Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Обзор теоретических и прикладных аспектов глобальной оптимизации 14
1. Математическая постановка задачи глобальной оптимизации и описание алгоритмов 14
2. Специфика задачи экономической оптимизации химико-технологических систем 17
3. Обзор программных средств глобальной оптимизации и оптимизации химико-технологических систем 22
4. Построение объемной классификации методов глобальной оптимизации 24
ГЛАВА 2. Методы глобальной оптимизации поверхности отклика вычислительного эксперимента 35
1. Вычислительный эксперимент и аппроксимация поверхности отклика 35
2. Метод Чичинадзе для глобальной оптимизации кусочно-полиномиальной функции 48
3. Глобальная оптимизация методом случайного поиска с направляющим косинусом 57
ГЛАВА 3. Программный комплекс «Оптимум» для определения глобального экстремума ...68
1. Общая схема комплекса «Оптимум» 68
2. Модуль оптимизации 78
3. Режим вычислительного эксперимента 90
ГЛАВА 4. Глобальная экономическая оптимизация в химической технологии 95
1. Применение методов глобальной оптимизации для минимизации затрат на схему простой ректификации 96
2. Оптимизация схемы экстрактивной ректификации с боковым отводом из ректификационной колонны 109
4. Глобальный оптимальный эксперимент для последовательности экстракторов 114
Заключение 121
Список литературы , 123
Приложение 130
- Специфика задачи экономической оптимизации химико-технологических систем
- Метод Чичинадзе для глобальной оптимизации кусочно-полиномиальной функции
- Режим вычислительного эксперимента
- Оптимизация схемы экстрактивной ректификации с боковым отводом из ректификационной колонны
Введение к работе
Актуальность работы Проблемы глобальной оптимизации в настоящее
время являются передним краем теории математического программирования и
вычислительной науки в целом. В тоже время они имеют важнейшее значение
для практики. Современные проблемы оптимизации процессов химической
технологии настоятельно требуют обновления подходов к автоматизации и
конструированию систем оптимального проектирования технологической
схемы. С одной стороны, использование систем имитационного
моделирования позволило снизить стоимость исследований, но при этом предъявляются более высокие требования к точности определения параметров. Вместе с этим, специфика задачи оптимизации химико-технологических схем (ХТС) заставляет предполагать многоэкстремальность целевой функции. Это обусловлено, во-первых, билинейностью математической модели. Во-вторых, ХТС зачастую имеют замкнутую структуру, то есть структуру с рециклами. Множественность стационарных состояний индуцирует многоэкстремальность в задаче оптимизации. Наконец, многоэкстремальности следует особо опасаться, если оптимизационная задача ставится как задача с априорной неопределенностью, а на этапе проектирования ХТС неопределенность всегда присутствует в математической модели. Кроме этого, в задаче экономической оптимизации всегда есть основания предполагать, что наилучшее значение критерия может лежать близко к границе множества оптимизации. При этом, бывают случаи, когда проведение масштабирования оказывает негативное воздействие на вычислительные свойства задачи. Поэтому можно предположить, что размеры множества оптимизации относительно велики.
Эти соображения позволяют предположить, что методы глобальной оптимизации для решения рассматриваемых задач будут весьма эффективны в сравнении с локальными методами оптимизации. При использовании последних исключительно важно корректно задать начальное приближение. Это представляет значительную трудность в задачах с априори неопределенной
информацией. Кроме того, локальные методы оптимизации в большинстве своем используют степень гладкости целевой функции. Для задач негладкой оптимизации разработаны математические методы сглаживания, программирование которых представляет значительные трудности. Среди же методов глобальной оптимизации (МГО) возможно выбрать методы, специально разработанные для негладких функций.
С другой стороны, современное состояние математической теории глобальной оптимизации таково, что при всем многообразии идей и методов, отсутствуют систематизированные данные об успешном применении теоретически исследованных алгоритмов к специфическим задачам прикладных областей. Отсутствуют также общие рекомендации по выбору наиболее эффективного МГО для той или иной задачи. При этом, для решения прикладных задач, в частности оптимизации ХТС, предпочтение отдается эмпирическому классу МГО. В этом случае существенный интерес представляет проблема выбора параметров алгоритма с целью обеспечения его эффективной работы. Наконец, знание структуры математической теории глобальной оптимизации помогло бы сделать обоснованный выбор в пользу какого-либо алгоритма с учетом специфики задачи оптимизации. Общность
методологий построения таких методов позволяет также адаптировать уже
->,
использовавшиеся и исследованные теоретически алгоритмы к конкретно^ задаче.
В настоящее время при моделировании ХТС часто рассматривается ситуация исходной неопределенности. Чем выше степень этой неопределенности, тем шире в процессе моделирования и оптимизации используются статистические методы оценки неопределенных параметров. В работе рассматривается подход к задаче оптимизации, при котором целевая функция представляет собой аппроксимацию поверхности отклика вычислительного эксперимента. В число влияющих на отклик факторов могут быть включены неопределенные параметры. Этот подход при использовании
современных средств математического моделирования реализует переход от задачи условной оптимизации к безусловной. Но в этой связи при выборе метода оптимизации необходимо учитывать статистическую природу целевой функции. Таким образом, функции, вычисляемые со случайной ошибкой
Y=F(X}+rjy где Г} -случайная величина, распределенная нормально с некоторыми параметрами, X єХ,
представляют собой широкий класс целевых функций в задачах оптимизации ХТС. Цели диссертационной работы
Разработать комплекса алгоритмов оптимального моделирования ХТС с использованием методов поиска глобального экстремума и реализовать разработанные алгоритмы поиска глобального экстремума в виде комплекса программ. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи
Построение классификации методов глобальной оптимизации для обоснованного выбора алгоритмов решения задач экономической оптимизации технологических схем.
Адаптация эмпирических алгоритмов глобальной оптимизации для поиска экстремума поверхности отклика вычислительного эксперимента при моделировании технологической схемы.
Разработка комплекса программ, осуществляющего данные алгоритмы глобальной оптимизации, интегрированного с приложениями WINDOWS для обработки вычислительного эксперимента и справочной системой.
Применение разработанного комплекса для анализа схем жидкостного разделения, конструированных в системе ASPEN PLUS.
Методы исследоваиия: алгоритмы математической теории глобальной
оптимизации, методы локального поиска экстремума, методы планирования
эксперимента, методы статистического анализа, средства объектно-
ориентированного программирования, система технологического
конструирования и проектирования ASPEN PLUS, математические пакеты программ, электронные таблицы EXCEL. Основные положения, выносимые на защиту
Применения выбранных алгоритмов глобального поиска для решения задачи оптимизации поверхности отклика вычислительного эксперимента при моделировании ХТС.
Модификации метода Чичинадзе введением методики интервального сравнения и организацией расслоенной выборки.
Эмпирическая модификация метода случайного глобального поиска отсечением траекторий и использованием методики интервальных оценок.
Применение алгоритмов глобального случайного поиска для построения стратегии планирования экстремальных вычислительных экспериментов.
Программный комплекс эмпирических алгоритмов.
Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов решения задач и тестированием программного комплекса на контрольных примерах. Научная новизна
Составлена иерархическая классификация математических методов глобального поиска на методологической основе.
Разработаны, обоснованы и протестированы на ЭВМ модификации эмпирических МГО, адаптированные для поиска экстремума поверхности отклика вычислительного эксперимента при моделировании ХТС.
В первой главе рассмотрено современное состояние математического аппарата алгоритмов глобального поиска и дан подробный обзор методов, использованных в разных прикладных областях. Проведен структурный анализ общей теории и методологии глобальной оптимизации и на его основе составлена подробная классификация алгоритмов. Использование этой классификации дало возможность обосновать выбор методов для решения
рассмотренных задач оптимизации разделительных схем химической технологии.
Представлена общая постановка задачи экономической оптимизации ХТС как задачи условной оптимизации:
Пусть Х- линейное пространство над полем действительных чисел размерности п. хе X, х =(хь х2,..., х,,); множество оптимизации X с X X - {х з, є [а(; bt ], V/ -1.. п}
X; имеет экономический или технологический смысл; обозначим L доход от реализации ХТС; обозначим S общие затраты на ХТС.
1 = Лх), S^g(x)
На вектор it налагаются ограничения в виде равенств, представляющие собой уравнения материального и энергетического баланса:
/Хх) = щ ,і = 1..м
И условия в виде неравенств <р,(х) bt i=J...m Необходимо найти
x*=mmS(x) (1)
х-е.Х
или x*=maxl(ic) (Iа)
при данных условиях.
Для определенности в дальнейшем будем считать, что в задаче оптимизации
определяется минимум целевой функции.
В постановке задачи выделяются три основных компонента: множество оптимизации, целевая функция, условия, налагаемые на параметры задачи и оптимизирующие переменные. Каждый из этих компонентов задачи имеет структурные особенности. Особенности множества оптимизации:
Частично дискретно, то есть один или несколько факторов могут быть целочисленными;
Большая размерность;
Построена общая методологическая классификация алгоритмов глобальной оптимизации. Критерием классификации служит использование априорной информации о поведении целевой функции в исследуемом множестве. Установлена связь этой классификации с другими классификациями, построенными, например, на основе алгоритмических критериев. В первой главе приводится подробная схема данной классификации.
Как уже указывалось выше, мера множества оптимизации X может быть достаточно велика. Построить же адекватную аппроксимацию поверхности отклика возможно только на небольших участках варьирования переменных. Во второй главе модель целевой функции предлагается строить в виде кусочно-линейной или кусочно-полиномиальной функции. Приводятся два способа разбиения множества оптимизации на ячейки с учетом особенностей ХТС. По результатам статистического анализа полученных аппроксимаций ячейки разбиения классифицируются, среди них выделяются подозрительные на содержание экстремума. Построенная функция цели не является непрерывной и гладкой. Однако с помощью методологической классификации среди многообразия алгоритмов глобальной оптимизации можно выбрать методы, для которых эти требования не являются центральными. Такими методами являются варианты случайного поиска и метод Чичинадзе, известный как метод р -преобразования. Таким образом, нет необходимости в применении трудоемких алгоритмов сглаживания.
Далее, предлагается использовать построенную классификацию ячеек разбиения для сокращения количества вычислений целевой функции в ходе алгоритма. Эта величина в ряде случаев является характеристикой эффективности алгоритма глобальной оптимизации. Метод у/ -преобразования используется только на ячейках, подозрительных на содержание экстремума и
на граничных ячейках. Другой способ адаптации алгоритма к оптимизации функции вида (1) состоит в учете возможной ошибки регрессии. В ходе алгоритма необходимо проводить сравнение значений функции. При этом используются не точечные, а интервальные оценки этих значений. Данные интервальные оценки вычисляются при статистическом анализе аппроксимаций.
При оптимизации методом случайного поиска с направляющим конусом классификация ячеек также используется для сокращения количества вычислений целевой функции в ходе алгоритма. Отсечение неподозрительных ячеек в этом случае не производится, но на таких ячейках не делается последовательный разброс случайных точек, движение производится в направлении градиента построенной аппроксимации.
Для данного метода сконструирована эмпирическая модификация, состоящая в выделении на некотором этапе поиска неперспективных направлений движения, названных траекториями, и отсечения их по некоторому правилу, использующему интервальные оценки значений целевой функции.
В третьей главе описан комплекс программ, созданный в среде объектно-ориентированного программирования DELPHI 7. Комплекс интегрирован с электронными таблица EXCEL, поэтому позволяет не только применять методы глобальной оптимизации к тестовым функциям, но и строить аппроксимации на отдельных ячейках и проводить статистический анализ.
В четвертой главе с помощью программного комплекса "Оптимум" были применены алгоритмы глобальной оптимизации для схем простой ректификации и экстрактивной ректификации с рециклом. Для данных схем в результате вычислительного эксперимента по методике, заложенной в ASPEN PLUS, были определены границы множества оптимизации, построено разбиение этого множества на ячейки над которыми затем аппроксимировалась поверхность отклика линейной функцией или поверхностью второго порядка.
В предварительной задаче было построено приближение мультипликативной функцией на всем множестве оптимизации. В результате решения предварительной задачи обращает на себя внимание достаточно высокая точность метода Чичинадзе и эффективность для этого алгоритма методики интервальных оценок. Для случайного поиска с направляющим конусом выявлена главная группа влияющих параметров метода. Однако результаты оптимизации этим методом хуже, чем результаты метода Торна и метода Чичинадзе. Обращает на себя внимание расхождение значений аппроксимации поверхности и экспериментальных данных: максимальное значение относительной погрешности - до 25% .
При решении задачи оптимизации кусочно-линейной поверхности отклика вычислительного эксперимента для схемы простой ректификации результативность данных методов возросла в связи с более удачной аппроксимацией. Расхождение с экспериментальным значением в подозрительной на глобальный минимум точке не превышает 10%. При этом выявлена тенденция уменьшения затрат на схему при увеличении процентной доли уксусной кислоты в растворе. Однако необходимость большого числа опытов делает этот метод весьма объемным в вычислительном отношении.
При упрощенной (рассматривалась зависимость от двух влияющих факторов) оптимизации схемы экстрактивной ректификации особенное внимание было уделено построению множества оптимизации, так как эта схема обладает свойством вычислительной неустойчивости по входным данным. Структура множества оптимизации оказалась весьма сложной, но методика разбиения на ячейки свела к минимуму возможные неудобства. Для данной схемы метод Чичинадзе применялся на всем множестве оптимизации, так как разбиение построено таким образом, что все ячейки граничные. Также в данном случае обратило на себя внимание быстродействие метода случайного поиска — уже вторая траектория обнаружила глобальный минимум.
Итак, в работе приводятся способы адаптации методов глобальной оптимизации для поиска экстремума поверхности отклика вычислительного эксперимента. Вычислительное применение этих модификаций дало положительные результаты и высветило аспекты повышения их эффетивности. Таким образом, осуществлено комплексное исследование проблемы оптимизации химико-технологических систем с применением современной технологии математического моделирования.
Аппробация работы. Основные результаты работы доложены на международной конференции "Математические методы в технике и технологии" (ММТТ12) Тамбов , июнь 2002г., ММТТ 15 Санкт-Петербург сентябрь 2003 г. Математические аспекты исследований обсуждались на научном семинаре кафедры математики и физики Санкт-Петербургского филиала Военно-инженерного Университета им. Куйбышева. Публикации по теме работы.
Ананченко А.Г., Ананченко И.В., Холодное В.А. Поиск научной информации в сети INTERNET.- Сб. трудов Международной конференции ММТТ 12. Новгород, 1999. - Т.5 - секция 11-12 - С 43-44.
Ананченко АХ., Ананченко И.В., Холодное В.А. Поиск научной информации в сети STN INTERNATIONAL.- Сб. трудов Международной конференции ММТТ 12. Новгород, 1999. - Т.5 - секция 11-12 - С 44-46.
Ананченко А.Г., Ананченко И.В., Шафеев М.А. Проблемы глобальной оптимизации в химической технологии. По материалам базы данных в сети STN INTERNATIONAL.- Сб. трудов Международной конференции ММТТ 15. Тамбов, 2002. - Т.2 - секция 2 - С 50-52.
Ананченко А.Г., Холодное В.А. Проблемы построения объемной классификации задач и алгоритмлв глобальной оптимизации. - Сб. трудов Международной конференции ММТТ 15. Тамбов, 2002. - Т.2 - секция 2 - С 52-54.
Ананченко А.Г., Холоднов В.А. Структура алгоритма глобальной оптимизации и построение на ее основе классификации методов поиска экстремума- Сб. трудов Международной конференции ММТТ 16. Санкт-Петербург, 2003. - Т.2 - секция 2 - С 25.
Ананченко А.Г., Холоднов В.А. Классификация методов поиска глобального экстремума- Сб. трудов Международной конференции ММТТ 16. Санкт-Петербург, 2003. - ТЛО - секция 11 - С 87.
Ананченко А.Г., Холоднов В. А. Построение объемной классификации методов глобальной оптимизации - Депонировано в ВИНИТИ № 975-В2003. от 19 03 03.
Ананченко А.Г., Холоднов В.А., Пунин А.Е. Глобальная оптимизация последовательности экстракторов. Химия и химическая технология №3, 2004.-С 45-53.
Ананченко А.Г., Холоднов В.А., Пунин А.Е. Комплекс программ глобальной оптимизации "Оптимум". Депонировано в ВИНИТИ № 734-А2004 от 25.03.04.
Специфика задачи экономической оптимизации химико-технологических систем
На первом этапе данную задачу сводят в задаче безусловной оптимизации двумя способами: - методом штрафных функций, когда условия в виде (1.1,2) вносят в выражения целевой функции [21]. Это существенно усложняет процедуру вычисления целевой функции. - методом мультипликативной функции, когда условия (1.1.2) выполняются в точках некоторой сетки S и в точках этой сетки вычисляется значение функции (1.1.3), по результатам такого эксперимента методами регрессионного анализа строится новая функция, учитывающая условия (1.1.2), которая в дальнейшем подлежит оптимизации каким-либо методом [34]. Этот метод существенно снижает вычислительные затраты, но, .очевидно, точность определения экстремумам может значительно пострадать из-за промежуточной аппроксимации. В дальнейшем задача оптимизации может сводиться к решению систем нелинейных уравнений. Для нахождения этого решения используется метод Ньютона и его различные модификации [44]. В общем же задача оптимизации решается методами локальной оптимизации, в частности, градиентными методами [32, 44, 68]. Классические примеры оптимизации ХТС таким способом представленБ в монографиях [43] Очевидный недостаток локальных методов состоит в ограниченности множества, на котором результат их работы является оптимальной точкой. Кроме того, большинство локальных методов предъявляет к оптимизируемой функции требование гладкости п-й степени на всем множестве оптимизации. Для большинства функций, описывающих реальные процессы, это требование трудно выполнимо [21, 51, 56]. Но даже в случае выполнимости этого требования, вычисление производных порядка п является само по себе нетривиальной вычислительной задачей и требует отдельных затрат [23].
Говоря об оптимизации градиентными методами, отдельно следует упомянуть метод крутого восхождения Бокса [4]. Этот метод представляет собой стратегию эксперимента, целью которого является определение оптимальных параметров явления. Существо метода состоит в многократном экспериментировании и тщательном статистическом анализе полученных результатов. В итоге осуществляется движение по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения до попадания в область, близкую к экстремуму. Очевидно, этот метод планирования эксперимента по сути является локальным и сильно зависит от субъективных начальных условий. Однако подход к решению задачи оптимизации, при котором не вычисляются значения промежуточных аппроксимаций, является, бесспорно, продуктивным.
В случае небольшой размерности задачи 1.1.1, то есть незначительного количества оптимизирующих переменных, а также, когда множество оптимизации является частично дискретным, большую популярность имеет метод покоординатной оптимизации [74]. Он состоит в поочередном фиксировании всех переменных, кроме одной, равными какому-либо значению из множества оптимизации. Фактически, экстремум поверхности в n-мерном евклидова пространстве не отыскивается, а определяется экстремум некоторого числа сечений этой поверхности гиперплоскостями параллельными координатным плоскостям. n-мерного евклидова пространства. Очевидно, точность этого .метода не. высока. Популярность его среди пользователей объясняется, видимо, наглядностью результатов и простотой исполнения. В этой связи следует отметить необходимость исследовать структуру множества оптимизации и возможность ранжирования переменных по степени их значимости для целевой функции. Выявление переменных, имеющих наибольшее влияние на функцию цели, позволяет снизить размерность задачи [21, 71]. Этот момент является решающим при использовании покоординатного метода глобальной оптимизации.
В настоящее время большое количество работ посвящено решению задачи оптимизации ХТС в условиях априорной неопределенности. [45] С одной стороны, возможно из всей совокупности переменных и параметров задачи выбрать некоторое множество и присвоить каждому параметру этой выборки интервальный тип. В дальнейшем исследования можно проводить с использованием приемов интервальной математики [49, 78], или же изучать распределение каждого параметра внутри интервала варьирования с тем, чтобы подобрать наиболее вероятное значение этого параметра. Весьма известен для решения такой задачи метод ветвей и вероятностных границ [21, 22, 43, 49]. Существо этого метода состоит в построении разбиения исходного множества оптимизации на подмножества и определение вероятности попадания глобального экстремума для каждого подмножества, с последующим отсечением тех подмножеств, для которых указанная вероятность мала. Данный метод является эвристическими его эффективность в значительной мере зависит от выбора параметров и конструкции промежуточных процедур. Наконец, независимо от особенностей задачи сохраняют свою популярность методы случайного поиска [22, 64, 73]. Эти методы привлекательны своей простотой, они хорошо исследованы теоретически, а также малочувствительны к размерности задачи и нерегулярному поведению целевой функции [21]. Модификации таких алгоритмов позволяют снизить вычислительные затраты, связанные с необходимостью большого количества вычислений значений целевой функции.
Метод Чичинадзе для глобальной оптимизации кусочно-полиномиальной функции
После построения аппроксимации поверхности отклика (2.1.13) возможно два пути решения задачи глобальной оптимизации. С одной стороны, учитывая специфику метода Чичинадзе и метода случайного поиска с направляющим конусом, возможно использование этих методов без адаптации; разбиение (2.1,9 ) будет использовано для организации расслоенной выборки. С другой стороны, представляется перспективным использование информации, полученной на этапе построения аппроксимации, то есть желательно исключить из процесса поиска те ячейки ХІ, которые заведомо не содержат глобальный экстремум. При этом необходимо предусмотреть следующие возможности: - точка глобального экстремума х может принадлежать замыканию ячейки Х(1), то есть лежать на границе соседних ячеек; - точка глобального экстремума х может принадлежать замыканию множества X; Поэтому на этапе построения приближения проводится процедура сравнения значений отклика в точках хєХІІ)Г\ХІМ и строится классификация ячеек разбиения. Критерием этой классификации является возможность принадлежности глобального экстремума данной ячейке. Ячейки для которых замыкание содержит гиперплоскость, лежащую в замыкании множества X назовем граничными. Пусть для каких-либо двух монотонных соседних ячеек выполнено Ячейки , для которых замыкание содержит гиперплоскость, лежащую в замыкании множества Х назреем граничными. Пусть для каких-либо двух монотонных соседних ячеек выполнено Если для каких-либо двух монотонных соседних ячеек Х(І) и Х(І-К) выполнено (2.1.17) или одновременно . 1.15) и (2.1.17), то эти ячейки объединяются в одну Х(,+1) и она включается в список подозрительных на экстремум. Таким образом, на первом этапе оптимизации поверхности отклика строится аппроксимация сплайнами и на основе статистического анализа этой аппроксимации классифицируются ячейки разбиения: - Подозрительные ячейки: - ячейки с квадратичной аппроксимацией - ячейки, которые являются объединением соседних, для которых выполнены неравенства (2.1.15) и (2.1.17). - Монотонные ячейки; - Граничные ячейки. В дальнейшем эта классификация широко используется для сокращения вычислительных затрат при глобальной оптимизации методом Чичинадзе и методом случайного поиска с направляющим конусом. Алгоритм глобальной оптимизации Чичинадзе по классификации, представленной в первой главе настоящей диссертации, можно отнести к эвристическим алгоритмам с преобразованием целевой функции. Идея данного преобразования состоит в следующем: вместо экстремума (для определенности, максимума) функции F(x) находится минимум функции ij/(4), определяющей величину сечения поверхности линиями уровня F(x) = 4 В случае одномерной функции F(x) эту идею иллюстрирует рисунок 1. Неоспоримым достоинством этого метода является его применимость к широкому классу целевых функций. Так, к функции F(x) не предъявляется требований гладкости, выпуклости а также, эта функция может терпеть конечное число разрывов I рода в множестве X. Для применения метода Чичинадзе достаточно, чтобы целевая функция была однозначна [70]. Преобразование функции F(x) в ц/() заключается в определении меры некоторого множества Е на котором F(xj) , при этом Fmi„ Finax. Метод у - преобразования позволяет описать закон изменения указанной меры когда f меняется от минимального до максимального значения. В процессе построения преобразования у/() образуются также функции ,(), х2(4),()» благодаря которым оказывается возможным определить не только значение глобального экстремума, но и его координаты. Величины i() х2{), () представляют собой средние значения аргументов, на которых функция F(x) , Таким образом, для данного значения получаются определенные значения v4#,) = ,, i(), 2(), ... „(), следовательно, можно построить аппроксимации функций у( И), 5е,(), Зс2(), ...xn( ). Аналитическое построение этих функций путем применения к некоторого оператора А возможно лишь в простых случаях. В [70] доказано, что () является монотонно убывающей функцией и нуль этой функции соответствует значению глобального экстремума. В алгоритме функции (//(), х{( ), хг(%), ... „(). строятся по точкам с последующей их аппроксимацией полиномами второго порядка. Значение у/(4і) = \і/іВ точке ,-, вычисляется при помощи многомерного интеграла Где д(хх...хп)- характеристическая функция, р( Ц,х)- весовая функция, позволяющая получить сглаженные функции ,(), ж2(), ... „(), аппроксимация которых не составит труда. Оценка многомерного интеграла (2.2.1) производится методом Монте-Карло, следовательно, является случайной кривой, дисперсия которой убывает с увеличением числа статистических испытаний.
Режим вычислительного эксперимента
В данной главе представлены результаты, полученные при использовании программного комплекса "Оптимум", а также разработанных в диссертации модификаций алгоритмов глобальной оптимизации поверхности отклика вычислительного эксперимента реализованных в приложении MATCAD 2000 PROFESSIONAL. Вычислительный эксперимент проводился с помощью ASPEN PLUS. Расчеты производились для двух схем процессов разделения жидкостей: - простая ректификация; - экстрактивная ректификация с боковым отводом.
В ходе вычислительного эксперимента были отобраны факторы влияния, определено множество оптимизации, построена аппроксимация функции затрат на всем множестве, различными методами определен ее минимум с помощью программного комплекса "Оптимум". После этого производилось разбиение множества оптимизации на ячейки и строилась сплайновая аппроксимация функции затрат, которая потом минимизировалась с учетом всех модификаций, предложенных в диссертации. Аппроксимация на каждой ячейке строилась при различных распределениях точек факторного пространства, применялись различные типы аппроксимирующих функций. На этапе оптимизации варьировались параметры методов. Проведен сравнительный анализ результатов.
Отдельно рассмотрен случай проведения вычислительного эксперимента по глобальной стратегии планирования, описанной во второй главе. Этот случай рассмотрен для последовательности экстракторов. Применение методов глобальной оптимизации для определения минимума затрат на процесс простой ректификации Предварительная задача оптимизации. На первом этапе целью вычислительного эксперимента было определение границ множества оптимизации X. Эксперимент проводился с варьированием трех факторов: Хг величина входного потока; Хг- весовая доля уксусной кислоты во входном потоке; Х3- флегмо вое число; Центральной точкой эксперимента являлась точка N - номер тарелки питания. Описанный ниже эксперимент проводился при следующих значениях неопределенных параметров N=2 п=40 Концентрация входного потока, то есть значения Xj и Хг , влияет на параметр В, значение которого, в свою очередь влияет на чистоту дисциллята М. Поэтому на этом этапе решения задачи оптимизации в ходе эксперимента значение В определялось в зависимости от Хг и варьировалось до тех пор, пока не выполнялось условие, то есть не обеспечивалась заданная чистота дисциллята М=0.998. В результате расчетов получались значения отклика Y — общих затрат на установку. Общие затраты вычислялись по методике где к - эмпирический коэфиициент, к=1.б, Z -эксплуатационные затраты; Z2 - приведенные капитальные затраты, Ъ\г Z2 вычислены пометодике, заложенной в моделирующий комплекс ASPEN PLUS. Далее каждый из трех факторов изменялся с интервалом д,, до тех пор, пока вычисления в ASPEN PLUS 9.0 проводились без сообщений об ошибках. Значения двух других факторов оставались постоянными. Значение Xj, при котором в результате расчетов появлялось сообщение об ошибке считалось точкой неустойчивости схемы. Для фактора Х[, х2 Д, составил 20%, для хз 30%. Значения верхней и нижней границы множества оптимизации X в натуральных единицах измерения указаны в таблице 1. Таким образом, множество оптимизации представляет собой трехмерный параллелепипед, его границы есть плоскости, параллельные координатным плоскостям. План эксперимента представляет собой совокупность двухуровневого плана полного факторного эксперимента 23 и набора из 16 случайных точек, равномерно распределенных в интервалах, указанных в таблице 1. Таблица 2 представляет собой матрицу планирования и значения отклика вычислительного эксперимента. , Целевая функция в задаче оптимизации является функцией затрат. Наилучший результат был получен в 15-ом опыте. Интуитивно следует ожидать, что глобальный минимум может лежать в окрестности 15-й, 8- й, 20-й точки. Методом Брандона на всем множестве оптимизации была получена ее аппроксимация: Заметим, что увеличение параметра N значительно повлияло на результат. Этот вывод не является неожиданным ввиду специфики алгоритма Монте-Карло, входящем в метод Чичинадзе.
Оптимизация схемы экстрактивной ректификации с боковым отводом из ректификационной колонны
Анализируя таблицу 1 и рисунок 1 можно сделать следующие выводы: - Параметром, наиболее существенно влияющим на эффективность метода является вектор-параметр А=(АьА2...Ап), который определяет количество вычислений отклика. - Количество точек, подозрительных на экстремум не позволяет вынести суждение об эффективности метода в смысле его глобальности.
В данном примере ни одна из трех траекторий, определившая точку, подозрительную на экстремум не привела к решению задачи. Решением задачи является точка, которая лежит на границе множества оптимизации. Это говорит о том, что во первых, для решения этой задачи было необходимо применять глобальные методы оптимизации, во-вторых точка найденная в работе [69] является локальным максимумом и траектория, выделенная желтым цветом, очевидно, попала в зону его притяжения.
Таким образом, предложенный метод позволяет решать глобальную задачу оптимизации ХТС, позволяет избежать накопления погрешности вычислений из-за отсутствия процедуры построения аппроксимации. 1. Рассмотренные примеры определения минимума затрат на ХТС показали эффективность двух выбранных методов глобальной оптимизации для решения подобных задач. 2. При поиске экстремума функции, построенной средствами регрессионного анализа данными методами необходимо использовать методику интервального оценивания и сравнения значений функции, предложенную в диссертации. 3. Оптимизация кусочно-линейной аппроксимации поверхности отклика с последующей классификацией ячеек на основе статистического анализа полученных аппроксимаций дает более точные результаты, чем оптимизация поверхности, аппроксимированной на всем множестве оптимизации. 4. Предложенная адаптация метода случайного поиска к отысканию экстремума кусочно-линейной поверхности отклика вычислительного эксперимента эффективна в случае простой структуры множества оптимизации; адаптация метода Чичинадзе на основе классификации ячеек эффективна для разбиения множества оптимизации на большое число ячеек. 5. Применение алгоритмической модификации случайного поиска, предложенной в работе, не только позволяет сократить количество вычислений функции, но и выявляет значимые параметры поиска и взаимозависимость диапазонов их значений. 6. Сравнительный анализ затрат двух схем разделения позволяет сделать выбор в пользу схемы экстрактивной ректификации с боковым отводом. 7. Алгоритм глобального поиска может быть применен в качестве стратегии планирования поведения вычислительного экстремального эксперимента в современных математических приложениях WINDOWS. 1. На основе построенной в работе методологической классификации делается обоснованный выбор методов глобальной оптимизации, которые могут быть применены к негладким функциям и функциям, имеющим конечное число разрывов первого рода. 2. Разработаны модификации алгоритма Чичинадзе глобальной оптимизации адаптирующие этот метод к поиску экстремума поверхности отклика вычислительного эксперимента при моделировании химико-технологических систем. Точность и надежность метода оптимизации при такой модификации зависят только от характеристик аппроксимации целевой функции. 3. Разработаны модификации алгоритма случайного поиска для глобальной оптимизации поверхности отклика которые существенно сокращают основную эвристическую характеристику эффективности алгоритма -количество вычислений целевой функции.. Разработана методика интервального сравнения, учитывающая статистическую природу целевой функции, построенной таким образом, что где J] -случайная величина, распределенная нормально с некоторыми параметрами, X є X. 4. Разработан комплекс программ, позволяющий проводить тестовые вычисления для представленных алгоритмов глобальной оптимизации а также интегрировонный с приложениями операционной системы, что позволяет проводить обработку вычислительного эксперимента. 5. Построена стратегия вычислительного эксперимента при моделировании технологических схем на основе рассмотренного алгоритма случайного поиска.
