Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор литературы. 9
1.1 Основные обозначения 10
1.2 Способы построения мультипликативного интеграла. 11
1.3 Описание некоторых математических теорий в терминах мультипликативного интеграла 19
1.4 Некоторые оценки для мультипликативных интегралов 23
1.5 Мультипликативный интеграл по мере 29
1.6 Мультипликативный интеграл в задачах моделирования физических процессов 35
2. Матрицы, допускающие точное вычисление мультипликативного интеграла 38
2.1 Структура функционально - коммутативных матриц 38
2.2 Функционально — нильпотентные матрицы 43
2.3 Мультипликативный интеграл от матриц, не удовлетворяющих условию коммутативности 45
3. Приближённые методы вычисления мультипликативного интеграла 53
3.1: Вычисление мультипликативного интеграла от функционально -некоммутативных матриц 53
3.2 Мультипликативный интеграл и интегральные преобразования 60
4. Примеры применения мультипликативного интеграла в задачах моделирования . 62
4.1 Моделирование функций Эйри 62
4.2 Моделирование вынужденных параметрических колебаний 66
4.3 Пример простой модели интегральных преобразований 69
5. Заключение... 71
6. Приложение 72
- Описание некоторых математических теорий в терминах мультипликативного интеграла
- Мультипликативный интеграл в задачах моделирования физических процессов
- Мультипликативный интеграл от матриц, не удовлетворяющих условию коммутативности
- Мультипликативный интеграл и интегральные преобразования
Введение к работе
Математическое моделирование, бесспорно, является одним из основных инструментов, современной: науки, активно используемым практически во всех её областях.. Наиболее активно методы математического моделирования применяются в физике и прикладных науках.
Во второй половине XX в. наибольший прогресс был достигнут в развитии методов моделирования, связанных с использованием средств вычислительной техники. Это обусловлено, с одной стороны, гигантским прогрессом в области создания быстродействующих средств вычислительной техники с большими объёмами памяти и необходимостью анализировать динамику систем, описываемых либо нелинейными дифференциальными и: интегральными уравнениями и их системами, либо системами дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, либо их комбинациями, с другой. Существует обширная библиография, посвященная анализу и перспективам развития численных методов, например [1], [2], [3], [4].
Необходимо отметить, что результаты численного моделирования имеют существенно неустранимый недостаток: они всегда конкретны, что затрудняет их общий анализ, особенно если анализируемые величины зависят от нескольких параметров.
Главной целью диссертации является разработка метода построения решения линейных систем обыкновенных: дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (описывающих, например, различные системы автоматического управления [5], [6]) в аналитической форме, что позволило бы анализировать поведение моделируемой системы в общем виде, не привязываясь к конкретным значениям параметров.
Наиболее удобным в этом, случае является представление фундаментальной матрицы решений системы (в матричной форме)
5 в виде мультипликативного интеграла: X(t) = nJA(v)dT. &
Хотя в математике понятие мультипликативного интеграла известно с конца XIX в., теория мультипликативного интегрирования не получила широкого распространения. До настоящего времени не существует обширной библиографии по данной теме и полученные результаты не являются полными. В монографиях [7], [8], [9] изложены основные вопросы теории мультипликативного интегрирования и рассмотрен ряд её приложений — но отсутствуют сами методы вычисления мультипликативного интеграла. Это связано с трудностями вычисления мультипликативного интеграла от матриц достаточно произвольной структуры.*
В теории дифференциальных уравнений [7], [9], [10] доказано, что в случае функциональной коммутативности матриц [12] [A(t)A(t')] = A(t)A{t')- A(t')A(t) = 0 (3> мультипликативный интеграл сводится к вычислению матричной экспоненты
7 A{r)dr = ехр[ J Л(г)с/г]. (4)
Таким образом, задача о практическом вычислении мультипликативного интеграла может быть разбита на несколько связанных между собой задач:
Определение структур матриц, удовлетворяющих (3) и, позволяющих точно вычислить мультипликативный интеграл по соотношению (4).
Определение структур матриц, изначально не удовлетворяющих (3), но мультипликативный интеграл от которых может быть вычислен точно путём использования процедуры интегрирования по частям [7], [10].
3. Разработка методов приближённого вычисления мультипликативного интеграла от матриц произвольной структуры. * В [8] приведен метод вычисления мультипликативного интеграла от матриц с переменными коэффициентами специального вида (полиномиальных матриц)..
При решении указанных задач в работе были использованы методы линейной алгебры и теории дифференциальных уравнений, а также основные понятия из теории интегральных преобразований.
Научная новизна работы заключается в следующем: разработаны методы, позволяющие определить структуры матриц с переменными коэффициентами таким образом, чтобы они удовлетворяли (3), а также приближённые методы вычисления мультипликативного' интеграла от матриц произвольной структуры; Исследование приложений теории мультипликативного интеграла к решению различных конкретных уравнений позволило сравнить полученные результаты с ранее известными результатами.
Результаты исследований оформлены в виде четырёх глав. В первой главе — обзоре литературы — изложены основные положения теории, мультипликативного интегрирования и краткое описание некоторых; математических теорий в терминах мультипликативного интеграла.
В параграфе 1.1 приведены основные обозначения, в параграфе 1.2 даны основные определения и формулировки используемых в работе понятий. В параграфе 1.3 рассмотрены некоторые математические теории с точки зрения мультипликативного интегрирования. Далее в параграфе 1.4 приведены важные-оценки для мультипликативного интеграла, здесь же вводится понятие несобственного мультипликативного интеграла. В параграфе 1.5 определён мультипликативный интеграл по мере, приводятся его основные свойства. В параграфе 1.6 приведены примеры, иллюстрирующие применение теории мультипликативного интеграла по мере к конкретным уравнениям и исследуются их решения..
Первая глава намеренно представляет собой; расширенный обзор существующей литературы по данной теме, т.к. библиография не является достаточно объёмной и современное состояние теории исследуемых вопросов не является исчерпывающим, с одной, стороны, а на практике исследуемые методы применяются достаточно редко.
В первую главу не включены известные результаты теории мультипликативного интеграла от комплексных матриц, поскольку в данной работе рассматриваются только матрицы с коэффициентами, зависящими от вещественной переменной.,
Вторая глава посвящена определению структур функционально -коммутативных матриц. Глава состоит из трёх параграфов. В параграфе 2.1 определена структура функционально — коммутативных матриц в общем виде. В параграфе 2.2 вводится понятие функционально - нильпотентных матриц как частный случай матриц, удовлетворяющих (3)., Определён вариант структуры функционально - нильпотентных матриц. Приведены соответствующие примеры. В параграфе 2.3 исследуются матрицы, не являющиеся функционально - коммутативными, мультипликативный интеграл от которых также может быть вычислен точно.
В третьей главе представлены приближённые методы вычисления мультипликативного интеграла. В параграфе 3.1 изложен итерационный метод вычисления мультипликативного интеграла от матриц произвольной структуры. В параграфе 3.2 рассмотрена возможность вычисления некоторых интегральных преобразований в терминах мультипликативного интеграла.
В четвёртой главе приведён анализ конкретных систем, иллюстрирующий применение теории мультипликативного интеграла и приводятся соответствующие расчётные программы, а также рисунки, поясняющие расчеты.
Практическая значимость диссертации состоит в том, что полученные результаты позволяют проводить анализ моделируемых систем в общем виде (без конкретных значений параметров).
В результате проведённой работы на защиту выносятся следующие результаты: варианты структур матриц, допускающие точное вычисление мультипликативного интеграла;: мультипликативный интеграл и интегральные преобразования; приближённые методы вычисления мультипликативного интеграла.
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на международных научных и научно - методических; конференциях: на 23-й конференции молодых учёных мех-мата МГУ (Москва, апрель 2001 г.), на конференции «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве» (Тирасполь, июнь 2001 г.), конференциях «Математика в вузе» (Великие Луки, июнь 2002 г.; Петрозаводск, июнь 2003 г.), на конференции "Second WSEAS International Conference on Simulation, Modelling and Optimization (ICOSMO 2002)" (Skiathos, Skiathos Island, Greece, September 2002), на семинаре "Workshop on Differential Equations dedicated to the memory of V.Lazutkin" (СПб, август 2002 г.), на конференции "MathTools' 2003" (СПб, июнь 2003 г.), на семинарах кафедр теоретической и математической физики и кафедры прикладной математики НовГУ.
По теме диссертации опубликовано 10 работ.
Диссертация состоит из введения, четырёх глав, четырёх приложений, заключения и списка использованных источников. Объём диссертации 85 страниц машинописного текста, включая список литературы из 47 наименований.
Работа выполнена по рекомендации международного научного симпозиума «Фотонное эхо и когерентная спектроскопия», проведённого в Великом Новгороде в 2001г., в заключении которого отмечена необходимость разработки теории и практического применения методов мультипликативного интеграла.
Описание некоторых математических теорий в терминах мультипликативного интеграла
Содержание некоторых математических теорий довольно кратко изложено в [9] и включает следующие вопросы: мультипликативный интеграл и задачи классификации, мультипликативный интеграл в, алгебре дифференциальных операторов, криволинейный мультипликативный интеграл и кривизна криволинейного мультипликативного интеграла, потенциал для криволинейного мультипликативного интеграла нулевой кривизны, а также уравнения нулевой кривизны. В изложении задач классификации определено преобразование где С(х) - произвольная функция вещественной переменной со значениями в ассоциативной топологической алгебре A, F(x)- функция, имеющая мультипликативную производную f(x). Показано, что действие (1.6) порождает преобразование обратной мультипликативной производной где О С(лг);/ = /( ). Аналогичным образом определяется действие Преобразования (1.7) и (1.8) называют калибровочными преобразованиями для обратного и прямого мультипликативного интеграла. Доказано, что (1.7) и (1.8) обладают свойством Таким образом, показано, что множество X всех функций f(x) вещественной переменной Л; со значениями в ассоциативной топологической алгебре А с единицей можно рассматривать как G - пространство, где G -группа всех функций С(х) вещественной переменной х, принимающих значения во множестве обратимых элементов А алгебры А, а действие определено формулами (1.7) и (1.8). Стандартным образом пространство X делится на орбиты, определяемые действием группы G. (Элементы, принадлежащие одной орбите, называются эквивалентными), Задача классификации орбит в G - пространстве является, согласно Эрлангенской программе Клейна, основной задачей геометрии. Введённое выше G - пространство X позволяет поставить конкретную задачу классификации, а также порождает множество новых G - пространств X, для которых X является подмножеством в X t a G - некоторая подгруппа группы G. Для этих новых G - пространств задачи классификации являются содержательными и характеризуются интересными геометрическими свойствами. В алгебре дифференциальных операторов, которые действуют в пространстве функций р(и), определённых на вещественной оси и, любой элемент а е А имеет вид где ри) - скалярные функции переменной к. Умножение дифференциальных операторов в алгебре А определяется как суперпозиция этих операторов. 1 д Рассмотрен мультипликативный интеграл J"T (здесь использовано о ОН обозначение [9]), где — - элемент вида (1.9) из Л, который можно рассматривать как функцию вещественной переменной t, принимающую постоянное значение -г- в А.
Известно [7], [9], что если алгебра А - коммутативна, то (3) можно записать в виде и эта формула справедлива и для некоммутативной алгебры А, если только элементы вида f(x) при всевозможных х коммутируют между собой, в частности, если f{x) = const. Следовательно, в данном случае Таким образом, мультипликативный интеграл F(x) как функция вещественной переменной х со значениями в алгебре дифференциальных операторов есть оператор в правой части (1.11), который действует на функцию р(и) следующим образом: Согласно (3) (или (1.10)), в алгебре дифференциальных операторов мультипликативный интеграл d1 где оператор х -г = F(x). аи Показано, что при действии оператора F(x) на функцию р(и) оператор С/Л \J\& начальному условию /(0,и) = р(и). Для определения криволинейного мультипликативного интеграла вводятся Р(х,у) и Q(x,y) - функции двух вещественных переменных со значениями в алгебре матриц их л с операцией матричного умножения и рассматривается выражение Если на плоскости переменных х, у дана кривая x = x(t)t y = y{t), te[a;b], то при подстановке x(t) и y(t) в (1.13) получен мультипликативный интеграл вида (Аналогичным образом можно получить прямой мультипликативный интеграл из выражения jP(x,y)dx+Q(x,y)dy и кривой на плоскости х,у). Для и - мерного пространства переменных х\х2,...,х и кривой xi = xi(t) рассмотрен общий случай мультипликативного интеграла:
Интегралы вида (1.13) называются криволинейными мультипликативными интегралами. В [9] рассмотрен вопрос о связи понятий параллельного переноса векторов и криволинейного мультипликативного интеграла и приводятся более общие рассуждения о связи параллельного переноса нескольких векторов, составляющих базис некоторого линейного пространства, и криволинейного мультипликативного интеграла.
Утверждается, что исходя из исследования матрицы перенесения этого базиса и базиса перенесённых векторов, криволинейный мультипликативный интеграл и связность являются эквивалентными понятиями. Обсуждается возможность толкования связности как криволинейного мультипликативного интеграла при рассмотрении связности в ассоциативных алгебрах более сложных, чем алгебры матриц с операцией матричного умножения. Подробно вычисляется кривизна криволинейного мультипликативного интеграла вида jP(x,y)dx+Q(x,y)dy вдоль прямоугольника Известно [7], [9], [10], что фундаментальная матрица решений системы (1) может быть представлена в виде мультипликативного интеграла [A{r)dt. В [10] рассмотрены некоторые задачи, в которых мультипликативные интегралы вычисляются от матриц второго порядка. В [26] приводятся важные оценки модуля разности мультипликативных интегралов jA(r)dr системы (1) и jB(T)dr системы -=B(t)X, а также доказана теорема об оценке нормы разности мультипликативных интегралов:
Мультипликативный интеграл в задачах моделирования физических процессов
Из теории мультипликативного интеграла [9] следует, что может возникнуть необходимость определения структуры функционально коммутативных матриц и- го порядка, имеющих вид І4(Ї) = (0"» аи(і) = 0 при j .i. Такие матрицы в общем случае имеют —Ц-—- ненулевых элементов, а ранг матрицы однородной системы уравнений, аналогичной (2.2), строго меньше величины и2 - и. Следовательно, элементы матрицы должны быть линейными комбинациями свободных параметров, в качестве которых можно взять элементы первого столбца или первой строки. Примеры треугольных функционально — коммутативных матриц также приведены в Приложении 1. Описанный способ вычисления структур функционально — коммутативных матриц не является единственным. Такие структуры могут быть найдены из решения более общей задачи с помощью аппарата приведения матриц к нормальной Жордановой форме. Рассмотрим частный случай функциональной коммутативности, когда матрица системы (1) A(i) является функционально — нильпотентной, т.е. удовлетворяет соотношению A(t)A(t ) = 0 для любых t,t R и тем самым соотношению (3). Аналогично разделу 2Л условие A(i)A(t )-Q можно рассматривать как 4ц(0 также удобно вычислять с помощью Кронекеровского произведения: Аа=АЕ, A = A(t).
Для разрешимости данной системы необходимо, чтобы определитель матрицы её коэффициентов обращался в нуль, т.е. det Aa(i) = О. С другой стороны, по свойству Кронекеровского произведения det(AB) = (dctAy(detB)% где и - порядок матриц А и В. Так как в данном случае В = Е, то (det В)" = det Е = 1 и, следовательно, det Аы (/) = (det А)". Поэтому система будет иметь нетривиальное решение, если ёеЫ = 0, т.е. матрица А = A(t) должна быть особой. Ранг полученной матрицы rgAk!(t) = rg(AE) = rgA-rgE = n-rgA [25], следовательно, чтобы Au(i) была особой, необходимо, чтобы rgA(t) n. Поскольку данное условие выполняется при 1 rgAQ) п — 1, то могут существовать не более п -1 структур функционально-нильпотентных матриц. Определим возможную структуру функционально - нильпотентных матриц следующим образом: произвольную матрицу 5(0= (0 размерности pxq, элементы которой в общем случае ненулевые, дополним до квадратной матрицы A(i) порядка (p+q) q нулевыми строками и р- нулевыми столбцами следующим образом: Элементарно проверяется, что матрица A(t) (равно как и транспонированная матрица AT(t)) - функционально - нильпотентна. Вообще, если порядок матрицы задан и равен я, то она, будет функционально - нильпотентной, если число её ненулевых столбцов не превышает n-q t число ненулевых строк не превышает п-р и её структура определяется (2.6).
Примеры функционально - нильпотентных матриц для и = 3, л = 4 приведены в Приложении 2. Необходимо отметить, что структура функционально - нильпотентной матрицы вида (2.6) не является единственно возможной. Другие варианты функционально - нильпотентных матриц также приведены в Приложении 2. Мультипликативный интеграл от функционально — нильпотентной матрицы A{t) имеет вид: где Е -единичная матрица, а интеграл понимается в смысле Римана. Аналогичный результат справедлив и для транспонированной матрицы A7{t), В данном разделе использован метод вычисления мультипликативного интеграла «по частям» [7], [10]. Доказательство. По формуле интегрирования по частям (1.4) имеем, что мультипликативный интеграл от суммы двух матриц A{t) и B{t) о о Следствие 1. Если матрица Л(/) содержит только одну ненулевую строку (столбец), то мультипликативный интеграл от неё вычисляется точно. Ранее [10] это утверждение было доказано как самостоятельная теорема. Следствие 2. Если матрица A(t) содержит ненулевую диагональ и ненулевой столбец, т.е. ай(0 0; яд(0 0 і,к = 1,..м, где яД/) локальноинтегрируемые функции, то мультипликативный интеграл имеет вид:
Мультипликативный интеграл от матриц, не удовлетворяющих условию коммутативности
В данной главе представлены приближённые методы вычисления мультипликативного интеграла. В параграфе 3.1 изложен итерационный метод вычисления мультипликативного интеграла от матриц произвольной структуры. В параграфе 3.2 рассмотрена возможность вычисления некоторых интегральных преобразований с помощью мультипликативного интеграла. Материал данной главы обсуждался на конференции «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве» (Тирасполь, 2001 г.) [39], семинаре "Workshop on Differential Equations dedicated to the memory of V. Lazutkin" (СПб, 2002 г.), на конференциях "Tools for Mathematical Modelling" (СПб, 2003) [40] и «Математика в вузе» (Петрозаводск, 2003 г.) [41], на семинарах кафедр теоретической и математической физики и кафедры прикладной математики НовГУ. По материалам главы опубликована статья «Мультипликативный интеграл и интегральные преобразования» в электронном журнале «Учёные записки НовГУ» [42]. Решение системы X = A(t)X (1) в случае матрицы произвольной структуры может быть построено методом последовательных приближений [7]. Характерной особенностью данного метода является его медленная сходимость.
Будем искать решение (1) в форме X(t) = X0YQ где Х0 - найденное (или выбранное из каких-либо соображений) начальное приближение. Легко проверяется, что К0 должно удовлетворять уравнению Следовательно, для того, чтобы полученное приближённое решение X(t) сходилось по норме, необходима сходимость бесконечного произведения (3,3), что, в свою очередь, следует из сходимости ряда (3.4). Быстрая скорость сходимости (3.4), в свою очередь, достигается надлежащим выбором X0(t), т.к. Xk{t) для любого к 0 может быть выражено через „(О » Таким образом, норма решения исходной системы Х(і) характеризуется экспоненциальным ростом и является завышенной в силу замены разности норм их суммой. Оценка нормы фундаментальной матрицы решений зависит, разумеется, от выбора начального приближения. Итак, для решений исходной системы возможен экспоненциальный рост, что совпадает с результатом [25]. В качестве ещё одного метода приближённого вычисления мультипликативного интеграла можно рассмотреть следующий: Матрица ДО исходной системы разлагается в сумму двух матриц, одна из которых удовлетворяет условию функциональной коммутативности (3): ДО = Д(0 + Д(0 где Д(0 - функционально - коммутативная матрица. Тогда по формуле интегрирования по частям (1.4) имеем Аналогично, матрицу B2(t) нужно разложить в сумму двух матриц Вг(і) = A5{t )+4Д ), где A5(t) удовлетворяет (3) и аналогично вычислить мультипликативный интеграл от матрицы В2 (t). Повторяя процедуру, получаем Если в результате данного разложения матрицы A(t) на некотором к -м шаге матрица Bk(t) получится функционально-коммутативной или нулевой, то итерационный процесс будет конечным. Данный метод может быть взят за основу для установления оценки сходимости для мультипликативного интеграла, аппроксимирующего на некотором отрезке [0,/] точное значение интеграла. Рассмотрим матричнозначную функцию Л(ї)єС [0,/] и разобьём данный отрезок на промежутки /, , (к = 0,...,п-1) длины А. Представим A(t) в виде суммы двух матриц A{t) = AAf)+AAt)t где А\ - кусочно — постоянная функция на последнем интервале разбиения / _.; Мультипликативный интеграл Ft от A\{t) на / _. вычисляется элементарно («точный» мультипликативный интеграл), так как Д является коммутативной на этом интервале.
Вычисление мультипликативного интеграла Fy от Д(ґ) (аппроксимирующего «точный»), т.е. вычисление Fs = (і 1Д )с/г затруднительно в общем виде, поэтому снова используем факторизацию: Д, = Д(0+Д-(0» где Д - кусочно — постоянная функция на / _2: Тогда мультипликативные интегралы F2 и F2 от и Д, соответственно аналогичны интегралам и Fl. Проводя аналогичные рассуждения и вычисляя последовательно /J. и F. на / -, )=«-!,..., 0, получим выражение для мультипликативного интеграла на всём отрезке [0,/]: что совпадает с «точным» значением мультипликативного интеграла. Здесь Таким образом, F сходится к точному значению интеграла на [0,/] и при увеличении числа интервалов разбиения и стремлении к нулю длин этих интервалов, имеем: В качестве верхней границы промежутка [0,/] можно взять произвольное значение t. Итак, при указанном выборе постоянных (следовательно, функционально - коммутативных) матриц на интервалах малой длины данная формула сходится и полученная оценка аналогична известной оценке сходимости формулы левых прямоугольников. Преимущество предлагаемых методов перед численными методами или методом последовательных приближений заключается в возможности построения мультипликативного интеграла в аналитической форме в каждом приближении во всей области изменения аргумента —оо / со. Ряд последовательных приближений сходится по норме как [25]
Мультипликативный интеграл и интегральные преобразования
При моделировании физических процессов, многие из которых могут быть описаны линейными системами ОДУ с переменными коэффициентами, бывает необходимо получать различные интегральные преобразования заданных функций. В частности, для матрицы системы A(t) с ненулевыми диагональю и столбцом, т.е. для матрицы (2.7), мультипликативный интеграл сохраняет структуру матрицы A(t) и имеет ненулевые компоненты Л =exp[Jamn,(r)rfr], Элементы матрицы A(t) в общем случае произвольны, поэтому если, например, выбрать коэффициенты следующим образом: #tt(z") = 0 и атт{т)-іх {і - мнимая единица), то на основании формулы (3.6) получим текущий спектр Фурье функции атк (0. Если выбрать ай(г) = 0ийш(г) = р (р = a+ib е С), то формула описывает текущее преобразование Лапласа функции amk(t). текущее преобразование Меллина той же функции а (/). В главе 4 рассмотрен пример аналогового моделирования интегральных преобразований на основе изложенного принципа.
Таким образом, при выборе коэффициентов подходящим способом фундаментальная матрица решений будет содержать текущие интегральные преобразования. Можно подобрать и такие коэффициенты матрицы исходной системы, что в фундаментальной матрице решений будут содержаться другие интегральные преобразования (Ханкеля, Лежандра и др.). Процессы, описываемые такими системами, достаточно просто моделируются как аналоговыми, так и цифровыми устройствами. Итак, при моделировании различных процессов подбором коэффициентов матрицы системы A(t), можно получить интегральные преобразования заданных (известных) функций в реальном масштабе времени. Предложены два метода вычисления приближённых значений мультипликативного интеграла от функционально - некоммутативных матриц: первый основан на выборе начального приближения; второй основан на выделении из интегрируемой матрицы функционально — коммутативной части. Процедуры вычисления мультипликативного интеграла указывают на возможность получения широкого класса интегральных преобразований от произвольных функций в реальном масштабе времени. В данной главе построены аналитические модели решений некоторых конкретных дифференциальных уравнений с помощью итерационного метода.
Приведены программы построения этих решений и графики, показывающие результаты численного анализа данных уравнений. Кроме того, рассмотрен случай, когда; в одном аналоговом вычислительном устройстве могут быть реализованы различные интегральные преобразования. В качестве примеров конкретных уравнений были выбраны уравнение Эйри и уравнение вынужденных колебаний параметрической системы. Данные уравнения рассматриваются потому, что оба они часто используются в физике (уравнение Эйри в квантовой физике, уравнение вынужденных колебаний - в радиофизике), а их решения были подробно исследованы ранее [45], [46]. Поэтому представляется целесообразным построение приближённых решений и сравнение их с известными ранее результатами. Материалы данной главы обсуждались на семинаре "Workshop on Differential Equations dedicated to the memory of VXazutkin" (СПб, 2002) и международной конференции "Tools for Mathematical Modelling" (СПб, 2003) [40]. Итерационный метод, изложенный в главе 3, иллюстрируется построением приближённого решения уравнения Эйри: Данное уравнение записывается в виде системы (1) с матрицей
