Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ современных методов прогноза метеорологических полей атмосферы 10
11 Общие положения 10
1 2 Методы прогноза метеорологических полей 14
121 Динамические методы прогноза параметров состояния атмосферы, основанные на использовании уравнений гидродинамики 15
1 2 2 Статистические методы пространственной интерполяции и экстраполяции метеорологических полей . 18
12.3 Динамико-стохастические методы . 25
1 2 4 Синоптический метод восстановления барического поля и положения атмосферных фронтов . 33
13. Классификация атмосферных фронтов . 35
1 4 Общие подходы к синтезу адаптивных алгоритмов 41
1 5 Выводы .45
Глава 2. Статистический анализ экспериментальных данных 47
2.1 Общий анализ и систематизация экспериментальных данных 47
2 2 Обзор полигонов и измерительных станций . 49
2 3 Проверка целостности и достоверности экспериментальных данных 52
2 4 Статистические характеристики метеорологических полей полигонов 55
2.41 Проверка соответствия эмпирических распределений метеорологических величин нормальному закону распределения 55
2 4 2 Временные статистические свойства температуры и составляющих скорости ветра . . .58
2 4 3 Временные корреляционные функции температуры и ортогональных составляющих скорости ветра и их аналитическая аппроксимация 63
2 4.4 Пространственные корреляционные функции метеорологических величин в области мезомасштаба и их аналитическая аппроксимации . 66
2 5 Предварительный выбор малопараметрических моделей .68
Глава 3. Результаты сравнения потенциальной точности алгоритмов пространственного прогноза мезометеорологических полей на основе малопараметрических моделей 73
3 1 Общая методика исследования потенциальной точности алгоритмов 73
3 2 Вывод аналитического выражения для дисперсии ошибок прогноза метеовеличин для динамико-стохастическои модели в замкнутой форме 77
3 3 Вывод аналитического выражения для дисперсии ошибок прогноза метеовеличин для полиномиальной модели в замкнутой форме 81
3 4 Аналитический анализ ошибок для алгоритма с полиномиальной моделью прогноза 85
3 5 Аналитический анализ ошибок для алгоритма с динамико-стохастическои моделью прогноза 91
3 6 Выводы. ... 93
Глава 4. Разработка адаптивных алгоритмов пространственной и временной экстраполяции мезометеорологических полей 94
4.1. Постановка задачи для синтеза адаптивных алгоритмов пространственного и временного прогноза 94
4.2. Синтез адаптивного алгоритма временного прогноза ... 97
4.3. Синтез адаптивного алгоритма пространственной экстраполяции 103
4.4 Результаты исследований адаптивного алгоритма временной экстраполяции 111
4 5 Результаты исследований адаптивного алгоритма пространственной экстраполяции 114
Заключение 119
Приложение 121
Литература
- Динамические методы прогноза параметров состояния атмосферы, основанные на использовании уравнений гидродинамики
- Статистические характеристики метеорологических полей полигонов
- Вывод аналитического выражения для дисперсии ошибок прогноза метеовеличин для динамико-стохастическои модели в замкнутой форме
- Синтез адаптивного алгоритма пространственной экстраполяции
Введение к работе
Актуальность темы Для решения прикладных оперативных задач в области метеорологии, геофизики, экотогического мониторинга, управления возданным движением, при чрезвычайных ситуациях и катастрофах природного и техногенного характера, а также для ряда задач оборонного значения, существует потребность в текущей и прогностической информации о пространственно-временной структуре полей метеорологических величин. Большинство из перечисленных задач решаются в рамках ограниченных территории с горизонтальными размерами 50-500 км и высотой верхней границы 10 км. В силу объективных причин, сеть метеорологических и аэрологических станции распределена неравномерно, что не позволяет получать регулярную и достоверную измерительную информацию из каждой точки земного шара. В районах с редкой сетью синоптических и аэрологических станций, либо при работе по данным измерений локальной сети, состоящей из комплекса стационарных и мобильных измерительных пунктов, диагностика состояния атмосферы над территорией неосвещенной данными наблюдений является актуальной.
По существу, подобная диагностика представляет собой процедуру пространственной экстраполяции (интерполяции) метеорологических полей по результатам измерений в прилегающих районах. Обычно задача пространственной экстраполяции решается в рамках объективного анализа метеорологических параметров, осуществляемого на основе методов полиномиальной и силайновои аппроксимации, а также метода оптимальной интерполяции (экстраполяции). Данные методы для своей реализации предполагают привлечение и предварительную обработку значительного архивного материала соответств ющего заданному району. Это не всегда возможно, поэтому неизбежно возникают ошибки идентификации параметров прогностических моделей и, соответственно, ошибки прогноза пространственно-временной структуры полей метеорологических величин. Непрерывный рост требований к точности тек щей и прогностической информации, а также к ее оперативности, пространственному и временному разрешению, при минимальных исходных данных, привели к необходимости разработки новых более совершенных методов использующих современный математический аппарат. Іак, в последние годы интенсивное развитие получили численные методы пространственной и временной экстраполяции полей метеорологических величин, основанные на использовании аппарата фильтрации Калмана. В частности, такой подход использован в работах отечественных ученых Климовой Е.Г., Ривина А.С., Комарова B.C., Попова IO.G, зарубежных Dee D.P, Evensen G, Ide К. Привлекательность этих методов обусловлена возможностью использования хорошо разработанных математических моделей на основе дифференциальных уравнений, в том числе нелинейных и стохастических, описывающих поведение распределенных динамических объектов в пространстве и во времени. Кроме того, эти методы позволяют синтезировать рекуррентные алгоритмы, удобные для реализации на современной микропроцессорной технике.
Основным недостатком этих методов являются, значительные погрешности диагностики и прогноза полей метеорологических величин в условиях нестационарной синоптической ситуации, т.е. в случае резкого изменения погодных условий, вызванных прохождением холодного или теплого атмосферных фронтов над заданной территорией. Изменение числа и взаимного расположения метеорологических и аэрологических станций измерительной сети, также влияет на точность прогноза этими методами. Таким образом, актуальность темы диссертационной работы определяется:
-ростом требований к точности оперативной и прогностической информации о пространственно-временной структуре полей метеорологических величин, при решении задач народно-хозяйственного и оборонного значения; -необходимостью разработки алгоритмов пространственно-временного прогноза, стойчивых к резком) изменению синоптической ситуации над заданной локальной территорией, ограниченной размерами мезомасштаба;
-необходимостью разработки алгоритмов пространственно-временного прогноза полей метеороіогичсских величин, по данным измерений локальной автономной сети, меняющей численный состав и дислокацию мобильных измерительных п нктов.
Целью работы является решение задачи пространственной и временной экстраполяции метеороіоіических полей температуры и ветра, с помощью алгоритмов, адаптивных к сбоям в каналах измерений из-за отсутствия информации, технических неисправностей, резко меняющихся погодных условий, а также при изменении численного состава и размещения станций наблюдения за метеорологической обстановкой.
Задачи исследования. Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:
-анализ, систематизация и статистическая обработка многолетних аэрологических и метеороіогичсских данных по трем мезометеорологическим полигонам, относящимся к разным физико-географическим районам;
-выбор и обоснование на основе результатов статистической обработки, математических моделей эволюции метеорологических величин в пространстве и времени в рамках теории фильтрации К&пмана;
-получение аналитического решения уравнения Риккати в замкнутом виде для оценок потенциальной точности алгоритма пространственного прогноза с уточнением типа математических моделей и выбором начальных словий инициации этого шігоритма;
-разработка адаптивного аігоритма временной экстраполяции метеорологических величин для работы в словиях сбоев в каналах измерения и при резком изменении погодных условий в пунктах наблюдения; -разработка адаптивною алгоритма пространственной экстраполяции метеорологических величин, обеспечивающего исправную работ) системы при изменении конфигурации сети наблюдений в пределах мезомасштабного полигона.
Методы исследования Анализ и обработка исходных аэрологических и метеорологических данных проводилась с помощью методов математической статистики. При синтезе алгоритмов пространственной и временной экстраполяции испопьзованы методы оптимальною оценивания. Исследование точности синтезированных алгоритмов выполнено с помощью методов математического моделирования. Для разработки адаптивных алгоритмов использовался последовательный анализ теории решения.
Научная новизна результатов диссертационной работы:
-на основе реальных аэрологических и синоптических данных предложен атгоритм оперативного выявления прохождения атмосферного фронта;
-разработан адаптивный апгоритм временной экстраполяции метеорологических величин, позволяющий оперативно учитывать изменение погодных условии, технические сбои и отсутствие информации в каналах измерения;
-разработан адаптивный алгоритм пространственной экстраполяции мезометеорологических полей, позволяющий оперативно учитывать изменение дислокации и количественный состав пунктов локальной измерительной сети;
-получены замкнутые аналитические выражения для расчета матрицы ковариаций ошибок оценивания, позволяющие оценить потенциальную точность экстраполяции метеорологических величин в переходном и установившемся режимах.
Практическая значимость. Предложенные в диссертации методы и алгоритмы могут быть использованы для создания автоматизированных систем атмосферно-экологического мониторинга воздушного пространства над локальными территориями, использующих комплекс стационарных и мобильных измерительных пунктов, а также дпя создания оперативных систем геофизического обеспечения, позволяющих производить прогноз метеорологических нолей температуры, ветра
На защиту выносятся:
—предложенный алгоритм выявления атмосферного фронта позволяет оперативно оценить резкое изменение погодных условий в каждой отдельной станции набиодения;
—разработанный адаптивный алгоритм временной экстраполяции метеорологических величин обеспечивает нечувствительность этих алгоритмов к резким изменениям внешних условий (отсутствию информации, техническим неисправностям в каналах наблюдения и резко меняющимся погодным условиям);
—разработанный адаптивный алгоритм пространственной экстраполяции позволяет в условиях изменяющейся конфигурации сети наблюдений восстанавливать метеорологические поля на территориях неосвещенных наблюдениями в пределах мезомасштабного полигона;
—полученное аналитическое решение уравнения Риккати в замкнутой форме дает возможность оценить потенциальную точность в переходных и установившихся режимах алгоритмов экстраполяции на основе фильтра Калмана и подобрать начальные условий инициации этого апгоритма.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:
1. Рабочей гр ппе «Аэрозоли Сибири».- I омск, 2001.
2. Всероссийской научно-практической конференции, посвященной 40-летию Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники «Проблемы современной радиоэлектроники и систем управления».- Томск, 2002.
3. IX Joint International Symposium «Atmospheric and Ocean Optics. Atmospheric Physics».- Tomsk, 2-5 July 2002. 4. X Joint International Symposium «Atmospheric and Ocean Optics Atmospheric Ph sics».- Tomsk, 24-28 June 2003.
5. V Сибирском Совещании по климато-экологическому мониторингу.-Томск, 2003.
6. Международной конференции «Окр жающая среда и экология Сибири, Дальнего Востока и Арктики».- Томск, EESFKA, 27-31 октября 2003.
7. Всероссийской научной конференции «Современные глобальные и региональные изменения геосистем.-Казань, 18-21 октября 2004.
8. XII International Symposium on Aconstic Remote Sensing and Associated Iechnigues of the Atmosphere and Ocean. -Cambridge, 12-16 July 2004.
9. XII Joint International Symposium «Atmospheric and Ocean Optics. Atmospheric Physics».-! omsk, 27-30 Juny 2005.
10. XIII Joint International Symposium «Atmospheric and Ocean Optics. Atmospheric Physics».omsk, 1-6 Juny 2006.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 31 (совместных с соавторами) работ, в том числе 10 докладов и 14 статей в ж риалах, рекомендованных ВАК.
Личный вклад автора. Выносимые на защиту результаты работы получены лично автором. В работах, опубликованных в соавторстве, автором предложены методические основы, проведены аналитические расчеты и попучены результаты.
Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы использованы в научно-исследовательской деятельности СПП СО РАН при разработке автоматизированной метеорологической системы для оперативной обработки аэрологической информации, диагностики и прогноза параметров состояния атмосферы в области мезомасштаба. Результаты диссертационной работ внедрены в ПИР «Цирконий», выполненной по заказу Секции прикладных проблем РАН.
Динамические методы прогноза параметров состояния атмосферы, основанные на использовании уравнений гидродинамики
В рамках этого подхода используют детерминированные теоретические, либо детерминированные полуэмпирические модели. В основу построения этих моделей положено предположение о том, что состояние атмосферы описывается неслучайными полями термодинамических параметров, которые связаны между собой и с «внешними» параметрами соотношениями гидродинамики и термодинамики атмосферы. Согласно [43,65,71] гидродинамическая модель, разработанная в рамках этого подхода, представляет собой совокупность уравнении гидродинамики и термодинамики атмосферы, записанных в том или ином приближении, с соответствующими краевыми условиями. Модель включает в себя совокупность соотношений, описывающих взаимосвязь континуальных полей, оператор проектирования в конечномерное пространство и алгоритмы численного решения, что обеспечивает возможность численной реализации модели на ЭВМ.
Фигурирующие в равнениях модели функции, условно делятся на функции состояния и внешние параметры. Под функциями состояния понимают функции, описывающие строение и эвотюцию атмосферы как физической системы в рамках решаемой прикладной задачи. Иод внешними параметрами понимают ф)нкции, относительно которых соответ ствующая система уравнений незамкнута. Внешние параметры модели задаются исходя из некоторых, эмпирических соображений с использованием различного рода параметризации. В связи с этим считают, что гидродинамические модели являются, полуэмпирическими.
Использование гидродинамического метода при решении задачи пространственного прогноза наталкивается на значительные трудности, обусловленные объективными обстоятельствами. Формирование и эволюция нолей метеороіогических параметров в тропосфере происходит под влиянием огромного числа факторов, что приводит к весьма нерегулярной структуре этих полей. К указанным факторам следует, в первую очередь, отнести обмен теплом и импульсом с подстилающей поверхностью, фазовые переходы воды и нелинейное взаимодействие волн. Получение прогностических параметров этих факторов представляет собой сложную задачу. В связи с этим, возможности параметрического прогноза состояния тропосферы чрезвычайно ограничены и единственно разумным является экстраполяция метеорологических полей в пространстве в узлы сетки.
Для экстраполяции необходимо задание начальных условий, т.е. исходных полей параметров атмосферы. Ввиду отсутствия измерительной информации над рассматриваемыми районами, задание начальных условий является невозможным. Кроме того, при решении задачи гидродинамического моделирования мезомасштабных полей существует проблема корректного задания граничных условий на боковых открытых границах. Как правило, для моделей мезомасштабных процессов граничные условия задают с помощью телескопизации глобальных моделей (полусферных или на всей сфере). При решении рассматриваемой задачи необходимо учитывать физическую детерминированность тропосферных процессов, связанную с наличием во всей толще тропосферы среднезонального западно-восточного переноса. Этот перенос обусловливает следующее положение вещей: задача экстраполяции полей на территорию, расположенную восточнее территории, где имеются результаты набпюдении за состоянием атмосферы, может быть решена на пространственно-временных интервалах гидродинамической предсказуемости.
В работах [6, 36,37, 60, 62] рассматривается возможность применения в качестве прогностической модели полных равнений гидродинамики и аппарата фильтрации Кал-мана. Однако проблема вычислительных ресурсов, связанная с высоким порядком матриц ковариаций ошибок оценивания, не позволяет реализовать такой подход для оперативного прогноза в реальном масштабе времени. Существует нескопько вариантов решения этой проблемы: аналитическое описание поведения ковариаций ошибок прогноза со временем [64], применение метода Монте-Карло (ансамбіевьій фильтр Калмана [13]), а также использование упрощенных моделей для расчета ковариаций ошибок прогноза [59]. Алгоритм прогноза, использующий фильтр Калмана, в котором используются упрощенные модели для расчета матриц ковариаций, называют субоптимальными. В [64] показано, что непосредственное испопьзование системы дифференциальных уравнений для бароклин-ной адиабатической модели атмосферы при решении задачи пространственного прогноза наталкивается на значительные трудности. При синтезе субоптимального алгоритма фильтра Калмана были выполнены сложные предварительные преобразования и упрощения исходной динамической системы В [6, 64] после ряда ограничений, пропюстическая модель атмосферы представлена линейной динамической системой следующего вида C = F(t)-X(t) + G(t)Q(t) (1.6) tit где X - вектор прогнозируемых метеорологических величин, F(f) и G(/) - конечно-разностные аналоги системы полных гидродинамических уравнений переноса и адвекции. Специальные прощения и ограничения в исходных динамических моделях при синтезе с бонтималыюго фильтра Калмана, неизбежно вносят дополнительные ошибки в конечные результаты пространственного и временного прогноз метеорологических полей.
Статистические характеристики метеорологических полей полигонов
В работе проведен анализ априорных вероятностей исправной работы каналов измерений, а также определены доп стимые пороговые значения для принятия решений в различных сит ациях. Рассмотрены три сл чая: 1) наличие или отсутствие информации в каналах измерения; 2) наличия иш отс}іствие аномальных выбросов в измерениях, 3) наличие или отсутствие атмосферного фронта в пределах выбранного мезомасштабного полигона.
В первом случае для каждой станции по всей совокупности архивных аэрологических данных (п.2.1) были сформированы массивы наблюдении и определено фактическое число попученных стандартных телеграмм (КН-04 и КН-01) за фиксированный период времени. Это позволило оценить вероятности исправной работы q и вероятность отказа в канале измерения (І-q). Массивы данных были сформированы для двух центральных месяцев: января и июля.
В табл. 2.2 приведены априорные вероятности исправной работы станций для полигонов №1, №2 и Ш. Средние значения априорных вероятностей исправной работы каналов измерения для полигонов №1, №2, №3 составили соответственно qi=0,72, q2—0,66, Яз=0,64 - зимой, и qi-0,90, q2-0,81, цз=0,63 -летом. Предварительный анализ метеорологических данных на наличие пропусков показал, что априорная вероятность исправной работы, как в зимний период, так и летний не превышает 0.89.
Во втором случае, иоскоіьку в данных наблюдении содержатся неоднородности (аномальные ошибки), возникающие за счет брака, в процессе переписки или занесении данных на технический носитель, при дешифрировании стандартных метеорологических телеграмм - это приводит к увеличению ошибок и к нарушению функционирования алгоритмов прогноза. Одним из способов выявления аномальных ошибок является анализ полученных в процессе расчета статистических характеристик или же контроль данных наблюдения. Для проведения отбраковки аномальных значений при контроле используется, как принято в метеорологии [80], разность между проверяемым значением и климатическим (средним арифметическим) с последующим ее сравнением по модулю с величиной Na, где а- дисперсия взятой метеорологической величины. При этом, исходя из «классической» теории проверки гипотез, принято полагать Л-3. Данное N и было использовано в нашем случае, что позволило выявить ошибки, которые были допущены при подютовке и передаче (по каналам связи) метеорологической и аэрологической информации, поступавшей в базу данных. Результаты этой работы сведены в таблицу 2.3.
Для выявленных аномальных измерений рассчитаны априорные вероятности их появления (l-q2)=0,19 для зимы, (l-q2)=0,13 для лета, (l-q2)-0,12 для весны и (l-q2)=0,22 для осени. Из табл. 2.3 видно, что превышение доп стимого порога Зо аномальными ошибками, обусловленными сбоями в каналах связи и при дешифрировании радиозондовых наблюдении, может достигать величины 1,7С для температуры и 2.7м/с для зональной составпяющей ветра.
Значения величины о для каждой станции приведены в табл.2.5 п.2.4.1. Ошибки достаточно велики, и для того чтобы снизить их влияние необходимо в алгоритме прогноза метеорологических полей вводить адаптивную обработку.
В третьем случае, для выявления атмосферного фронта были использованы изменения температуры, давления, скорости и направления ветра характерные для типовых ситуаций, рассмотренных в (п. 1.3). Поскольку прогноз должен проводиться в оперативном режиме, то был предложен алгоритм выявления атмосферного фронта как сопоставление разности значений (приращения) давления, температуры и направления ветра в два последовательных срока в моменты времени (к) и (к+\) в каждой отдельной станции наблюдения заданного полигона. В соответствии с Рис. 1.1, изменение давления и температуры происходит монотонно и характерный признак, по которому можно принять решение о прохождении атмосферного фронта, отсутствует. Проведенные исследования по приращениям температуры показывают, что априорная вероятность присутствия атмосферного фронта qAo." 0.55, такие же результаты получены и при исследовании приращений давления.
Исследования показали также, что в качестве явного признака прохождения атмосферного фронта следует использовать сопутств ющее резкое изменение направления ветра (рис. 1.1, 1.2). Для метеорологических измерений по каждой станции были рассчитаны априорные вероятности обнаружения и найдено пороговое значение, относительно которого принимается решение об отсутствии или наличии фронта. Проверка корректности выбранного алгориіма проводилась по синоптическим картам.
В данной работе для подтверждения статистической гипотезы о нормальности анализируемых эмпирических распределении геопотенциала, температуры, зональной и меридиональной составляющих скорости ветра был использован комплексный подход, основанный на применении коэффициентов асимметрии (А) и эксцесса (Е), а также числовых значений критерия согласия Колмогорова - Смирнова. Соответствующие методики представлены в [81,83,85].
Вывод аналитического выражения для дисперсии ошибок прогноза метеовеличин для динамико-стохастическои модели в замкнутой форме
Для линейного непрерывного фильтра Калмана расчет матрицы ковариаций ошибок оценивания можно выполнить априори, с помощью решения матричного дифференциального уравнения Риккати [63, 67,68, 93] = F(0-P(/) + P(/)-FT(/) + G(/).Rn(/).GT(/)-P(0-HT(/).RF",(0-H(0-P(/), (3.I) at где F(/) - переходная матрица состояний; Н(/) - переходная матрица наблюдений; G(/) переходная матрица шумов состояний; Rn(/)- матрица ковариаций шумов состояний; RE(/)- матрица ковариаций ш мов наблюдений. Решением дифференциального уравнения (3.1) является результирующая матрица Р(0 размерностью (п п). Возможно как аналитическое, так и численное решение данного уравнения (с помощью ЭВМ). При аналитическом решении выражение, полученное для Р(/), позволяет рассчитать дисперсию ошибки оценивания для любого произвольного момента времени, и для F(/-JO) При этом, априори можно определить потенциальн ю точность синтезированного алгоритма, как в переходном, так и в становившемся режиме работы.
Для аналитического решения (3.1) необходимо знать матрицы F(/) и Н(/) -определяющие стр ктур фильтра Калмана, Rfi(0 и Ri(t) - определяющие интенсивность шумов состояния и наблюдения, а также задать начальное значение матрицы дисперсии ошибок оценивания Р(0). Один из возможных способов аналитического решения основан на замене (3.1) системой линейных дифференциальных уравнений, эквивалентных линейному матричному дифференциальном) уравнению с матрицей размерностью (2и х 2и). Указанный переход подробно описан в J63,67,68]. Замена выполняется путем введения вспомогательных векторов уі и у:, дов іетворяющих равнениям ъ(о = тч2(о, (3.2) L = F.Yl+G R0.GT.y„ (3.3) f L-oT.ij .u.v -Li/r H -R -H-y. + F -y,. (3.4) at Подставляя выражение (3.2) a (3.3), а затем (3.4) получим [p-F-P-P-HI+P-IIT-Rn ,.H-P-G-Rl. GT]y2(/) = 0, (3.5) где P(f) =—— -СИМВ01 дифференцирования P(/) по времени. dt В уравнениях (3.3) и (3.4) выразим матрицу ковариаций ошибок оценивания Р(/) через ее начальное значение и вспомогательную переходную матрицу С(/). П сть С(/) устанавливает следующ ю связь: У,(0)1 ( (3-6) УМ у2(о) и представляет собой біочн іо матриц) размерностью (2и 2«) эпемепты которой, являются матрицы размерностью (п п), т.е. С(/) = Сп(0 CJt) CJt) CJt, На основании (3.6) запишем yi(t) = Cu(t)-yl(0) + Cl2(t)y2(0); У2(О = С21(/).у,(0) + С22(/)-у2(0). Отсюда следует, что с„(0-у,(о)+с12(/).у2(о)=р(0-[с21(/) Yi(0)+C22(0 у2(0)]. (3.7) Умножая обе части равенства (3.7) на у2 (0) и учитывая, что Уі(0)у2" (0)=Р(0), после преобразования получаем замкнутое решение)равнения Риккати в матричном виде: Р( )=[С„(/) Но) с„(/)1 [с21(/) Р(О)+С2(0Г (3.8) Для определения блочной матрицы C(t) использ)ется выражение C(t)= CJt) CJt) CJt) CJt, {[s-I-A]1} (3.9) при условии, что А = F G Ко GT нт К Н -F1 (ЗЛО) где " - операция обратного преобразования Лапласа; I - единичная матрица (2п 2«), s- параметр преобразования Лапласа, А - вспомогательная біочная матрица.
Вид элементов блочной матрицы А зависит от выбранной математической модели, описываемых )равнениями модели состояний (3.11) и модели наблюдений (3.12): = F(X,/)4G(/).n(/) dt (3.11) где Хт(/) = i, :, з, 4,.... л - вектор состояний, представляет собой вектор-столбец размерностью (ихі) и включающий в себя неизвестные и подлежащие оцениванию параметры динамической системы; I - здесь и далее символ транспонирования; / - текущее время; F (X,t)=\Fx(X,t),r2(X,f),... Fn(X,/)]-вектор-функция размерностью (ихі), описывающая изменчивость переменных состояния в пространстве и времени; ftT(/) = \о)\, (02, an, (0\,—- о)т\ - вектор случайных возмущений системы (порождающие шумы, шумы состояния) размерностью (нгхі); G(/) - переходная матрица шумов состояний размерностью (их/и), определяющая вклад шумов 2(/) в Х(/). И модель для непрерывных измерений: Z(/) = h(X,/) + E(/), (3.12) где ZT(/) = z/, Z2, zj, Z4, zs\ - вектор фактических измерений размерностьіо(ухі); hT(X,/)= Л/(Х,/),Л/(Х,/),Л/(Х,/),...,Л (Х,/) - переходная вектор-функция наблюдений, определяющая функциональную связь между истинными значениями переменных состояния и измерительными каналами системы; Ет(/) = \єі, Є2, С}, є\,..., ss\ - вектор ошибок измерений (шум измерений).
Замкнутое выражение для уравнения Риккати (3.8) позволяет рассчитать значения элементов матрицы ковариаций ошибок оценивания для произвольного момента времени. При этом диагональные элементы V(t) по определению являются дисперсиями ошибок оценивания вектора состояния. Таким образом, можно проследить эволюцию сходимости алгоритма во времени и определить потенциальную точность оценки элементов вектора состояния.
Вывод аналитического выражения для дисперсии ошибок прогноза метеовеличин для динамико-стохастической модели в замкнутой форме
В качестве пропюстической динамико-стохастической модели использована система дифференциальных уравнений, описывающих поведение случайного процесса в пространстве и во времени, и соответствующая дискретной модели (2.26): { = -а-Хь (i- b-/?)W); at = -«-AV(l-r25./?)W/); clX dt =-а-х5-(і-/з5 /?)W); (3.11) at t = -a. 5.(l-r4l fi) + a № at C— = -a-Xb tWj(f), . at где \X\{t), Xi(t), Л з(/), Xi(t), Xs(t)\T- \(t) - вектор состояния, элементами которого являются истинные значения однородного центрированного попя \ в точках с координатами х, и у, (;= 1, 2, 3,4, 5) (причем Xs(t) - значение метеовеличины в точке (xs.ys), недоступной для измерений); rsi=[(xs-x,)2+(xs-x,)2] - расстояние между нрогнозир емои точкой с координатами (Х},уз) и точками измерении /=1,2, 3,4; 1= io\(t), o)2(t), (0}(t), o)i(t), (o$(t) IT - вектор-столбец шумов состояния, обладающий свойствами (1.19),(1.20).
Для вывода аналитическою выражения дисперсии ошибок прогноза взяты четыре станций наблюдения (/= 1,2,3,4) и одна точка прогноза /= 5. Система дифференциальных уравнений вида (3.11) задана в предположении, что временные и пространственные корреляционные функции искомой метеорологической величины \ в области мезомасштабного полигона могут быть аппроксимированы (с малой погрешностью) экспоненциальными выражениями вида (см. п.2.4):
Синтез адаптивного алгоритма пространственной экстраполяции
Как было показано в главе 1, алгоритмы пространственной интерпопяции [88-90] были разработаны в предположении, что данные набчюдений для заданной конфиг рации локальной измерительной сети присутств ют всегда. В реальных условиях пункты измерения (станции), могут выходить из строя по техническим причинам, выиочнять ппановые отключения, перемещаться на иов ю позицию и т.д. Под текущей конфигурацией локальной измерительной сети б)дем понимать количество и пространственное распопожение станций в рамках мезомаспітабного иолшона. В настоящей работе для решения задачи пространственной экстраполяции (интерполяции) метеорологического поля в обпасти ме-зомасштаба предлагается упрощенный адаптивный алгоритм, позволяющий выполнять пространственный прогноз в условиях динамично меняющейся конфигурации измерительной сети и при резких изменениях синоптической ситуации над частью мезометеоро-логического полигона.
Сразу отметим, что при синтезе алгоритма в качестве Х{к)будет использоваться вектор центрированных измерений, описывающих пространственную изменчивость поля метеорологической величины в фиксированный момент времени. Рассмотрим процедуру центрирования [86] бопее подробно.
Значения исходных измерений Z, (к) включают регулярную и флуктуационную составляющую поля. Для )странения регулярного тренда, необходимо провести расщепление исходных измерений на регулярн ю и фпуктуационную составляющие. П сть в /-х точках заданного мезомасштабного полигона (/=1, 2, ... п-\) с координатами (х„у,) проводятся измерения метеорологического поля Z,\k). Требуется по данным этих измерении определить значений поля Z,\k) в некоторой точке с координатами {xpyj), находящейся на неосвещенной метеорологической информацией территории того же мезометеорологиче ского полигона. С этой целью представим поле в виде с ммы регулярной Z(k) и фл к т ационной Z(k) составляющих
Таким образом, смена конфиг рации измерительной сети, в части смены расположения станций, читывается простой заменой элементов матрицы Щк).
Дальнейший синтез алгоритма пространственного прогноза предполагает подста-новк Ф(к) и Щк) в общие уравнения следующего вида: Х( Л)=Х( А-1)+/ (1А)-К,(А) Л(Л) [z( )-H(A).X(AA-l)], (4.29) S(k) = Z(k\k-\)-ZT(k\k-\), (4.30) К,(А) = Р(Л:Л-1)ІІТ( ) [Щк)1 (к\к-\)Пт(к) + КЕ(к)Г1; (4.31) V(k\k) = P(k\k-l)-p(l\k)Kl(k)ll(k)P(k\k-\) + + p(l\k)[l-p(\\k))Kl(k)S(k)KTl(k), (4.32) где X(k I к) = \X\(k), X2(k),..., Хь(к)\- оценка вектора состояния на момент времени к; Х(к к -1) = Х(к -11 к -1)- вектор предсказанных оценок на момент времени к по данным на шаге (к-\); К()-матрица весовых коэффициентов размерностью 6х(и-1); Цк) диагональная матрица, учитывающая наличие атмосферного фронта в точках расположения измерительных станций. Задаем начальные словия для инициации алгоритма: Х(0) = 0; Р(010) = 10 I; R„(A) = 0. Матрица ковариации ошибок наблюдений Rz{k)является диагональной размерностью (и-І)х(и-І). Полагая, что наблюдения равноточны, можно записать diagRt (к) = jaf2 а) ... а2\.
В матричном уравнении фильтрации (4.29) для адаптивного алгоритма используется вспомогательная диагональная матрица /?(1А:), диагональ которой состоит из апостериорных вероятностей исправной работы каналов измерения „ л m - J уп) ч ул (л 22) f\\kyct \k)vfl\k)\\-if\k)\ 1 ЛЧ ) f{»tl\.„b)tl\ , fW(l\ 1_„0 /і-ч V-JJ) где /і ]{к)- іпотность распределения вероятностей измерений в канале ; при словии, чю у(к)-\; fl \k)- плотность распределения вероятностей измерении в канале / при словии, что Y(A)-0; /" - априорная вероятность исправной работы канала измерений /. Распределение ff\k) и /0" (А:) считаем нормальным и для /0" () задаем значение о» 1.
Методика выявления атмосферного фронта по измерениям синоптических станций заданного мезомасштабного полигона основана на сопоставлении разности значений направления ветра в два последовательных срока в каждой точке попигона. Решение о факте изменения синоптической ситуации для каждой станции принимается при превышении вычисленной разности некоторого заданного порога (4.18). В предположении, что в рамках рассматриваемого мезомасштабного полигона возможно натичие только одного атмосферного фронта, след ет разбить все станции на две группы, расположенные соответственно, до и после линии фронта. Определяется станция, ближайшая к точке восстановпе-ния. После этого, дальнейшая оценка метеорологических величин осуществляется по данным измерений группы, в которую входит ближайшая станция.
В уравнении (4.29) реализация данной методики осуществляется через диагональную матрицу Щ). Элементы J(k) определяют принятое решение об использовании (1) или не использовании (0) измерений станции / при формировании оценок Х(к \ к). Т.е. для выделенной группы станции, включающей ближайшую, J„ l. Для др гой группы Ju=0. Очевидно, что при отсутствии атмосферных фронтов в пределах мезомасштабного полигона ,](к) = I. Непосредственно в уравнении фильтрации эта матрица множается на вектор невязок измерений Z(k\k-\) = [z(k)-H(k)-X(k\k-l)\ (4.34) 108 что фактически приводит к исключению из обработки измерений от станции или группы станций, расположенных по др г ю сторон) линии атмосферного фронта. Іаким образом, при выполнении математических операций (4.29) компоненты невязки измерений соответствующие аномальным, отс тств ющим, либо измерениям, выполненным при прохождении фронта, исключаются из формирования оценки Х(к \ к), либо использ ются с меньшим весом.
Расчет весовых коэффициентов К(к)и матрицы ковариации ошибок оценивания Р(к\к) выполняется по рекуррентным формулам (4.29)-(4.32). При этом, в отличие от классического фильтра Калмана, адаптивный апгоритм является нелинейным, поскольку К(к) и Р(к\к) зависят отр(\\к) и, следовательно, оттекущих измерений.
Окончательный расчет экстраполир емого значения метеорологической величины в точке \ j,yj) и момент времени к выпопняется по формуле 2](к) = Цк) + Х&ЬХг{Ь) , Ш yj + Ш х1У,+Хь{к)-х; + Хь{к) у,2. (4.35) Выражение (4.35) является итоговым в цепи вычислений, определяющих работу адаптивного алгоритма пространственной экстраполяции и оценку метеорологической величины в одной точке мезометеорологического полигона. Задавая координаты точки прогноза с некоторым шагом и повторяя процедуру вычисления, можно провести объективный анализ метеорологических полей над заданной локальной территорией. Использование вместо текущих измерений, прогностических оценок (4.15), сформированных алгоритмами временного прогноза для каждой станции, позволяет сформировать пространственно-временной прогноз для метеорологических полей над заданной территорией.
