящим из частиц космического происхождения. Один такой луч может привести к увеличению отсчета в пикселе до нескольких тысяч ADU. Наличие таких артефактов затрудняет обработку изображений, поэтому от них избавляются с помощью специальных процедур, позволяющих выявить пиксели со значениями выше порогового, и визуальной инспекции кадра. От обнаруженных пикселей, засвеченных космическими лучами, избавляются путем интерполяции по отсчетам в соседних пикселях.
Кроме всего прочего, из кадра необходимо вычесть фон неба. Он определяется по областям кадра, не содержащим источников, и аппроксимируется полиномом второй степени.
Описанные выше процедуры предварительной обработки данных, включающие вычет сдвига, исправление за плоское поле с использованием суперфлэта с высоким отношением сигнала к шуму, вычет фоновой засветки неба и удаление космических лучей, выполняются с помощью стандартных процедур в среде MIDAS (Munich Image Data Analysis System). Затем кадры суммируются или усредняются и из полученного кадра вырезается область, содержащая интересующий объект. Для данного наблюдательного материала размер этой области составляет 17" х 17", что соответствует 64 х 64 пикселя. Пример кадра представлен на рис. 1.1.
Непрерывное изображение объекта представляет собой плотность световой энергии. Ей сопоставляется количество фотонов, зарегистрированных в каждой ячейке ПЗС-матрицы. Энергия, попадающая в некоторую ячейку ПЗС-матрицы:
Моделирование распределения яркости в галактике
Комплекс программ существует в двух вариантах. Первый вариант представляет собой набор файлов с расширением PRO, содержащих необходимые процедуры и функции. Во втором варианте предусмотрен графический интерфейс пользователя, а все необходимые процедуры и функции объединены в один файл с расширением PRO.
Первый вариант состоит из четырех основных компонентов: 1) файл set_ info.pro используется для задания параметров алгоритма и входных данных; 2) с помощью процедуры get_ini (файл get_ini.pro) рассчитываются начальные значения астрометрических и фотометрических параметров компонентов квазара; 3) файл sersic.pro предназначен для получения модели галактики, которая будет использоваться в качестве начального приближения и для формирования стабилизатора. 4) файлы glir_ma.in.pro - основная программа, в которой выполняются все расчеты и из которой осуществляется обращение к остальным функциям и процедурам. Кроме того, в программный комплекс входит несколько вспомогательных подпрограмм, предназначенных для подготовки входных данных, визуализации полученных результатов, а также решения других вспомогательных задач, возникающих в процессе обработки изображений.
Работа с комплексом начинается с ввода значений, характерных для конкретной задачи восстановления изображений, в файле set_info.pro. Затем необходимо найти параметры модели с помощью программы sersic.pro. Затем запускается основная программа - glir_main.pro. В некоторых случаях можно попробовать использовать в качестве начального приближения само изображение - правую часть уравнения (1.1) или плоский фон - матрицу, все элементы которой равны некоторому значению, которое представляется наиболее адекватным для конкретного изображения.
В файле set_info,pro входные данные, параметры алгоритма и другие вспомогательные сведения записываются в структуру info, которая будет использоваться в остальных программах. В этом файле задаются значения следующих переменных: dir - имя рабочей папки; пате - имя файла изображения, с этой же последовательности знаков будут начинаться имена файлов, в которые будут заноситься результаты расчетов; halfwin - полуширина кадра с изображением, в пикселях; halfsiarwin - полуширина кадра с аппаратной функцией, в пикселях; scale - коэффициент масштабирования, обычно он равен единице, но в некоторых случаях, когда угловой размер изображения слишком мал, можно искусственно "повысить разрешение" изображения путем интерполяции функции, описывающей распределение яркости, в промежуточных точках; arcpix - размер пикселя в угловых секундах; gain - усиление, параметр ПЗС-матрицы. ес_ coord - вектор, содержащий угловые координаты компонентов "Креста Эйнштейна" относительно компонента А, полученные в результате наблюдений на Hubble Space Telescope, эти значения будут использоваться в качестве начального приближения; lambda - параметр регуляризации. Здесь же задаются начальные значения параметров модели, используемой для предварительной аппроксимации распределения яркости в галактике. Поскольку за основу была взята модель Серсика, необходимо задать значения для следующих параметров: гс, п, х_ axis, у_ axis, tilt, хс, ус.
В файле get_ini.pro записана функция get ini, предназначенная для формирования матриц ядра и правой части уравнения (1.1). Сначала выполняется чтение данных из DAT-файлов, содержащих изображение и матрицу ФРТ. Затем ФРТ аппроксимируется функцией Гаусса (1-9). Затем матрица уравнения формируется из матрицы ФРТ следующим Центральная программа комплекса состоит из нескольких процедур: main - основная процедура, в которой описана последовательность операций алгоритма; Junctional - процедура для вычисления значения сглаживающего функционала в точке z; stabilizer- процедура для вычисления значения стабилизатора в точке gradient - процедура для вычисления градиента сглаживающего функционала в точке z; discrepancy - процедура для вычисления невязки для заданного вектора z. Основная процедура начинается с чтения структуры т/о, созданной в файле set info.pro. Затем выполняется обращение к функции get_ini для получения начального приближения, представляющего собой вектор, в котором последовательно записаны параметры д-функций и, по строкам, сеточные значения интенсивностей света в кадре. Если значение флага fixpos равно 1 (что соответствует фиксации положений компонентов квазара), то в качестве параметров 5-функций выступают коэффициенты, стоящие перед 5-функциями, то есть только интенсивности соответствующих точечных источников. Если же значение флага fixpos равно 0 (положения компонентов квазара не фиксированы), то в начало вектора начального приближения записываются последовательно интенсивность, координата х, координата у, компонента А, затем те же параметры компонента Вит. д. На основе распределения яркостей в кадре и сведений о параметрах ПЗС-матрицы рассчитывается матрица весов weight Для приведения компонентов искомого вектора к одному диапазону значений выполняется масштабирование вектора 2 так, чтобы все его компоненты были равны 100. При этом рассчитывается вектор коэффициентов перехода от "нормированных" значений к "физическим". Минимизация сглаживающего функционала при заданном значении параметра регуляризации выполняется с помощью метода проекции сопряженных градиентов. Для реализации метода был модифицирован код, написанный Фрэнком Вароси (Frank Varosi, NASA/GSFC 1992). В процедуре minfpcg описан алгоритм минимизации, процедура minF_bracket используется для нахождения интервала локального минимума (набора из трех точек) для одномерной минимизации, процедура minF_parabolic используется для поиска точки минимума функции одной переменной методом, представляющим собой сочетание метода парабол и метода золотого сечения (метод Брента). Заключительная часть программы glir_main.pro предназначена для визуализации полученных результатов.
Функция, описывающая гладкий компонент решения, принадлежит пространству Соболева W
Второй вариант программного комплекса состоит из трех файлов: 1) В файле glir.pro определяется графический интерфейс пользователя. Для правильного отображения интерфейса в операционной системе Windows разрешение экрана монитора должно быть 1024 на 768 точек, а в качестве размера шрифта необходимо выбрать Мелкий шрифт (задается в диалоговом окне Свойства: Экран » Настройка » Дополнительно » Общие). Если установить такие параметры по каким-либо причинам невозможно, можно изменить расположение или размер элементов интерфейса с помощью встроенного в IDL (версий 5.2 и выше) редактора интерфейса, а затем заново сгенерировать файл glir.pro, выбрав в меню File команду Generate .pro » Widget. Модифицировать остальные процедуры программного комплекса не требуется. 2) Файл glir_eventch.pro содержит основные процедуры и функции алгоритма, а также процедуры и функции, необходимые для их взаимодействия с графическим интерфейсом. 3) Файл glir_start.pro - основной исполняемый файл IDL, ис пользуемый для запуска интерфейса. Запуск комплекса программ осуществляется посредством ввода команды .run glir, glir_eventcb, glir_start в командной строке IDL. При этом компилируются все необходимые процедуры, запускается исполнение программы glir.pro и на экране появляется окно Gravitational Lens Image Reconstruction, представленное на рис. 3.2. В поле Class of functions выбирается класс функций G, на котором следует1 искать приближенное решение для функции, описывающей распределение яркости фонового компонента искомого решения. В поле Reg. рагат. задается параметр регуляризации. С помощью элементов интерфейса Folder, Image file пате и Model file name задаются соответственно рабочая панка, имя файла с изображением и имя файла, содержащего полученное на предварительном этапе модельное распределение яркости, которое будет использоваться при вычислении стабилизатора. В поле Initial guess задается начальное приближение для распределения яркости фоновой галактики. В следующей группе элементов интерфейса задаются параметры обрабатываемого кадра: Frame size - размер вырезанной области кадра, Scale - коэффициент масштабирования исходного изображения. Далее задаются параметры ПЗС-матрицы: Arcpix - размер пикселя в угловых секундах, Gain - усиление. Предусмотрен флаг для фиксации положений точечных источников: fixpos = 1-- положения фиксированы, fixpos = 0 производится перебор координат компонентов квазара по области в радиусе одного пикселя от начальных значений при фиксированных значениях яркости фона и потоков точечных источников; рассматриваются все возможные комбинации и в качестве решения выбирается та, для которой значение сглаживающего функционала минимально. В группе Astrometry relative to A component задаются относительные положения (в угловых секундах) точечных источников и центра исследуемой области кадра относительно самого яркого компонента. Эти значения используются для расчета координат точечных источников в локальной декартовой системе координат исследуемой области кадра. В полях Flux вводится начальное приближение для потоков точечных источников aq. В эти же доля записываются найденные значения потоков точечных источников (в единицах ADU). Расчеты выполняются по нажатию кнопки Start. Значения сглаживающего функционала, невязки и стабилизатора, умноженного на параметр регуляризации, выводятся в полях М, Discrepancy и Reg. par. stab. соответственно. Найденные астрометрические и фотометрические характеристики гравитационно-линзовой системы выводятся в полях Astrometry и Photometry. В правой области интерфейса располагаются окна, в которых выводятся графические иллюстрации работы программного комплекса: Image - исходное изображение, Kernel - ядро уравнения, Solution - найденное решение, Model - свертка решения с ядром уравнения, Residual - невязка, Galaxy - компонент решения, соответствующий гладкому фону. Кроме того, выводятся графики минимизации сглаживающего функционала - Smoothing function - и соответствующие значения стабилизатора - Stabilizer.
При нажатии кнопки Start выполняется процедура startpro, описанная в файле glir_eventcb. Эта процедура используется для получения идентификаторов элементов интерфейса и введенных пользователем значений. Затем формируется структура т/о, содержащая все параметры, необходимые для выполнения алгоритма, и вызывается основная процедура start_main, которой структура info передается в качестве входного параметра. В процедуре start_тагп формируются матрицы, содержащие входные данные задачи: cross исходное изображение (правая часть уравнения), psf - матрица оператора свертки, XX и YY - матрицы декартовой системы координат в кадре, coords - координаты точечных источников в кадре с учетом коэффициента масштабирования и размера пикселя, weight — матрица весовых коэффициентов, обратно пропорциональных погрешности задания правой части уравнения в каждой точке пиксельной сетки, coeff - матрица масштабных множителей для приведения всех свободных параметров задачи к одному порядку величин. Вычисляются погрешности задания правой части - deltacross, оператора - h2. Затем из этих значений формируется структура dadd, которая является глобальной переменной и используется во вспомогательных функциях.
Когда начальное приближение и все входные данные задачи записаны в соответствующие переменные, вызывается процедура минимизации сглаживающего функционала. Результаты выводятся в файл Name _ results, dat, который создается в рабочей папке. Матрица решения заносится в файл Name _ solution.dat, матрица компонента решения, соответствующего гладкому фону, записывается в файл Name _backgr.dat и может впоследствии использоваться для обработки большого набора кадров в соответствии с формулой (2.36).
Структура комплекса программ восстановления изображений гравитационных линз
Диссертационная работа посвящена актуальной теме разработки численных методов и компьютерных программ, предназначенных для обработки экспериментальных данных, в частности, для восстановления изображений гравитационных линз. Получение фотометрических параметров гравитационно-линзовых систем является важной проблемой при изучении явления гравитационного линзирования и процессов, происходящих в удаленных квазарах и галактиках. Трудности обработки изображений гравитационных линз связаны с их сложной пространственной структурой, которая характеризуется тем, что изображения точечных источников перекрываются и накладываются на неоднородный фон линзирующего тела. Существующие методы зачастую не справляются с этими сложностями, особенно когда приходится иметь дело с изображениями, полученными с помощью далеко не идеальной наблюдательной техники.
Метод регуляризации уже несколько десятилетий применяется как для решения обратных задач астрофизики (в частности, он применялся и для решения задач, связанных с явлением гравитационного линзирования [86, 87]), так и для решения задач восстановления изображений. В работе [59] для решения интегральных уравнений Фредгольма были предложены алгоритмы, в которых поиск решения в виде суперпози ции точечных источников и поиск решения на классе гладких функций являлись отдельными, самостоятельными, изолированными этапами. Но для целей изучения гравитационных линз каждый из этих подходов в отдельности неприменим, поскольку не дает необходимой информации об объекте исследования. В настоящей работе предпринята попытка синтезировать эти подходы.
В диссертации рассмотрены алгоритмы восстановления изображений гравитационных линз, основанные на решении интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода типа свертки методом регуляризации. Основная цель состояла в поиске путей решения задачи разделения изображения на две составляющие - точечные источники и пространственно протяженный компонент - в рамках теории решения некорректно поставленных задач методом регуляризации с использованием априорной информации об исследуемом объекте.
В качестве тестового объекта рассматривалась гравитационная линза QSO2237+0305 ("Крест Эйнштейна"). Этот выбор обусловлен тем, что на примере этого объекта, в котором ярко выражены основные особенности тесных квадрупольных гравитационно-линзовых систем, представлены основные трудности восстановления изображений гравитационных линз, а также большим объемом наблюдательного материала, накопленного в рамках программы мониторинга этого объекта в Майдан акской обсерватории.
Предложенные алгоритмы, в которых учтено предположение, что пространственно протяженный компонент решения принадлежит одному из пространств L W\, W%, позволяют получить адекватную численную модель галактики, в которой просматривается "тонкая" структура галактики (в отличие от аналитической модели).
С помощью численной модели галактики, полученной методом регуляризации, и двухступенчатого алгоритма восстановления изображений был обработан большой массив данных наблюдений "Креста Эйнштейна" за 2002-2003 гг. Результаты опубликованы в работе [79].
Наиболее важные результаты работы: 1. Предложены модификации регуляризирующего алгоритма Тихонова, адаптированные для восстановления изображений гравитационно-линзовых систем, которые характеризуются сочетанием точечных источников и пространственно протяженного компонента. Решение ищется в виде виде суммы гладкой функции и суперпозиции конечного числа -функций. Алгоритмы позволяют разделить изображение на две составляющие - суперпозицию конечного числа точечных источников и гладкий фон - с целью получения значений астрометрических и фотометрических параметров системы. 2. Исследовано, какие априорные предположения о гравитационных линзах можно включить в алгоритмы. Показано, что успешная обработка сложных изображений, содержащих помимо "гладкой" части сингулярную - точечные источники, невозможна без учета всей имеющейся априорной информации об объекте. Чем больше априорной информации об объекте удается формализовать и внести в алгоритм, тем более надежные и адекватные результаты дает процедура восстановления изображений. 3. Для реализации предложенных алгоритмов разработан комплекс программ в среде IDL, предназначенный для восстановления изображений гравитационно-линзовых систем. Комплекс позволяет обрабатывать изображения, полученные на наземных телескопах и искаженные вследствие конечной разрешающей способности прибора и турбулентности атмосферы, с учетом априорной информации о структуре изображений и получать астрометрические и фотометрические параметры гравитационно-линзовых систем. 4. Показано, что модифицированные регуляризирующие алгоритмы, построенные на функциональных пространствах, представляющих собой прямую сумму пространства 5-функций и одного из бесконечномерных пространств i/2, W , W Ув-, можно с успехом применять для обработки изображений, даже таких сложных, какими являются изображения гравитационной линзы "Крест Эйнштейна". При этом удается разделить изображение на две составляющие; компонент, соответствующий точечным источникам, и компонент, представляющий собой протяженный объект галактику. 5. Показано, что алгоритм восстановления изображений MCS является модификацией регуляризирующего алгоритма Тихонова и при некоторых ограничениях на вид ФРТ, выбираемой пользователем, обеспечивает регуляризацию нулевого порядка, то есть сходимость в среднем приближенных решений к точному при стремлении к нулю погрешности входных данных.
В заключение автор хотела бы выразить искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Григорьевичу Яголе за постоянное внимание к работе и помощь. Автор искренне благодарна доктору философии Василию Алексеевичу Белокурову, Екатерине Александровне Коптеловой и кандидату физико-математических наук, руководителю Майданакской лаборатории Государственного астрономического института им. П.К. Штернберга Борису Павловичу Артамонову, с которыми ей посчастливилось работать вместе, и без поддержки, идей и вдохновения которых эта работа не была бы написана. Автор хотела бы поблагодарить доктора физико-математических наук, профессора Александра Сергеевича Леонова за предоставленный комплекс программ в среде MATLAB, который был использован в качестве модуля при численной реализации алгоритма восстановления изображений, содержащих точечные источники, с использованием пространства функций ограниченной вариации, а также доктора физико-математических наук Михаила Васильевича Сажина за идею использовать модель Серсика для моделирования центральной части галактики. Автор от всей души благодарит свою семью и друзей, которые не только мешали работе, но и помогали.
