Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Управление распределёнными пучками траекторий динамических систем 16
1.1 Постановка задачи оптимизации 16
1.2 Представление функционала и его вариации через решения уравнений в частных производных 20
1.2.1 Приращение функционала 22
1.2.2 Вариация функционала 25
1.2.3 Необходимые условия оптимальности 30
1.2.4 Достаточные условия оптимальности 36
1.3 Оптимальный выбор параметров систем
формирования пучков 38
ГЛАВА 2. Вычислительные аспекты задачи оптимизации динамики пучков 42
2.1 Представление вариации функционала 42
2.2 Спуск на основе первой вариации 43
2.3 Градиентный метод в задаче совместной оптимизации программного и возмущённых движений 46
2.4 Управление границей множества 48
2.4.1 Представление функционала 49
2.4.2 Представление вариации 50
2.5 Вычисление градиента в задаче оптимизации программного и возмущённых движений 54
2.5.1 Управление множеством 56
2.5.2 Управление границей 56
ГЛАВА 3. Моделирование и оптимизация динамики частиц в структуре С ПОКФ 60
3.1 Математическая модель оптимизации динамики частиц 60
3.1.1 Уравнения движения 60
3.1.2 Критерии качества управления 63
3.1.3 Алгоритм спуска по антиградиенту 67
3.2 Результаты численной оптимизации 71
3.3 Моделирование динамики частиц с учётом их взаимодействия 79
Заключение 88
Литература
- Приращение функционала
- Достаточные условия оптимальности
- Градиентный метод в задаче совместной оптимизации программного и возмущённых движений
- Алгоритм спуска по антиградиенту
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена разработке математических методов, направленных на решение задач оптимизации сложных управляемых систем различного назначения. Предложены новые подходы и алгоритмы решения проблем совместной оптимизации программного движения и ансамбля возмущённых движений.
Проблемы оптимизации программных и стабилизации возмущённых движений формулировались и развивались в трудах многих авторов [6, 9, 11, 22, 23, 34, 38, 67]. Прежде всего, отметим работы Л.С. Понтрягина, Р. Калмана, Н.Н. Красовского, Р. Беллмана, В.И. Зубова. Принципиальные математические результаты, полученные в работах этих, а также других учёных, составляют фундамент большого разнообразия подходов и методов, применяемых при конструировании систем управления технологическими процессами и техническими объектами.
При проектировании управляемых систем довольно стандартным является подход, когда сначала рассчитывается программное движение, а затем, используя уравнения в отклонениях, исследуются возмущённые движения. Однако, как было отмечено в работе [58], в случае существенной зависимости возмущённых движений от программного, методы поэтапного решения задач оптимизации программного и стабилизации возмущённых движений не всегда приводят к желаемым результатам. В связи с этим А.Д. Овсянниковым были предложены новые математические модели, ориентированные на совместное решение задач оптимизации программного и возмущённых движений.
Научная новизна настоящей работы заключается в следующем. Методы и алгоритмы, представленные в диссертации, также основаны на совместном рассмотрении программного и ансамбля возмущённых движений, при этом ансамбль возмущённых движений исследуется с учётом плотности распределения частиц в фазовом пространстве. Отличие от предложенных ранее алгоритмов заключается в том, что здесь, в силу использования линейных неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка специального вида [59, 94], получены новые представления исследуемых функционалов и их вариаций, на основе которых сформулированы и доказаны необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума. Приведены достаточные условия оптимальности. Полученные представления вариации функционала при параметризации управлений набором значений в некоторых точках промежутка интегрирования системы применяются для сведения бесконечномерной задачи оптимизации функционала к задаче минимизации функции конечного числа переменных. Помимо этого показано, что при некоторых условиях задачу управления множеством можно свести к задаче управления его границей [63, 95, 96]. Последний результат интересен тем, что вместо того, чтобы следить за динамикой всех представляющих точек некоторой области фазового пространства, мы следим только за точками, лежащими на её границе.
Диссертация непосредственно примыкает к исследуемым в работах А.Д. Овсянникова проблемам. Однако в данной работе разрабатываются методы оптимизации, основанные на рассмотрении специальных уравнений с частными производными первого порядка. Следует отметить, что подход к нахождению необходимых и достаточных условий оптимальности в различных вариационных задачах, при котором движение изучается с помощью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям в частных производных первого порядка, широко использовался в трудах Р. Беллмана, В.И. Зубова, Н.Е. Кирина, Д.А. Овсянникова и других авторов.
Так, в работах В.И. Зубова [22, 23] устанавливается существенная связь между задачами построения оптимальных управлений по отношению к демпфированию заданной функции и задачами отыскания оптимальных управлений в смысле интегрального функционала, принципами оптимальности Эрдмана-Вейерштрасса, принципом максимума Л.С. Понтрягина, принципом динамического программирования Р. Беллмана. Показано, что управления, оптимальные в смысле демпфирования функционала, будут также оптимальными и в смысле интегрального функционала, если выполняются условия существования решения специального уравнения с частными производными первого порядка. В.И. Зубовым предложен метод последовательных приближений построения минимизирующей последовательности управлений на основе демпфирования интегрального функционала. Методы управления ансамблем траекторий с использованием уравнений с частными производными первого порядка разрабатывались Д.А. Овсянниковым, А.В. Пантелеевым, А.Г. Харченко.
В работах Д.А. Овсянникова и А.Г. Харченко приращение и вариация исследуемого функционала выписываются через функции, удовлетворяющие линейным уравнениям в частных производных специального вида. В результате построение минимизирующей последовательности управлений можно осуществить на основе первой вариации исследуемого функционала. В диссертации этот подход распространяется на исследование проблемы совместной оптимизации программного и ансамбля возмущённых движений [48,49, 63, 64, 96].
Отметим, что рассматриваемые в диссертации математические задачи можно трактовать также как задачи управления динамикой некоторого объекта при неполной информации о начальных данных, когда указана лишь область вероятных начальных состояний этого объекта и приходится управлять всем множеством возможных траекторий сразу. Поэтому разрабатываемые численно-аналитические методы непосредственно примыкают к разнообразным задачам управления ансамблями траекторий, исследовавшимся в работах А.Б. Куржанского и его учеников, а также в работах Р.С. Мироновой, Г.Н. Константинова, Т.Ф. Филлиповой и других авторов.
Как уже отмечалось ранее, рассматриваемые в диссертации методы оптимизации основаны на рассмотрении уравнений с частными производными первого порядка. Условиям существования и единственности, построению классических и обобщённых решений уравнений с частными производными первого порядка типа Гамильтона-Якоби посвящено много работ [66, 72, 73, 83, 84, 87, 93]. Так, в трудах М. Дж. Крэндала, П.-Л. Лионса и Л. С. Эванса [83, 84] предложен подход к определению вязкостных решений краевых задач для уравнения Гамильтона-Якоби общего вида. А.И. Субботиным [72] предложена теория минимаксных решений уравнений с частными производными первого порядка, показана эквивалентность вязкостных решений минимаксным. Развитие теории обобщённых решений уравнений с частными производными глубоко связанно с такими научными направлениями, как оптимальное управление, дифференциальные игры, негладкий и многозначный анализ.
Предложенные в диссертации методы совместной оптимизации программного и возмущённых движений находят естественное применение в решении задач оптимизации систем формирования, ускорения и транспортировки пучков заряженных частиц различного назначения. При этом управляемым объектом является ансамбль заряженных частиц, представляемый траекториями в фазовом пространстве.
Математические проблемы формирования и оптимизации динамики пучков заряженных частиц в ускоряющих и фокусирующих структурах ставились и решались разными учёными [23, 57, 59, 61, 62]. Так в трудах В.И. Зубова была создана теория построения электромагнитных полей, вызывающих движение заряженных частиц в соответствии с заданным полем скоростей. В работах Д.А. Овсянникова и его учеников разрабатывается теория оптимизации динамики заряженных частиц в системах формирования, ускорения и транспортировки пучков заряженных частиц. Научному направлению, связанному с решением задач моделирования, анализа и управления пучками заряженных частиц, посвящены также работы О.И. Дривотина, С.Н. Андрианова, Ю.С. Свистунова, И.М. Капчинского, В.В. Владимирского, В.А. Теплякова, Б. И. Бондарева, А.П. Дуркина, Е.Д. Котиной, И.Д. Рубцовой, и многих других учёных.
В настоящее время во всём мире большое внимание уделяется проблемам создания и проектирования ускорителей заряженных частиц, сфера применения которых непрерывно расширяется [43]. Помимо традиционного использования ускорителей в качестве поставщиков пучков частиц высоких энергий для фундаментальных исследований, они находят своё применение в медико-биологические исследованиях, дефектоскопии, модификации и упрочнении различных материалов. Ведутся работы по применению ускорительной техники в области ядерной энергетики с целью обеспечения безопасной и надёжной работы реакторов атомных станций [40].
Линейные ускорители ионов применяются в радиационной терапии, ядерных исследованиях, производстве мезонов и короткоживущих изотопов, военных целях, неразрушающем анализе материалов [70]. Линейные ускорители заряженных частиц используются в качестве инжекторов для ускорителей на большие энергии [89]. Получили широкое распространение ускорители, использующие резонансные принципы ускорения [31, 32]. К их числу относится и ускоритель с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой (ПОКФ). В связи со столь обширной областью применения и всё возрастающим требованиям к качеству ускорителей и формируемым ими пучкам заряженных частиц, проблемы проектирования подобных устройств приобретают всё большую актуальность.
Предлагаемые в настоящей диссертации методы апробировались на решении задач оптимизации продольной динамики линейных ускорителей заряженных частиц с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой. Проведённая оптимизация структуры с ПОКФ показала эффективность разработанных алгоритмов, которые могут быть распространены и на другие типы ускоряющих и фокусирующих структур.
Первая глава посвящена проблеме построения алгоритма совместной оптимизации программного и ансамбля траекторий возмущённых движений с учётом плотности распределения частиц в фазовом пространстве, основанном на использовании специальных линейных уравнений с частными производными первого порядка.
В диссертации объект управления описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида: :=/(',*,«), (і) ^ = F(t,x,y,u), (2) дг(0) = х0, (3) у(о)=у0еМ0. (4)
Здесь teT0 = [o,T]czR1 — независимая переменная; xeR" и уєЯт — вектора фазовых переменных; u = u(t)<=Rr — г-мерная функция управления; Т — фиксированное число. Множество М0 — компактное, ненулевой меры. Полагаем что допустимые управления u = u(t), teT0, образуют некоторый класс D кучно-непрерывных на промежутке Т0 функций, принимающих значения из компактного множества U с Rr.
Наряду с системой (1),(2) рассматривается уравнение в частных производных первого порядка, описывающее изменения плотности распределения частиц p=f(t,y) на сечениях пучка фазовых траекторий подсистемы (2): at oy с заданным в начальный момент законом распределения плотности частиц на множестве М0
ДМФ)=/%(%)» у0еМ0, где р0{уо) — неотрицательная непрерывно дифференцируемая функция.
На траекториях системы (1),(2) и решениях уравнения (5) исследуются функционалы /,(и) = с, JV,(t,x(t),u(t))u + c2gi(х(Т)), (6) г /2(h) = c3J \p{t,y,)(p2{t,x{t),y„u{t))dy,dt + Ct \p(T,yT)g2(T,yT)dyT , (7) о м,л мТл
1{и)=1х(и)+1г{и), (8) где множество М1и — сечение в момент / пучка траекторий подсистемы (2), исходящих из множества М0 при управлении u(t) и соответствующем программном движении x(t). Функции фх, (р2, gx, g2 предполагаются неотрицательными и непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам; числа с,, с2, с3, с4 — неотрицательные константы (весовые коэффициенты).
Под программным (расчётным, выделенным) движением понимают решение подсистемы (1) при начальном условии (3). Решения подсистемы (2) с начальными условиями (4) при фиксированном программном движении называют возмущёнными движениями. Задача минимизации функционала (8) является задачей совместной оптимизации программного и возмущённых движений. В таком виде она была впервые сформулированная в работах А.Д. Овсянникова [56, 58].
Наряду с уравнениями системы (1),(2) и уравнения (5) рассматриваются линейные неоднородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка следующего вида [60,94, 96]: dt ox dt ox dy (9) (10) с терминальными условиями
Ух(т,х(Т))=с2ё1(х{Т)), (11) V2(T,x(T),AT))=c4g2{T,yT). (12)
В этой главе выведено представление вариации функционала (8) через решения уравнений (9),(10):
Т і Ґ \ dyt
На основе полного приращения исследуемого функционала сформулированы и доказаны необходимые условия оптимальности для рассматриваемой задачи в форме принципа максимума Понтрягина и линеаризованного принципа максимума, приведены достаточные условия оптимальности. Рассматривается возможность параметризации управлений. В этом случае управления задаются конечным числом параметров. Используя полученное представление вариации, в работе выписываются градиенты исследуемых функционалов по этим параметрам.
Во второй главе вновь рассматривается проблема совместной оптимизации программного и ансамбля возмущённых движений в постановке первой главы, с учётом уравнений в частных производных (9),(10). Исследуется вариация функционала в форме (13) и выписывается новое её представление: Sl(u,Au)=\ ccAuf + ciAu
Показано, что вектор-функции a(t), fi{i) и xif) удовлетворяют вдоль траекторий системы (1),(2) обыкновенным дифференциальным уравнениям da = adf(t,x(t),u(0) c dpt(t,x{OMO) (15) dt dx dx dP = „df(t,x(t)Mt)) dF(t,x(t),y(t)MO) c d
Функции a(t), pit) и z(t) содержат градиенты решений V^(t,x), V2(t,x,y) уравнений (9),(10), вычисленные вдоль траекторий системы (1),(2).
Рассматриваются вопросы, связанные с построением минимизирующих последовательностей управлений в задаче совместной оптимизации программного и ансамбля возмущённых движений. Приводится одна общая схема спуска, основанная на первой вариации (14) [34, 59]. Кроме того, в этой главе выписан градиент функционала (8) и рассматривается схема направленной минимизации исследуемого функционала на основе градиентной методики, обсуждаются вычислительные аспекты метода наискорейшего спуска по антиградиенту.
Далее ставится задача: заменить проблему управления множеством управлением его границей. Такая замена, прежде всего, заключается в сведении интегралов по множеству М, и в формулах (7) и (14) к интегралам по его границе. Действительно, при некоторых упрощающих предположениях, имеющих место при моделировании динамики заряженных частиц в конкретных ускоряющих структурах, в задаче управления множеством с равномерной плотностью можно выписать новое представление функционала (7):
I2(u) = c,\p{t)\
Вектор-функции a{t) и c(t) на траекториях системы (1),(2) удовлетворяют уравнениям da = gd/('.*(0.tt(0) bfA dt dx
Й„ Я fit Wt\ ,,ґ*\\ ~ = -c3p{f)\o2(t,yt)-ndStJI, dt J *(<)=Ы;,= -cdiv. KdXj + p]v2~ndSlM ч ox. — вектор размерности n, и терминальным условиям a(T)=0, c(T) = c4p{T) JG2{T,yT)-ndST,u.
Функционал (21), его вариация (22), а также дифференциальные уравнения (23),(24) решают поставленную в главе 2 задачу сведения проблемы управления множеством управлению его границей. Во второй главе описываются способы вычисления поверхностных интегралов, входящих в формулы (21)-(24).
Третья глава настоящей диссертации посвящена математическому моделированию, анализу и оптимизации продольной динамики заряженных частиц в ускорителе с ПОКФ. Рассматривается математическая модель, предложенная в работе [81]. Используя методы, разработанные в двух первых главах диссертации, проводится оптимизация продольной динамики протонов. Исследуются уравнения движения частиц в поле эквивалентной бегущей волны. На основе уравнения движения синхронной частицы и уравнений в отклонениях от движения синхронной частицы формализуются задачи совместной оптимизации. В качестве целей оптимизации структуры с ПОКФ были выбраны: учёт воздействия дефокусирующего фактора; получение требуемой энергии на выходе ускорителя; обеспечение монотонности группирования пучка в результате минимизация скорости изменения среднеквадратического разброса частиц по фазам; минимизация среднеквадратического разброса частиц пучка на выходе ускорителя.
Для решения поставленных задач вводятся соответствующие функционалы. Оптимизация основана на использовании известных схем построения минимизирующих последовательностей [9, 34, 51, 59], в основу которых положены методы решения задач оптимального управления на основе первой вариации исследуемого функционала, в частности, метод наискорейшего спуска по антиградиенту.
В качестве управляющих параметров выбирались закон изменения синхронной фазы и эффективность ускорения вдоль ускоряющей структуры. Полученные управления обеспечивают 100% захват частиц в режим ускорения при улучшенных характеристиках пучка.
Рассматривается также математическая модель, позволяющая вести учёт взаимодействия заряженных частиц. Модель учёта заряда основана на аппроксимации пучка частиц набором равномерно заряженных бесконечно тонких дисков постоянного радиуса, суммарный заряд которых равен заряду всего пучка. С помощью этой модели изучалось влияние собственного поля пучка на продольную динамику протонов в ускорителе с ПОКФ, исследовалась динамика как в исходной структуре, так и в структуре, полученной в результате оптимизации. В диссертации приведены рисунки и таблицы, иллюстрирующие полученные результаты.
По теме диссертации опубликовано 6 работ. Основные результаты докладывались на международной конференции «Beam Dynamics and Optimization» (Санкт-Петербург, 2002), XXXIII, XXXIV и XXXV научных конференциях аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2002, 2003, 2004), девятой европейской конференции «European Particle Accelerator Conference» (Lucerne, Switzerland, 2004), II Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде Matlab» (Москва, 2004), а также на семинарах кафедры теории систем управления электрофизической аппаратурой СПбГУ. Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 03-01-0726) и Министерства образования РФ (грант № АОЗ-2.8-440).
Приращение функционала
Пусть u = u(t) и u=u(t)=u(t)+Au(t) — допустимые управления. Обозначим соответствующие этим управлениям траектории уравнений (1),(2),(5 ) как x(t) = x(t,x0), y,=yit) = y{t,x0,y0), p(t) = p(t,p0), и x(t) = x(t,x0), У,=у{ ) = Ук хо Уо), p(t) = p(t,p0), где Ро=Ро(Уо)- Приращение траектории при вариации управления Au(t)=u(t)-u(t) будем обозначать Ax(t) = x(t)-x(t), Ay(t)=y(t)-y(t),
Ap(t)=p(t)-p(t). Выпишем приращение функционала (7) на управлении u{t). С этой целью осуществим следующее построение [59]. Пусть х(/) — решение подсистемы (1), отвечающее некоторому управлению u(t). Пусть также Vt{t,x) есть решение уравнения (10) в области T0xQx, соответствующее управлению u{t). Введём функцию W {t,x,u) следующим образом: Шк,х,и)=Щ +Щ А М+сА Л (16) Ot ох
Тогда имеем тождество W {t,x,u(t)) = Q в области T0xQ.x и, в частности, Wx(t,x{t),u{t))=Q на решении x(t) подсистемы (1), при почти всех г. Вдоль траекторий x(t) подсистемы (1), полученных на управлении u(t), функцию Wx{t,х,и) также можно выписать в следующем виде: Модо)= % +едМо,« о). (16 ) at Рассмотрим теперь функцию Wi(t,x,u) на решении Зс(/) подсистемы (1), отвечающему управлению u(t), и проинтегрируем её от момента 0 до момента Т: т о о оЛ dt J о о Значит, приращение функционала (7) можно представить в виде т Ы}(и,ди) = Mt, Ш u(t))dt. (17)
Теперь выпишем приращение функционала (8) на управлении u(t) аналогично тому, как это было сделано для функционала (7). Пусть V2(t,x,y) есть решение уравнения (11) в области Т0хСїххЄІу, соответствующее управлению u{t). Введём функцию W2{t,x,y,u) следующим образом: Ш у - +Щ ЛіМ Щ У,и) (,ЛуЯ (18) at дх ду Тогда имеем тождество W2(t,x,y,u(t))=0 в области T0xQxxQy и, в частности, W2{t,x(t),y(t),u(t)) = 0 на траекториях x(t), y(t) системы (1),(2) при почти всех /. Вдоль траекторий x(t), y(t) системы (1),(2), полученных на управлении u{t), функцию W2(t,x,y,u) также можно выписать в следующем виде: w2(tX0At)A0)= +cm{tA0,yMuQ)). (18 ) at
Возьмём некоторое допустимое возмущённое управление u{t) и проинтегрируем уравнения (1),(2),(5 ) совместно. Получим решение (/), а также ансамбль траекторий y(t), распределённых с плотностью p(t)=p(t,y(t)). Рассмотрим теперь функцию W2(t,x,y,u) на решениях x(t), y(t), управлении u(t) и, помножив её на p(t,y(t)), проинтегрируем получившееся произведение от момента 0 до момента Т по сечениям пучка траекторий: г О J j%t,y,)W2{t,W,y,,u(t))c&,dt= ОМ, г ОМ,; =\\Яі,ЇЇ ( ( »)s,)+c m Ml)-jy dt Tcd \dt = J- \p\t,y) V2(t,x(t),y,)$l it+Cy I J#fJ0fcfc (0 J «(0) #A= 0MlS т =CJ / ( (0,7, (0) + \№,УтУг{Г Хт Ут)$т 0MlS MTS T - 1 ( 0) 2(0 0 0) 0= /1 ) ( (0 (0) + +c4 \p{T,yr)g2(T,yT) T- jp0(y0)V2{0,x0,y0)dy0=I2{u)-I2{u)=M2(u,Aul Таким образом, мы получили формулу приращения функционала (8) т Д/2(и,Ди) = / jp(t,y,) W2(t,x(t),y„u(0)4y, h О Л/, (19)
Введение специальных функций (16),(18) позволяет выписать соотношения (17),(19) — формулы для приращений исследуемых функционалов (7),(8) через решения уравнений (10),(11). С учётом формул (17),(19) запишем представление полной вариации функционала (9) в следующем виде: AI(u,Au)= j Wi{t,x(t)M0)+ \p{t,yi)W2{t {t),y„u(t))dyt M,s dt, (20) Используя формулы (17),(19), в следующем пункте выведем вариацию функционала (9). Вариация функционала. Далее нам понадобиться ряд известных соотношений, характеризующих непрерывную зависимость приращения траекторий уравнений (1),(2) от управления [58, 62]:
Достаточные условия оптимальности
Воспользуемся полным приращением функционала /(и), задаваемым формулой (20), для получения достаточных условий оптимальности в рассматриваемой задаче.
Пусть u(t) — некоторое допустимое управление, функции Уг(t,x) и F2 (/, , ) — соответствующие этому управлению решения уравнений (10),(11). Далее, пусть функции W(t,x,u) и 2(r, , ,w) построены по этим решениям. Теорема 3. Для оптимальности управления u=u(t) по отношению к функционалу j(u) достаточно, чтобы при почти всех teT0 и любых (х,у,и)еQx xQyxU одновременно выполнялись неравенства W?(t,x,u) 0, (53) W2(t,x,y,u) 0. (54)
Доказательство. Выберем произвольное допустимое управление u(t) со значениями из U. Пусть (/), y(t) — решения системы (1),(2), отвечающие управлению u(t) и принимающие значения их С1Х и Q.y соответственно. Пусть также плотность p(t,y) вычислена вдоль траекторий подсистемы (2). Воспользуемся формулой (20) и выпишем полное приращение функционала і(и) на управлении u(t)=u(t)+Au(t): тґ \ о /(i/(0)-/(«0(0)= J w,0M ),"( ))+ \Р{І,У№(ІЛІ),У,МФУ, \ М1М J dt 0.
Заменяя вектор-функции u{t), x(t) и y(t), входящие в последнее неравенство, на отвечающие моменту / произвольные вектора хєОх, уєСіу и ueU, получим неравенство l(u)-l(u)=] W(t,x,u)+ \p(t,y)W {t,x,y,u)dy dt 0.
Плотность p{t,y) в силу свойств решений уравнения (5) неотрицательна вдоль траекторий подсистемы (2). Отсюда следует, что если W(t,x,u) 0 и W(t,x,y,u) 0 при почти всех teT0 и любых (x,y,u)&lxxlyxU, то приращение неотрицательно: l(u)-l{u) 0. А это и означает оптимальность управления u(t) по отношению к функционалу l(u).
Замечание. Пусть для некоторого управления u(t) выполняются условия (53),(54). Поскольку по построению W(t,x,u(/))=0, W?(t,x,y,u(t))=0, то неравенства (53),(54) можно переписать в виде (55) (56) условия х,М)=- (/(/,х,И)-/(ґ,х,МЧ0))+ ")- ,"0(0)) 0, ox W (t,x,y,u)= {/{t,x,u)-j(t,xy(t)))+ ox ду Неравенства (55),(56) по форме напоминают необходимые оптимальности Вейерштрасса в вариационном исчислении [15, 60].
Оптимальный выбор параметров систем формирования пучков
Рассмотрим задачу оптимального управления программным движением и пучком траекторий частиц в случае, когда система, описывающая их движение, зависит от параметров пучка [62]. Пусть проблема (1)-(9) поставлена для управления как вектор-функции размерности г с кусочно-линейными компонентами, заданными на интервале Т0, т.е. a(t) = kt + b, іфм,р,], к = аЫ а01\ Ь = а«-п-крм, (57) i = \,J. Здесь //,. — точки разбиения промежутка Т0 такие, что 0 = //0 //, ... //, = Т; a(i), / = 0,./, — некоторые постоянные векторы из множества значений U eRr вектор-функции a(t), U — выпуклое множество, J — фиксированное неотрицательное целое число. Считаем также, что /л0 и //, фиксированы. Таким образом, варьируемыми параметрами являются векторы a(i), / = 0,./, и числа /4, / = 1,./-1.
Рассмотрим задачу об оптимальном выборе этих параметров из условия минимизации связки функционалов (7)-(8). Вектор-функцию «(/), зависящую от параметров af, / = 0,./, j = \,r и удовлетворяющую условиям (57), будем называть допустимым управлением, а параметры af, //,. — допустимыми параметрами.
Градиентный метод в задаче совместной оптимизации программного и возмущённых движений
Вновь рассмотрим задачу минимизации (1.1)-(1.9). При этом будем считать, что управление u = u(t)eDczLr2[o,T], u(t)eU, teT0, U — выпуклое компактное множество в пространстве Rr, т.е. рассматриваются управляющие вектор-функции с нормой чо )
Формула (1.38) приращения исследуемого функционала, полученная в главе 1, с представлением вариации Sl(u,Au) в виде (1.40), или в форме (10), позволяет определить линейный функционал G(u) в пространстве Z/[o,r], являющийся производной Гато [34, 50] функционала (1.9). Действительно, выделяя линейную часть по приращению Аи в подынтегральном выражении формулы (10), имеем: о 5l(uM=Ld-f + cx + JJ + + MULA + IJ. (22) V. ми
Пусть Au = Au(t) — допустимая вариация управления и. Рассмотрим управление її = и + єАи. В силу выпуклости множества U управление u&D при є є [О, і]. Тогда для приращения функционала в данном случае имеем Аі(и,Аи) = ді(и,Аи) + о(и,є), (23) где г 8l(u,Au) = \l(t,u)-Au(t)dt, (24) о /M=a +A \pLS-f+xa-L+Ci8-f\dyi, (25) ОИ 5« jj \ ou ou ou J при этом величина о(и,є) имеет равномерно по ueD более высокий порядок малости, чем є.
Если теперь определить линейный функционал G(u) В функциональном пространстве Z.r[0,r] по формуле (G{u),v) =J/W- v(t)dt, (26) о где (G(u),v) обозначает значение функционала G(u) на вектор-функции v(/), то приращение (23) можно переписать в следующем виде: А/ (и, Аи) = 1{и + єАи) - 1{и) = є(р(и), Аи) + о(и, є). (27)
Рассматривая управляющие функции из гильбертова пространства [0,7), заметим, что выражение (26) определяет производную Гато функционала (1.9) и, следовательно, вектор-функция -l(t,u) является направлением антиградиента этого функционала. Рассмотрим спуск функционала (1.9) в этом направлении. Воспользуемся алгоритмом построения минимизирующей последовательности управлений, изложенным в предыдущем параграфе. В данной ситуации этот алгоритм сводится к вычислению градиента /(/,«,) и решению задачи одномерной минимизации по параметру є М"; Ал )= gg, )» (28) где 6,11,(0 = -.. , g, ;(/,иД (29) За следующее приближение принимаем uJ+1=Uj+AeUj. (ЗО) Управление щ = и, (/) считаем заданным. Очевидно, что в случае ограниченности снизу функционала (1.9) функция у(и) на элементах последовательности (30) удовлетворяет условию (21).
Спуск по антиградиенту по формулам (28)-(30) в дальнейшем будет использован в третьей главе при оптимизации динамики пучка траекторий частиц в ускорителе с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой. Однако на основе полученных в первой главе условий оптимальности можно строить и другие численно-аналитические методы поиска оптимальных управлений [9, 34, 35, 51, 76].
Управление границей множества
В этом параграфе будет показано что, вариацию (1.37) при некоторых упрощающих предположениях можно представить в иной форме, которая в случае равномерной плотности распределения позволит разработать алгоритм оптимизации, сводящий проблему управления множеством к задаче управления его границей. Такая замена будет, прежде всего, заключаться в сведении интегралов по множеству Mtu к интегралам по его поверхности.
Рассмотрим задачу совместной оптимизации в постановке главы 1. Считая для сокращения записи, что подынтегральная функция (p2= p2{t,y) зависит только от времени и фазовой переменной подсистемы (1.2), получим, что функционал (1.8) принимает следующий вид: г 2(м) = сз J \Р{ ,У,)(Р2{ У№УА1 + С4 \р&,Ут)ёг(Г Ут)ЛУт- (31) о м,я мТя Перепишем также и вариацию (1.37) с учётом обозначений (2),(3):
Алгоритм спуска по антиградиенту
На рисунке 2 даны следующие графики, характеризующие полученные в результате оптимизации параметры программного движения: изменение величины pJ/30 в зависимости от г ; график изменения продольной координаты zs синхронной частицы; изменение кинетической энергии синхронной частицы в зависимости от г: изменение в зависимости от т величины дефокусирующего фактора, умноженного на 100.
На рисунке 3 представлен пучок траекторий частиц в отклонениях от движения синхронной частицы в зависимости от 7 (график переменной у/) до оптимизации, а на следующем рисунке для сравнения приведён график пучка траекторий, полученного в результате оптимизации.
Графики 5,6 показывают влияние оптимизации на скорости изменения фаз частиц пучка (переменная у/ ).
Рисунок 7 иллюстрирует полученное в результате оптимизации сокращение терминального сечения пучка траекторий частиц в момент Т: заметно, что пучок на выходе в результате оптимизации имеет значительно меньший разброс по переменным у/, у/ .
На рисунке 8 приведены графики изменения среднеквадратического разброса частиц по переменной у/, измеряемого в градусах дуги. Отметим уменьшение значений среднеквадратического разброса по модулю и амплитуде колебаний в результате оптимизации.
Рисунок 9 иллюстрирует влияние оптимизации на величину отклонения скорости изменения дисперсии частиц по переменной у/ от нулевого значения.
Графики величин Dy/(r), —D2y/(j), изображённых на рисунках 8,9, dr показывают, что в результате оптимизации были получены управления, формирующие достаточно монотонно группирующийся пучок с меньшим разбросом частиц по переменной у/ (рисунок 8) и с меньшей скоростью изменения этого разброса (рисунок 9), а значит, достигается третья цель оптимизации. При этом выполнение требования монотонности формирования пучка при малых токах должно положительным образом сказаться уменьшением влияния кулоновских сил на его динамику, что будет исследовано в следующем параграфе.
Наконец, на рисунке 10 представлено сечение пучка траекторий в некоторый момент времени с построенным внешним полем нормалей к границе.
В заключение отметим, что оптимизация продольной динамики частиц при частоте 352 МГц показала эффективность применяемых методов и подходов. Было рассчитана структура, обеспечивающая 100% захват частиц в режим ускорения.
Моделирование динамики частиц с учётом их взаимодействия Рассмотрим математическую модель, позволяющую рассчитывать динамику пучка заряженных частиц в ускоряющей структуре с ПОКФ в поле. эквивалентной бегущей волны [22], учитывая продольное взаимодействие частиц.
Будем считать, что пучок заряженных частиц моделируется набором бесконечно тонких дисков (частиц-дисков) постоянного радиуса R, суммарный заряд которых равен заряду пучка. Движение дисков происходит в металлической трубе постоянного радиуса а.
Рассмотрим величину 2# = ДЯ, называемую пространственным периодом. Совокупность частиц на пространственном периоде назовем сгустком. Будем считать, что в каждый фиксированный момент времени пучок в пространстве есть бесконечная последовательность одинаковых сгустков (форма сгустка меняется в ходе эволюции пучка). Моделируется динамика одного сгустка. Если частицы покидают данный сгусток, их следует возвращать с учетом периодичности (образы этих частиц приходят в сгусток). Заметим, что величина 2Н меняется в ходе ускорения частиц.
Определим заряд частицы-диска следующим образом: пусть N — число частиц в сгустке. Тогда заряд частицы-диска определяется по формуле: q = IXIcN, где / — средний ток пучка.
При расчете поля объемного заряда сгусток разбивается на J дисков толщиной 2h = 2HIJ (толстые диски). Каждому толстому диску приписывается заряд q. и энергия у., которые определяются через положения и энергии частиц. Далее рассчитываются парные взаимодействия каждого толстого диска с каждой тонкой частицей-диском.
Преимущества этого подхода заключаются в том, что плотности заряда и тока сглаживаются, улучшается сходимость ряда, описывающего поле, уменьшается время счета. Обычно J принимают на порядок меньше N.
Напряженность потенциального поля, характеризующая действие периодической системы толстых дисков на частицы-диски с продольной координатой z, определяется по формуле:
Здесь е0 — электрическая постоянная, /,( ) — функция Бесселя 1-го рода 1-го порядка, vm — корни функции Бесселя J0(x) 1-го рода нулевого порядка, Iz - 4гЛ I — расстояние от точки с координатой z до правой границы j -го толстого диска-разбиения, z - $}л — аналогичное расстояние до левой границы у -го разбиения.
