Содержание к диссертации
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ 8
ПРЕДИСЛОВИЕ 12
ВВЕДЕНИЕ 14
ГЛАВА I. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ . . . .
МЕТОДОВ ПОИСКА ПАРАМЕТРОВ
СМЕСИ ДВУХ ЭКСПОНЕНТ 18
О выборе методов сравнения результатов вычислений . -Метод дробно-рациональной аппроксимации (МДРА) . 20 Аналитические способы определения показателей затухания при применении Z - преобразования . . 25
ZP - метод ...;.... 34
О разделении смеси двух экспонент с близкими пока
зателями затухания 37
Использование одинаковых случайных реализаций шу
ма для сравнения результатов по разным методам ... 48
Обработка реального физического эксперимента по из
мерению "времени жизни" состояний атомов гелия . . 50
Об одном подходе к анализу экспоненциальных процес
сов в присутствии шумов - . . 51
ГЛАВА П. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕ- . НИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОЛИГАРМОНИЧЕС- .
КОГО ПРОЦЕССА 57
Определение параметров гармонического сигнала ... 58
Случай одного колебания (М = 1) 61
Влияние числа значащих цифр на определение скрыто
го периода 66
Влияние расстановки отсчетов на величину скрытого .
периода 68
Определение интенсивности и фазы одного колебания . 78
Дискретное линейное преобразование для поиска скры
того периода 79
.Один канал, один сигнал 80
Результаты численного моделирования при последова
тельном сглаживании . . . 82
О признаке синусоидальности для таблиц с перемен- .
ным шагом по аргументу 84
Случай двух колебаний (М = 2) 87
2.2.1. Сглаживание для одновременной селекции . .
двух частот полигармонического процесса . . 102 ГЛАВА III. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКА И УСЛОВИЯ СИНУСОИДАЛЬНОСТИ ДЛЯ АНАЛИЗА СИГНАЛОВ ... 105
Признак синусоидальности 107
Признак синусоидальности для сигналов с амплитудной модуляцией 112
Признак синусоидальности для сигналов с фазовой модуляцией 113
Признак синусоидальности с учетом амплитудной и фазовой модуляций 114
Применение признака синусоидальности для выделения скрытых периодичностей 116
Определение двух неизвестных частот процесса с помощью признака синусоидальности ... —
Нахождение трех скрытых периодов процесса
с использованием признака синусоидальности 121
3.6. Применение признака синусоидальности к . .
анализу сигналов 125
3.6.1. Нахождение параметров аппроксимации кор
реляционной функции помехи с помощью
признака синусоидальности 126
3.6.1.1.Представление корреляционной функции поме
хи суммой двух экспоненциально затухающих
колебаний 128
Определение параметров колебания при наличии линейного тренда 130
Применение признаков синусоидальности
и экспоненциальности 131
3.7. Использование признака синусоидальности в
присутствии помех . . 135
Проверка работоспособности преобразования . 138
Оценка помехоустойчивости линейного преобразования 142
Оценка помехоустойчивости признака синусоидальности 144
3.8. Определение частоты основного тона ..... 145
3.9. О приближенном решении уравнения Льенара
с квадратичным трением и кубической восста
навливающей силой .. 151
ГЛАВА IV. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
РАЗДЕЛЕНИЯ СИГНАЛОВ 165
4.1. Построение методики разделения смеси сигналов 167
4.1.1. Условие связи для функции с явным максиму
мом - f{x) = Ах ехр(—огд:) 177
4.1.1.1.Выделение одного процесса 178
4.1.1.2.Выделение двух процессов . 180
4.1.1.3. Выделение трех процессов . 182
4.2. Нахождение параметров спектров с постоян
ной полушириной 185
О выборе параметров эталонной функции . . . 186
Аналитический подход к определению положений максимумов суммарной кривой для гаус-соид с постоянной полушириной 187
4.2.2.1.0 некоторых аспектах современного подхода к
методу Пронй 189
4.2.2.2.0 числе обусловленности и числе, значащих
цифр для метода Пронй . 196
4.2.2.3.Геометрический подход к методу Пронй .... 197 4.2.2.4.Фильтр Пронй и оценка помехоустойчивости
его метода 200
4.2.2.5.Обоснование преимуществ вывода условий связи203 4.2.2.6.Об анализе экспоненциальных процессов с
переменным шагом 207
4.3. Аналитическое определение показателей гаус-
соид с переменной полушириной 209
Признак и условие гауссоидности 210
Применение признака гауссоидности для одновременного выделения двух процессов ..... 212
Определение параметров гауссоид при наличии запаздываний 215
Об отдельных аспектах анализа многогауссо-идных кривых 218
4.3.4.1.0 дополнительной методике уточнения показа
телей Rm 222
4.3.5 О дифференциальном уравнении для гауссоиды 226
О разделении смеси двух гауссоид при непрерывном изменении аргумента 227
Об одном способе разделения смеси двух гауссоид в дискретном случае 230
Об использовании преобразования Гаусса к
анализу спектров . 240
ГЛАВА V. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРА
ЗОВАНИЯ МАЛЫХ ВОЛН . 245
О спектре преобразования малых волн 250
Об отношении сигнал/шум в анализе спектров 252 5.2.1. О методе вычисления интеграла Y(t) при анализе многоэкспоненциальных процессов .... 255
5.3. Применение кардиофильтра к анализу сигналов 260
ГЛАВА VI. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОД
ХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПАРАМЕ
ТРОВ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ РЕЛАК
САЦИИ 263
6.1. Применение диаграммы Аргана и МНК для
нахождения предельных значений є0 и є^ . . . 265
6.1.1. Об использовании максимума є"(и/) 267
6.2. Совокупность М процессов диэлектрической
релаксации 270
Мера близости приближающей кривой к экспериментальной 272
Об одном способе графического поиска времени релаксации . 273
6.3. Предельные значения кривых диэлектриче
ской релаксации 274
О выборе предельных значений параметров є0 и ^со при аппроксимации совокупности наблюдений одиночным процессом релаксации .... 275
Выбор начальных и концевых участков экспериментальных кривых для определения є0 и
Єоо . . 276
6.3.3. О работоспособности методов поиска предель
ных значений диэлектрической релаксации на
модельных примерах с зашумлением 279
Применение метода разложения в ряды до прямым и обратным степеням частоты к экспериментальным данным для определения предельных значений 0, єж 284
Применение методов разложения в ряд к одиночным процессам . . 285
6.4. Аналитическое определение параметров ди
электрической релаксации в случае двух про
цессов 287
Использование разностного способа 288
МНК при отсутствии предварительной информации означениях є0 я є^ , 290
МНК для условия связи с заданным значением
оо 291
Комбинированный способ определения параметров диэлектрической релаксации . . 292
Геометрический подход к анализу двухрелак-сационного процесса -
Геометрические построения с помощью
прямых и гиперболы 294
6.4.7. Сравнение, аналитических методов нахожде
ния параметров релаксации 300
6.5. Аналитическое определение параметров ди
электрической релаксации для смеси трех про
цессов 303
6.5.1. Обработка экспериментальных данных .... 305
Совокупность четырех процессов диэлектрической релаксации 307
Выбор области информативных частот при определении параметров диэлектрической релаксации 308
6.7.1. О числе обусловленности системы уравнений
для нахождения параметров р и q 310
Относительная погрешность расчета т-ц т2 и Л^ЗІЗ
О влиянии числа значащих цифр L на точность определения параметров диэлектрической релаксации . 315
*
6.8. Определение параметров диэлектрической релаксации для совокупности двух процессов при раздельном использовании є'(ш) и е"{ш) . 322
Использование только функции U(u>) 323
Применение функции V(ut) 324
ГЛАВА VII. О ВЫЧИСЛЕНИИ ПАРА
МЕТРОВ МАГНИТНЫХ АНОМАЛИЙ
ПРОСТЕЙШИХ МОДЕЛЬНЫХ
СИСТЕМ 326
Шар -
Горизонтальный круговой цилиндр 333
Экспериментальное определение глубины залегания тела цилиндрической формы по измерению аномалии магнитного поля 336
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 342
ЛИТЕРАТУРА 347
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы работы. Во многих разделах естествознания сталкиваемся с проблемой анализа сложных кривых, получаемых в результате разнообразных измерений. При этом в ходе обработки наблюдений Y(x) в присутствии помехи п(х) наиболее часто возникает представление суммарного сигнала S(x) в виде совокупности одного и того же эталона f(x), сдвинутого на неизвестную величину хт и измененного в Ст раз по интенсивности
м Y(x) = S(x) + п(х) = Yl Cmf(x - хт) + п(х) .
то=1
Такое сложение М сигналов связано с проявлением принципа суперпозиции, когда отдельные т-е процессы не оказывают воздействия друг на друга. При этом нахождение величин сдвигов хт в редких случаях удается осуществить графически по положениям максимумов. Типичными же являются ситуации, для которых разделение отдельных процессов не просматривается вследствие перекрытия их сигналами с большей интенсивностью.
Традиционный путь для таких ситуаций сводится к миними-
х зации "энергии" помехи Еп = J п2(х) dx в интервале регистрации
[О, X] и поиском таких оценок Сд^, хмі Для которых функция Fm FM(CM,xM) = Еп = у [Y(x) - ^2cmf(x-xm)]2dx
достигает минимума. Причем при применении итерационных методов сталкиваемся с многомодальностью функции Fm, сильной зависимостью результата от выбора начального приближения и параметров регуляризации, а также с фактом неоднозначности самого разложения наблюдений на фиксированное число процессов. Именно эти трудности и приводят к необходимости разработки новых способов поиска нелинейных параметров, свободных от указанных недостатков, позволяющих по алгебраическим формулам находить неизвестные параметры для функций эталонов/(а;) следующего вида: синусоид, экспонент, экспоненциально затухающих колебаний, . гауссоид, функций типа Коши и др.
Цель настоящей работы заключается в поиске таких преобразований данных наблюдений как линейных, так и нелинейных, после применения которых нелинейные параметры, входящие в функции - эталоны, определяются по аналитическим формулам на основе установления условий связи между собой отдельных равноотстоящих по абсциссам ординат с последующей минимизацией по коэффициентам связи.
Научная новизна и значимость работы определяется тем, что в ней впервые:
разработаны новые способы поиска нелинейных параметров для разнообразных функций-эталонов f(x), принадлежащих к пяти классам базисных функций: синусоидам, экспонентам, гауссоидам, функциям типа Коши.и функциям с радикалами;
сформулированы признаки-и условия синусоидальности, экс-поненциальности, гауссоидности для обработки полигармонических, многоэкспоненциальных и многогауссоидных процессов;
предложены оценки помехоустойчивости преобразований синусоидальности и экспоненциальности. Подготовлен комплекс программ по моделированию поиска частоты основного тона при. распознавании зашумленных речевых сигналов;
построено приближенное решение уравнения Льенара с квадратичным трением и кубической восстанавливающей силой..Разработан комплекс программ его решения в графической и алгебраической формах;
созданы аналитические методы определения показателей экспонент: метод дробно-рациональной аппроксимации на основе преобразования Фурье, ZP - метод с использованием Z - преобразования и аппроксимации Паде, метод последовательного поиска частот релаксации смеси двух,.трех и четырех процессов с помощью Z -преобразования;
проведен сравнительный анализ методов определения параметров моделируемой суммы двух экспонент в присутствии шумов, а также выполнен их расчет по данным реального физического эксперимента из области задач спектроскопии с высоким временным разрешением;
исследован общий подход к разделению смеси сигналов, подчиняющихся принципу суперпозиции. Показаны способы выделения числа процессов и сокращения числа переменных для минимизации с использованием энергетических соображений;
— предложена наглядная геометрическая интерпретация сме
си двух экспоненциальных процессов при переходе к новым ко
ординатам. Приведены методы аналитического определения пара
метров совокупности экспоненциально затухающих колебаний при
совместном использовании признаков синусоидальности и экспонен-
циальности;
— построено преобразование для функции-эталона с явным мак
симумом (произведение степенной функции на затухающую экспо
ненту), имеющее четкую физическую реализуемость с помощью не
рекурсивных фильтров последовательно нарастающих порядков;
— продемонстрирована применимость преобразования гауссо-
идности к анализу многогауссоидных процессов с постоянной и с
переменной полушириной. Показано использование преобразования
Гаусса для нахождения параметров смеси отдельных гауссоид;
рассмотрено применение "вейвлет-анализа" для определения параметров многоэкспоненциальных и многогауссоидных процессов с применением фильтров типа "мексиканская шляпа" и "кардио-фильтр" при наличии шумов;
разработана серия методов аналитического определения параметров диэлектрической релаксации. Для смеси двух процессов дана геометрическая интерпретация данных наблюдений в виде прямой, параболы, гиперболы. Проведено численное моделирование процессов, описываемых функциями типа Коши, с варьированием процентного уровня шумов. Создан комплекс программ вычислений не только времен релаксации и интенсивностеи смеси отдельных процессов, но и предельных значений параметров диэлектрической релаксации;
построены специальные преобразования, позволяющие по измерениям магнитной аномалии над телами простейшей формы находить параметры, связанные с глубиной залегания и ориентацией предмета под поверхностью Земли. Осуществлена экспериментальная проверка этой методики.
Эти основные положения и выносятся на защиту.
Практическая значимость работы заключается в том, что развитые в ней методы определения нелинейных параметров синусоид, экспонент, гауссоид, функций типа Коши и приближенного решения дифференциального уравнения Льенара с квадратичным трением и.кубической восстанавливающей силой доведены до конкретных рабочих программ и могут быть использованы для широкого круга
исследований в разных областях науки.
Структура работы. Работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка цитируемой литературы 139 наименований; она насчитывает 346 страниц текста, включая содержание, общую характеристику работы, предисловие и 55 рисунков.
Апробация работы и публикации. Два метода по теме работы опубликованы в "Опт. и спектр." 1992 г., еще один метод в "Вестн. С.-Петерб. ун-та" 1993 г.. Поиск скрытых. периодов представлен в публикациях в "Astr. Nachr." 1989 г. и "Astrophysics and Space Science" 1994 г., а также в "Вестн. С.-Петерб. ун-та" 1999-2000 гг. Вопросы современного подхода к методу Пронй и различные аспекты аналитического определения параметров диэлектрической релаксации представлены там же в 1996-1997 гг., 2000 и 2002 гг.
Две статьи, связанные с методом рекуррентных соотношений, получившим в работе дополнительное развитие, включены в 1977-1978 гг. в Государственный фонд алгоритмов и программ СССР. Серия методов определения параметров многоэкспоненциальных кривых релаксации содержится в учеб. пособии, СПб. 1994, в канд. дис, Дубна. 1996. Нахождению нелинейных параметров, входящих в функции-эталоны в виде синусоид, экспонент, гауссо-ид, функций типа Коши, экспоненциально затухающих колебаний и др., посвящена монография, СПб. 2002.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Интерес к многокомпонентной аппроксимации данных наблюдений возник у автора более 30 лет назад в ходе теоретического изучения процессов распространения радиоволн длинноволнового диапазона и их экспериментальной проверки. При этом огибающая радиоимпульса, распространяющегося вдоль трасс с различными электрическими свойствами, аппроксимировалась суммой одной и той же сдвинутой функции-эталона/(<), в качестве которой выступали экспонента, экспоненциально затухающее колебание, произведение степенной функции на экспоненту и др. Навигационный аспект исследований требовал ослабления влияния отраженных от ионосферы сигналов и шумов на привязку по переднему фронту земного сигнала. Использованные различные итерационные методы: градиентные, Ньютона, представленные в книге И. С. Березина и Н. П. Жидкова [1] и книге Химмельблау Д. [2], случайного поиска в работах Рао С. Р. [3], Ермакова С. М. [4],. Жиглявского А. А. [5] не обеспечивали требуемой точности местоопределения.
Знакомство с книгой Хемминга Р.. В. [6] и работой Корнейчука А. А. [7], посвященной определению констант радиоактивного распада, вывело на метод Пронй [8], а работа Александрова Л. [9] и работы Гаджокова В. [10, 11], связанные с введением 2 - х регу-ляризационных параметров в методе Ньютона-Канторовича [1], позволили несколько повысить точность очищения переднего фронта от мешающего действия отраженных сигналов, особенно при приеме сигналов на неподвижных пунктах. Работа Заикина П. Н. и Моисеева В. Н. [12] указала на важность привлечения априорной информации о временах жизни выделяемых процессов при использовании регуляризационного алгоритма определения показателей экспонент. Теоретическим и алгоритмическим аспектам поиска параметров экспоненциальных зависимостей, когда экспериментальные значения содержат погрешности, оценки которых считаются известными, посвящена работа Хорошиловой Е. В. [13]. С анализом экспоненциальных зависимостей и задачами декомпозиции спектрометрических данных связана работа Колтун И. А. [14], в которой определяется нижняя оценка количества компонент в экспоненциальной модели и затем уже для хорошо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений находятся показатели экспонент и интенсивности процессов. Злоказов В. Б. [15] обратил внимание
на важность предварительной обработки данных наблюдений с помощью фильтрации, т. е. устранение из спектра "тех или иных компонент", относящихся к фону или шуму, указав на отличие задач поиска параметров спектров, когда спектры функции сигнала и помехи частотно не разделены от задач отделения сигналов от помех в радиофизике с четким разнесением их по частоте. Численные задачи декомпозиции спектров далее на основе метода регуляризации по А. Н. Тихонову, по мнению Гопыча П. М. [16], выдвигают проблему "оптимального прерывания итераций в ходе подгонки" и проблему "оценки погрешностей, найденных в результате подгонки значений параметров", поскольку ни один из критериев не гарантирует, что "подгонка будет прервана в истинном минимуме минимизируемого функционала".
Разнообразие шумовой ситуации реального эксперимента в задачах навигации и спектроскопии с временным разрешением, ядерной физике, ядерного магнитного резонанса и физике жидких кристаллов выявило при использовании- итерационных процедур не только зависимость результата от выбора начального приближения для поиска глобального минимума, но и сильную зависимость от значений параметров экспоненциальной регуляризации, как во временной, так и в частотных областях.
Из вышеизложенного ясно, почему для большего понимания алгебраически точного классического метода Пронй и его модификаций [17-26] потребовалось в дополнение к общепринятым методам (итерационным [27-31], графическим [32-35], статистическим [36-41], геометрическим [42-45], трансформационным [46-50]) создание новых методов, основанных на преобразованиях наблюдаемых величин с установлением условий связи для их дальнейшей реализации в бортовых устройствах.
Введение к работе
Для многих разделов науки характерно проявление принципа триарности, тесно связанного с реакцией системы У на некоторое внешнее воздействие X на объект исследования А. Особенно часто с этим принципом сталкиваемся в физических экспериментах различной природы. Общая его схема хорошо знакома и протекает по
правилу
X =» [ТІ =>Y,
когда под действием внешнего сигнала X на входе и знания выходного сигнала Y получаем информацию о внутренних свойствах объекта А. Такая схема, протекающая в прямом направлении (слева направо), является наиболее типичной. Однако для задач космогонии срабатывает обратный порядок, при котором по регистрации красного смещения Y и знании свойств аппарата А удается извлечь данные об источнике излучения X.
Естественно, что с этим принципом имеем дело и в математике.
Например, при решении системы линейных уравнений -АХ = В,
[А
X,
когда под входным воздействием понимаем вектор Вис помощью
преобразующей матрицы А находим решение X. В случае, если на вход системы с матрицей А
dX(t)
или
Jx(t)dt=* \j[\ =>X(t)
ПОДЭ/ЮТСЯ v^jxwyu*b- x jti j.
скорости —-j^- или интегралы J X (t) dt изменяющихся
во времени величин X (<), получаем решение системы дифференциальных или интегральных уравнений.
Перед демонстрацией этого принципа для целой группы входных воздействий отметим, что в философском плане триединый подход к анализу явлений природы отмечался еще со времен античности у Пифагора, Евклида вплоть до Паскаля, Декарта, Лейбница.
Особенно заметно это у Гегеля с его тезисом, антитезисом, синтезом и у Г. И. Гюрджиева, утверждавшего, что во всем проявляется закон триединства: действие, противодействие и равновесие.
Простота этой схемы подталкивала философов древности, средних веков (Н. Кузанский) и современных ученых, таких как В. Гей-зенберг, А. Эйнштейн, И. Пригожий, к выдвижению идеи о возможности математизации философии как науки. Современный немецкий философ Г. Кребер считает, что триарная схема, отвечающая системе линейных уравнений, соответствует закону перехода количества в качество, а система дифференциальных уравнений связана с законом единства и борьбы противоположностей. Более подробно эти вопросы затронем в гл. III—IV, VI.
Для широкого круга задач в области естественных наук характерна связь с анализом экспериментальных данных, получаемых в результате проведения разнообразных измерений. При этом в процессе обработки наблюдений экспериментатор обычно принимает некоторую модель интересующего явления, пытаясь описать его ограниченным числом параметров, представляя зарегистрированный сложный сигнал комбинацией простых, более удобных для анализа. Поэтому наиболее часто в исследованиях различной природы встает вопрос о разложении экспериментальных данных на совокупность функций f(x) заданного вида, которые обычно называются эталонными функциями или. функциями сравнения. И хотя разнообразие объектов измерений приводит к многообразию видов эталонных функций /(#), тем не менее почти во всех естественнонаучных дисциплинах сказывается общность следующего порядка.
Дело в том, что при анализе данных наблюдений (особенно физических) приходится часто сталкиваться с представлением суммарного сигнала в виде совокупности одного и того лее эталона f(x), сдвинутого на неизвестную величину хт и измененного в Ст раз по амплитуде, т. е. в присутствии помехи п(х) справедливо выражение
м
Y(x) = lL,Cmf{x - хт) + п(х) , (0.1)
771 = 1
Такая запись (0.1) сложения нескольких М процессов соответствует проявлению принципа суперпозиции, когда отдельные т-е процессы протекают независимо от других, т. е. не оказывают воздействия друг на друга, и когда эффект от суммы воздействий совпадает с суммой эффектов от различных воздействий. При этом
нахождение величин сдвигов хт по оси а; в некоторых ситуациях удается осуществить графически по положениям максимумов. Однако в большинстве случаев имеем дело с ситуациями, когда разделение отдельных сигналов не просматривается вследствие перекрытия их сигналами с большей интенсивностью.
Традиционный путь для таких ситуаций сводится к минимиза-
х ция "энергии" помехи Еп = / n2(x)dx за весь интервал регистра-
о ции [О, X], что приводит к составлению функционала
Fm(Ci,C2,...,См,xi,X2,. . ,хм) = Fm(Pm,xm) =
/
м
WW - J2 СшІ{х - Хт)? dx , (0.2)
о m=1
т. е. применению МНК с поиском таких оценок См» м> при которых функционал Fm достигает минимума. Напомним, что если в качестве независимой переменной х выступает время <,ав качестве X — время регистрации Т, то Еп соответствует определению.истинной энергии помехи. Выражение (0.2) при усреднении по интервалу X отвечает записи среднеквадратического значения помехи
~2 П
х м
(*) = ^ J n2{x)dx = FM =-[У(*) - S см№ - xmW , (0.3)
о m=1
что во временном представлении соответствует понятию средней мощности помехи.
Для минимизации функции Fm (0.2) или Fm (0.3) располагаем обширной группой итерационных методов, связанных с использованием МНК с ограничениями типа равенств и неравенств, градиентных методов, методов случайного поиска, методов Ньютона, Ньютона — Канторовича и методов с привлечением регуляризации по А. Н. Тихонову. При этом во всех методах сталкиваемся с мно-гомодальностью функции Fm и сильной зависимостью результата от выбора вектора начального приближения и параметров регуляризации, а также с фактом неоднозначности самого разложения наблюдений на фиксированное число процессов.
Именно эти факты и приводят к необходимости разработки новых способов поиска нелинейных параметров, свободных от указанных трудностей, позволяющих по алгебраическим формулам
находить неизвестные параметры для функций-эталонов f(x) следующего вида: синусоид - Asin(u>x -f ip), экспонент - Аехр(—ах), экспоненциально затухающих колебаний - А ехр (—ах) sin {их -f- ц>), функции с явным максимумом в виде произведения степени х на экспоненту - Лл7ехр(—ах), гауссоиды - Л ехр [— а(х — а)2], функций типа Копій - г Лд2, 1j^22 и функций более сложного вида -Л(Л2 + a;2)-2, A(h2 + а?2)"5/2.
Таким образом, целью предлагаемого исследования является нахождение таких преобразований данных наблюдений, после применения которых нелинейные параметры, входящие в функции-эталоны, определяются по аналитическим формулам на основе установления условий связи между собой отдельных равноотстоящих по абсциссам ординат с последующей минимизацией по коэффициентам связи.
Для вышеприведенных функций-эталонов и сформулирован ряд условий связи для равноотстоящих по абсциссам ординат, к изложению которых перейдем в гл. I—VII.
Завершая введение, хочу отметить нескольких соавторов, коллективно с которыми были написаны, научные работы, хотя при этом в ряде статей идеи методов и формулы для их реализации были предложены диссертантом. Так, поиск периодических структур в популяциях Галактик осуществлен при участии физиков - В. Ф. Литвина, Ф. М. Гольцмана и группы астрономов -Ю. П. Аносовой, В. Н. Барышникова, Е. Т. Гребенкиной, В. В. Орлова, Г. Д. Поляковой, А. В. Смирнова, исследования по определению параметров многоэкспоненциальных кривых проведены совместно с С. А. Ивановым, В. Н. Ивановой, А. А. Меркуловым, В. Б. Смирновым, а в разработке методов анализа процессов диэлектрической релаксации приняли участие В. О. Кальвин, А. П. Ковшик, А. М. Ляшин, Г. А. Фомин, В. Л. Фридрих.
