Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 32
1.1 Нелокальная разрешимость невырожденного полулинейного эволюционного уравнения 32
1.2 Относительные резольвенты 33
1.3 Относительно р-радиальные операторы 34
1.4 Относительно сг-ограниченные операторы 38
2 Локальная разрешимость полулинейных моделей вырожденных эволюционных процессов 42
2.1 Полулинейное невырожденное эволюционное уравнение 42
2.2 Локальная разрешимость некоторых классов вырожденных полулинейных моделей 44
2.3 Модифицированные модели фильтрации в трещиновато-пористой среде 48
2.4 Модели обобщенного гидродинамического типа 54
2.5 Сильно вырожденная модель движения жидкости Кельвина- Фойгта з
3 Нелокальная разрешимость полулинейных моделей вырожденных эволюционных процессов 67
3.1 Нелокальная разрешимость в смысле классического решения 67
3.2 Нелокальная разрешимость в смысле сильного решения 71
3.3 Модель эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости 74
3.4 Один пример нелинейной модели с сильно (L, 1)-радиальным оператором 75
3.5 Квазистационарная модель фазовых переходов первого рода 81
4 Численное решение модели Осколкова 84
4.1 Разностная схема модели Осколкова 84
4.2 Линеаризованная модель 88
4.3 Порядок аппроксимации численного метода 91
4.4 Устойчивость разностной схемы 95
4.5 Численный эксперимент 100
4.6 Алгоритм и программная реализация численного метода .102
Список обозначений и соглашений 106
Список литературы 107
Список иллюстративного материала 123
- Относительные резольвенты
- Локальная разрешимость некоторых классов вырожденных полулинейных моделей
- Нелокальная разрешимость в смысле сильного решения
- Порядок аппроксимации численного метода
Относительные резольвенты
Для построения численного решения системы уравнений Осколкова в двумерном случае используется метод конечных разностей на равномерной сетке. После аппроксимации дифференциальной задачи последовательно моделируются три неявных разностных схемы. Первая моделируемая схема вычисляет значения давления по известным значениям скоростей на одном временном слое. Тем самым преодолевается проблема отсутствия производной давления по времени в системе. Оставшиеся разностные схемы вычисляют значения скоростей на следующем временном слое по известным значениям скорости и давления на предыдущем временном слое.
Программная часть работы реализована на языке программирования С# в виде объектно-модульного программного комплекса. Использованы свободные библиотеки для построения 2D, 3D графиков, для работы с матрицами.
Положения, выносимые на защиту 1. Найдены условия локальной и нелокальной однозначной разрешимости начальных задач для некоторых классов полулинейных математических моделей вырожденных эволюционных процессов при различных ограничениях на нелинейный оператор. 2. Общие результаты использованы при исследовании разрешимости начально-краевых задач для конкретных нелинейных моделей вырожденных эволюционных процессов: моделей вязкоупругих жидкостей, квазистационарной модели фазового поля, модели свободной поверхности фильтрующейся жидкости и др. 3. Разработаны разностные схемы для численного исследования модели Осколкова жидкости Кельвина—Фойгта. Для таких схем доказаны ап-проксимационная сходимость и устойчивость, на их основе разработаны алгоритмы поиска численных решений соответствующих начально-краевых задач. 4. Построен комплекс проблемно-ориентированных программ «Численное решение системы уравнений Осколкова», позволяющий осуществлять численный поиск решений начально-краевых задач для системы при различных значениях параметров и начальных данных. Степень достоверности и апробация результатов Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью методов исследования и корректным исиользованиєм математического аппарата, адекватностью рассматриваемых моделей.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. В. Е. Федоров), на конференциях: Международная конференция, посвященная столетию со дня рождения С. Л. Соболева, «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, 2008 г.; Международная конференция «Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна», Воронежский государственный университет, г. Воронеж, 2010 г.; IX международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов», Челябинский государственный университет, г. Миасс, оз. Тургояк, 2010 г.; Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения академика Н. Н. Яненко, «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», Институт вычислительных технологий СО РАН, Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН г. Новосибирск, 2011 г.; Международная конференция «Физико-математические науки и образование», Магнитогорский государственный университет, г. Магнитогорск, 2012 г.; Международная конференция «Нелинейные уравнения и комплексный анализ», Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН, оз. Банное, Башкортостан, 2013 г.; Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», Белгородский государственный университет, г. Белгород, 2013 г.
Все результаты диссертации получены лично автором. В совместных работах с В. Е. Фёдоровым научному руководителю принадлежат постановка задачи и общее руководство. В совместной статье с М. В. Плехановой и Е. А. Омельченко автор осуществлял техническую часть работы, связанную с написанием программы на языке программирования C=ff. Краткое содержание диссертации
Диссертационная работа содержит введение, четыре главы, список обозначений и соглашений, список литературы и приложение, содержащее исходный код программы. Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь личные пристрастия автора.
Во введение речь идет об актуальности темы исследования, ее степени разработанности, о целях и задачах работы, ее научной новизне, о методологии и методах исследования. Также формулируются положения выносимые на защиту, степень достоверности и апробация результатов.
Во первой главе собраны факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. Приведены основные факты о нелокальной разрешимости невырожденных полулинейных уравнений, об относительных резольвенетах, сильно (Ь,р)-радиальных и (L, -ограниченных операторах и соответствующих им сильно непрерывных полугруппах и аналитических группах операторов с ядрами, доказанные ранее в работах Г. А. Свиридюка и В. Е. Федорова (см., например, [94]).
Локальная разрешимость некоторых классов вырожденных полулинейных моделей
Доказательство. При проводимых в доказательстве предыдущей теоремы рассуждениях для рассматриваемой в данном случае задачи Коши появится дополнительного условие w(to) = (I — Р)щ: которое и принимает вид (2.2.9).
Это начально-краевая задача для модифицированного уравнения Баренблат-та—Желтова—Кочиной, моделирующего динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещиновато-пористой среде. Здесь А и а — вещественные параметры, характеризующие среду, to Є J.
Редуцируем задачу (2.3.1)-(2.3.3) к задаче (2.2.1), (2.2.6). Положим для этого Я={иє Н2{П) : и{х) = 0, х Є дП}, $ = Ь2{П), L = А - А, М = аА. Пусть А : Ь2(П) - L2(Q), Аи = Аи, domA = {и Є Я2( ) : и(х) = О, ж Є 9Г2}. Обозначим через {(fk} множество собственных функций оператора А: соответствующих его собственным значениям {А/;}, занумерованным по невозрастанию с учетом их кратности. Известно [94], что в данном случае при аХ т 0 оператор М является (L, 0)-огранпченным, при этом it0 = $ = span{(/?& : Xk = A}, it1 и 1 есть замыкания линеала span{(/?& : Xk X} в норме пространства H2(Q) или L2(Q) соответственно.
Таким образом, мы имеем нелинейное отображение N : J х H2(Q) — 2(Г2), действующее по правилу N(t,u)(x) = (А — A)g(t}x}u(x)). Очевидно, что imTV С imL = 1.
Возьмем пару (to, г о) Є J х H2(Q) и некоторую ее окрестность О = [to — , to + ] х Ss(uo) С J х H2(Q). Для всех (ti,iti), ( 2,1 2) О получим в силу непрерывности по t функции g и всех ее производных до третьего порядка
Cs для всех и Є Ss(uo). Из полученного неравенства следует непрерывность оператора N по совокупности переменных (t,u). Взяв в этом равенстве t\ = 2, получим локальную липшицевость по и оператора N. Таким образом, к задаче (2.3.1)-(2.3.3) можно применить теорему 2.2.4 о локальной разрешимости.
Доказательство. Проверим выполнение условий теоремы 2.2.2 на оператор N, получаемый в результате редукции этой задачи к задаче (2.2.1), (2.2.6). Оператор действует по правилу N(t,u)(x) = g(t,x, (А — А)и(х)). При п 4 имеем непрерывные вложения H2(Q) в C(Q) и HA(Q) в W (Q). Используя их и рассуждая подобно тому, как это сделано для предыдущей задачи, при t Є J, и Є НА(0,) получим
Отметим, что один из аргументов функции д и ее производных — непрерывная функция (Л — А)и Є H2(Q). Таким образом, мы имеем нелинейное отображение N : J х Н\П) -+ Н2(П). При данном выборе операторов L и М проектор Р действует по правилу Ри = Y1 (м5 Рк) к, поэтому при любых t Є J, и Є H4(Q) Непрерывность no t оператора N доказывается аналогично тому, как это сделано для предыдущей задачи. Обозначим для удобства Л = А — А. Возьмем пару (to, г о) Є J х H4(Q) и некоторую ее окрестность [to — 5,to + 5] х Ss(uo) = О С J х H4(Q), тогда для всех (ti,Mi), ( 2,1 2) Є О выполняется для всех и Є Ss(uo). Таким образом, доказана дифференцируемость по Фреше оператора N. Следовательно, для задачи (2.3.2)-(2.3.4) при р = 0 выполняются все условия теоремы 2.2.2 о локальной разрешимости.
Модели обобщенного гидродинамического типа При математическом моделировании в механике сплошных сред, например в гидродинамике, часто встречаются системы уравнений, содержащие уравнение несжимаемости V v = 0 и векторные уравнения, частью которых уравнений будем называть системами гидродинамического типа. В данном параграфе с помощью полученных в предыдущем разделе общих теорем исследуем на однозначную локальную разрешимость начально-краевые задачи для одного класса систем уравнений, которые назовем системами обобщенного гидродинамического типа. Введем обозначения
Нелокальная разрешимость в смысле сильного решения
В предыдущей главе доказана локальная по времени разрешимость различных классов вырожденных эволюционных уравнений. Но часто, например, в задачах управления, важно гарантированно иметь решение на заранее заданном временном отрезке [ о, 1]- В случае нелинейных моделей это непростой вопрос, требующий значительного усиления условий на нелинейный оператор. Именно об этом пойдет речь в данной главе.
Решением задачи (3.1.2), (3.1.1) на отрезке [о,Т] назовем такую функцию и Є С1 ([to, Т]; it), удовлетворяющую условию (3.1.1), что при всех t Є [ 0,71] выполняется u(t) Є domM и справедливо равенство (3.1.2). Как прежде было замечено, при рассмотрении случая imN С 1 имеет смысл добавлять в рассматриваемое уравнение неоднородную часть, значения которой могут не принадлежать подпространству $1: Тогда задача (3.1.1), (3.1.3) имеет единственное решение и Є С1 ([to,T];it). Доказательство. Как и прежде, исходная задача может быть сведена к двум задачам на взаимно дополнительных пространствах — it0 и it1. Для этого поочередно домножим уравнение (3.1.2) слева на L\lQ и М0_1(/ — Q) и получим задачу Коши для пары функций v(t) = Pu(t), w(t) = (I — P)u(t). Здесь использовано обозначение S = L\ Mi, а также обозначения главы 1.
Задача (3.1.7) для уравнения (3.1.9) однозначно разрешима в силу теоремы 1.1.1, поскольку по теореме 1.3.3 оператор S порождает Co-непрерывную полугруппу, Рщ = щ Є domMi = domS1, а нелинейное отображение (t,v) — L 1 (t,v-Y, H1MQ1 ((І - Q)ff] (tU достаточно гладкое. Теорема 3.1.2. Пусть оператор М сильно (Ь,0)-радиален, оператор QN : [to,T] х it — З 1 непрерывно дифференцируем на [to, Т] х it и равномерно Липшицев по второй переменной наІІ, для любых (t, и) Є [to, Т] xit выполняется равенство N(t,u) = N(t,Pu), щ Є domM,
Как было замечено ранее, такая задача в случае сильной (Ь,р)-радиальности оператора М редуцируется к системе уравнений (3.1.5), (3.1.6), снабженной лишь одним начальным условием (3.1.7). Поэтому необходимость в условиях согласования (3.1.4) и (3.1.10) отсутствует. Лишь отсутствием этих условий отличаются соответсвующие утверждения о разрешимости обобщенной задачи Шоуолтера-Сидорова.
Теорема 3.1.3. Пусть оператор М сильно (Ь,0)-радиален, оператор QN : [to,T] х it —З 1 непрерывно дифференцируем на [to,T] х it и равномерно Липшицев по второй переменной на it, для любых (t,u) Є [to,T] х it выполняется равенство N(t,u) = N(t,Pu). Тогда для любого щ Є domM flit1 задача (3.1.2), (3.1.13) имеет единственное решение и Є С1 ([to, Т];it).
Теорема 3.1.4. Пусть р Є No, оператор М сильно (Ь}р)-радиален, оператор N : [to,T] х it — непрерывно дифференцируем на [to,T] х it и равномерно Липшицев по второй переменной на it, imN С З 1, / Є Cp+1([to,T];$). Тогда для любого щ Є domMnit1 задача (3.1.3), (3.1.13) имеет единственное решение и Є С1 ([to, Т]; it).
В задачах, например, оптимального управления, большую значимость имеют сильные решения дифференциальных уравнений, о которых пойдет речь в данном параграфе. Достаточные условия их существования могут быть ослаблены, по сравнению со случаем классических решений.
Сильным решением задачи (3.1.1), (3.1.2) назовем такую функцию и Є Hl(tQ,T]il), для которой выполняется условие (3.1.1) и при почти всех t Є [to}T] справедливо равенство (3.1.2).
Замечание 3.2.1. В силу теоремы Соболева имеет место вложение пространств Hl(to,T;ii) - - C([to,T];il), поэтому требование (3.1.1) от функции класса Hl(to,T;ii) корректно. Замечание 3.2.2. В монографии [90, с. 109] сильным решением уравнения u(t) = Au(t) + f(t) называется дифференцируемая почти всюду на (to}T) функция, для которой и Є Li(to}Tii). Однако там же показано, что если / Є Li(to,T;il), то сильное решение и принадлежит классу C([to,T];il), а значит, и Є Hl(to,T;ii). Поскольку в наших рассмотрениях более общей ситуации, чем / Є Li(to, Т; it), рассматриваться не будет, она не будет возникать даже в нелинейном случае, когда f(t) = g(t,u(t)), то в определении решения эволюционного уравнения, как разрешенного относительно производной, так и вырожденного, сразу потребуем его принадлежности классу Hl(to}T;il). Xk = X. Тогда задача (3.3.1)-(3.3.3) имеет единственное сильное решение zeHl(t0}T;H2(n)). Доказательство. Пусть А : (П) — (П), Лм = Ait, сіотЛ = {и Є H2(Q) : ІІ(Ж) = 0, ж Є с?Г2}. Обозначим через {(/} ортонормированную систему собственных функций оператора А: соответствующих его собственным значениям {А/;}, занумерованным по невозрастанию с учетом их кратности. Известно [70], что если в данном случае при А Є а(А) выполняется условие аХ — /ЗА2 7 0, то оператор М является сильно (L, 0)-секториальным, а значит и сильно (L, 0)-радиальным (см. [94]). При этом it0 = $ = span{(/?/; : Л = А}, it1 и З 1 есть замыкания линеала span{(pk Xk А} в норме пространства it или L2{Q) соответственно. Поэтому условие (3.3.3) задает начальное значение не всего решения, а лишь его проекции на подпространство it1. Следовательно, (3.3.3) — условие Шоуолтера-Сидорова, а условия на функцию ZQ в формулировке теоремы ознают, что в абстрактной постановке в условии (3.1.13) щ Є domMi.
Отображение, действующее по правилу N{u){x) = (А — А)[у(х)и(х)}, линейно и в силу достаточной гладкости функции 7 равномерно липшицево. При этом imN С imL = fi1. Поскольку пространство it рефлексивно, к задаче (3.3.1)-(3.3.3) можно применить теорему 3.2.4.
Порядок аппроксимации численного метода
Нестрогое неравенство Л 1 использовано потому, что для вычисления собственных значений Л матрицы использовалась асимптотика по малым h.
Замечание 4.4.2. Неудивительно, что в условии сходимости на г присутствует константа х, поскольку это коэффициент при самих старших производных в системе уравнений — производных третьего порядка.
Целью численного эксперимента является установление значения разности численных решений нелинейной модели Осколкова и линеаризованной модели Осколкова, а также анализ поведения значения этой разности при измельчении сетки.
Пусть х = 0.001, v = 0.001, начальные значения щ = sin х sin у cos у, Vo = —sin2 у sin х cos ж, г = 0.01, Mi = 50, M i = 50, h = 0.06. Динамика приближенного решения (u}v}p) задачи (4.2.5)-(4.2.9) изображена на последовательности рисунков. Над графиком каждой функции указываетя моделируемая функция, номер шага по времени, значения минимума и максимумов функции на текущем временном слое. Функции скорости изменяют форму, функция давления не изменяет формы, но растет по модулю ее минимум. Программа остановлена на 208-м шаге по времени. На этом шаге видно, что решение неограниченно возрастает. При численном моделировании линеаризованных моделей Осколкова получены аналогичные графики. Значения функций мало отличаются от полученных выше. При измельчении пространственной сетки численные значения функций стремятся к численным значениям функций, полученным при численном решении нелинейной системы.
Алгоритм и программная реализация численного метода Алгоритм программы вычисления приближенных решений начально-краевых задач для модели Осколкова заключается в следующем. 1. Задаются границы пространственной переменной, длина шага по времени. Разбивается заданный интервал на части, как это описано в 4.1. Для функций и и v задаются начальные и граничные значения (4.1.13), (4.1.14). Задаются параметры задачи z/, \. 2. Методом матричной прогонки по известным значениям нулевого временного слоя функций и и v находятся значения на нулевом слое функции р по формуле (4.1.20). После подстановки в (4.1.15) и (4.1.16) известных значений функций u,v,p на нулевом временном слое, получаются значения на
Представленный выше алгоритм реализован на языке программирования С в программе «Численное решение системы уравнений Осколкова». Программа зарегистрирована в Роспатенте:
Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014618458; РОСПАТЕНТ/ Давыдов П.Н., Плеханова М.В.; заявитель и правообладатель ФГБОУВПО «Челябинский государственный университет». № 2014616031; заявление 24.06.2014; государственная регистрация в Реестре программ для ЭВМ 20.08.2014.
Программа «Численное решение системы уравнений Осколкова» реализует построение численного решения системы уравнений Осколкова (4.1.1), (4.1.2) как одного из примеров нелинейной вырожденной эволюционной системы. Пользователь, задавая множество параметров, имеет возможность формировать различные начально-краевые задачи для такой системы уравнений.
Программа состоит из двух подпрограмм и двух вспомогательных модулей. Первая подпрограмма реализует ввод начальных, граничных значений и рассчитывает начальные и граничные значения неизвестной функции р (см. рис 2). Вторая подпрограмма вычисляет значения неизвестных функций
Главное окно программы "Численное решение системы уравнений Осколкова" и, v,p в узлах сетки. Вспомогательные модули, которые являются открытыми библиотеками, модифицированными автором, предназначены для построения трехмерных графиков функций и, -и,р, выполнения операций над матрицами. Написаны интерфейсы для ввода параметров моделирования, отображения 3D изображений и работы с ними (повороты, масштабирование, сохранение), класс начальных значений, класс параметров моделирования, классы численного решения.
В программе реализованы два метода численного моделирования неявных трехмерных разностных схем. Первым был реализован самый очевидный метод работы с трехмерной матрицей: сведение трехмерной матрицы к двухмерной матрице большей размерности и применения метода прогонки к двухмерной матрице. Вместо разностного аналога неизвестной функции имоделировалась функция v, і = 1,...,ті1. Конечно данный подход не является экономически эффективным, поскольку уже при работе программы с параметром количества шагов по пространственным переменным N = 15 требуется большое количество машинного времени. Вторым методом был реализован метод матричной факторизации (прогонки) [80]. Это обобщение метода факторизации (прогонки) на случай трехмерных систем уравнений. В этом случае в качестве прогоночных коэффициентов выступают матрицы и вектора.
