Содержание к диссертации
Введение
1 Описание предметной области 14
1.1 История возникновения задачи 14
1.2 Формулировка задачи 21
1.3 Подходы к решению задачи 25
1.4 Построение математической модели 30
1.5 Обзор существующих методов 35
2 Математическая модель на базе уравнения теплопроводности 40
2.1 Постановка краевой задачи 40
2.2 Существование решения экстремальной задачи 58
2.3 Единственность решения экстремальной задачи 62
2.4 О точной управляемости 70
2.5 Об оптимальном управлении 80
Литература
- Формулировка задачи
- Построение математической модели
- Существование решения экстремальной задачи
- О точной управляемости
Введение к работе
Данная работа посвящена вопросу об управлении температурой в теплице. Решается задача управления температурным режимом в теплице, матиматическая модель которой приводит к задаче о минимизации функционала качества. В работе рассматривается одномерное уравнение теплопроводности, доказываются теоремы о существовании и единственности управляющей функции, а также выводятся условия, при которых возможно точное управление. В конце работы для некоторых классов функций найдено точное выражение на управление.
Задача управления пришла из практики, так как на сегодняшний день наблюдается недостаток алгоритмов, позволяющих с высокой точностью поддерживать температуру в теплицах. Тепличное производство -это динамично развивающаяся отрасль сельского хозяйства. К 2008 году на территории России построено всего 2500 га промышленных теплиц. Современная теплица имеет, как правило, 5 м в высоту, 140м в длину и 70м в ширину. В связи с тем, что строительство и эксплуатация теплиц свя-заны с большими капиталовложениями, то требования, предъявляемые к количеству и срокам получения урожая в теплицах, всегда значительно выше, нежели к урожайности культур, растущих на открытом пространстве. Достичь предъявляемых требований можно только в том случае, когда растения обеспечены необходимыми условиями развития и роста.
Важнейшими факторами, влияющими на темпы роста и урожай-
ность, являются сбалансированный полив и четко выдержанный микроклимат. К последнему относятся такие критерии как температура, влажность, концентрация углекислого газа, количество поступаемого света. На сегодняшний день технологическое оборудование в теплицах дает возможность регулировать практически все параметры, обуславливающие режим микроклимата и даже частично заменить солнечный свет, необходимый для фотосинтеза. Специальные лампы позволяют создать уровень света, сравнимый по интенсивности с ясным весенним днем.
Наиболее важным среди параметров микроклимата является температура воздуха в теплице. В зависимости от фазы роста и времени суток, агрономом выбирается температурный режим (график температуры), и требования таковы, что на. определенной высоте, называемой точкой роста, температура должна соответствовать выбранному режиму. Точка роста -это уровень высоты в теплице, на котором в данный момент находится макушка растения, именно в этой точке зарождаются новые плоды и листья. Изменение температуры воздуха в теплице производится с помощью системы отопления, которая представляет из себя трубы, равномерно расположенные на полу теплицы. Регулировка же температуры труб осуществляется с помощью специального смесительного клапана, который смешивает воду из котельной и воду, возвращающуюся из теплицы. Таким образом, принцип управления температурой в теплице заключается в выборе такой температуры отопления, чтобы на уровне точки роста температура воздуха соответствовала заданному режиму. История возникновения систем автоматического регулирования, а также способы поддержания температуры в теплице описаны в параграфе [1.1].
В условиях стремительного развития вычислительной техники, совершенствования микроконтроллеров и разного рода датчиков в качестве системы автоматического контроля и управления температурой лучшим вариантом является использование устройств и приборов на базе ЭВМ. Добиться оптимального поддержания температуры невозможно без применения современной вычислительной техники, позволяющей быстро обрабатывать потоки информации и своевременно подавать управляющие сигналы. Однако вычислительная техника может предоставить только средство для управления температурой, а кроме этого необходим еще и математический алгоритм, на основе которого будет производиться расчет управляющих воздействий.
Проведенный анализ показал, что системы автоматического регулирования температурой, включая зарубежные, основаны, как правило, на устаревших эмпирических алгоритмах. Современные требования агрономов не могут быть удовлетворены с помощью таких систем. Поэтому разработка систем автоматического регулирования температурой, в основу которой положен анализ соответствующей математической модели, является актуальной задачей.
Итак, рассмотрим процесс распределения тепла внутри теплицы. Понимание того, как функционирует процесс, обычно выражается в виде модели, которая описывает поведение объекта. Чтобы построить такую модель, сначала необходимо выделить важные параметры (переменные) процесса:
u(x,t): распределение температуры в теплице,
ф{і): температура системы отопления па полу теплицы,
ф(і): отток тепла через остекление теплицы,
z{t)\ заданная температура,
u(c:t): температура в теплице на высоте с (точке роста).
Описание вышеперечисленных параметров процесса распределения температуры приводится в параграфе [1.2] данной работы.
Задача автоматического управления заключается в том, чтобы с помощью управляющей функции ф(і), с учетом оттока тепла через остекление ф(і), поддерживать на высоте с заданную температуру z(t) в течение времени Т. В математических терминах условие поддержания температуры z(i) на высоте с можно сформулировать, как задачу минимизации функционала
J[0]= / (u(c,t) - z{t)f dt. Jo
Существует два подхода к реализации задачи управления. Первый - это
построение алгоритма управления на базе эмпирического алгоритма, например, на базе широкоизвестных ПИД (Пропорционально-Интегрально-Дифференциальных)-регуляторах. Простота таких регуляторов, с одной стороны, позволяет достаточно быстро разрабатывать системы управления, а, с другой стороны, ограничивает диапазон объектов, которыми они могут удовлетворительно управлять. Тем не менее, удивительная многосторонность ПИД-управления обеспечивает в течение длительного времени значимость и популярность данного регулятора.
Обычно ПИД-регулятор описывается функцией, связывающей ошибку e(t) = z{t) — y(t) и выход регулятора x(t) следующим образом
x{t) = Kpe(t) + f: f e(t)dt + KpKd^}
где Кр - пропорциональный коэффициент, К{ - интегральный коэффициент и соответственно Kd - дифференциальный.
Сфера применения описанного регулятора широка, начиная от металлургической промышленности и заканчивая медицинскими приборами. Для того, чтобы запустить устройство управления на базе ПИД-закона, достаточно подобрать соответствующим образом коэффициенты (Кр, Kit Kd).
Применительно к поставленной задаче расчет управляющей функции на базе ПИД будет таковым:
ф(і)=ТМі)^с,і))+^^і)-и(с,і))Л+^^^^-+К,ф{1).
v(t)
Основная причина использования ПИД-регуляторов для устройств регулирования температуры - это простота в разработке и реализации. Но при сильных возмущающих воздействиях такой регулятор не справляется с поставленной задачей, а временами управляющая функция и вовсе порождает колебательный процесс в (1-1,5 градуса).
Современная технология выращивания, наоборот, требует все большую точность в поддержании температуры. Более подробно об эмпирическом моделировании описано в параграфе [1.3].
Второй подход для построения алгоритма - это математическое моделирование объекта. Подход к задаче моделирования состоит в том, чтобы использовать физические законы (тина сохранения массы, энергии и импульса) для построения модели. В этом подходе используется факт, что в любой реальной системе имеются основные феноменологические законы, которые определяют связь между всеми ее внутренними параметрами. Применяя физические законы переноса тепла (теплопроводности и конвекции), получаем, что процесс распределения температуры описывается уравнением теплопроводности. Процесс построения модели описан в параграфе [1.4]. Таким образом, получаем задачу
Щ — ихх, 0 < х < I, 0 < t < Т,
и{0,і) = ф(і),
ux(l,t) = V(*), u(z,0) = 0, где ф{і) Є W(0,T), ф(і) Wi{0,T) для любого Т > 0.
(1)
(2) (3) (4)
«(o,t) = 0(O
и(х,0) =0
ux(l,t) = i>(t)
І х
Под решением задачи (1) - (4) будем понимать обобщенное решение из энергетического класса, то есть функцию u(x,t) Є V2' (Qr), где Qt = (0)0 x (О)?1) ([lj, c.15). Утверждения, доказывающие существование
и единственность решения u(x,t) Є V2' (Qt) Для задачи (1) - (4), приводятся в параграфе [2.1] данной работы.
Пусть Т > 0, z(t) Є 1/2(О, Т). Обозначим через Um множество функций
им = {фе Wf(0,r), UWw^T) < м],
где М > 0.
Для произвольного с Є (0, /] определим функционал
ЗЩ= f (u(c:t)-z(t))2dt. (5)
Целью математического исследования является отыскание минимизирующей данный функционал функции ф(і) из предложенного класса Um-В идеале требуется получить точную управляемость. Под точной управляемостью будем понимать возможность получения в точке с следа u(x,t), почти всюду совпадающего на [0,Т] с заданной функцией z(t), и соответственно точным управлением будем называть такую функцию ф{ї) Є Um, при которой функционал J[0(i)] обращается в ноль:
J[0(t)] = f (u(c, t) - z(t))2 dt = 0. Л
Задачи, подобные поставленной, рассматривались в работах таких авторов, как А. Г. Бутковский, Ю.В. Егоров, А.И. Егоров, Ж.-Л. Лионе и др.
Эти работы условно можно разделить на. два типа. К первому относятся задачи, в которых управляющая функция должна выбираться так, чтобы в заданный момент времени температура стержня была максимально возможно близка к заданной. Ко второму типу относятся задачи на
оптимальное быстродействие, т.е. задачи, в которых требуется довести температуру стержня до заданной в наиболее короткое время. Некоторые результаты этих работ приведены в параграфе [1.5].
Возвращаясь непосредственно к поставленной задаче (1) - (4), сформулируем теорему существования решения экстремальной задачи:
Теорема 2.1. Существует функция фп{ї) Є Um, для которой
inf 3[ф) = J[0o].
Доказательство этой теоремы приводится в параграфе [2.2]. В следующем параграфе [2.3] приводится и доказывается теорема единственности решения экстремальной задачи.
Рассмотрим класс управляющих функций
им = {фе И^(0,Т), UWw^t) < М, 0(0) = 0},
Теорема 2.2. Существует единственная функция фо(Ь) Є U^, для которой
inf т = jfo,].
Следующие утверждения показывают, что точная управляемость может не иметь место не только для функций z(t) Є 1^(0, Т), но и для z(t) Є С([0,Т]). Рассмотрим вопрос о точной управляемости в случае ф(і) =0 (отсутствует поток через правый конец).
Щ = йхх, 0 < х < I, 0 < t < Т, (6)
й(0,і) = ф(і), (7)
й*(М) = 0, (8)
й(х, 0)-0. (9)
Теорема 2.3. Для любого М > 0 существует такая функция z(t) С([0,Т]); что для любой функции ф{ї) Є UM для задачи (6) - (9) выполняется неравенство J[] = JQ (U(c,t) — z(t)) dt > 0.
Рассмотрим теперь более общий случай, когда ф(і) ф 0, т.е. будем рассматривать задачу (1) - (4).
Теорема 2.4. Для любых М > 0 и Мі > 0 существует такая функция z(t) Є С([0,Т]), что для любой функции ф{Ь) Є UM и любой такой ф(і) Є W^iO^T), что 11^(^)IIw^o.T) < Mi, для решения задачи (1) -(4) выполняется неравенство
j[0]= [ (u(c,t) - z(t))2 dt > 0.
Теорема 2.5. Для любого ф(і) Є W2(0,T) множество Z всех функций z(i) Є Z/2(0,T). ^лл которых существует такое М > 0, что е классе Um возможна точная управляемость (то есть существует фо Є Um, такая, что J[o] = 0), является множестволг первой категории в 2(0, Т).
В следующем параграфе [2.5] доказывается теорема о существовании точной управляемости для z(t) Є W^O, Т). Более того, в рамка.х данной теоремы удалось выразить функцию ф(і), реализующую точное управление, через заданные функции 4>(t) и z(t).
Теорема 2.6. Для любой ф{Ь) Є 1^(0, Т) и для любой z(t) Є W^COjT), существует такое М > 0, что в классе Um имеет место точная управляемость, и управление ф(Ь) є Um имеет вид:
ф(і) = z{t) - сф(і) + J2 (ж + 2іт (/ 2/(r)e~(i^)2(i"r)rfT + *()) +
Подводя итоги данной работы, хотелось бы отметить, что полученные результаты позволили получить условие точной управляемости. С прак-тической точки зрения этот результат позволяет заранее предсказывать возможность или невозможность поддержания заданной в теплице температуры.
Выведенное выражение точного управления представляет большой практический интерес, так как составило основу алгоритма, реализующего автоматическое управление температурным режимом. Частично полученные результаты уже внедряются на базе систем и комплексов научно-производственной фирмы "ФИТО".
Фирма "ФИТО" организована в 1991 г. группой специалистов Специального Конструкторско-Технологического Бюро АПК "Москва". Основным направлением деятельности является разработка автоматических комплексов и систем для управления технологическими процессами (в том числе и температурой) в теплицах. В настоящее время фирма является лидером Российского рынка и ежегодно разрабатывает проекты и поставляет оборудование для 50-60 гектар защищенного грунта. С 2005 года осуществляются поставки разработанного оборудования в страны Европы.
Полученные в рамках данного исследования результаты опубликованы в работах [14] - [27].
Фотографии с действующих объектов приведены в приложении 1. Справка о внедрении приводится в приложении 2. Отзывы ведущих теп-
личных комбинатов — в приложении 3. Экранные формы программы, которая реализует алгоритм оптимального управления, приводятся в приложении 4.
Формулировка задачи
Понимание того, как функционирует процесс, обычно выражается в виде модели, которая описывает установившееся и динамическое поведение объекта. Чтобы построить такую модель, сначала необходимо выделить важные параметры (переменные) процесса: u{x,t): распределение температуры в теплице, ф(і): температура системы отопления на полу теплицы, ip(t): отток тепла через остекление теплицы, z(t): заданная температура, u(c,t): температура в теплице на высоте с. Подробнее опишем каждую переменную. Итак, распределение темпе ратуры внутри теплицы может быть описано функцией u(x,t), где х - это пространственная переменная х= {х1,х2,х3}, a t - момент времени, когда производится наблюдение. Причем 0 ж і /, где I - высота теплицы. О 2 d, где d - длина теплицы. О х% w, где w - ширина теплицы. Рассмотрим теперь факторы, которые влияют на распределение температуры внутри теплицы:
1. Система отопления.
Основным фактором, влияющим на распределение температуры в теплице, является система отопления. Архитектурно она представляет из себя трубы отопления, равномерно распределенные между грядками растений. Температура труб может изменяться с помощью смесительного клапана, который может смешивать в различных пропорциях воду из котельной и остывшую воду, идущую из теплицы. Фактически температура воды, в зависимости от положения клапана, может изменяться от 35 до 105С. Помимо таких физических ограничений системы, имеются и технологические ограничения. Например, на определенных этапах развития растений температура воздуха в зоне труб должна быть не выше 60-70С. Это связано с предотвращением ожога корневой системы. В холодное время года температуру воздуха в зоне труб нельзя опускать ниже 40-45С, чтобы предотвратить скопление холодного воздуха на нижней поверхности теплицы.
Введем обозначения: ф(і) - температура воздуха на поверхности трубы, где t- это момент времени, в который производится наблюдение. Этой температурой можно управлять путем изменения положения смесительного клапана. ф\ (t) - минимально возможная температура в момент t, связанная с физическими и технологическими ограничениями. 02(0 _ максимально возможная температура в момент времени t. 2. Наружняя (уличная) температура.
Большую часть энергии системы отопления, поглощает температура вне теплицы. За счет теплопроводности стекла часть энергии уходит через крышу и боковые стены. Для теплицы площадью 10000 кв. метров площадь крыши составляет около Sr = 13000м2. Коэффициент теплопроводности остекления крыши равен кг — 5, 8Вт/м2К. Таким образом, при уличной температуре tempi — —30С, и внутренней температуре temp2 = 18С поток тепла через крышу будет -—- = krSr(temp2 - tempi) = 3 619 200Watt « 3, 6MWatt
Для теплицы той же площади с высотой 5 метров площадь бокового остекления составляет Sw = 2220м2. Необходимо учесть, что стены теплицы имеют двойное остекление, поэтому коэффициент теплопроводности стен составляет kw = 2, ЗВт/м2К
Построение математической модели
Подход к задаче моделирования состоит в том, чтобы использовать физические законы (типа сохранения массы, энергии и импульса) для построения модели. В этом подходе используется факт, что в любой реальной системе имеются основные феноменологические законы, которые определяют связь между всеми ее внутренними параметрами. Эти законы касаются природы системы и могут включать: физику, химию, экономическую теорию и т.д.
В нашей задаче хотелось бы остановиться на этом подходе, как на наиболее точном при построении систем управления. Как уже отмечалось ранее, задача ставится так, что точность поддержания температуры выходит на первое место. Поэтому алгоритмы, работающие только на принципе обратной связи, непригодны для использования вследствие того, что они начинают работать только после появления ошибки в регулировании. В процессе моделирования нам придется временами использовать некоторые допущения, так как процесс управления температурой сложен и практически не поддается полному математическому описанию. Сложность, в первую очередь, связана с физическими задержками регулятора температуры (время открытия клапана, время доставки теплоносителя на место наблюдения). Bo-вторую очередь, трехмерная модель существенно усложняет процесс решения задачи управления. Несмотря на то, что нам придется устремить к нулю все физические задержки и перейти к рассмотрению задачи в одномерном случае, полученная нами математическая модель будет наиболее полно отражать все принципиальные свойства объекта управления.
Итак, рассмотрим задачу распределения температуры в теплице. Распределение будет рассматриваться по бесконечно тонкому стержню с высотой /. Если нижнюю и верхнюю грань теплицы поддерживать при постоянных температурах щ и U2 , то по вертикали теплицы установится линейное распределение температуры и{х) = щ + U2 Ulx. (1.4.1)
При этом от более нагретой к менее нагретой грани теплицы будет перетекать тепло. Количество тепла, протекающее через сечение теплицы площади S за единицу времени, задается экспериментальной формулой: Q = -k plS = -kp-S, (1.4.2) I OX где к - коэффициент конвекции для воздуха. Величина теплового потока считается положительной, если тепло течет в сторону возрастания х.
Рассмотрим процесс распространения температуры в теплице. Этот процесс может быть описан функцией u(x,t), представляющей температу ру в сечении х в момент времени t. Найдем уравнение, которому должна удовлетворять функция u(x,t). Для этого сформулируем физические закономерности, определяющие процессы, связанные с распространением тепла.
1. Закон Фурье. Если температура тела неравномерна, то в нем возни кают тепловые потоки, направленные из мест с более высокой температу рой в места с более низкой температурой. Количество тепла, протекающее через сечение х за промежуток времени (, t-\- di) , равно dQ = qSdt (1.4.3), где q = -к(х) (1.4.4) - плотность теплового потока, равная количеству тепла, протекшего в единицу времени через единичную площадь. Этот закон представляет обобщение формулы (1.4.2). Ему можно придать интегральную форму Ґ2 Ви Q = -S k—(x,t)dt, (1.4.5) где Q - количество тепла, протекающее за промежуток времени (іі,іг) че_ рез сечение S. Если воздух в теплице был бы неоднороден, то к являлось бы функцией к(х).
Существование решения экстремальной задачи
В предыдущем параграфе были доказаны существование и единственность решения краевой задачи для уравнения теплопроводности в пространстве V2 {QT) В данном параграфе поставим задачу поддержания на некоторой заданной высоте с температуры z(t) в течение всего промежутка времени 0 t Т. Рассмотрим задачу Щ = ихх, О х I, t 0, (2-2.1) с краевыми условиями u(0,t)= f {t), t 0, (2.2.2) ux{l,t) = ip{t), и начальным условием и{х,0) = 0, 0 х 1, (2.2.3) где ф{) Є И (0,Т), ${t) 6 И (0,Г) для любого Т 0. Пусть Т 0, z(t) Є 1 (0, Т). Обозначим через UM множество функций им = {Фе WftO.T), 11011 (0, М}, где М 0. Для произвольного с Є (0, /] определим функционал Гт J[ l ]= (u{c,t) - z{t))2dt. (2.2.4) Jo Рассмотрим задачу минимизации данного функционала. Обозначим inf J\d ) = m. Феим
Физический смысл данной задачи заключается в том, что на одном конце бесконечно тонкого стержня длины / в течение времени Г поддерживают температуру ф{Ь) (управляющая функция), а на другом конце задан тепловой поток ip(t). Требуется найти такую управляющую функцию фо(Ь), при которой температура в определенной точке с была бы максимально близка к заданной температуре z(t). Оценка качества управления осуществляется с помощью функционала 3[ф].
Теорема 2.1. Существует функция фо(Ь) Є UM, для которой inf 3[ф] = J[fo]. Феим Доказательство теоремы 2.1. Так как inf /[ / ] = т, то существует последовательность функций фп(і) Є UM, такая, что lim J[0n] = т. п— оо
Поскольку UM ограниченное множество в И СО» Т), то из последовательности {фп} можно выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся в И ЧО, Т) к функции 0о W O.T). Доказательство теоремы 2.2 (существование). Так как UM замкнутое в W2(0,T) выпуклое подмножество UM, ТО, повторяя рассуждения приведенные в доказательстве теоремы 2.1, заключаем, что АМ= inf J[0].
Таким образом, существование минимизирующей функции доказано. Доказательство теоремы 2.2 (единственность). Предположим, что существуют две функции ф\ (t) и 02(0, на которых достигается минимум функционала (2.2.4), то есть J[0l] = [ (wi (с, t) - z(t)f dt = Jo = J[ fa}= і (u2(c,t)-z(t))2dt= inf J ] = m, JO Ф м где функции ui(x,t) и U2(x,t) - это решения задачи (2.2.1) - (2.2.3) с краевыми условиями ui(0,t) = 01 (t) и U2(0,t) = 0г(О соответственно. Обозначим p(t) = (wi(c, t) — z(t)) и q(t) = (щ(с, t) — z{t)) и, используя неравенство Кларксона ([5], стр. 29) +И г) и +и Г [P+Q " получим ГС wi(c, 0 + w2(c, 0 - z{t) dt+ Г(: {Ul(c:t)-u2(c,t)\ dt rn rp = т. \f (Ul{c,t)-z(t))2dt + J (u2(c,t)-z(t))2dt =
В случае, если функции щ(с, t) и и2(с, t) не совпадают на множестве положительной меры, то [T(Mc,t) Mc,t)VdT и, следовательно, I. (2.3.1) Т ux{c,t) + u2(c,t) .Л2 —- — z(t) ат тп. го v 2 /
Так как функция ф — (ф\ + ф2)/2 принадлежит классу /jj , то соответствующее ему решение u(x,t) — Ці(ж )+цз(ж,) удовлетворяет условиям задачи (2.2.1) - (2.2.3) с краевым условием й(х,0) =ф(і). Таким образом, z{t) J dr m. щ(с,і) + w2(c, t) Л V 2 , Из (2.3.1), (2.3.2) получаем противоречие, следовательно, щ(с, t) Рассмотрим задачу (2.2.1) - (2.2.3) с краевым условием 4 {t) = фі{і) - fa{t). Щ = йхх, 0 х 1, О t Т, u(0,t) = фг{і) - ф2{і) = ф{і), 0 t T, й(с, t) = 0, 0 t Т, ux{l,t) = 0, 0 t Т, й(х,0) = 0, 0 х I. (2.3.2) u2(c,t). (2.3.3) (2.3.4) (2.3.5) 01«- Ш О / х Докажем, что решение й в прямоугольнике Qj) = (с, /) х (О, Г) будет совпадать с решением следующей задачи Щ = йхх, с х /, 0 t Т, u(c,t) — О, ux(l,t) = О, й{х,0) = 0. (2.3.6) (2.3.7) (2.3.8) Для этого достаточно рассматривать в интегральном тождестве (2.2.4) в качестве ту(х, і) функцию, обращающуюся в нуль на множестве [0, с] х [0, Т]. Покажем теперь, что решение задачи (2.3.6) - (2.3.8) есть тождественный нуль.
О точной управляемости
Итак, выбрав функцию z{t) Є С{[0,Т]) таким образом, чтобы z(t) Kt при 0 t min{l,T}, где К зависит от М, М\, получаем, что функционал 3[ф] будет больше нуля. Теорема доказана.
Теорема 2.5. Для любого ip{t) Є W O, Т) множество Z всех функций z(t) Є 2(0, Т), для которых существует такое М О, что в классе UM возможна точная управляемость (то есть существует Фо Є UM, такая, что J[ / o] = 0), является множеством первой категории в L2{0,T).
Доказательство теоремы 2.5. Рассмотрим задачу (2.2.1) - (2.2.3) для функции ui{x,t) Є V2 {QT) С краевыми условиями Wl(o,o = ), (2А27) Ulx{ut) = m, а также задачу для функции и2{х, t) Є V2 {QT) С краевыми условиями Mo,t) = Mt), (2428) Обозначим разность решений й = щ — и2. Полученная функция будет удовлетворять уравнению (2.2.1) с краевыми условиями й(0, ) = ф{Ь) = ф1(і)-ф2(і), ux(l,t) = 0, и начальному условию й(х, 0)=0. (2.4.30)
Продолжим четно решение задачи на прямоугольник QT = (0, 21) х (0, Т). Используя рассуждения из доказательства теоремы 2.3, устанавливаем, что функция й является обобщенным решением уравнения щ = йхх, 0 х 2/, 0 t Т, (2.4.31) с краевыми условиями (2.4.32) й(0,і) = ф1(і)-ф2(і), u(2J,t) = #i( )-WQ, и начальным условием й{х,0) = 0. По принципу максимума ([1], с. 220, теорема 7.2) имеем оценку esssupu ess sup i() — 02( ) Q(20 0 І Г
Сначала получим оценку для гладких функций ф{) Є С()([0,Т]). Принцип максимума для них записывается в виде supu sup 0i(і) - / 2(). g(2«) 0 t T
Эта оценка также справедлива и для следа функции u(c,t) sup u(c,i) sup \фі(г) - ф2(г)\. (2.4.33) 0 і Т 0 «Г Возведем последнее неравенство в квадрат и проинтегрируем по t от 0 до Т, в результате получим -.2/ / u2(c,t)dt T sup 0iM- / 2( ).- (2.4.34) Jo 0 t T
Предположим, что функции ф\(і) и / 2() выбраны таким образом, что для заданных функций z\(t) и z2{t) достигается точная управляемость, то есть соответствующие функционалы равны нулю: гр АФ]= [ {ui{c,t)-Zl{t))2dt = 0i Jo гр J[0] = f (u2(c, t) - z2(t))2dt = 0. Jo В этом случае неравенство (2.4.34) примет вид гр f (Zl{t) - z2(t)fdt Т sup 0i( ) - 0г( ). (2.4.35) Jo 0 t T Распространим полученную оценку на класс функций W2(Q, Т), имеем гр f (zi(t)-z2(t))2dt Tess sup №i(t) ф2(г)\. Jo 0 t T
Для любой последовательности бесконечно дифференцируемых функций {Фк(і)} С UM, М 0, можно выбрать подпоследовательность (обозначим ее тоже через { / &()}) так, что ess sup \фкі - фкт\ - 0, І, т- оо. (2.4.36) 0 t T Следовательно, оценка (2.4.35) справедлива и для функций фк{Ь) Є UM, М 0: \2. / ( (t)-z (0)2dt Tess sup № ,( )-&Jt). JO 0 T
Обозначим через Zn С Ьг(0,T), n = 1,2,3,..., множества функций Zn = {z(t) — и(с,ї),ф є Un, \\rf\\w}{o,T) n}- Используя оценки (2.1.47) и (2.4.36), заключаем, что множество Zn является компактным в Z/2(0, Т), и, следовательно, нигде не плотным в 1/2(0, Т). Представим теперь множество Z С Z/2(0,T) всех достижимых функций z(t) в виде счетного объединение множеств Zn, то есть z = U z Таким образом, множество всех достижимых функций Z представляет собой объединение счетного числа нигде не плотных множеств и является множеством первой категории в L2(0,T). Теорема доказана.
Об оптимальном управлении
Как уже упоминалось ранее, основной целью данной работы является нахождение алгоритма управления температурой. В связи с этим, дальнейшее исследование посвятим вопросу поиска оптимального управления, т.е. попытаемся выразить оптимальную функцию 4 {t) через заданные функции ф{ї) и z{t). Теорема 2.6. Для любой ф(і) Є 1 (0, Т) и для любой z(t) Є WjiQ.T), существует такое М 0, что в классе UM имеет место точная управляемость, и управление ф(і) Є UM имеет вид:
